Teoremi di Pitagora generalizzato e...

Teoremi di Pitagora generalizzato e Talete

Fondamenti della Logica e della Matematica

Dicembre 2013

Teoremi di Pitagora generalizzato e Talete Dicembre 2013 1 / 10

Una generalizzazione del Teorema di PitagoraIl Teorema di Pitagora che già abbiamo visto ci dice che la somma delle areedi due quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale all’areadel quadrato costruito sulla ipotenusa.

Questo teorema non è esclusivo dei quadrati, ma si soddisfa anche per tutti ipoligoni regolari:

A

C

B

TeoremaSe n > 3 è un numeronaturale, allora la sommadelle aree dei poligoniregolari di n lati costruitisui cateti di un triangolorettangolo è uguale al’area del poligono regolaredi n lati costruito sullaipotenusa.


Per dimostrare questo risultato dobbiamo prima sapere calcolare l’area di unpoligono regolare di n lati, con n arbitrario, conoscendo la lunghezza del lato.

Un poligono regolare è un poligono che ha tutti i suoiangoli e tutti i suoi lati uguali fra loro.

Ogni poligono regolare si può inscrivere in una cir-conferenza, e il centro di questa circonferenza sichiama anche il centro del poligono. I segmentiche vanno dal centro ai vertici si chiamano raggidel poligono. I segmenti che vano dal centro per-pendicolarmente sui lati si chiamano apotema delpoligono.

l

l

l

l

l

l

l

A B

O

r

M

a

Per ragioni di simmetria, i raggi dividono al poligonoin n triangoli uguali, e questi sono isosceli. L’apote-ma divide alla metà il lato e coincide con l’altezzadel triangolo 4ABO.

Quindi, il triangolo 4MBO è rettangolo in M .Notiamo che se sappiamo il lato l e sappiamo comecalcolare a, allora possiamo determinare l’area diciascuno di questi n triangoli, e quindi l’area delpoligono che sarà la somma di tutti queste aree.




Ogni poligono regolare si può inscrivere in una cir-conferenza, e il centro di questa circonferenza sichiama anche il centro del poligono.

I segmentiche vanno dal centro ai vertici si chiamano raggidel poligono. I segmenti che vano dal centro per-pendicolarmente sui lati si chiamano apotema delpoligono.

l

l

l

l

l

l

l

A B

O

r

M

a






Ogni poligono regolare si può inscrivere in una cir-conferenza, e il centro di questa circonferenza sichiama anche il centro del poligono. I segmentiche vanno dal centro ai vertici si chiamano raggidel poligono.

I segmenti che vano dal centro per-pendicolarmente sui lati si chiamano apotema delpoligono.

l

l

l

l

l

l

l

A B

O

r

M

a







l

l

l

l

l

l

l

A B

O

r

M

a







l

l

l

l

l

l

l

A B

O

r

M

a


Quindi, il triangolo 4MBO è rettangolo in M .

Notiamo che se sappiamo il lato l e sappiamo comecalcolare a, allora possiamo determinare l’area diciascuno di questi n triangoli, e quindi l’area delpoligono che sarà la somma di tutti queste aree.





l

l

l

l

l

l

l

A B

O

r

M

a




Notiamo che la somma degli angoli con vertice O di tutti questi n triangoli è360◦, e quindi ognuno degli angoli vale 360◦

n .

A B

O

l

Siccome l’apotema coincide anche conla bisettrice dell’angolo AOB, alloral’angolo MOB vale la metà di 360◦

n :

α = MOB = 360◦

2·n = 180◦

n . A B

O

r

M

a

E quindi dobbiamo semplicemente calcolare il ca-teto a di un triangolo rettangolo, dove sappiamoche α = 180◦

n e che l’altro cateto è l/2.

Notiamo che: sen(α) = l/2r e cos(α) = a

r . Dalla seconda equazione

B

O

r

M

a

α = 180◦n

l/2

otteniamo: r = acos(α) e lo sostituiamo nella prima:

sen(α) = l/2a/ cos(α) ,

e quindi a = l/2sen(α)/ cos(α) =

l2 tan(α) , dove α = 180◦

n .



n .

A B

O

l


n :

α = MOB = 360◦

2·n = 180◦

n . A B

O

r

M

a




r .

Dalla seconda equazione

B

O

r

M

a

α = 180◦n

l/2





n .



n .

A B

O

l


n :

α = MOB = 360◦

2·n = 180◦

n . A B

O

r

M

a





B

O

r

M

a

α = 180◦n

l/2

otteniamo: r = acos(α)

e lo sostituiamo nella prima:




n .



n .

A B

O

l


n :

α = MOB = 360◦

2·n = 180◦

n . A B

O

r

M

a





B

O

r

M

a

α = 180◦n

l/2





n .


L’area di ognuno degli n triangoli in cui il poligono è stato diviso è:

At =l · a2

=l

2· a =

l

2· l

2 tan(α)=

l2

4 tan(α), dove α =

180◦

n.

Moltiplicando per n otteniamo l’area del poligono regolare di n lati di misura l:

An,l = n · l2

4 tan(α), dove α =

180◦

n.

Cioè:

An,l = l2 · n

4 tan(180◦/n), dove l è la misura del lato.

Notate che l’area di questo poligono solo dipende del numero n di lati e dellamisura l del lato.

(Si può definire la cotangente di un angolo come cotan(α) = cos(α)sen(α) =

1tan(α) .

E la formula ottenuta si può scrivere anche così:

An,l = l2 · n4 · cotan(180◦

n ), dove l è la misura del lato.)


Finalmente possiamo dimostrare il nostro Teorema di Pitagora generalizzatoa poligoni regolari:

Sia 4ABC un triangolo rettangolo in A con cateti b, c e ipotenusa a e sian > 3 un numero naturale. Dobbiamo dimostrare che la somma delle aree deipoligoni regolari di n lati sui cateti è uguale a l’area del poligono regolare di nlati sulla ipotenusa. Cioè:

An,b +An,c = An,a ?

Lo possiamo riscrivere usando la formula appena calcolata:

b2 · n

4 tan(180◦/n)+ c2 · n

4 tan(180◦/n)= a2 · n

4 tan(180◦/n)?

E prendendo il fattore comune alla sinistra:

(b2 + c2) · n

4 tan(180◦/n)= a2 · n

4 tan(180◦/n)?

Ma, questa uguaglianza è certa, perché si può ottenere da b2 + c2 = a2, chesappiamo che è vero per il Teorema di Pitagora, moltiplicando entrambi latiper n

4 tan(180◦/n) .



Sia 4ABC un triangolo rettangolo in A con cateti b, c e ipotenusa a e sian > 3 un numero naturale.

Dobbiamo dimostrare che la somma delle aree deipoligoni regolari di n lati sui cateti è uguale a l’area del poligono regolare di nlati sulla ipotenusa. Cioè:

An,b +An,c = An,a ?


b2 · n

4 tan(180◦/n)+ c2 · n

4 tan(180◦/n)= a2 · n

4 tan(180◦/n)?


(b2 + c2) · n

4 tan(180◦/n)= a2 · n

4 tan(180◦/n)?


4 tan(180◦/n) .



Sia 4ABC un triangolo rettangolo in A con cateti b, c e ipotenusa a e sian > 3 un numero naturale. Dobbiamo dimostrare che la somma delle aree deipoligoni regolari di n lati sui cateti è uguale a l’area del poligono regolare di nlati sulla ipotenusa.

Cioè:

An,b +An,c = An,a ?


b2 · n

4 tan(180◦/n)+ c2 · n

4 tan(180◦/n)= a2 · n

4 tan(180◦/n)?


(b2 + c2) · n

4 tan(180◦/n)= a2 · n

4 tan(180◦/n)?


4 tan(180◦/n) .




An,b +An,c = An,a ?


b2 · n

4 tan(180◦/n)+ c2 · n

4 tan(180◦/n)= a2 · n

4 tan(180◦/n)?


(b2 + c2) · n

4 tan(180◦/n)= a2 · n

4 tan(180◦/n)?


4 tan(180◦/n) .




An,b +An,c = An,a ?


b2 · n

4 tan(180◦/n)+ c2 · n

4 tan(180◦/n)= a2 · n

4 tan(180◦/n)?


(b2 + c2) · n

4 tan(180◦/n)= a2 · n

4 tan(180◦/n)?


4 tan(180◦/n) .Teoremi di Pitagora generalizzato e Talete Dicembre 2013 6 / 10

TaleteNelle definizioni di seno, coseno e tangente di un angolo α abbiamo usatoquozienti fra i lati di un triangolo rettangolo contenendo α.

Se due triangoli rettangoli contengono uno stessoangolo α, allora hanno tutti i tre angoli uguali, fra lo-ro, perché devono essere: 90◦, α e 90◦ − α.

Maquesto non implica che i suoi latti siano uguali fraloro!

A B

C

A′

B′

α

C′

α90◦ − α

90◦ − α

Allora, come possiamo essere sicuri che le definizioni delle ragionitrigonometriche sono ben definite, cioè, non dipendono del triangolo conangolo α scelto?

La risposta è: per il Teorema di Talete. Lo enunceremo adesso, ma abbiamoprima bisogno di una definizione:

A

B

C

γ

β

αA′

B′βα

C′

γ

Definizione: Due triangoli sono simili sehanno i suoi angoli corrispondenti uguali fraloro.(Quindi, due triangoli rettangoli con unangolo acuto uguale fra loro sono simili.)



Se due triangoli rettangoli contengono uno stessoangolo α, allora hanno tutti i tre angoli uguali, fra lo-ro, perché devono essere: 90◦, α e 90◦ − α. Maquesto non implica che i suoi latti siano uguali fraloro! A B

C

A′

B′

α

C′

α90◦ − α

90◦ − α



A

B

C

γ

β

αA′

B′βα

C′

γ





C

A′

B′

α

C′

α90◦ − α

90◦ − α


La risposta è: per il Teorema di Talete.

Lo enunceremo adesso, ma abbiamoprima bisogno di una definizione:

A

B

C

γ

β

αA′

B′βα

C′

γ





C

A′

B′

α

C′

α90◦ − α

90◦ − α



A

B

C

γ

β

αA′

B′βα

C′

γ



Teorema (Talete)Due triangoli 4ABC e 4A′B′C ′ sono simili se e solo sei suoi rispettivi lati sono proporzionali, cioè:

AB

A′B′=

BC

B′C ′=

CA

C ′A′.

A

B

Cγ

β

α

A′ B′βα

C′

γ

E questo si può anche enunciare in questa altra forma:

Teorema (Talete, seconda versione)Ogni fascio di rette parallele intersecanti due trasversali determina su di esseclassi di segmenti proporzionali:

O

A

A′

C

C′

B

B′

OA

OA′=

OB

OB′=

AB

A′B′=

BC

B′C ′=

AC

A′C ′= . . .


Allora, le funzione trigonometriche sono ben definite, perché si 4ABC e4A′B′C ′ sono due triangoli rettangoli in A e A′, rispettivamente, e tali cheB = B′, allora sono simili (hanno i loro tre angoli uguali fra di loro), e quindi:

AB

A′

B′

C

C′

b

c

a

b′

c′

a′a

a′=

b

b′=

c

c′.

I daa

a′=

b

b′otteniamo

b

a=b′

a′, e quindi sen(B) = sen(B′);

I daa

a′=

c

c′otteniamo

c

a=c′

a′, e quindi cos(B) = cos(B′);

I dab

b′=

c

c′otteniamo

b

c=b′

c′, e quindi tan(B) = tan(B′),

come si voleva dimostrare.


Talete in Egitto

A B

M

C

C′

M ′D′D

Secondo raconta Plutarco, il faraone èrimasto“. . . stupefatto del modo in cui [Talete abbia]misurato la piramide senza il minimo imba-razzo e senza strumenti.

Piantata un’astaal limite dell’ombra proiettata dalla pirami-de, poiché i raggi del sole, investendo l’astae la piramide formavano due triangoli, [ha]

dimostrato che l’altezza del-l’asta e quella della pirami-de stanno nella stessa pro-porzione in cui stanno le loroombre.”

Quindi,CM

MD=C ′M ′

M ′D′, e per tanto CM =MD · C

′M ′

M ′D′.


Talete in Egitto

A B

M

C

C′

M ′D′D

Secondo raconta Plutarco, il faraone èrimasto“. . . stupefatto del modo in cui [Talete abbia]misurato la piramide senza il minimo imba-razzo e senza strumenti. Piantata un’astaal limite dell’ombra proiettata dalla pirami-de, poiché i raggi del sole, investendo l’astae la piramide formavano due triangoli, [ha]


Quindi,CM

MD=C ′M ′


′M ′

M ′D′.


Talete in Egitto

A B

M

C

C′

M ′D′D



Quindi,CM

MD=C ′M ′

M ′D′,

e per tanto CM =MD · C′M ′

M ′D′.


Talete in Egitto

A B

M

C

C′

M ′D′D



Quindi,CM

MD=C ′M ′


′M ′

M ′D′.


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