Teorema di Pitagora

PROGRAMMA OPERATIVO NAZIONALE 2007-2013 - Obiettivo “Convergenza”

“Competenze per lo Sviluppo” -2007 IT 05 1 PO 007 F.S.E.-C-1-FSE-2007 448

“Con l’Europa: investiamo nel vostro futuro”Corsi cofinanziati dal Fondo Sociale Europeo

““RealityM@th. Mondo reale e competenze in MatematicaRealityM@th. Mondo reale e competenze in Matematica ” ” Liceo Classico “A. Nifo”Liceo Classico “A. Nifo”

ISISS “A. Nifo” - Sessa Aurunca 2008

Prodotto finale

Unione EuropeaFondo Sociale

Europeo

SUCCESSIVA

Presentazione

…E’ il caso di presentarci…

Questo è il nostro prodotto finale, una breve presentazione del Teorema di Pitagora, realizzato nel corsi PON di matematica 2007/2008 “RealityM@th. Mondo reale e competenze in Matematica”

Un vivo ringraziamento ai nostri docenti: Prof. Volpicelli Antonio e Prof. Falso Silvio e all’ISISS “A. Nifo”

Gli alunni del corso: RealityM@th. Mondo reale e competenze in Matematica

Landi Adriano Marrucchiello Michele Melucci MariachiaraMigliozzi Caterina Pagliaro Maria Michela Palmieri Martina Petrillo Adele

Ciccariello Lina D'Alterio Gaetana De Luca Silvia Del Vecchio PasqualeDi Pinto Livia Ferraro Maria Iannone Marika

Pezone Lisa Simone Geremia Sorgente Mariangela Tommasino Antonio Zannini Giuseppina Zippo Simone ,

SUCCESSIVAPRECEDENTE

La vita di Pitagora

Pitagora  nacque a Somo nel 575 ca. e morì a Metaponto nel 490°.C. e fu un importante matematico greco. Pitagora attorno al 530 a .C. lasciò Somo per stabilirsi a Crotone, dove fondò una setta religiosa e politica di orientamento aristocratico e una scuola filosofica la cui attività contribuì a rendere la città il più importante centro della Magna Grecia. Pitagora quasi certamente non scrisse nulla: il suo pensiero e le sue dottrine, nati tradizionalmente con il nome di pitagorismo, ci sono giunte attraverso le opere dei discepoli. È pertanto difficile distinguere il loro contributo teorico dal nucleo originario, direttamente riconducibile al maestro.

SUCCESSIVAPRECEDENTE

Pitagora e i numeri irrazionaliPitagora, oltre ad essere noto per il suo famoso teorema, fece importanti studi su i numeri irrazionali. I numeri irrazionali sono tutti quei numeri non esprimibili come il quoziente di due numeri interi, e in forma decimare, un numero irrazionale emette una serie infinita di cifre decimali, che non si riduce mai alla ripetizione periodica di uno stesso gruppo di numeri. I numeri irrazionali inoltre, furono inventati per necessità di ampliare l’insieme dei numeri, che emerse dallo studio della geometria: infatti la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato uguale a una unità, così come il rapporto tra una circonferenza e il suo raggio, non possono essere espressi da un numero razionaleSimili considerazioni hanno Simili considerazioni hanno portatoportato all’introduzione del sistema dei numeri reali, all’introduzione del sistema dei numeri reali, composto dai razionali e dagli irrazionali. composto dai razionali e dagli irrazionali. Sono numeri irrazionali, ad esempio √2 = Sono numeri irrazionali, ad esempio √2 = 1,4142135623… e π = 3,1415926535…1,4142135623… e π = 3,1415926535…

SUCCESSIVAPRECEDENTE

La dimostrazione originale purtroppo è andata perduta, ma dalla figura ritrovata si può risalire a tale dimostrazione in linea generale.

Il teorema è attribuito a Pitagora, ma in realtà la sua storia è Il teorema è attribuito a Pitagora, ma in realtà la sua storia è molto più complessa e le sue origini risalgono almeno ad un molto più complessa e le sue origini risalgono almeno ad un migliaio di anni prima che Pitagora si dedicasse allo studio dei migliaio di anni prima che Pitagora si dedicasse allo studio dei triangoli rettangoli. Infatti in Cina il teorema "di Pitagora" era già triangoli rettangoli. Infatti in Cina il teorema "di Pitagora" era già noto almeno mille anni prima della nascita di Pitagora. noto almeno mille anni prima della nascita di Pitagora.

Se si indicano conSe si indicano con aa ee bb i cateti e coni cateti e con cc l’ipotenusa di l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, il quadrato di latoun triangolo rettangolo, il quadrato di lato a+ba+b si può si può considerare composto di 8 triangoli (gialli e bianchi) considerare composto di 8 triangoli (gialli e bianchi) e del quadratino di latoe del quadratino di lato b-ab-a (rosso), o anche del (rosso), o anche del quadrato sull’ipotenusaquadrato sull’ipotenusa cc (giallo e rosso) e di quattro (giallo e rosso) e di quattro triangoli (bianchi), da cui si ricava la relazionetriangoli (bianchi), da cui si ricava la relazione 4ab+ 4ab+ (b-a) = c +2ab(b-a) = c +2ab. . SviluppandoSviluppando (b-a) = b + a-2ab(b-a) = b + a-2ab, , si ottienesi ottiene 4ab+b+ a-4ab+b+ a-2ab = c+2ab2ab = c+2ab, cioè, cioè b+a= cb+a= c, quindi il teorema di , quindi il teorema di Pitagora.Pitagora.

Pitagora : il Teorema

SUCCESSIVAPRECEDENTE

TEOREMA

La somma dei quadrati costruita sui cateti ABAB e BCBC è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa ACAC.

Quadrato costruito sul

cateto BC

Quadrato costruito sul

cateto AB

Quadrato costruito

sull’ipotenusa AC

Sia ABCABC un triangolo rettangolo, retto in BBCB

A

+ =

SUCCESSIVAPRECEDENTE

Dimostrazione Si costruisca un quadrato DEFGDEFG avente lato uguale alla somma dei cateti ABAB e BCBC

A

B C

su esso si scelgano i punti H, I, L, MH, I, L, M

Sia NN l’intersezione della congiungente L, HL, H con la congiungente I, MI, M.

In modo che il segmento EIEI abbia la stessa lunghezza del cateto BCBC,

il segmento IFIF abbia la stessa lunghezza del cateto ABAB, il segmento FLFL abbia la stessa lunghezza del cateto ABAB

Osserviamo che la retta congiungente M M ed I I è parallela al lato GFGFla retta congiungente H H e L è parallela al lato EFEF.

Quindi i quadrilateri DMHN,DMHN, In particolare, DMNHDMNH e NLFINLFI avendo una coppia di lati adiacenti uguali per costruzione sono quadrati: il primo di lato uguale a BCBC; il secondo di lato uguale ad ABAB.

MGLNMGLN,,

NLFINLFI e HNIE HNIE sono tutti rettangoli.

G

H

E I

N L

F

D M

il segmento GLGL abbia la stessa lunghezza del cateto BCBC

SUCCESSIVAPRECEDENTE

Si costruisca un quadrato Si costruisca un quadrato D’E’F’G’D’E’F’G’ avente lato uguale alla somma dei avente lato uguale alla somma dei cateti cateti ABAB e e BCBC

A

BC

L’

H’

M’

su esso si scelgano i punti su esso si scelgano i punti H’, I’, L’, M’,H’, I’, L’, M’,

in modo tale che i segmenti in modo tale che i segmenti E’I’ F’L’ M’G’ D’H’E’I’ F’L’ M’G’ D’H’ abbiano la stessa lunghezza del abbiano la stessa lunghezza del cateto cateto BCBCI segmenti I segmenti I’F’ L’G’ D’M’ E’H’I’F’ L’G’ D’M’ E’H’ abbiano la stessa lunghezza del abbiano la stessa lunghezza del cateto cateto ABAB

F’

G’

E’

D’

I’

SUCCESSIVAPRECEDENTE

L’area del rettangolo NLGMNLGM è il doppio dell’area del triangolo rettangolo I’F’L’I’F’L’ per costruzione, ,

H

E I

N

l’area della figura F1 F1 che si ottiene da DEFGDEFG togliendo i due rettangoli

la somma delle aree dei due rettangoli NLMGNLMG e NIHENIHE

è uguale alla somma delle aree dei quattro triangoli rettangoli I’F’L’, L’G’M’, M’H’D’, H’E’I’.I’F’L’, L’G’M’, M’H’D’, H’E’I’.

Essendo le aree dei due quadrati DEFGDEFG e D’E’F’G’D’E’F’G’ uguali per costruzione

I’

M’

H’

L’

D’

E’

G’G

e quella della figura F2 F2 che si ottiene da D’E’F’G’D’E’F’G’ togliendo i quattro triangoli rettangoli devono coincidere.

F’

Figura F1Figura F1 Figura F2Figura F2

MD

L

F

SUCCESSIVAPRECEDENTE

Quindi il quadrilatero H’I’L’M’H’I’L’M’ ha tutti i lati uguali all’ipotenusa ACAC del triangolo di partenza e tutti gli angoli retti ed è pertanto un quadrato equivalente a quello costruito sull’ipotenusa.

H

I

N

MD

L

F

Figura F1

I’

M’

H’

L’

Figura F2

I due quadrati della figura F1F1 sono equivalenti ai quadrati costruiti sui cateti del triangolo ABCABC per costruzione Resta da dimostrate che il quadrato della figura F2 F2 è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa.

il quadrilatero H’I’L’M’H’I’L’M’ ha tutti i lati uguali all’ipotenusa del triangolo ABCABC. Infatti ognuno di essi è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo che per costruzione ha i cateti uguali ai cateti del triangolo ABC.ABC.

A

B C

SUCCESSIVAPRECEDENTE

I’

M’

H’

L’

Figura F2

A

B CB

E’ F’

D’ G’

Inoltre l’angolo ad ognuno dei suoi vertici, per esempio l’angolo H’I’L’H’I’L’ è supplementare della somma degli angoli H’I’EH’I’E’ ed L’I’F’.L’I’F’. (la somma forma un angolo di 180°)

D’altra parte H’I’E’H’I’E’ è uguale all’angolo in CC del triangolo ABCABC

l’angolo L’I’F’L’I’F’ è uguale all’angolo in AA dello stesso triangolo.

L’angolo H’I’L’H’I’L’ coincide con il supplementare della somma degli angoli in C C e in A A del triangolo ABCABC

e deve coincidere con il terzo angolo (in BB) che per ipotesi è retto.

SUCCESSIVAPRECEDENTE

H’

I’

L’

M’

Quindi il quadrilatero H’I’L’M’H’I’L’M’ ha tutti i lati uguali all’ipotenusa ACAC del triangolo di partenza e tutti gli angoli retti ed è pertanto un quadrato equivalente a quello costruito sull’ipotenusa.

Quadrato costruito

sull’ipotenusa AC

Quadrato costruito sul

cateto BC

Quadrato costruito sul

cateto AB

FF II NNEE

A

B C

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