Teoria dei Numeri Analitica - DIMA · La distribuzione dei numeri primi 90(x) ˇ(x) S. Bettin...

Teoria dei Numeri Analitica

Sandro Bettin

Universita degli Studi di Genova

Genova, 19 Giugno 2016

S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica

Qualche domanda di teoria dei numeri analitica

Ci sono infiniti primi congrui a 1 (mod 7)?

Dirichlet 1837

Quanti numeri primi ≤ x ci sono asintoticamente?

Esistono soluzioni intere di an + bn = cn con n ≥ 3 eabc 6= 0?

Wiles 1994 (teoria dei numeri algebrica)

Esistono progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe dinumeri primi?

Green & Tao 2004

E vero che ogni numero pari si puo scrivere come somma didue numeri primi? E che ogni numero dispari si puo scriverecome somma di 3 numeri primi?

Ci sono infiniti numeri primi gemelli?

E vero che una “meta” delle curve ellittiche ha rango 0 e“meta” rango 1?


Qualche domanda di teoria dei numeri analitica

Ci sono infiniti primi congrui a 1 (mod 7)? Dirichlet 1837

Quanti numeri primi ≤ x ci sono asintoticamente? Hadamard& de la Vallee-Poussin 1896

Esistono soluzioni intere di an + bn = cn con n ≥ 3 eabc 6= 0? Wiles 1994 (teoria dei numeri algebrica)

Esistono progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe dinumeri primi? Green & Tao 2004

E vero che ogni numero pari si puo scrivere come somma didue numeri primi? ??? E che ogni numero dispari si puoscrivere come somma di 3 numeri primi? Helfgott 2013+

Ci sono infiniti numeri primi gemelli? ??? (Zhang 2013,Maynard 2013, Maynard, Ford et al. 2014, Tao 2015)

E vero che una “meta” delle curve ellittiche ha rango 0 e“meta” rango 1? ??? (Bhargava et al. 2011-2016)


La funzione ζ

Tutto parte dall’identita di Eulero:

ζ(s) :=∞∑n=1

1

ns=

∏p primo

(1− 1

ps

)−1

, <(s) > 1

da cui, prendendo la derivata logaritimica di ambo i lati

−ζ′(s)

ζ(s)= −

∑p primo

log p

ps+ (termini “trascurabili”).


La funzione ζ


ζ(s) :=∞∑n=1

1

ns=

∏p primo

(1− 1

ps

)−1

, <(s) > 1


−ζ′(s)

ζ(s)= −

∑p primo

log p


Integrando∫ 2+i∞

2−i∞ (· · · )X s dss :

−∫ 2+i∞

2−i∞

ζ ′(s)

ζ(s)X s ds

s=

∑p≤X primo

log p + (termini “trascurabili”).


La funzione ζ


ζ(s) :=∞∑n=1

1

ns=

∏p primo

(1− 1

ps

)−1

, <(s) > 1


−ζ′(s)

ζ(s)= −

∑p primo

log p


Integrando∫ 2+i∞

2−i∞ (· · · )X s dss :

−∫ 2+i∞

2−i∞

ζ ′(s)

ζ(s)X s ds

s= logX

∑p≤X primo

1 + (termini “trascurabili”).


La funzione ζ

Questo ci porta a studiare la funzione ζ, e in particolare il suocontinuamento analitico e i suoi zeri e poli.


La funzione ζ

Questo ci porta a studiare la funzione ζ, e in particolare il suocontinuamento analitico e i suoi zeri e poli.Proprieta principali:

Continuita analitica

Prodotto di Eulero

ζ(s) =∏

p primo

(1− 1

ps

)−1

,

Equazione funzionale

χ( 12 + s)ζ( 1

2 + s) = χ( 12 − s)ζ( 1

2 − s),


La funzione ζ

Questo ci porta a studiare la funzione ζ, e in particolare il suocontinuamento analitico e i suoi zeri e poli.Proprieta principali:

Continuita analitica

Prodotto di Eulero

ζ(s) =∏

p primo

(1− 1

ps

)−1

,


χ( 12 + s)ζ( 1

2 + s) = χ( 12 − s)ζ( 1

2 − s),

Da queste proprieta segue il teorema dei numeri primi

π(x) =∑

p≤X primo

1 ∼ X

logX∼∫ x

2

dx

log(x)=: Li(x)


La distribuzione dei numeri primi



Piu precisamente:

π(x) ≈ Li(x)−∑

ρ zero di ζ(s)

Li(xρ),

In versione troncata, contando solo i primi k zeri:

Πk (x) := Li(x)−∑|ρ|≤|ρk |

Li(xρ)



Li(x)

π(x)



Π1(x)

π(x)



Π2(x)

π(x)



Π3(x)

π(x)



Π4(x)

π(x)



Π5(x)

π(x)



Π10(x)

π(x)



Π20(x)

π(x)



Π30(x)

π(x)



Π40(x)

π(x)



Π50(x)

π(x)



Π60(x)

π(x)



Π70(x)

π(x)



Π80(x)

π(x)



Π90(x)

π(x)



Π100(x)

π(x)


Classe di Selberg

Ci sono altre funzioni simili alla funzione ζ chiamate funzioni L.Servono per attaccare altri problemi di natura aritmetica e/ogeometrica.


Classe di Selberg

Ci sono altre funzioni simili alla funzione ζ chiamate funzioni L.Servono per attaccare altri problemi di natura aritmetica e/ogeometrica. Tutte condividono le proprieta di base della ζ:

L(s) =∑

nanns

Prodotto di Eulero

L(s) =∏

p primo

(1− P(p−s)

)−1,


G ( 12 + s)L( 1

2 + s) = G ( 12 − s)L( 1

2 − s),

La classe di Selberg e lo spazio delle funzioni che soddisfanoqueste proprieta.


Numeri primi vicini

La distanza tra due numeri primi consecutivi pn+1 − pn e in medialog pn, ma si sa che a volte puo essere molto piu piccola e moltopiu grande di log pn:

lim infn→∞

pn+1 − pnlog pn

= 0, lim supn→∞

pn+1 − pnlog pn

=∞.


Numeri primi vicini


lim infn→∞

pn+1 − pnlog pn

= 0, lim supn→∞

pn+1 − pnlog pn

=∞.

In realta si congettura che molto di piu sia vero, ad esempio che:

lim infn→∞

(pn+1 − pn) = 2 (Congettura dei primi gemelli)


Numeri primi vicini


lim infn→∞

pn+1 − pnlog pn

= 0, lim supn→∞

pn+1 − pnlog pn

=∞.

In realta si congettura che molto di piu sia vero, ad esempio che:

lim infn→∞

(pn+1 − pn) = 2 (Congettura dei primi gemelli)

e grazie al lavoro di Zhang e Maynard (e Polymath) ora non siamopiu cosı lontani dal dimostrarlo:

lim infn→∞

(pn+1 − pn) ≤ 246.


Teoria dei crivelli

Come si prova un risultato del genere? Si usa la teoria dei crivelli!Si considerano somme della forma

S(N) :=∑

N≤n≤2N

( k∑j=1

1P(n + j)− 1)ωn

per dei pesi ωn ≥ 0.


Teoria dei crivelli

Come si prova un risultato del genere? Si usa la teoria dei crivelli!Si considerano somme della forma

S(N) :=∑

N≤n≤2N

( k∑j=1

1P(n + j)− 1)ωn

per dei pesi ωn ≥ 0. L’obbiettivo e scegliere i pesi in modo da

essere in grado di calcolare l’asintotica per S(N)

avere che S(N) e asintoticamente positivo

Infatti in tal caso dobbiamo necessariamente avere che n + j1 en + j2 sono entrambi primi per almeno una scelta di j1, j2 en ∈ [N, 2N].


Qualche direzione di ricerca

Domande di tipo “elementare” (teoria dei crivelli,combinatorica, probabilita).

Domande sul comportamento della funzione ζ di Riemann.

Domande su statistiche riguardanti ζ o le funzioni L (adesempio su curve ellittiche).

Modelli delle funzioni L con matrici aleatorie.

Domande sullo spazio delle funzioni L (classe di Selberg).


Cosa serve sapere?

Non molto!Cose che si usano molto sono stime asintotiche di vario tipo, unpo’ di analisi classica, di aritmetica e di combinatorica e,soprattutto per alcune direzioni di ricerca, un po’ di analisicomplessa e di teoria algebrica dei numeri.


Number Theory wants you!


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