Teoria dello sviluppo dei processi chimici1 Guido Buzzi-Ferraris .

Teoria dello sviluppo dei processi chimici 1Guido Buzzi-Ferraris

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Elementi di statistica

A questo mondo non c’è niente di certo, a parte la morte e le tasse

BENJAMIN FRANKLIN

Questo vale nel resto del mondo. In Italia non vi è certezza neppure per le tasse.

FLINKS


Compito della statistica è quello di collezionare, analizzare, interpretare dati estratti da una popolazione più vasta.

Alla base di tutte queste attività gioca un ruolo fondamentale la teoria del calcolo delle probabilità.

Un buon libro o un buon corso di statistica dovrebbe perciò iniziare con questa teoria e soffermarsi a lungo su di essa.

Misteriosamente però quasi sempre gli autori di libri sulla statistica glissano su questo punto.


Il motivo è molto semplice: la teoria del calcolo delle probabilità è un terreno minato.

Ci sono almeno tre motivi che giustificano questa affermazione.

1. Quando si parla di probabilità è facile, anzi facilissimo, commettere qualche errore o rimanere perplessi di fronte ad evidenti paradossi.

2. Non è per niente facile definire il concetto di probabilità.

3. Il concetto di probabilità è legato ad alcuni tra i più difficili problemi filosofici che hanno dato filo da torcere a grandi pensatori di tutti i tempi.


Per questi motivi ero tentato anch’io di glissare su questo tema dando per scontato che tutti avessero un’idea più o meno precisa di che cosa sia e di come si utilizzi la probabilità.

Sarebbe stato un comportamento fariseo, ma mi avrebbe risparmiato un sacco di rogne.

Con molta riluttanza ho invece deciso, non dico di affrontare e risolvere questi spinosi problemi, ma almeno di mettervi una pulce nell’orecchio.


Breve parentesi sull’argomento

Che cosa è una pulce nell’orecchio?


Anche i testi che trattano il calcolo delle probabilità tendono a glissare sugli ultimi due problemi, soffermandosi sulla eliminazione degli errori di calcolo e dei paradossi, cosa questa molto più facile.

Cominciamo anche noi analizzando alcuni dei paradossi e degli errori legati alla probabilità.


Un primo errore molto comune è il credere che un evento estremamente raro non possa essere anche importantissimo.

Questo errore nasce dall’apparente paradosso: come può un evento estremamente raro essere anche importante?

Il paradosso è solo apparente come dovrebbe risultare ovvio se ci si pensa sopra un poco. Per esempio è un evento abbastanza raro trovare la ragazza (o il ragazzo) dei propri sogni, ma nessuno negherà che esso sia un evento molto importante.

Se preferite un esempio a prima vista più serio preso dalla fisica: meno di un nucleo su dieci miliardi di nuclei di uranio 238 decade entro un’ora. Ugualmente tale evento ha un’enorme importanza sia in fisica nucleare che in cosmologia.


Diamogli un nome

Errore dell’Uranio 238

Credere che un evento estremamente raro non possa essere anche molto importante.


Questo errore è la causa principale di un altro errore: credere di poter sempre trascurare un evento estremamente raro appunto perché è raro.

Se l’evento pur essendo raro ha anche conseguenze importanti non può essere trascurato.

Questo tipo di errore sta alla base della credenza che un sistema di vincita sicuro alla roulette sia di puntare una certa cifra sul rosso (o sul nero) e raddoppiare la puntata in caso di insuccesso o ricominciare da capo in caso di successo.


Bisogna ricordare che l’effetto di perdere una grande somma può essere catastrofico.

Questo errore è basato sulla falsa credenza che si possa ignorare un bassissimo rischio di perdere una grande somma.

Anche se la probabilità di avere una lunga sequenza di insuccessi è molto bassa la cifra che si deve puntare ad ogni nuovo insuccesso cresce molto rapidamente e fatalmente può arrivare oltre al limite personale o a quello imposto dal Casinò.


Diamogli un nome

Errore del giocatore della roulette

Credere di poter trascurare un evento molto improbabile anche quando l’evento ha delle conseguenze importanti.



Come cresce il valore di una funzione?


Si consideri per prima la sequenza data dalle cifre da puntare in caso di insuccesso.

yi+1 = 2yi y1 = 1.

i yi

1 1

2 2

3 4

4 8

5 16

6 32

7 64

8 128

9 256

10 512

11 1024

Se il valore iniziale è posto uguale a 1 la sequenza è la seguente:


Sequenza log(yi)

log(x2)

log(x!)

log(xx)

ex e la precedente sequenza tendono all’infinito più rapidamente di xn x! tende all’infinito più rapidamente di ex xx tende all’infinito ancora più rapidamente Il prof. Malgarini diceva che xx tende a Dio e forse ancora più su!


Un altro errore anch’esso assai comune è credere che sia praticamente impossibile perché paradossale trovare con estrema facilità un evento che sia estremamente raro.

Se lanciamo un milione di volte una moneta è estremamente raro ottenere una data sequenza di testa e croce. La probabilità è infatti (0.5)1000000.Ma se con santa pazienza lanciate un milione di volte la vostra moneta e prendete nota della sequenza avete ottenuto senza difficoltà uno di quegli eventi molto rari.Se volete posso farvi un esempio più personale. Secondo voi quale è la probabilità di avere dopo 100 generazioni una sequenza di maschi (se siete maschi) o di femmine (se siete femmine)?

Facendo qualche ipotesi semplificativa ragionevole non è difficile calcolare tale probabilità che è, come ovvio, estremamente bassa ed è perciò un evento molto raro.

Ebbene tutti voi siete un esempio di evento molto raro. Infatti se siete maschi avete avuto un padre, che a sua volta ha avuto un padre e così via fino al vostro antenato scimmione. Allo stesso modo se siete femmine avete avuto una madre eccetera.


Diamogli un nome

Errore della conservazione della stirpe

Credere che si sia praticamente impossibile trovare un esempio di un evento estremamente raro.


Una conseguenza immediata di questo errore è l’errore di chi crede che se un certo numero non è uscito su di una certa ruota del lotto per moltissime volte ha grandi probabilità di uscire.

Il ragionamento è molto semplice e convince molte persone

È estremamente raro che un dato numero non esca per molto tempo.

Perciò è molto probabile che prima o poi quel numero dovrà uscire se non è uscito da molto tempo.

Purtroppo per lui qualunque sia la sequenza di numeri già estratti essa non modifica la probabilità di uscita di un nuovo numero.


Diamogli un nome

Errore del giocatore del lotto

Credere che una sequenza di eventi già accaduti possa avere qualche influenza su di un evento casuale che deve ancora accadere.


Un altro errore in un certo senso opposto rispetto al precedente errore è quello di credere che si possano ricavare delle regole per calcolare le probabilità di un evento analizzando una sequenza limitata di eventi già accaduti.

Si supponga di avere ottenuto la seguente sequenza in 6 lanci di una moneta: TCTCTC.

Dalla sequenza si deduce che le teste si alternano alle croci, per cui il prossimo evento sarà T.

Anche in questo caso qualunque sia la sequenza di eventi già accaduti essa non modifica la probabilità di un nuovo evento.

Oppure dal fatto che un numero non è uscito da molto tempo su di una certa ruota si deduce che è probabile che quel numero non uscirà mai.


Diamogli un nome

Errore del post factum

Credere che si possa utilizzare una sequenza di eventi già accaduti per ricavare delle regole per calcolare le probabilità di un evento.


Il mistero dei treni scomparsi

Il professor Von Kraffen del Politecnico di Vienna desidera prendersi un periodo di riposo e si reca in un paesino sperduto in Arkansas, proprio a metà strada fra la costa orientale e quella occidentale degli Stati Uniti.

Dopo qualche giorno prende l’abitudine di recarsi alla stazione ferroviaria ad aspettare il primo treno proveniente da Est o da Ovest.

Con grande pazienza dovuta alla sua origine svizzera prende nota sul suo taccuino della provenienza del treno: se da Est o da Ovest.

Per rendere il gioco più interessante il Prof. Kraffen utilizza il suo calcolatore per estrarre in modo casuale l’ora in cui deve recarsi alla stazione.

Con sua grande sorpresa si accorge che il rapporto fra il numero di volte in cui il primo treno arriva da Est e il numero di volte in cui il primo treno arriva da Ovest è uguale a 2.

Come può succedere un fatto così misterioso? Si chiede il Prof. Von Kraffen.

(Gamow)


Pensa e ripensa finalmente il professor Von Kraffen arriva all’unica soluzione che gli sembra plausibile: gli americani ben noti consumisti distruggono un treno su due non appena arriva sulla costa Ovest ed utilizzano i rottami per costruire qualche altra cosa.Preso da sacro furore telefona immediatamente all’amico Flinks, noto professore dell’Università di Montalbano, e gli comunica sia il problema che la sua brillante soluzione.Dopo avere meditato un poco sul problema Flinks gli dice con tono divertito: caro Von Kraffen credo che esista una soluzione molto più semplice e logica.

Quale?

“Una possibilità” pensa Von Kraffen “è che carichino su di una nave un treno su due di quelli che arrivano sulla costa Ovest e lo facciano andare via Panama sulla costa Est. Ma gli Americani sono troppo affaristi per prendere una decisione così poco vantaggiosa”


Il mistero del tempo di attesa dell’autobus

Il problema dei treni scomparsi mi ha fatto venire in mente il seguente problema, continua Flinks, dopo aver fornito al professor Von Kraffen la soluzione.

Mi sai dire perché se l’azienda dei trasporti ti dice che un certo autobus passa da un certo posto in media ogni tot minuti il tuo tempo di attesa è in media superiore a quel valore?

Il Prof. Von Kraffen con la sua proverbiale grande pazienza controlla scrupolosamente quanto asserito da Flinks e dopo alcuni mesi ritelefona al collega dicendogli: avevi proprio ragione.

Ero convinto che fosse solo un problema italiano. Evidentemente anche la nostra azienda dei trasporti mente spudoratamente.

In che cosa consiste l’errore commesso dal Prof. Von Kraffen?


Diamogli un nome

Errore dei treni scomparsi

Sbagliare ad impostare il problema.


Il mistero dell’isola Beata

Dopo un anno di duro lavoro il professor Von Kraffen del Politecnico di Vienna desidera prendersi un altro periodo di riposo. Questa volta decide di recarsi sull’isola Beata. Quest’isola è stata scoperta solo da una ventina di anni pur essendo di dimensioni ragguardevoli.

L’isola al momento della scoperta era completamente deserta, ma ora, data la sua bellezza, è diventata rapidamente popolosa.

Dopo alcuni giorni di completa inattività sdraiato al sole tropicale il Prof Von Kraffen comincia ad annoiarsi e cerca di inventarsi un passatempo.

Ma non è facile trovare un passatempo a lui congeniale. Finalmente, leggendo il giornale locale, trova un problema che lo affascina.

Il giornale riporta i dati recenti del censimento degli abitanti dell’isola.

Adesso capisco perché chiamano Beata quest’isola pensa Von Kraffen.

Con tali dati il Prof. Von Kraffen calcola la vita media degli abitanti dell’isola e scopre non senza meraviglia che tale media è molto superiore a quella degli abitanti del Giappone da lui ritenuta la massima fra tutte le nazioni del mondo.


In che cosa consiste l’errore commesso dal Prof. Von Kraffen?

Molto soddisfatto della scoperta telefona all’amico Flinks e gli riporta i risultati ottenuti.

Dopo avere meditato un poco sul problema Flinks gli risponde allegramente: caro Von Kraffen hai preso di nuovo una cantonata.


La vita media di una popolazione è valida solo per una popolazione statica. L’isola invece è stata popolata solo recentemente.

Ogni persona, qualsiasi sia la sua età, ha automaticamente una durata di vita prevista più alta di quella media della popolazione dal momento che nel costruire la media sono comprese tutte le persone, anche quelle di età inferiore della persona considerata.


Diamogli un nome

Errore della vita media

Credere di poter applicare i risultati ottenuti su una popolazione considerata nel suo insieme ad un elemento che ha già vissuto in parte l’esperienza a cui si riferiscono tali risultati.


Il mistero dei guidatori migliori della media.

Se vi chiedessero: ti ritieni un guidatore migliore o peggiore della media, che cosa risponderesti?

Scommeto che quasi tutti rispondereste che vi ritenete migliori della media.

Nasce perciò un paradosso: come possono esserci più persone che guidano meglio della media?


N.Incidenti Frequenza

0 15

1 25

2 18

3 10

4 7

5 6

6 5

7 4

8 3

9 2

10 1

11 1

12 1

13 1

14 0

15 0

16 0

17 0

18 0

19 0

20 1

Si considerino i seguenti dati:

Media aritmetica = 3.15

Mediana = 2

La “media” degli incidenti può essere calcolata in diversi modi. I due criteri più usati sono la media aritmetica e la mediana. In questo esempio esse sono:


0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Valore atteso, = 3.15

15+25+18+10=68 7+6+5+4+3+2+5(1)=32

Media aritmetica

Mediana

Moda


Come vedremo la media aritmetica non è uno stimatore robusto e se la distribuzione non è simmetrica può fornire risultati fuorvianti.

Dal grafico precedente risulta che 68% delle persone guidano meglio della media, perciò è giusta l’idea che più della metà delle persone guidano meglio della media quando questa viene calcolata usando la media aritmetica.

Viceversa la mediana è uno stimatore molto robusto e in situazioni come questa risulta preferibile.

Purtroppo quando si parla di valori medi si è automaticamente portati a considerare la media aritmetica e ciò può prestarsi ad equivoci.


Se vi venisse detto: questa società ha 1000 azionisti che in media possiedono 100 azioni che cosa dovreste fare?

Per prima cosa dovreste chiedere come è calcolata la media. Poiché è molto probabile che la distribuzione non sia simmetrica non deve essere usata la media aritmetica per questo calcolo.

Se un azionista possiede 90000 azioni e il resto è diviso fra i restanti azionisti la media aritmetica è priva di senso


Inoltre la media comunque venga calcolata è un numero che condensa in un unico dato gli elementi di un vettore. Se non vengono contemporaneamente fornite anche un’informazione sulla variabilità degli elementi del vettore e sul numero di elementi su cui si basa la media essa è un valore privo di significato.

È intuitivo oltre che corretto avere più fiducia su un valor medio calcolato utilizzando molti dati

È intuitivo oltre che corretto avere più fiducia su un valor medio calcolato utilizzando dati poco dispersi attorno a quel valore rispetto a dati che coprano un range molto vasto


Diamogli un nome

Errori legati alla media

Usare la media aritmetica anche per distribuzioni non simmetriche e comunque non spiegare che cosa si intende per media

Non dare informazioni sul numero di elementi con cui si calcola la media e sulla variabilità dei dati utilizzati.


False correlazioni

Un tecnico della Bridgstone si presenta da Todt e gli comunica che le nuove gomme super soft sono formidabili e che a differenza delle altre migliorano continuamente man mano si consumano perché dibentano sempre più lisce. Non solo, ma si riesce abche a stabilire il miglioramento previsto

Todt fa fare a Schumaker una serie di giri e registra I tempi per verificare se quanto gli è stato riferito è vero


7.412000e+001

7.390600e+001

7.370400e+001

7.351400e+001

7.333600e+001

7.317000e+001

7.301600e+001

7.287400e+001

7.274400e+001

7.262600e+001

7.252000e+001

7.242600e+001

7.234400e+001

7.227400e+001

7.221600e+001

7.217000e+001

7.213600e+001

7.211400e+001

7.210400e+001

Tempi al giro

Il parametro relativo alle gomme passa da un valore iniziale 5 ad un valore finale 1.4

Il tecnico della Bridgstone con questi dati e grazie al portentoso programma di regressioni lineari BzzLinearRegression stabilisce la relazione:

Tempo = 72.37 -.4 * x + .15 * x2

Vedi caro Todt la precedente relazione ha un indice di determinazione mutipla 1. La correlazione è perfetta e come è facile constatare le prestazioni continuano a migliorare grazie al miglioramento delle gomme.

Perché Todt non è d’accordo?


Perché il tecnico ha dimenticato di aggiungere alla regressione la correlazione fra i tempi e la benzina nella vettura. La vettura si allegerisce continuamente. Percò il miglioramento delle prestazioni è dovuto al calo della benzina e non al consumo delle gomme.

Il peso della benzina va da un valore di 100 iniziali a 10 dopo i 19 giri. Inserendo anche tale peso, k, il modello corretto è:

Tempo = 71.52 + .02 * k + .15 * x2

Il contributo delle gomme è solo quello quadratico. Essendo il termine positivo si ha dapprima un miglioramento delle prestazioni seguito da un peggioramento.


Diamogli un nome

Errore delle false correlazioni

Credere che una variabile dipenda da una variabile mentre si trascura la vera variabile da cui essa dipende


Un altro errore da sottolineare è comunissimo e viene commesso inconsciamente dalla maggioranza di coloro che trattano problemi di statistica o di calcolo delle probabilità.

È quello di dare per scontato che il valore numerico di probabilità che compare in un’espressione probabilistica sia un dato certo.

La probabilità che il trattamento abbia un effetto positivo è del 95%

Ma quale è la probabilità che il valore numerico “95%” sia sbagliato?

Vedremo che questo tipo di errore ha delle notevoli ripercussioni in statistica perché modifica le reali caratteristiche dei tests statistici e delle inferenze che si possono fare usando tali tests.

Qui ci troviamo di fronte ad una difficoltà già incontrata quando vi ho parlato del problema di imparare a imparare.


Vi è però un problema.

Non sempre c’è qualcuno che sia in grado di chiarirvi qualche dubbio per esempio quando state studiando su di un libro.

Il problema può essere più sottile ed è questo problema che si presenta ora.Non sempre è possibile chiarire completamente i vostri dubbi in quel preciso momento.

Per imparare una nuova materia bisogna muoversi come su di una spirale passando e ripassando ciclicamente sugli stessi argomenti sempre più lentamente e sempre più a fondo.

In entrambi i casi vale la seguente regola numero due

Il modo migliore per partecipare attivamente ad una lezione è quello di fare domande.Potreste perciò a questo punto chiedermi: che cosa sono questi tests statistici e le inferenze che si possono trarre utilizzando tali tests.

DA: Imparare a imparare


Ritornando a questo tipo di errore si osservi che è sempre doveroso chiedersi:

Come è stato calcolato il valore numerico della probabilità che compare nell’espressione probabilistica?

Se non fai questa operazione hai una probabilità del 95% di morire entro 3 anni.

E poi si scopre che 95 è un numero ricavato estraendolo a caso da un’urna.

Una seconda domanda indispensabile in un caso come questo sarebbe:

Quale è la probabilità di vita che ho se faccio quell’operazione?

Risposta: purtroppo tutti i pazienti che l’hanno fatta sono morti sotto i ferri.


Qui di seguito vi presenterò un esempio emblematico di questo tipo di errore e dell’arroganza con cui certi statistici lo usano per trattare da ignoranti i comuni mortali.

Cominciamo con un piccolo “classico” del settore; cioè con il fenomeno che in inglese si chiama the framing of choices.

L’illusione di sapere di Massimo Piattelli Palmarini, Mondadori ed.

Si noti che il verbo to frame vuol dire sia incorniciare che dare una fregatura (una sòla, come dicono a Roma).

Un paese del Sud Est Asiatico è minacciato da una grave epidemia che mette in pericolo la vita di 600 persone.

DA

INIZIO DELLA CITAZIONE


Sono in fase di elaborazione due possibili tipi di interventi sanitari, rispettivamente designati con le lettere A e B.

Se si adotta il programma A, si salvano certamente 200 vite umane.

Se si adotta il programma B, c’è una probabilità di 1/3 di salvare 600 vite umane e una probabilità di 2/3 di non salvare alcuna vita umana.

Sapendo questo, quale dei due programmi vi sentireste di raccomandare?

Questo test è stato anche presentato, in forma leggermente diversa, a un altro campione di soggetti, in tutto simile al primo per distribuzione di sesso, età e cultura media.


Un paese del Sud Est Asiatico è minacciato da una grave epidemia che mette in pericolo la vita di 600 persone.

Sono in fase di elaborazione due possibili tipi di interventi sanitari, rispettivamente designati con le lettere C e D.

Se si adotta il programma C, moriranno certamente 400 persone.

Se si adotta il programma D, c’è una probabilità di 1/3 che nessuno muoia, e una probabilità di 2/3 che muoiano 600 persone.

Sapendo questo, quale dei due programmi vi sentireste di raccomandare?

La formulazione è ora la seguente:


Riflettete bene sulle 4 differenti possibili scelte

Se si adotta il programma A, si salvano certamente 200 vite umane.


Se si adotta il programma C, moriranno certamente 400 persone.


Ve le riporto per maggior chiarezza


La teoria della decisione razionale ci dimostra che dovremmo essere indifferenti non solo nella scelta tra A e B e in quella tra C e D, ma addirittura fra tutte e quattro queste eventualità.

Anche un minimo di riflessione pacata può bastare a convincervi che è davvero così.

FINE DELLA CITAZIONE

PROSEGUO CON LA CITAZIONE

Se non siete d’accordo NON siete razionali!


Le quattro alternative NON sono affatto equivalenti e dipendono dalle risposte che si possono dare alle seguenti domande.

Nel programma A si salvano certamente 200 vite umane. Quante se ne possono salvare oltre a queste 200 e con quale probabilità?Dire che se ne salvano certamente 200 NON è equivalente a dire che se ne salvano SOLO 200.

1

Quale certezza si può attribuire a quel certamente del programma A e quale certezza si può attribuire alle probabilità del programma B?

2

In statistica se si dice che una cosa è certa DOVREBBE voler dire che non si può verificare alcun caso contrario. Dire che una cosa ha una data probabilità significa anche che il valore numerico della probabilità NON è certo.


Analogamente se nel programma C moriranno certamente 400 vite umane, quante ne moriranno oltre a queste 400 e con quale probabilità?

Dire che ne muoiono certamente 400 NON è equivalente a dire che ne muoiono SOLO 400. Perciò dire che si salveranno certamente 200 persone NON è equivalente a dire che ne moriranno certamente 400.

3

Viene detto che le 600 persone sono minacciate da una grave epidemia. Quante di esse morirebbero senza alcun trattamento?

Se ne morissero meno di 400 dovremmo raccomandare di non effettuare alcun trattamento.

4



La LOGICA è logica?


Il prof. Piattelli Palmarini chiama in causa la teoria della decisione razionale.

Riflessioni di Flinks sulla teoria delle decisioni razionali

DA

Avrebbe invece dovuta chiamarla: teoria della decisione RAZIONALE.

Infatti nella sua discussione egli sta usando la LOGICA, non la logica.

Per capire la differenza basta prendere le due affermazioni B e D.




Solo per la logica formale, ossia per la LOGICA le due affermazioni sono equivalenti ossia hanno lo stesso significato.

Per la logica, esse non hanno stesso significato. Basta considerare il fatto che i due programmi sono differenti.

Un LOGICO potrebbe prendere una decisione analizzando la sola forma delle due espressioni.

Un logico no.

Un logico dovrebbe chiedersi: dato che i trattamenti sono diversi e diversa deve essere stata la sperimentazione per arrivare a quei valori numerici di probabilità quali sono le basi sperimentali nei due casi?Un logico non potrebbe fermarsi qui. Dovrebbe anche chiedersi: dato che i trattamenti sono diversi quali sono le ulteriori conseguenze dei due trattamenti? Se i 200 sopravvissuti del trattamento B diventano tutti ciechi o storpi ciò porterebbe ad una valutazione ben diversa.


Siate sempre critici nel considerare ciò che leggete o che vi viene insegnato. Anche le persone più esperte e preparate di voi possono sbagliare o dire sciocchezze.

Morale


Diamogli un nome

Errori del LOGICO

Credere che il valore numerico della probabilità che compare in un’espressione probabilistica sia un dato certo.

Credere che le proposizioni probabilistiche siano analizzabili come se fossero semplici proposizioni LOGICHE, basandosi soltanto sulla loro forma.Credere che una proposizione probabilistica possa essere analizzata di per sé, isolata dal contesto entro il quale è stata formulata.


Le critiche mosse ai LOGICI non ci autorizzano a ragionare in modo non LOGICO quando è necessario usare la LOGICA.

Anche questo esempio è preso dal libro l’illusione di sapere.

Luigi ha 34 anni. È intelligente, ma ha poca fantasia, è abitudinario, metodico e non molto attivo. A scuola era bravo in matematica, ma debole nelle materie umanistiche e nelle scienze sociali.

Basandovi su queste informazioni ordinate in ordine decrescente di probabilità la seguente lista di mestieri e hobby di Luigi:

1. Luigi fa il medico e gioca a poker per hobby.2. Luigi fa l’architetto.

3. Luigi fa il contabile.

4. Luigi suona per hobby il jazz.

5. Luigi ha l’hobby del surf.

6. Luigi fa il giornalista.

7. Luigi fa il contabile e ha l’hobby del jazz.8. Luigi ha l’hobby dell’alpinismo.


Se avete posizionato la voce 7 (contabile e amante del jazz) prima della voce 3 (contabile) o della voce 4 (amante del jazz) siete caduti nella trappola.

La LOGICA ci insegna che P(A e B) è sempre minore o uguale sia di P(A) che di P(B).

In questo caso avreste però avuto il diritto di rifiutarvi di dare una risposta affermando che secondo voi non aveva senso parlare di probabilità di un evento singolo.

Ma se date una risposta siete obbligati a seguire le regole LOGICHE che stanno alla base del calcolo delle probabilità.

La probabilità che Luigi sia un contabile che ama il jazz deve essere inferiore alle due probabilità: Luigi è un contabile, Luigi ama il jazz.

Infatti Luigi può essere sia un contabile che non ami il jazz, che uno che ami il jazz, ma che non sia un contabile.


Diamogli un nome

Errore del NON LOGICO

Fare delle affermazioni probabilistiche che non seguano le regole matematiche del calcolo delle probabilità.


Vi è una sola situazione in cui il valore numerico della probabilità può assumere un valore certo: in meccanica quantistica.

Ma attenzione la probabilità della meccanica quantistica è qualcosa di profondamente diverso dalla probabilità utilizzata in statistica per almeno due motivi.

In statistica si ha a che fare con popolazioni di individui intrinsecamente diversi fra di loro. Nessun individuo potrà MAI essere considerato identico ad un altro.

In meccanica quantistica le particelle elementari, per esempio gli elettroni, i fotoni ecc. sono indistinguibili fra loro.Se non lo fossero non sarebbe possibile la fisica e la chimica.

1


In statistica la probabilità è legata alla nostra difficoltà di descrivere tutti i dettagli di un fenomeno.

2

In meccanica quantistica la probabilità è legata alla impossibilità di conoscere qualcosa.

Quando lanciamo in aria una moneta essa durante il vorticoso roteare mantiene da una parte la croce e dall’altra la testa.

Quando una particella si muove essa ha una posizione e una quantità di moto non conoscibili contemporaneamente.


Un’altra fonte di errore molto comune riguarda l’uso di probabilità di eventi singoli.

Un enunciato di questo genere è ambiguo e per molti pensatori addirittura scorretto.

La probabilità che domani piova in Lombardia è del 20%.

Vedremo che secondo alcune scuole di pensiero non è possibile fare affermazioni probabilistiche riguardanti un singolo evento.

Questo tipo di affermazioni sono accettate solo da coloro che usano la probabilità in modo soggettivo o come proprietà logica o come termine modale (vedi più avanti).


Un enunciato che esprime la probabilità di un evento singolo è comunque ambigua e chi la pronuncia dovrebbe specificare meglio ciò che intende dire.

Quale è il significato di: La probabilità che domani piova in Lombardia è del 20%?

Domani pioverà tutto il giorno sul 20% del territorio lombardo?

Domani pioverà su tutta la Lombardia per il 20% del tempo?

È piovuto nel 20% dei giorni simili a quello che si prevede sarà domani?

Per molti statistici l’interpretazione corretta dovrebbe essere l’ultima, ma non sempre nell’esprimere la probabilità di un evento singolo si può dare un’analoga interpretazione, perché può mancare la base sperimentale di riferimento.

Il valore 0.2 esprime la fiducia del meteorologo sul fatto che domani pioverà?

Il valore 0.2 esprime la probabilità che ha la proposizione “domani pioverà” di essere vera?


La probabilità che l’intervento abbia successo è dell’80%.

È la prima volta che viene effettuato un simile intervento.

Su che basi viene calcolato il valore 80%?


Diamogli un nome

Errore dell’evento singolo

Lasciare nell’ambiguità il significato che si vuole dare all’asserzione riguardante la probabilità di un evento singolo.


Un altro errore è quello di confondere le probabilità o i rischi assoluti con quelli relativi.

Questa medicina riduce il rischio di morte del 22%.

Che cosa significa 22%?

L’interpretazione corretta dovrebbe essere: su 100 persone malate e trattate con il farmaco x + 22 si salvano, mentre su 100 persone malate e non trattate con il farmaco se ne salvano solo x.

Questa è la riduzione del rischio assoluto.


I dati a disposizione della casa farmaceutica che reclamizza quel farmaco sono invece i seguenti:

Su 1000 persone malate e trattate con il farmaco ne sono morte 32

Su 1000 persone malate e non trattate con il farmaco ne sono morte 41

Perciò la riduzione del rischio assoluto è 9 persone su 1000 persone trattate: 0.9%

Viceversa il valore 22% è la riduzione del rischio relativo ottenuto dividendo 9 per il numero di persone che muoiono senza il trattamento, 41.


Diamogli un nome

Errore del falso beneficio

Esprimere i risultati di un’indagine statistica come riduzioni di rischio relativo invece che assoluto lasciando nell’ambiguità le affermazioni probabilistiche.


Un ulteriore errore da sottolineare è anche quello che riceve maggiore attenzione sui libri di statistica.

È di sbagliare a calcolare una probabilità condizionata.

Si deve a Bayes l’aver chiarito dal punto di vista matematico come si deve operare per calcolare una probabilità condizionata ossia la probabilità che si verifichi un evento A sotto la condizione che si sia già realizzato un altro evento B.


Se il pezzo è difettoso (o se si ha quella malattia) il test appropriato rileva il difetto (o la malattia) nel 95% dei casi.

Il test ha però anche una probabilità del 10% di risultare positivo quando il pezzo non è difettoso (o se non si ha la malattia).

Si ha una probabilità dello 1% di avere un pezzo difettoso (o una certa malattia).

Supponendo che il test risulti positivo quale è la probabilità che il pezzo sia difettoso (o che il paziente abbia quella tal malattia)?

Provate a indovinare l’ordine di grandezza di questa probabilità:

1. Meno di 10%

2. Tra 10% e 50%

3. Tra 50% e 90%

4. Più di 90%


10000 pezzi (o persone)

Totale test positivo: 95 + 990 = 1085

Test positivo e difettoso (malato)

Test positivo e non difettoso (sano)

Test negativo e non difettoso (sano)

Test negativo e difettoso (malato)

Probabilità che il pezzo sia difettoso (malato) se il test è positivo: %8.81085

95

10000*1% = 100 difettosi (malati) 9900 non difettosi (sani)

595 990 891095% 10%


P(A) = Probabilità che verifichi A

P(B|A) = Probabilità che si verifichi B quando si è verificato A P(B|nonA) = Probabilità che si verifichi B quando non si è verificato A

Bisogna saper distinguere fra le seguenti probabilità:

P(B) = Probabilità che verifichi B

P(A|B) = Probabilità che si verifichi A quando si è verificato B P(A|nonB) = Probabilità che si verifichi A quando non si è verificato BP(A e B) = Probabilità che si verifichi sia A che B

P(A o B) = Probabilità che si verifichi o A oppure B

P(nonA e B) = Probabilità che non si verifichi A e si verifichi BP(A e nonB) = Probabilità che si verifichi A e non si verifichi BP(nonA e nonB) = Probabilità che non si verifichi né A né B

P(nonA o B) = Probabilità che non si verifichi A oppure si verifichi BP(A o nonB) = Probabilità che si verifichi A oppure non si verifichi BP(nonA o nonB) = Probabilità che non si verifichi A oppure non si verifichi B


Teorema di Bayes

( | ) ( )( | )

( | ) ( ) ( | ) ( )

P B A P AP A B

P B A P A P B nonA P nonA



P(A e B) = Probabilità che si verifichi sia A che BP(A e B) = P(A) P(B|A)

P(B|A) = Probabilità che si verifichi B quando si è verificato A

P(nonA) = Probabilità che non si verifichi A = 1 – P(A)

P(nonA e B) = Probabilità che non si verifichi A e che si verifichi BP(nonA e B) = P(nonA) P(B|nonA)

P(B|nonA) = Probabilità che si verifichi B quando non si è verificato A

P(B) = Probabilità che verifichi B = P(A e B) + P(nonA e B)

P(A e B) = P(B) P(A|B) P(A|B) = P(A e B) / P(B)

P(A|B) = Probabilità che si verifichi A quando si è verificato B

0.01

0.95

0.0095

0.99

0.10

0.099

0.1085

0.0876

0.0095 / 0.1085

Evento A: pezzo difettoso (o persona malata) Evento B: test positivo


ATTENZIONE. È sempre un errore fermarsi a calcolare la probabilità condizionata: probabilità che dato l’evento B si verifichi l’evento A.

Nel caso in cui l’evento B è un test questa probabilità viene chiamata sensibilità del test.

È necessario anche calcolare:

La probabilità condizionata: probabilità che dato l’evento B non si verifichi l’evento A. Falsi positivi.

La probabilità condizionata: probabilità che quando non si presenta l’evento B si verifichi l’evento A. Falsi negativi.

La probabilità condizionata: probabilità che quando non si presenta l’evento B non si verifichi l’evento A. Specificità del test.


10000

Test positivo e difettoso (malato)

Test positivo e non difettoso (sano)

Test negativo e non difettoso (sano)

Test negativo e difettoso (malato)

Probabilità che il pezzo sia difettoso (malato) se il test è positivo: %8.81085

95

10000*1% = 100 difettosi (malati) 9900 non difettosi (sani)

595 990 891095% 10%

Probabilità che il pezzo sia difettoso (malato) se il test è negativo: %06.08915

5

Probabilità che il pezzo non sia difettoso (sia sano) se il test è positivo: %2.911085

990

Probabilità che il pezzo non sia difettoso (sia sano) se il test è negativo %94.998915

8910


Diamogli un nome

Errori delle probabilità condizionate

Confondere la probabilità condizionata che dato l’evento B si verifichi l’evento A con la probabilità condizionata che dato l’evento A si verifichi l’evento B.

Confondere la probabilità condizionata che dato l’evento B si verifichi l’evento A con la probabilità che si verifichi sia A che B.

NON bisogna confondere le due proposizioni: se un pezzo è difettoso, la probabilità che il test sia positivo è del 90% con: se il test è positivo, la probabilità che il pezzo sia difettoso è del 90%.

NON bisogna confondere le due proposizioni: se un pezzo è difettoso, la probabilità che il test sia positivo è del 90% con: la probabilità che il pezzo sia difettoso e che il test sia positivo è del 90%.


Calcolare solo una delle quattro probabilità condizionate.

Bisogna sempre calcolare tutte le quattro probabilità condizionate.

Probabilità che dato l’evento B si verifichi l’evento A. Sensibilità.

Probabilità che dato l’evento B non si verifichi l’evento A. Falsi positivi.

Probabilità che quando non si presenta l’evento B si verifichi l’evento A. Falsi negativi.

Probabilità che quando non si presenta l’evento B non si verifichi l’evento A. Specificità del test.


Un altro errore facile da commettere è quello di dimenticarsi di usare tutti i dati rilevanti.


P(B|A) = Probabilità che si verifichi B quando si è verificato A P(B|nonA) = Probabilità che si verifichi B quando non si è verificato A

Per esempio per poter calcolare una probabilità condizionata sono necessari tre dati.

Spesso, ma non necessariamente essi sono i seguenti.

Si ha una probabilità del 99% che un certo test rilevi una data malattia nel caso che il paziente sia malato.

Se il test è positivo quale è la probabilità che il paziente sia malato?

Per poter rispondere mancano due altre informazioni.


Talvolta si ha un dato importante che è sottinteso e passa inosservato.

Per esempio se si chiede se una certa persona con certe caratteristiche ha maggiori probabilità di fare un certo mestiere piuttosto che un altro un dato importante è: quale è la percentuale di persone che fanno l’uno o l’altro mestiere?

Tizio è una persona molto pignola, è miope e ama la lettura. È più probabile che sia un contadino o un commesso di banca?

Tizio vive in un paesino di campagna e la banca più vicina è a 200 km.


Diamogli un nome

Errore dei dati mancanti o trascurati

Non rendersi conto che mancano o non vengono utilizzate tutte le informazioni.


Con un po’ di attenzione e di pratica è abbastanza facile evitare sia di commettere errori di calcolo che di trascurare dati importanti.

Nella foga di evitare questo tipo di errori bisogna però ricordarsi sempre di non incorrere nei precedenti errori del LOGICO.

In particolare può essere MOLTO difficile attribuire un valore ragionevolmente corretto alle probabilità date come note.

Inoltre in questo caso va preso in considerazione un altro tipo di errore che può risultare disastroso per i risultati ottenuti.


Si consideri il problema del test sui malati in cui si era detto che solo l’uno percento della popolazione aveva quella malattia.

A quale popolazione ci si riferisce parlando di quella probabilità?

Alla popolazione mondiale, a quella della nazione di appartenenza dell’individuo considerato oppure a quella dell’ospedale in cui è ricoverato oppure….

È fondamentale che l’individuo su cui si esegue il test appartenga alla popolazione considerata e che quella popolazione sia la più ristretta possibile


Diamogli un nome

Errore nella scelta della popolazione di riferimento

Non rendersi conto che le probabilità necessarie per utilizzare il teorema di Bayes e quindi le probabilità condizionate calcolate sono molto influenzate dalla scelta della popolazione usata come riferimento


Le probabilità condizionate hanno numerosissime applicazioni.

Abbiamo già visto il caso in cui l’evento B è un test.

È anche importante il caso in cui l’evento B è una nuova informazione che permette di modificare la probabilità dell’evento A.

Vi è un testimone che afferma che il colpevole era biondo.

In quel paese la probabilità di essere biondo è del 20%.

Tizio è colpevole con una probabilità del 70%.

Dal momento che Tizio è biondo quale è ora la probabilità che Tizio sia colpevole?


100

Tizio colpevole e biondo

Tizio non colpevole e biondo

Tizio non colpevole e non biondo

Tizio colpevole e non biondo

Probabilità che Tizio sia colpevole se è biondo: %1.9276

70

70 Tizio colpevole 30 non colpevole

070 6 24100% 20%

Probabilità che Tizio sia colpevole se non è biondo: .%024

0

Probabilità che Tizio sia non colpevole se è biondo: %9.776

6

Probabilità che Tizio sia non colpevole se non biondo %10024

24

Evento A: Tizio colpevole Evento B: biondo


Il teorema di Bayes è facilmente estendibile a casi con più di due possibili alternative

Si consideri il seguente problema: Arturo, Bernardo e Carlo siano i tre vincitori di uno speciale concorso. Essi sanno che il vincitore verrà estratto a sorte fra di loro. Il conduttore del gioco li avvisa che il fortunato è stato estratto. Arturo chiede allora al conduttore: mi puoi dire quale fra Bernardo e Carlo NON è il vincitore? Il conduttore indica Bernardo. Quali sono le probabilità di Arturo e di Carlo di essere il vincitore?

Evento A: Arturo è il vincitore del gioco

Evento B: Bernardo viene indicato come non vincitore

P(A|B) = Probabilità che A vinca quando si sa che B non è il vincitore

P(B|A) = Probabilità che B venga indicato se A è il vincitore = 1/2

P(B|B) = Probabilità che B venga indicato se B è il vincitore = 0

P(B|C) = Probabilità che B venga indicato se C è il vincitore = 1


P(A) = P(B) = P(C) = Probabilità di vincere per i tre concorrenti prima dell’estrazione = 1/3

( | ) ( )( | )

( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )

P B A P AP A B

P B A P A P B B P B P B C P C

1 112 3( | )

1 1 1 1 30 12 3 3 3

P A B

Perciò la probabilità P(A|B) = Probabilità che Alberto vinca quando si sa che B non è il vincitore rimane uguale alla sua precedente probabilità


P(C|B) = Probabilità che Carlo vinca quando si sa che Bernardo non è il vincitore

Calcoliamo invece la nuova probabilità per Carlo.

( | ) ( )( | )

( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )

P B C P CP C B

P B A P A P B B P B P B C P C

11 23( | )

1 1 1 1 30 12 3 3 3

P C B

Perciò la probabilità P(C|B) = Probabilità che Carlo vinca quando si sa che B non è il vincitore cambia e diventa 2 volte maggiore di quella iniziale


Vediamo ora un esempio con dadi speciali.

Quale è la probabilità di vincita di X se gioca contro Y?

Si abbiano due dadi. Sul dado X ci sono due dieci e quattro due. Sul dado Y ci sono due uno e quattro cinque.

P(A) = Probabilità(esca un 10 nel dado X) = 2/6

P(B|A) = Probabilità(X vinca quando è uscito 10) = 1P(B|nonA) = Probabilità(X vinca quando non è uscito 10, ma 2) = 2/6

P(A e B) = P(A) P(B|A) = 2/6 = probabilità che esca 10 e X vinca

P(nonA) = probabilità(non esca 10 nel dado X, ma 2) = 1 – P(A) = 4/6

P(B) = Probabilità che X vinca = P(A e B) + P(nonA e B) = 2/6 + 2/9 = 5/9

P(nonA e B) = P(nonA) P(B|nonA) = 4/6 2/6 = 2/9 = probabilità che non esca 10 e X vinca

Il dado X ha perciò maggiori probabilità di vincere contro Y

Evento A: Esce un 10 con il dado X Evento B: X vince


Il mistero dei dadi magici

Flinks: Pronto? Parlo con il professor Von Kraffen del Politecnico di Vienna? Come stai? Avrei un problemino da proporti che penso possa interessarti.

Von Kraffen: Caro Flinks è sempre un piacere sentirti. Dimmi pure.

Flinks: Supponi di avere tre dadi X, Y, Z e di sapere che se giochi con il dado X contro il dado Y hai una probabilità di vittoria maggiore del 50%, mentre se giochi con il dado Y contro il dado Z hai una probabilità di vittoria maggiore del 50%. Se tu potessi scegliere quale dado sceglieresti? X, Y o Z?

Von Kraffen: Questo è pane per i miei denti. Non per niente vengo dalla famosa scuola dei positivisti logici.

Come i miei illustri colleghi mi hanno insegnato bisogna non lasciarsi ingannare dal significato dei termini contenuti in una proposizione, ma bisogna analizzarne la forma logica.

Per esempio se si considera una legge fisica come: “tutti i corvi sono neri” non bisogna lasciarsi influenzare dal significato dei singoli termini, corvo, nero eccetera, ma analizzarne semplicemente la forma.


La tua proposizione può essere posta nella seguente formulazione generale.

Se X > Y e Y > Z allora X ? Z

Mi sembra ovvio che la conclusione non possa che essere X > Z

È facile trovare un gran numero di esempi che confermino questa affermazione.

Per esempio se X è più pesante di Y e Y è più pesante di Z allora X non può che essere più pesante di Z.

Se hai pazienza potrei fornirti quanti esempi vuoi che confermano la verità della mia asserzione.

Flinks: Sapevo che mi avresti risposto in questo modo. A proposito di corvi. Lo sai che a Montalbano non ci sono più corvi? Il fatto è che una certa mattina il professore di fisica della nostra università li ha sterminati tutti perché, ha poi detto, era stufo di sentire paragonare una legge fisica all’enunciato “Tutti i corvi sono neri”.Comunque stai commettendo lo stesso errore dei tuoi illustri colleghi positivisti LOGICI. Quello di credere che sia necessaria la LOGICA anche quando si analizza una proposizione non matematica.

Perciò sceglierei senza esitazioni il dado X perché è sicuramente quello che alla lunga vincerà sia sul dado Y che sul dado Z.


Flinks: In questi casi qualunque sia l’enunciato che si vuole analizzare non si può prescindere dal significato dei termini che vi compaiono. Non si può cioè usare la LOGICA formale, ma serve più semplicemente la logica.

Conosci il gioco della morra cinese? Se X è la mano aperta (foglio di carta) e Y è il pugno (sasso) X vince contro Y. Ossia X > Y. Se Z sono le due dita indice e medio (forbice) Y vince su Z. Ossia Y > Z. Ma la forbice vince sulla carta. Ossia Z > X.Von Kraffen: Ma questo è un gioco le cui regole sono fatte in modo da contravvenire alla logica!

Flinks: Allora considera il seguente problema: tre ciclisti desiderano verificare chi di loro è il migliore.

A questo scopo decidono di fare tre gare. Se nelle tre gare X arriva più volte prima di Y, X è migliore di Y. Lo stesso dicasi per il confronto fra X e Z e fra Y e Z.Se il risultato delle tre gare è (X, Y, Z), (Z, X, Y), (Y, Z, X) X risulta migliore di Y perché arriva davanti a lui 2 volte, Y risulta migliore di Z perché arriva davanti a lui 2 volte e anche Z risulta migliore di X perché arriva davanti a lui 2 volte.

Von Kraffen: Debbo concederti che quando non si riesce a quantificare il significato di migliore non vale la mia deduzione. Ma nel caso che mi hai posto interviene la probabilità e perciò bisogna quantificare il concetto di vincente e in quel caso deve essere vera la mia asserzione!


Flinks: Non basta quantificare tale concetto! La quantificazione deve godere anche della proprietà di essere ordinabile. Non è detto che la tua asserzione sia vera in caso contrario.

Abbiamo visto che se sul dado X ci sono due dieci e quattro due e sul dado Y ci sono due uno e quattro cinque la probabilità che X vinca contro Y è uguale a 5/9 ossia è più probabile che X vinca.

Supponi che il terzo dado Z abbia tre su tutte le sei facce.

Y vince contro Z (che ha tutte le facce con 3) quando esce 5 e perde quando esce 1. Poiché su Y ci sono quattro 5 la probabilità che Y vinca contro Z è 4/6 ossia è più probabile che Y vinca contro Z.

D’altra parte X vince contro Z (che ha tutte le facce con 3) quando esce 10 e perde quando esce 2. Poiché X ha 2 soli 10 la probabilità che X vinca contro Z è 2/6 ossia è più probabile che Z vinca contro X e quindi anche in questo caso la tua asserzione non vale.

Perciò ci ritroviamo come nel caso della morra cinese: X vince contro Y, Y vince contro Z e Z vince contro X.


Diamogli un nome

Errore della morra cinese

Credere che se X vince contro Y e se Y vince contro Z sicuramente X deve vincere contro Z.


Una importante applicazione della probabilità condizionata si ha nell’approccio Bayesiano della ricerca del miglior modello scelto fra alcuni modelli alternativi.

Si supponga di avere a disposizione un certo numero di modelli alternativi, ognuno con una data probabilità, pi, di essere il modello corretto.

Viene eseguita una prova sperimentale. Ogni modello ha una certa probabilità calcolabile di riuscire ad adattarsi alla prova sperimentale.

Con un procedimento analogo a quello appena visto è possibile calcolare le nuova probabilità di ogni modello di essere quello corretto.


ATTENZIONE!!!

Siamo entrati in un campo minato

Per poter accettare questo procedimento si deve anche accettare che sia possibile e ragionevole dare un valore di probabilità alla correttezza di un modello.

Questo è uno dei tanti problemi di filosofia della scienza in cui il significato della probabilità gioca un ruolo fondamentale.

Esistono due fazioni: secondo la prima è possibile e ragionevole dare un valore di probabilità ad un modello o più in generale ad un’ipotesi o ad una legge scientifica. Secondo la seconda no.


Alla prima categoria appartengono gli statistici che danno un’interpretazione soggettiva al significato della probabilità e alcuni positivisti LOGICI.

Alla seconda categoria appartengono coloro che ritengono sia assurda un’affermazione del tipo: la teoria della relatività è VERA con probabilità del 99% o che rifiutano la filosofia dei positivisti LOGICI che cercano di creare una LOGICA induttiva.

A sostegno del rifiuto di poter dare una probabilità ad un modello, ad un’ipotesi o ad una legge essi affermano: dal momento che esistono infinite alternative che spiegano altrettanto bene l’evidenza sperimentale ognuna di esse ha sempre una probabilità uguale a zero.


Diamogli un nome

Errori dei LOGICI Bayesiani

Credere che sia possibile utilizzare il teorema di Bayes in ogni situazione in cui si susseguano informazioni. Se la probabilità iniziale P(A) non è calcolabile o se è zero il teorema di Bayes non può essere usato

In particolare credere che sia possibile modificare la probabilità che un modello o un’ipotesi o una legge siano veri accumulando prove pro o contro di essi.


Quesito

Ditemi se la probabilità che almeno uno dei tre amici sia ripassato dallo stesso punto e nella stessa ora in cui era passato il giorno prima durante la salita è alta o bassa.

Tre amici decidono di fare una gita escursionistica sul Grignone.

Partono da Pasturo alle 9 del mattino e camminando con ritmi diversi arrivano al rifugio Brioschi situato sulla cima del Grignone il primo alle 11.30, il secondo alle 13 e il terzo alle 14.30.

Siccome la giornata è splendida decidono di fermarsi a dormire al rifugio.

Il mattino seguente dopo aver goduto di una splendida alba e di una succulenta prima colazione ripartono alle 8 in punto dal rifugio Brioschi verso Pasturo ripercorrendo l’identico percorso che avevano tenuto nella salita.In discesa scendono chiacchierando allegramente e godendosi il panorama così che raggiungono Pasturo alle 11.30 precise.


Pensiero laterale!!

Se due persone una che sale e una che scende si incrociano su di un sentiero lo fanno nello stesso punto e nella stessa ora!

Pensiero laterale!!

Invece di pensare agli stessi tre amici che scendono il giorno dopo pensate ad altri tre tizi che scendono il giorno in cui i tre amici salivano.

Dal momento che per tutti e tre gli orari si intersecano tutti e tre passano dallo stesso punto alla stessa ora anche se in punti e in orari diversi fra loro.


8 9 11.30 13 14.30

Teoria dello sviluppo dei processi chimici1 Guido Buzzi-Ferraris .

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