LEZIONE N. 7 : LO SPECCHIO DEL CIELO

TEORIA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI STORICHE

(PROF. PAOLO FACCIO – UNIVERSITA’ IUAV DI VENEZIA)A.A. 2014 - 2015

Strutture resistenti per forma: ad ogni condizione di carico corrisponde una forma resistente ideale

Sfruttamento ottimale delle caratteristiche meccani che della muratura

Struttura – fune – resistente esclusivamente a trazione

Struttura – arco in muratura –resistente esclusivamente a compressione

Curva delle Pressioni

V

H H

V

Linea delle pressioni

Tangente all’origine

Risultante interna allo

spessore: possibile

equilibrio

Risultante esterna:

possibile meccanismo.

Winkler e il principio di minimo : tra tutte le curve delle pressioni che si possono costruire per i carichi agenti quella vera è tale da discostarsi il meno possibile in media dalla linea d’asse dell’arco

L’arco come struttura resistente per forma

“ se è possibile trovare una curva delle pressioni per l’arco completo, che sia in equilibrio con i carichi applicati (incluso il peso proprio) e rimane ovunque interna allo spessore dell’arco, allora questo arco èsicuro”J. Heyman

Dimensionamento geometrico di del piedritto in relazione alla geometria dell’arco secondo la ricostruzione di E. Viollet Le Duc, da alcuni riferita all’abate Deran

De La Hire, suggerisce di trattare l’equilibrio di un arco individuando le modalità di rottura, ipotizzando la definizione di un cuneo superiore (a) che, in virtù dell’abbassamento per peso proprio, fa ruotare il piedritto (b). Il punto di rottura è fissato arbitrariamente secondo l’inclinazione di 45°

45°

a

b

Mascheroni puntualizza il calcolo basato sull’equilibrio delle parti che si manifestano con la rottura dell’arco svincolandosi, seguendo l’esempio di Coulomb, dalla rottura prefissata secondo l’inclinazione di 45° ripsetoo all’orizzontale

Leonardo Salimbeni (Spalato, 1752 – Verona, 1823) è stato un ingegnere e matematico italiano. Fu uno fra gli studiosi di scienza delle costruzioni che hanno maggiormente contribuito alle ricerche sulla statica degli archi e delle volte in muratura, assieme agli italiani Lorenzo Mascheroni, Giovanni Poleni e ai francesi Charles Bossut, Charles Augustin de Coulomb, Claude-Louis Navier, E. Mery, Jean Victor Poncelet

Schemi di cinematismi di costruzioni ad arco

A.A.H DanytzySopra e Navier sotto

A partire dalla fine del XVII secolo si abbandona progressivamente il proporzionamento geometrico degli archi e dei piedritti per utilizzare l’equilibrio delle parti nelle quali si scompone un arco di varia geometria nel momento della rottura

Schema del rapporto spinta e controspinta

Leonardo e gli archi

L’arco non è altro che una fortezza causata da due debo lezze

Macchine da cantiere. Leonardo Codice Atlantico

Leonardo intuisce come a parità di corda e di peso proprio la spinta alle imposte dipende dalla geometria dell’arco

Leonardo descrive come per l’equilibrio dell’arco il segmento che congiunge il vertice estradossale dell’arco con la posizione estradossale dell’imposta debba essere contenuto all’interno dello spessore della ghiera

A sx Leonardo da Vinci I codici di Madrid. Schemi di rottura di archi per effetto di carichi concentrati.Sopra Rottura di un arco soggetto a carichi concentrati simmetrici

Il verso di apertura delle cerniere individua in modo corretto il meccanismo di collasso della struttura descritta

Leonardo e il tiburio del Duomo di Milano ( 1487 – 1 490)

Nel 1487 L.B. Alberti vene chiamato a Milano come consulente per la fabbrica del Duomo e per giudicare i modelli per la soluzione del tiburio, tra i quali quelli di Bramante e Leonardo

Francesco di Giorgio Martini : ricostruzione dell’ipotesi proposta per il Duomo di Milano con la complessa rete di catene metalliche, approvato dalla Fabbrica del Duomo

Descrizione del modello di Francesco di Giorgio per il tiburio. Tratto da C. Pedretti Leonardo architetto, Electa Milano 1988, pg38

Nello schizzo Leonardesco, si nota la conoscenza di origine Medievale del taglio delle pietre ad incastro e una profonda conoscenza degli studi sempre di meccanica Medievali.Leonardo usa il sistema di archi, catene e puntoni in pietra per convogliare le forze sui grandi piloni

Schema di scomposizione delle forze?

Leonardo Codice Atlantico, studi per il tiburio del Duomo di Milano

Leonardo, Codice Trivulziano, studi di architettura

Arco a sezione variabile contraffortato da due archi rampanti (?)

Leonardo Codice Trivulziano, schizzi per il Duomo di Milano. Risulta evidente la volontà di sostenere il tiburio con una serie di archi rovesci.

Codice Trivulziano schemi di architetture ( disposizione di catene (?))

Codice Trivulziano, schemi per il tiburio del Duomo di Milano dove si evidenzia la struttura ad

elmo rovesciato

Schizzo di meccanismo di funzionamento di arco a sesto acuto con carico concentrato asimmetrico. Relazione tra archi (?)

Tratto da V. Foley W. Soedel , I contributi di Leonardo alla meccanica teorica in Le Scienze n. 219, novembre 1986

Codice Atlantico, studi per il Duomo di Milano

Codice Atlantico, studi per il tiburio del Duomo di Milano.Struttura di sostegno ad archi rovesci a sezione variabile

Il ponte di Leonardo tra Pera e Costantinopoli

Brano tratto dalla presunta lettera di Leonardo al Sultano Bajezid II,

Immagine del Bosforo con il secondo ponte di Galata.

Leonardo, Progetto del ponte sul Corno d’Oro, , c. 1502, Ms. L., fol. 66 r

Le dimensioni del ponte : largo 23,75 m, alto 40, 85 m, lungo 350,16 m dei quali 233,44 , sull’acqua e 116,72 m come imposta a terra.

Il progetto costituisce una innovazione nella tradizione costruttiva del tempo, con l’uso di archi fortemente ribassati, a sezione variabile e costituenti una struttura complessa composta da più elementi semplici.

Gli studi sulla possibilità di scomporre le forze in direzioni prestabilite e l’esperienza del progetto del tiburio del duomo di Milano con la soluzione ad elmo rovescio, sono alla base dell’ipotesi di Leonardo per il ponte sul Corno d’Oro.Il ponte Alidosi a Castel del Rio costruito nel 1499 e di luce pari a 80 m, rappresenta probabilmente uno dei modelli studiati

Leonardo a commento del disegno scrive che nella parte concava si ha un ispessimento e nella parte convessa un assottigliamento del materiale. E in particolare …. La quale mutatione fa a uso di piramide, onde si dimostra che in un mezzo d’essa molla non si ha mai mutatione

Il grande arco ribassato centrale viene controventato dagli archi laterali che contribuiscono alla stabilizzazione della struttura

La disposizione a tenaglia che diverge sul terreno contribuisce a distribuire l’enorme spinta dell’arco ribassato

Voglia Dio che voi diate ascolto e credito a queste parole chiamando al vostro servizio questo vostro fedele servitore.

Conclusione della lettera di Leonardo a Bajezid II

Realizzazione in scala del modello leonardesco di ponte a grande luce

Le cupole in muratura

Nella forma dell’opera la funzione e il significato coincidono

Claudia Conforti, Lo specchio del cielo, Electa Milano 1997 pg 7

La cupola si può considerare una membrana di rivoluzione generata per rotazione di un arco rispetto al suo asse centrale

La curva generatrice può avere una forma circolare, parabolica o un profilo piùcomplesso

Il modello di funzionamento membranale consente una schematizzazione di comportamento della struttura come rapporto tra meridiani e paralleli. I meridiani considerabili come archi che sono collegati da paralleli, anelli tesi. Questo modello completo nel suo funzionamento e descrivente una cupola in muratura integra e quindi non fessurata comporta l’assenza di spinta

Il funzionamento delle cupole secondo lo sforzo norma le di meridiani e paralleli.

Nella realizzazione un anello chiuso, perfettamente completato risultando incompressibile non può scivolare su quello sottostante nonostante l’inclinazione derivante dalla posizione lungo la curva generatrice.

La costruzione delle cupole in muratura avviene per anelli successivi. Non esiste, come nell’arco e nella volta, il concio in chiave

Le cupole in virtù della scarsa resistenza a trazione della muratura che le rende molto sensibili ai cedimenti differenziali all’imposta e ad azioni di carico antimetriche, hanno la tendenza a fessurarsi lungo i meridiani

A. Palladio, Maser, tempietto di villa Barbaro.Fessurazioni lungo i meridiani.

Superata la resistenza a trazione della muratura, che può essere incrementata in relazione alla forza di attrito presente- si formano le lesioni lungo i meridiani, comportando la rottura della continuità dei paralleli annullando il comportamento a membrana della costruzione

L’inefficienza dei paralleli trasforma i meridiani in archi spingenti sul tamburo di imposta

Il Pantheon a Roma

Dell’Architettura dieci libri d. M. Vitruvio Pollione, traduzione di B. Galiani, Milano 1832. Libro VI, 11

Cupola in opus caementicium e archi di scarico

La rappresentazione di G.B. Piranesi, illustra con chiarezza il ruolo degli archi di scarico.

Grazie al funzionamento degli archi di scarico i carichi verticali vengono convogliati nelle sezioni resistenti di maggiore dimensione

Etienne Duperac XVI secolo

Rappresentazione Ottocentesca

Costruzioni simili raffrontate dimensionalmente al Pantheon

Nelle cupole l’opus caementicium si presentava come estensione in aggetto del muro verticale , che gradualmente sporgeva verso l’interno dello spazio da coprire.Ma in parte assumeva anche la configurazione della calotta monolitica poggiata sul piano di imposta.

Flaminio Lucchini Le cupole di Adriano in Claudia Conforti, Lo specchio del cielo, Electa Milano 1997 pg 9

La monoliticità della cupola in conglomerato garantiva l’assenza di spinta all’imposta

Schema di distribuzione dei materiali nel Pantheon

Tratto da M. Bianchini Le tecniche edilizie nel mondo antico, Editrice Dedalo Roma, 2010

Distribuzione dei carichi verticali mediante archi

Tratto da Cairoli Fulvio Giuliani L’edilizia nell’antichità, Carocci editore 1998

Coerenza costruttiva e uso dei materiali secondo il peso proprio e le caratteristiche meccaniche

La realizzazione dell’oculo

La cupola di S. Maria del Fiore a Firenze

Struttura della cupolaModello ligneo

Gherardo da Prato, tracciamento geometrico della cupola

Iniziata nell’agosto del 1420 e completata fino alla base della lanterna nell’agosto del 1436 è il primo esempio di cupola doppia su pianta ottagonale.Il diametro è sostanzialmente identico a quello del Pantheon che rimane il riferimento, il modello, che doveva trovare una variazione nella consistenza della cupola per l’eccessivo peso che la cupola in conglomerato avrebbe imposto al tamburo giàrealizzato. La riduzione del peso necessaria per la stabilità, è probabilmente la spinta per la realizzazione di una cupola a doppia calotta nervata.La spinta viene ridotta optando per la forma a sesto acuto di matrice gotica.La doppia calotta risulta di più facile costruzione, la riduzione dei pesi e la protezione della calotta interna dalla incidenza dei carichi termici.

La calotta esterna ha uno spessore variabile da 0,60 m. a 0,30 m. in sommità

La calotta esterna ha uno spessore variabile da 2,00 m all’imposta a 1,30 m in sommità

Si usano materiali di maggior massa alla base, i primi 14 m in pietra arenaria , e successivamente in mattoni

Le calotte sono collegate da 24 nervature disposte lungo i meridiani , di cui principali lungo gli spigoli e un sistema di paralleli che collegano le nervature

L’insegnamento dell’architettura gotica come collaborazione tra membrature genera la cupola che risulta in realtà un graticcio di nervature

Antonio da Sangallo il Giovane, apparecchiatura di una volta a spina pesce

G. Battista Nelli, schema del ponteggio di costruzione della cupola di S. Maria del Fiore

In realtà la tecnica di apparecchiatura era nota. Il problema costruttivo era legato alla massa degli elementi e all’altezza, che avrebbe comportato la realizzazione di centine di enorme dimensione e dispendio economico.Brunelleschi opta per una modalità di realizzazione a corsi autoportanti con la realizzazione di anelli successivi che una volta chiusi risultavano autoportanti, probabilmente anche osservando come le cupole romane come quella del Pantheon pur non essendo chiusa in sommità risultava stabile.

30°

La realizzazione senza centina era possibile fino ad inclinazioni di 30 ° rispetto all’orizzontale . Al di sopra probabilmente vennero utilizzate tecniche di apparecchiatura per migliorare l’ingranamento e ridurre l’incidenza dello scivolamento dei corsi di laterizio.

Tecniche di apparecchiatura simili a quelle usate sono state ritrovate in Persia, mettendo in luce una possibile influenza della tecnologia araba

La disposizione a «corda blanda» dei corsi di mattoni tra un meridiano e l’altro cioè secondo una linea concava e non rettilinea, contribuisce ad attenuare l’assenza di effetto cerchiante derivante dalla forma ottagona anziché circolare

La corda blanda definisce di fatto una configurazione circolare più idonea a generare un effetto cerchiante

Le problematiche derivanti dalla scelta della pianta ottagonale e pertanto di ricorrere ad un poligono anziché un cerchio , sono mitigate dal ricorso a catene in pietra o di macigno

L’articolazione a graticcio delle nervature definisce in pianta una geometria che corrisponde a quella di una piattabanda.L’accrescimento per serie di piattabande successive, generate dall’apparecchiatura a corda blanda, necessita di provvedimenti come le catene di macigno e la catena di castagno

Rappresentazione delle biffe per il controllo delle fessurazioni della cupola

Fessurazioni derivanti da probabili cedimenti fondazionali e anche legati al funzionamento assimilabile a quello di una piattabanda orizzontale.

La cupola di S. Pietro a Roma

Modello ligneo del progetto di Michelangelo La cupola realizzata dal Della

Porta

Il progetto di Michelangelo per la cupola

Giovanni Poleni, Historia della gran cupola del tempio Vaticano, pianta, 1748 .

La grande cupola vaticana ha una struttura ogivale a doppia calotta ed irrigidita da sedici grandi costoloni.

Lo spessore della calotta interna èpari a 2.00 ml mentre quello della calotta esterna è di circa 1.00 ml. Lo spessore dei costoloni, disposti tra le due calotte, è variabile e varia da 2.00 ml. verso la base a circa 5.00 ml. in chiave.Il tamburo è costituito da una paretecilindrica, dello spessore di ml. 3.00 edil cui raggio interno è di 21.42 ml, irrigidita da sedici contrafforti.

Lesioni rilevate da Vanvitelli lungo i meridiani che trasformano il guscio in una serie di archi spingenti. Anche due delle catene metalliche inserite nella fase di realizzazione da lDella Porta risultano danneggiate e interrotte

Conclusa nel 1592 si sviluppa immediatamente un sistema di plessi fessurativi esteso e in continua progressione.Nel 1742 papa Benedetto XIV decise di verificare la stabilità della cupola e di definire un possibile modo per rinforzarla.Chiese anzitutto a tre famosiscienziati, T. Le Seur, F. Jacquier, dell’Ordine dei Minimi, e R.G. Boscovich, gesuita, noti a noi come “i tre Mattematici”, di scrivere un rapporto sullo stato della cupola. Pur divergendo sui metodi di indagine i tre matematici esprimono forti riserve sulla stabilitàIn questa controversia, Benedetto XIV decise di consultare un brillante studioso italiano, Giovanni Poleni.

Nel 1743, dopo aver ricevutol’invito da Benedetto XIV, espresse alpapa il suo convincimento che la situazione fosse molto meno pericolosa rispetto a quella prospettata dai tre Matematici.Scrisse così nel 1743 un manoscrittonel quale spiegò l’origine dellelesioni ed il modo di accrescere la sicurezza della cupola. In collaborazione con Luigi Vanvitelli, all’epoca architetto della fabbrica di S. Pietro, diresse i lavori diconsolidamento della cupola. Preparò poile Memorie , pubblicate nel 1748, dove,confutando le tesi dei tre Matematici,esprimeva un giudizio più rassicurantesull’assetto statico della cupola e suimodo di restaurarla.

Fessurazione dei contrafforti a dx e delle neravture di collegamento tra le calotte sopra

Il procedimento seguito da Poleniconsistette nel determinare anzitutto laconfigurazione di equilibrio di un filo sottoposto a carichi proporzionali ai pesi dei vari conci in cui aveva suddiviso lo spicchio di cupola, ottenuto questo dividendo in cinquanta parti l’intero angolo giro.La lunghezza del filo era stata fissatain modo che le sue estremità passassero,da un lato, per il baricentro dellasezione di imposta dello spicchio e il trattocentrale per il baricentro dell’anello terminale di chiave, in corrispondenza dell’innesto della cupola nel cupolino. Rovesciando la curva di equilibrio del filo così determinata, Poleni verificò che la suddetta curva era tutta contenuta all’internodello spicchio (Fig.7). La curvadelle pressioni nella cupola, pur passandoin chiave ed all’imposta per ilbaricentro delle relative sezioni dellospicchio, si discostava però notevolmentedall’asse della cupola. In definitivaquesta avrebbe dovuto avere una sagomaancora di più ogivale. Ciononostante,l’equilibrio all’interno della cupola, chepoteva sussistere in presenza di solesollecitazioni di compressione, era ammissibile.

I lavori di consolidamento statico consistetteronell’esecuzione di una fitta rete di sarciture e di ripresa di muratura, eseguitecon la tecnica del “scuci e cuci”. Vennero inoltre disposte e messein forza intorno alla cupola, con un sistemacurato dallo stesso Vanvitelli e susua particolare insistenza, cinque cerchiature in ferro fucinato. Un sesto cerchione venne poi disposto nel 1748, dopo che Vanvitelli, durante i lavori di consolidamento, aveva riscontrato che uno dei due vecchi cerchioni di ferro, dispostinella cupola all’atto della sua costruzione,era risultato spezzato.

Dal punto di vista strutturale la cupola è "armata" da un gran numero di elementi metallici, predisposti a integrare la resistenza della muratura e ad assicurare l'aderenza dei blocchi. Le catene di ferro, collocate alle varie quote e disposte in concomitanza con le catene o le legature di travertino, assicurano il contenimento della parte più bassa della cupola, soggetta a una maggiore spinta, e di quella più alta, interessata dal peso della poderosa lanterna. Le esatte informazioni sulla struttura metallica che determina la resistenza statica della

cupola sono individuabili nei Libri del Fattore. Una raccolta di manoscritti, dal 1588 al 1593, catalogati per la prima volta negli anni Trenta e che riguardano la fornitura dei materiali al cantiere, riportandone anche i pesi delle singole parti. Poiché nell'Archivio della Fabbrica di San Pietro sono catalogati come Libri di Ricordi, forse è questo il motivo per cui nessuno ha avuto prima l'opportunità di studiare e confrontare tutte le notizie relative al cantiere. Si era infatti a conoscenza di due cerchiature di ferro e si ipotizzava l'esistenza di una terza, ma le indagini di Marta Carusi hanno individuato una struttura metallica complessa: 7 cerchi, 64 barre trasversali di collegamento tra le due calotte, 32 catene nella calotta interna, 16 catene nei costoloni, 16 paletti nella zona inferiore dell'occhio della cupola. Nascosti nella muratura, questi materiali non furono piùindividuabili e se ne perse la memoria

Una muratura armata