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    Tema 5. La estructuratemporal de los tipos de

    interésMatemática Financiera IIParte 2ª: Riesgo de interés

    Curso 2006-2007

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    Índice

    1. Introduccin

    2. !i"os de interés a# contado.

    $. %structura tem"ora# de #os ti"os de interés&%!!I'.

    (. !i"o de interés a "#a)o &*or+ard'.

    ,. !eoras a#ternatias so/re #a estructura

    tem"ora# de #os ti"os de interés.6. !anto interno de renta/i#idad &!IR' curas

    de renta/i#idad.

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    1. Introducción

    isin tradiciona# de #a inersin en renta*ia3inersin conseradora4 de carácter "asio /aoriesgo3renta/i#idad más o menos esta/#e

    Cam/io en esta a"reciacin3o#ati#idad de #os ti"osde interés %o#ucin ti"os 5#tima década:

    /aada genera#i)ada de #os ti"os de interés &más de 12 "untos"orcentua#es desde diciem/re de 12 asta *e/rero de 200,'.

    "eriodos de a#ta o#ati#idad 1$ 1( &crisis de# 8istema Monetario %uro"eo'. esca#ada de ti"os en 1( &con su/idas de asta ( "untos'

    Consecuencia: creciente im"ortancia de# riesgo devariación tipos de interés.

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      (

    1. Introducción

    Riesgo de variación de tipos de interés: “Consecuencias de dichas variaciones sobre las carteras de

    títulos de renta fija y, de forma ms general, sobre losinstrumentos incluidos en el balance de las entidadesfinancieras!.

    "nlisis del riesgo de variación de los tipos de interés: esnecesario determinar con c#aridad una serie de conce"tos "reios9ue acen 9ue #a de*inicin de este riesgo no resu#te inmediata.

    %n "rimer #ugar4 a 9ue es"eci*icar de #a *orma más"recisa "osi/#e a 9ué se ace re*erencia cuando se a/#a

    de tipo de interés!. %n segundo #ugar4 de/e "#antearse cuá# o cuá#es son #os

    efectos #ue se derivan de la variación de los tipos deinterés 9ue dan #ugar a #a a"aricin de# riesgo.

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      ,

    2. Tipos de interés al contado

    $efinición: “%l tipo de interés al contado, correspondiente a un pla&o '()*+, ser el

    tanto efectivo periodal #ue proporcionaría una operación financieraconsistente en la compra hasta vencimiento de un título de renta fija,bien al descuento o bien cupón cero, libre de riesgo de insolvencia yamorti&able dentro de * períodos!.

    8iendo: ( - e# "recio en t;0 de un ttu#o cu"n cero #i/re de# riesgo de inso#encia.

    * - e# "recio de amorti)acin en t;! de# mismo ttu#o.

    (R* - e# ti"o de interés a# contado corres"ondiente a# "erodo

     

    T T   R P  P    )1( 00   +=

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    3. Estructura temporal de lostipos de interés ?a re#acin *unciona# entre "#a)os ti"os de interés

    a# contado es #o 9ue se conoce como  estructura

    temporal de los tipos de interés -%**/ "uede

    "resentar distintas *ormas: Cuando #os ti"os de interés a# contado "ara todos #os

    "#a)os son igua#es4 se dice 9ue #a %!!I es "#ana.

    8i #os ti"os de interés a corto son maores 9ue #os ti"os a

    #argo4 #a %!!I es decreciente.

     @# contrario4 si #os ti"os a corto son in*eriores a #os ti"os a

    #argo4 #a %!!I es creciente.

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    3. Estructura temporal de lostipos de interés Aado 9ue #a *orma de o/tener #a estructura tem"ora# de ti"os de interés es

    mediante /onos cu"n cero4 en #a "ráctica4 sue#e denominarse curva cupóncero. ?a curva cupón cero es una cura 9ue muestra4 en un momento dado de

    tiem"o4 #a re#acin entre #os ti"os de interés a# contado "ara inersiones adi*erentes "#a)os &ti"os o rendimientos a encimiento de #os /onos cu"n

    cero' su corres"ondiente encimiento4 teniendo en cuenta 9ue dicasinersiones di*ieren 5nica eBc#usiamente en su "#a)o asta e# momentode #a amorti)acin.

    roblemas para su obtención ?os ti"os de interés a# contado no son siem"re directamente

    o/sera/#es. Posi/#es im"er*ecciones segmentaciones de# mercado 9ue "ueden

    ##ear4 "or eem"#o4 a o/tener ti"os a# contado di*erentes "ara un mismo"#a)o.

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    3. Estructura temporal de lostipos de interés  @s4 "or eem"#o4 #os ti"os de

    interés a# contado a 21 de mar)o

    de 2007 en %s"aDa son:

    0echa: 21-0$-07

    %1

    2 (401

    3 $4$

    4 $41

    5 $46

    6 $4(

    7 $4,

    8 $47

    9 $41

    $41

    2( $41

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    3. Estructura temporal de lostipos de interés

    Pro/#ema 2

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    3. Estructura temporal de lostipos de interés  Aplicaciones:

    Calcular el valor presente de un pago futuro y determinar elprecio de mercado de cual#uier activo de renta fija.

     @s4 e# "recio P de un ttu#o de renta *ia con "ago "eridico decu"ones amorti)a/#e dentro de ! "erodos 9ue genera #a siguiente

    corriente de "agos4

    endrá determinado "or #a eB"resin:

    8iendo:C- im"orte de# cu"nE- nomina# de# ttu#o!- n5mero de "eriodos asta #a amorti)acinRt- ti"o de interés a# contado de# "#a)o

    [ ]),)...(2,)(1,(   T  N C C C    +

    ∑=   ++

    +

    =

    t T 

    t   R

     N 

     R

    C  P 

    1   )1()1(

    Pro/#ema 2

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     4. Tipos de interés implícitos aplazo(or!ard" 1i los tipos de interés al contado vigentes en t( para los pla&os 't(,,t2+ y 't(,t3+ son

    respectivamente (R2  y (R3, entonces el tipo de interés forward   vigente en t(correspondiente a un pla&o 't2 )t3+, #ue se denota ,se define a partir de lostipos de interés al contado como:

    Ae donde:

    Intuitiamente4 e# ti"o de interés forward  corres"ondiente a un determinado "#a)o no es más 9ue e# ti"o de interés a# contado 9ue de/era estar igente en t 1 "ara

    9ue e# resu#tado de una inersin a# "#a)o genere e# mismo resu#tado 9ue

    inertir a# "#a)o reiertir #a cuanta resu#tante en una segunda o"eracin a un

    "#a)o de am"#itud t2  t1.

    12

    210

    0102

    2)1()1()1( ,00

    t t 

    t t t 

    t t t t 

    t   F  R R

      −−−+⋅+=+

    21 ,0   t t  F 

    1)1(

    )1(   12

    01

    10

    02

    20

    1

    +

    +=

    − t t 

    t t 

    t t 

    t t 

    t t 

     R

     R

    21 ,0   t t  F 

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    4.Tipo de interés implícito a plazo(or!ard" 

    1

    1)1( 0t 

    t  R+

    Grá*icamente:

    1

    0 t1 t2

    12

    21

    1

    1)1()1( ,00

    t t 

    t t 

    t   F  R

      −

    +⋅+

    1  2

    2)1( 0t 

    t  R+

    %fectivamente, en un mundo de total certidumbre y e;ento de

    costes de transacción, los tipos de interés for

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    4.Tipo de interés implícito a plazo(or!ard" %s im"ortante "oner de mani*iesto 9ue4 aun9ue en

    am/iente de certidum/re am/as aria/#es de/encoincidir "ara 9ue no eBistan o"ortunidades de ar/itrae4son conce"tua#mente distintas dica igua#dad dea de

    eri*icarse en am/iente de incertidum/re. Ae eco4 en am/iente de incertidum/re4 #os ti"os de

    interés *uturos corres"ondientes a un determinado"#a)o no seran conocidos en e# momento actua#t;0.

    8in em/argo4 si "odramos conocer #os ti"os forward  corres"ondientes a ese mismo "#a)o4 tanto enam/iente de certidum/re como de incertidum/re4 a9ue se o/tienen a "artir de #a %!!I o/serada en t; 0.

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    4.Tipo de interés implícito a plazo(or!ard" Ae #a de*inicin de ti"os *or+ard se deria #a siguiente re#acin:

    %sta eB"resin "uede genera#i)arse:

    Como en am/iente de certidum/re #os ti"os de interés *uturos&9ue se su"one conocidos' tienen 9ue coincidir con #os ti"os deinterés *or+ard 9ue se derian de #a %!!I o/serada en e#momento actua#4 se tiene 9ue eri*icar:

    Aonde "or !-1R!  denotaremos e# ti"o de interés a# contadocorres"ondiente a un "#a)o 1 9ue estará igente en !-1.

    )1)(1()1( 2,1102

    20   F  R R   ++=+

    )1()1)(1)(1()1( ,13,22,1100   T T T 

    T    F  F  F  R R −++++=+ 

    )1()1)(1)(1()1( 13221100   T T T 

    T   R R R R R −++++=+  

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    4.Tipo de interés implícito a plazo(or!ard" " partir de la relación anterior, los tipos de interés a largo pla&o

    pueden interpretarse como una media geométrica de los tipos deinterés a corto futuros.  @s4 "ara 9ue #a %!!I "resente una "endiente "ositia4 #os ti"os de interés a corto

    *uturos de/erán ser4 en "romedio4 su"eriores a# ti"o de interés a corto "#a)oactua#.

    Ae a se eBtrae #a conc#usin de 9ue4 en am/iente de certidum/re4 #os ti"os deinterés a #argo "#a)o serán su"eriores a #os ti"os de interés a corto cuando aa a"roducirse una su/ida de #os ti"os de interés a corto "#a)o.

    Por e# contrario4 #a %!!I "resentará una "endiente negatia4 cuando #os ti"os deinterés a corto *uturos sean in*eriores a #os ti"os de interés a corto actua#es 4 "ortanto4 una %!!I decreciente im"#icará una cada de #os ti"os a corto "#a)o.

    Por 5#timo4 una %!!I "#ana tan so#o se dará cuando #os ti"os a corto *uturoscoincidan con #os ti"os a corto actua#es.

    "sí pues, en ambiente de certidumbre la forma de la %** nos informasobre el comportamiento de los tipos de interés en el futuro.

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    4.Tipo de interés implícito a plazo(or!ard" Htro as"ecto im"ortante 9ue se deria de# aná#isis de #a %!!I4 en am/iente

    de certidum/re4 es e# eco de 9ue4 en #a medida de 9ue #os /onos dedi*erentes "#a)os sean considerados sustitutos "er*ectos "or #os inersores4todos los bonos tanto a largo como a corto pla&o proporcionan lamisma rentabilidad para un período de tiempo dado.

    %sto es as4 dado 9ue en am/iente de certidum/re conocemos #os ti"os de

    interés *uturos 4 "or tanto4 tam/ién e# a#or *uturo de todos #os /onos. 8i #ainersin en /onos a #argo "#a)o "ro"orcionase más renta/i#idad "ara un"eriodo de tiem"o dado4 entonces nadie estara dis"uesto a inertir en/onos a corto iceersa.

     @s4 "ara un "erodo de un aDo4 todos #os /onos de/erán "ro"orcionar unarenta/i#idad anua# igua# a 0R1.

    %s importante poner de manifiesto #ue, de cara a la gestión de

    carteras, lo importante no es #ue los tipos suban o bajen , sino #uelos tipos de interés se sit=en por encima o por debajo de los tipos deinterés for

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    5. Teorías alternati#as so$re laestructura temporal de tipos de

    interés na cuestin im"ortante es tratar de determinar "or 9ué #a %!!Itiene una *orma concreta en un momento determinado cuá# es#a in*ormacin 9ue se "uede eBtraer de #a misma.

    Eo eBiste eidencia em"rica su*iciente "ara determinar cua# de#as teoras a#ternatia resu#ta más 5ti# "ara eB"#icar #a curacu"n cero a 9ue #os distintos mode#os "ueden eB"#icar #aeo#ucin de #os ti"os de interés en "eriodos a#ternatios 4 ende*initia4 audar a #a com"rensin de# com"ortamiento determinante de #os ti"os de interés.

     @ #a ora de ana#i)ar #as di*erentes teoras eB"#icatias de #a

    %!!I an a ugar un "a"e# *undamenta# #os ti"os *or+ard.

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    5. Teorías alternati#as so$re laestructura temporal de tipos de

    interés  6.2.> *eoría ura de las %;pectativas 8i introducimos #a incertidum/re4 #a !eora Pura de #as %B"ectatias

    se "uede enunciar de #a siguiente *orma: ?os tipos de interés for

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    5. Teorías alternati#as so$re laestructura temporal de tipos de

    interés  @s4 se deduce 9ue: 8i #a %!!I es creciente4 #os inersores es"eran 9ue se "rodu)ca una

    su/ida de #os ti"os de interés a corto "#a)o. 8i #a %!!I es decreciente4 indicara ustamente #o contrario= 8i #a %!!I es "#ana4 es 9ue e# mercado es"era 9ue #os ti"os se

    mantengan en sus nie#es actua#es. %# argumento más s#ido a *aor de esta teora se deriara de#

    eco de 9ue si #os ti"os *or+ard di*ieren de #os ti"os de interéses"erados4 se generaran o"ortunidades de es"ecu#acin 9ue"odran ser eB"#otadas "or inersores neutra#es a# riesgo asta

    9ue #a di*erencia entre unos ti"os otros desa"arecieran. Por tanto4 e# cum"#imiento de #a !eora Pura de #as %B"ectatias

    re9uiere 9ue e# mercado de ttu#os de renta *ia sea mue*iciente.

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    5. Teorías alternati#as so$re laestructura temporal de tipos de

    interés 6.3. *eoría de la preferencia por la li#uide& 8eg5n4 #a teora "ura de #as eB"ectatias4 #a *orma de #a %!!I de"endera4 en unmercado e*iciente4 eBc#usiamente de #as eB"ectatias de #os agenteseconmicos. @s "ues4 en "rinci"io4 de/era darse con una *recuencia simi#ar"endientes "ositias &eB"ectatias a#cistas' "endientes negatias&eB"ectatias /aistas'. 8in em/argo4 seg5n a#gunos autores4 #as curas con

    "endiente "ositia son más *recuentes. %ste eco a conducido a un re"#anteamiento de #a i"tesis de #aseB"ectatias 9ue se conoce como #a hipótesis de la preferencia por lali#uide&  9ue "#antea #os siguientes as"ectos: Por un #ado4 #os inersores an a considerar a #os actios de renta *ia a más #argo

    "#a)o como más arriesgados a 9ue4 como eremos "osteriormente4 a maor "#a)ocorres"onde maores *#uctuaciones en su "recio ante una ariacin de #os ti"os deinterés.

    Por otro #ado4 #os emisores an a "re*erir emitir a "#a)o más #argo en #a medida en 9uee##o #es a a "ermitir e#iminar riesgos costes en #a re*inanciacin de su deuda. %stasdos *uer)as se traducen en 9ue4 #os inersores an a eBigir una "rima "or inertir a#argo "#a)o 9ue #os emisores an a estar dis"uestos a "agar#a.

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    5. Teorías alternati#as so$re laestructura temporal de tipos de

    interés %sta "rima se a aDadir a #as eB"ectatias so/re #os ti"os de interés4 deta# *orma 9ue #os *or+ard an a ser estimadores sesgados de #os ti"osde interés *uturos es"erados4 siendo e# sesgo #a cuanta de #a "rima deriesgo. Por tanto4 seg5n #a teora de "re*erencia "or #a #i9uide):

    donde Ft4tJ1 ; e# ti"o de interés *or+ard corres"ondiente a# "#a)o % 0< tR1  > ; e# ti"o de interés a un aDo 9ue se es"era esté igente dentro de t

    "eriodos. ?t  ; #a "rima de riesgo incor"orada a# ti"o de interés *or+ard corres"ondiente a#

    "#a)o .

    %n #a medida en 9ue e# riesgo es considerado maor cuanto mása#eado en e# tiem"o sea e# "erodo a# 9ue acen re*erencia4 #as "rimasde riesgo tienen 9ue ser crecientes con e# "#a)o4 es decir:

    0K ? 1K? 2K.....K?n H/iamente #a "resencia de esta "rima creciente a a "roocar una

    tendencia creciente en #a %!!I4 #o 9ue usti*ica #a tendencia o/serada a9ue #a %!!I "resente "endiente "ositia.

    [ ]  t t t t 

      L R E  F    +=+   101,

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    5. Teorías alternati#as so$re laestructura temporal de tipos de

    interés 6.4.> *eoría de la 1egmentación de mercados. ?as dos teoras anteriores de"enden de #a "osi/i#idad de 9ue4 emisorese inersores de ttu#os "uedan emitir com"rar ttu#os a corto #argo"#a)o cam/iar sus "osiciones seg5n cua#es sean sus eB"ectatiasso/re e# com"ortamiento *uturo de #os ti"os de interés.

    ?a teora de #a 8egmentacin de mercados #o 9ue sugiere es 9ue #osmercados de deuda a corto #argo "#a)o están segmentados comoconsecuencia de restricciones de com"ortamiento o de carácter #ega#.

    Por eem"#o4 #as com"aDas de seguros o #os *ondos de "ensionesde/en acer *rente a sus com"romisos a #argo "#a)o "or #o 9ue4 "araeitar riesgos4 de/eran inertir a #argo "#a)o. @s "ues4 estos otrosagentes en situaciones simi#ares4 de/erán inirtiendo o emitiendo a

    #argo "#a)o "or atractios 9ue "uedan ser #os ti"os a corto "#a)o. ?#eada a# eBtremo4 esta teora4 im"#icara 9ue #os ti"os de interés a

    corto o #argo "#a)o ienen determinados4 eBc#usiamente4 en *uncin de#a demanda o*erta de ttu#os a corto a #argo "#a)o.

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    5. Teorías alternati#as so$re laestructura temporal de tipos de

    interés na ersin más moderada de esta teora es #a conocida como

    #a *eoría del @bitat preferido4 9ue se /asa en #a i"tesis de9ue #os agentes casan e# "#a)o de sus actios con e# de sus"asios "ara eitar riesgos= "ero si e# mercado o*rece unrendimiento adiciona# su*iciente "or emitir o inertir a otros"#a)os4 #os agentes econmicos austarán sus "osiciones "araa"roecar esta entaa.

    %##o im"#icará 9ue #as "rimas de riesgo aora no de"enden de#"#a)o sino de# e9ui#i/rio entre #a o*erta #a demanda de ttu#os a

    un "#a)o determinado. @s4 si u/iese eBceso de ttu#os a cortoen re#acin a #a demanda de/era o*recerse una "rima "orinertir en deuda a corto.

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    5. Teorías alternati#as so$re laestructura temporal de tipos de

    interés ?a eidencia em"rica so/re #as distintas teoras a#ternatias no

    es conc#uente de/ido a #as di*icu#tades deriadas de# eco de9ue en mucas ocasiones se tra/aa con %!!Is estimadas "ordiersos "rocedimientos 9ue #os mode#os 9ue tratan derecoger a#orar #as eB"ectatias tam/ién son ariados eintroducen en e# aná#isis mucas *uentes de error. 8in em/argo4con /astante *recuencia se uti#i)a en #a #iteratura *inanciera #ateora "ura de #as eB"ectatias4 ta# e) "or su maor sim"#icidad.

     @simismo4 es *recuente 9ue se tra/ae considerando una %!!I

    "#ana 9ue4 si /ien resu#ta "oco *recuente en #a rea#idad4 "ermiteuna gran sim"#i*icacin de# aná#isis en mucas ocasiones #a5nica *orma de a"roBimarse a# "ro/#ema.

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    %. Tanto interno de renta$ilidad(TI&"  %l tanto interno de rentabilidad -*R/ o yield of maturity   se

    define como el tanto medio efectivo #ue iguala el valor actualde la corriente de pagos generada por un título con su precio.

    Ae esta *orma4 "ara un ttu#o de renta *ia con "ago "eridico decu"ones4 amorti)a/#e dentro de ! "erodos4 e# a#or de# !IR endrá

    dado "or e# a#or R4 9ue se o/tiene a# reso#er #a siguienteecuacin:

    ∑=   +

    ++

    =T 

    T t  R

     N 

     R

    C  P 

    1   )1()1(

    donde:

    P ; "recio de# ttu#o=! ; n5mero de "erodos asta #a amorti)acin=

    C ; cu"n "agado "or "erodo=

    E ; nomina# de# ttu#o=

    R ; tanto interno de renta/i#idad !IR. Pro/#ema $2

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    %. Tanto interno derenta$ilidad (TI&" Ae *orma simi#ar a #o comentado "ara #os ti"os de interés a# contado4 es

    "osi/#e esta/#ecer una re#acin entre #os a#ores de# !IRcorres"ondiente a ttu#os emitidos "or una misma entidad &o distintasentidades con #a misma ca#i*icacin' con di*erentes "#a)os asta #aamorti)acin.

    %sta re#acin entre "#a)o a #a amorti)acin !IR "ara actios

    *inancieros de renta *ia emitidos "or una misma entidad reci/e e#nom/re de curva de rentabilidad   genera#mente sue#e ser uti#i)adacomo una a"roBimacin a #a %!!I.

    %s "osi/#e #a coeBistencia de ttu#os de renta *ia emitidos "or unamisma entidad con un mismo "#a)o asta #a amorti)acin o*reciendosimu#táneamente tantos internos de renta/i#idad di*erentes sin 9ue e##osigni*i9ue #a eBistencia de ine*iciencias en #os mercados *inancieros.%stas di*erencias de"enden4 de eco4 de cuá# sea #a *orma de #acorriente de "agos generada "or cada uno de #os ttu#os 4 másconcretamente4 de# im"orte de# cu"n4 de su *recuencia de #a "osi/#eeBistencia de caractersticas comercia#es 9ue a*ecten a ésta &"rima deamorti)acin4 etc.'. Pro/#ema $$