Tavole Laplace

CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 130

3.3 Tabella delle propriet generali della trasformata di Lapla-

ce

AVVERTENZA 1. Nel seguente elenco (ni 1-22) la trasformata di una funzione denotata con lettera

maiuscola (es. F) denotata con la corrispondente lettera minuscola (es. f).

TRASFORMATA (variabile s) FUNZIONE (variabile x)

1. a f1(s) + b f2(s) a F1(x) + b F2(x)

2. f (s/a) a F(ax)

3. f (s a) eaxF(x)

4. easf (s) G(x) : G(x)DEF.=

{F(x a) x > a0 x < a

5. s f (s) F(0) F(x)

6. s2f (s) sF (0) F(0) F(x)

7. snf(s) sn1F(0) sn2F(0) F(n1)(0) F(n)(x)

8. f(s) x F(x)

9. f(s) x2F(x)

10. f(n)(s) (1)nxnF(x)

11.f (s)

s

x0

F(u) du (v.AVV.2)

AVVERTENZA 2. In questo caso, come in altri analoghi successivi, la funzione G(x) da trasformare

andrebbe definita nel seguente modo: G(x)DEF.=

x

0F(u)du, ma, per semplicit, la si denota nel modo

abbreviato x

0F(u)du.


TRASFORMATA (variabile s) FUNZIONE (variabile x)

12.f (s)

sn

x0

(xu)n1(n 1)! F(u) du

13. f (s) g(s) F(x) G(x) = x

0

F(u) G(x u) du

14.+

sf (u) du (v.AVV.3)

F(x)

x

15.1

1 esT

T

0

esu F(u) du F(x) = F(x+T )

16.f (

s)

s

1pix

0

eu2/4x F(u) du

17.1

sf (1/s)

0

Jo(2

ux) F(u) du (v.AVV.4)

18.1

sn+1f (1/s) xn/2

0

un/2 Jn(2

ux) F(u) du

19.f (s + 1/s)

s2 + 1

x0

Jo(2

u (x u)) F(u) du

20.1

2pi

+

0

u3/2

es2/4u f (u) du F(x2)

21.f (log s)

s log s

0

xu F(u)

(u + 1)du

22.P(s)

Q(s)

P(s) = polinomio di grado inferiore a n,Q(s) = (s1)(s2)(sn)dove 1,...,n sono tutti distinti

nk

1

P(k)

Q(k)ekx

AVVERTENZA 3. Anche in tal caso, e in altri analoghi successivi, la funzione trasformata g(s)

andrebbe definita nel seguente modo: g(s)DEF.=

+

sf (u)du, ma, per semplicit, la si denota in modo

abbreviato g(s) =+

sf (u) du.

AVVERTENZA 4. Per la definizione delle funzioni di Bessel Jn(x) v. 3.5 seguente.


3.4 Tabella delle trasformate di Laplace di funzioni di interesse

fisico-matematico

f (s) F(x)

1.1

s1

2.1

s2x

3.1

sn, n = 1, 2, 3, . . .

xn1

(n 1)! , 0! = 1

4.1

sn, n R+ x

n1

(n)

5.1

s a eax

6.1

(s a)n , n = 1, 2, 3, . . .xn1eax

(n 1) ! , 0! = 1

7.1

(s a)n , n R+

xn1eax

(n)

8.1

s2 + a2sin(ax)

a

9.s

s2 + a2cos(ax)

10.1

(s b)2 + a2ebx sin(ax)

a

11.s b

(s b)2 + a2 ebx cos(ax)


f (s) F(x)

12.1

s2 a2sinh(ax)

a

13.s

s2 a2 cosh(ax)

14.1

(s b)2 a2ebx sinh(ax)

a

15.s b

(s b)2 a2 ebx cosh(ax)

16.1

(s a) (s b) , a , bebx eax

b a

17.s

(s a) (s b) , a , bbebx aeax

b a

18.1

(s2 + a2)2sin(ax) ax cos(ax)

2a3

19.s

(s2 + a2)2x sin(ax)

2a

20.s2

(s2 + a2)2sin(ax) + ax cos(ax)

2a

21.s3

(s2 + a2)2cos(ax) 1

2ax sin(ax)

22.s2 a2

(s2 + a2)2x cos(ax)


f (s) F(x)

23.1

(s2 a2)2ax cosh(ax) sinh(ax)

2a3

24.s

(s2 a2)2x sinh(ax)

2a

25.s2

(s2 a2)2sinh(ax) + ax cosh(ax)

2a

26.s3

(s2 a2)2 cosh(ax) +1

2ax sinh(ax)

27.s2 + a2

(s2 a2)2 x cosh(ax)

28.1

(s2 + a2)3(3 a2x2) sin(ax) 3 ax cos(ax)

8a5

29.s

(s2 + a2)3x sin(ax) ax2 cos(ax)

8a3

30.s2

(s2 + a2)3(1 + a2x2) sin(ax) ax cos(ax)

8a3

31.s3

(s2 + a2)33x sin(ax) + ax2 cos(ax)

8a

32.s4

(s2 + a2)3(3 a2x2) sin(ax) + 5ax cos(ax)

8a

33.s5

(s2 + a2)3(8 a2x2) cos(ax) 7ax sin(ax)

8


f(s) F(x)

34.3s2 a2

(s2 + a2)3x2 sin(ax)

2a

35.s3 3a2s(s2 + a2)3

1

2x2 cos(ax)

36.s4 6a2s2 + a4

(s2 + a2)41

6x3 cos(ax)

37.s3 a2s

(s2 + a2)4x3 sin(ax)

24a

38.1

(s2 a2)3(3 + a2x2) sinh(ax) 3ax cosh(ax)

8a5

39.s

(s2 a2)3ax2 cosh(ax) x sinh(ax)

8a3

40.s2

(s2 a2)3ax cosh(ax) + (a2x2 1) sinh(ax)

8a3

41.s3

(s2 a2)33x sinh(ax) + ax2 cosh(ax)

8a

42.s4

(s2 a2)3(3 + a2x2) sinh(ax) + 5ax cosh(ax)

8a

43.s5

(s2 a2)3(8 + a2x2) cosh(ax) + 7ax sinh(ax)

8

44.3s2 a2

(s2 + a2)3x2 sinh(ax)

2a


f (s) F(x)

45.s3 + 3a2s

(s2 a2)31

2x2 cosh(ax)

46.s4 + 6a2s2 + a4

(s2 a2)41

6x3 cosh(ax)

47.s3 + a2s

(s2 a2)4x3 sinh(ax)

24a

48.1

s3 + a3eax/2

3a2

{3 sin

3 ax

2 cos

3 ax

2+ e3ax/2

}

49.s

s3 + a3eax/2

3 a

{cos

3 ax

2+

3 sin

3 ax

2 e3ax/2

}

50.s2

s3 + a31

3

(eax + 2eax/2 cos

3 ax

2

)

51.1

s3 a3eax/2

3a2

{e3ax/2 cos

3 ax

2

3 sin

3 ax

2

}

52.s

s3 a3eax/2

3a

{3 sin

3 ax

2 cos

3 ax

2+ e3ax/2

}

53.s2

s3 a31

3

(eax + 2eax/2 cos

3 ax

2

)

54.1

s4 + 4a41

4a3(

sin(ax) cosh(ax) cos(ax) sinh(ax))

55.s

s4 + 4a4sin(ax) sinh(ax)

2a2


f (s) F(x)

56.s2

s4 + 4a41

2a

(sin(ax) cosh(ax) + cos(ax) sinh(ax)

)

57.s3

s4 + 4a4cos(ax) cosh(ax)

58.1

s4 a41

2a3(

sinh(ax) sin(ax))

59.s

s4 a41

2a2(

cosh(ax) cos(ax))

60.s2

s4 a41

2a

(sinh(ax) + sin(ax)

)

61.s3

s4 a41

2

(cosh(ax) + cos(ax)

)

62.1

s + a +

s + b

ebx eax2(b a)

pix3

63.1

s

s + a

erf

axa

64.1

s (s a)eax erf

ax

a

65.1

s a + b eax

{ 1pix

beb2x erfc(bx)}

66.1

s2 + a2Jo(ax)


f (s) F(x)

67.1

s2 a2Io(ax)

68.(

s2 + a2 s)ns2 + a2

, n > 1 anJn(ax)

69.(s

s2 a2)n

s2 a2, n > 1 anIn(ax)

70.eb (s

s2+a2)

s2 + a2

Jo(a

x(x + 2b))

71.eb

s2+a2

s2 + a2

{Jo(a

x2 b2)) x > b

0 x < b

72.1

(s2 + a2)3/2x J1(ax)

a

73.s

(s2 + a2)3/2x Jo(ax)

74.s2

(s2 + a2)3/2Jo(ax) ax J1(ax)

75.1

(s2 a2)3/2x I1(ax)

a

76.s

(s2 a2)3/2 x Io(ax)

77.s2

(s2 a2)3/2 Io(ax) + ax I1(ax)


f (s) F(x)

78.1

s (es 1) =es

s (1 es) F(x) = n, n 5 x < n + 1, n = 0, 1, 2, . . .

v.anche n141, pag.145

79.1

s (es r) =es

s (1 res)F(x) =

[x]k

1

rk

dove [x] = il piu` grande intero 5 x

80.es 1

s (es r) =1 es

s (1 res) F(x) = rn, n 5 x < n + 1, n = 0, 1, 2, . . .

v. anche n143, pag.146

81.ea/s

s

cos(2

ax)pix

82.ea/s

s3/2sin(2

ax)

pia

83.ea/s

sn+1, n > 1

(xa

)n/2Jn(2

ax)

84.ea

s

s

ea2/4x

pix

85. ea

sa

2pix3

ea2/4x

86.1 ea

s

serf

(a/(2

x)

)

87.ea

s

serfc

(a/(2

x)

)

88.ea

s

s (

s + b)

eb (bx+a) erfc(b

x +a

2

x

)


f (s) F(x)

89.ea/

s

sn+1, n > 1 1

pix a2n+1

0

uneu2/4a2xJ2n(2

u)du

90. logs + as + b

ebx eaxx

91.log[(s2 + a2)/a2]

2sCi(ax)

92.log [(s + a)/a]

sEi(ax)

93. ( + log s)s

log x

= cost. di Eulero = 0.5772156...

94. log(s2 + a2s2 + b2

) 2( cos(ax) cos(bx))x

95.pi2

6s+

( + log s)2

s = cost. di Eulero = 0.5772156...

log2 x

96.log s

s

(log x + ) = cost. di Eulero = 0.5772156...

97.log2 s

s

(log x + )2 16pi2

= cost. di Eulero = 0.5772156...

98.(n + 1) (n + 1) log s

sn+1, n > 1 xn log x

99. arctg(a/s)sin(ax)

x


f (s) F(x)

100.arctg(a/s)

sSi(ax)

101.ea/s

serfc(

a/s)

e2

ax

pix

102. es2/4a2 erfc(s/2a)

2api

ea2x2

103.es

2/4a2 erfc(s/2a)

serf(ax)

104.eas erfc(

a/s)

s

1pi (x + a)

105. eas Ei(as)1

x + a

106.1

a

[cos(as)

{pi2 Si(as)

} sin(as) Ci(as)

] 1x2 + a2

107. sin(as){pi2 Si(as)

}+ cos(as) Ci(as)

x

x2 + a2

108.cos(as)

{pi2 Si(as)} sin(as) Ci(as)

sarctg(x/a)

109.sin(as)

{pi2 Si(as)} + cos(as) Ci(as)

s

1

2log

(x2 + a2a2

)

110.[pi2 Si(as)

]2+ Ci2(as)

1

xlog

(x2 + a2a2

)

111. 0 N(x)


f (s) F(x)

112. 1 (x) (=distribuzione di Dirac)

113. eas (x a)

114.eas

sU(x a)


115.sinh(st)

s sinh(sa)

t

a+

2

pi

n

1

(1)nn

sinnpit

acos

npix

a

116.sinh(st)

s cosh(sa)

4

pi

n

1

(1)n2n 1 sin

(2n 1)pit2a

sin(2n 1)pix

2a

117.cosh(st)

s sinh(sa)

x

a+

2

pi

n

1

(1)nn

cosnpit

asin

npix

a

118.cosh(st)

s cosh(sa)1 +

4

pi

n

1

(1)n2n 1 cos

(2n 1)pit2a

cos(2n 1)pix

2a

119.sinh(st)

s2 sinh(sa)

xt

a+

2a

pi2

n

1

(1)nn2

sinnpit

asin

npix

a

120.sinh(st)

s2 cosh(sa)t +

8a

pi2

n

1

(1)n(2n 1)2 sin

(2n 1)pit2a

cos(2n 1)pix

2a

121.cosh(st)

s2 sinh(sa)

x2

2a+

2a

pi2

n

1

(1)nn2

cos

(npit

a

) (1 cos npix

a

)

122.cosh(st)

s2 cosh(sa)x +

8a

pi2

n

1

(1)n(2n 1)2 cos

(2n 1)pit2a

sin(2n 1)pix

2a


f (s) F(x)

123.cosh(st)

s3 cosh(sa)

1

2(x2 + t2 a2) 16a

2

pi3

n

1

(1)n(2n 1)3 cos

(2n 1)pit2a

cos(2n 1)pix

2a

124.sinh(t

s)

sinh(a

s)

2pi

a2

n

1

(1)nn en2pi2x/a2 sin npita

125.cosh(t

s)

cosh(a

s)

pi

a2

n

1

(1)n1(2n 1) e(2n1)2pi2x/4a2 cos (2n 1)pit2a

126.sinh(t

s)

s cosh(a

s)

2

a

n

1

(1)n1e(2n1)2pi2x/4a2 sin (2n 1)pit2a

127.cosh(t

s)

s sinh(a

s)

1

a+

2

a

n

1

(1)nen2pi2x/a2 cos npita

128.sinh(t

s)

s sinh(a

s)

t

a+

2

pi

n

1

(1)nn

en2pi2x/a2 sin

npit

a

129.cosh(t

s)

s cosh(a

s)1 +

4

pi

n

1

(1)n2n 1 e

(2n1)2pi2x/4a2 cos(2n 1)pit

2a

130.sinh(t

s)

s2 sinh(a

s)

xt

a+

2a2

pi3

n

1

(1)nn3

(1 en2pi2x/a2) sin npita

131.cosh(t

s)

s2 cosh(a

s)

1

2(t2 a2) + x 16a

2

pi3

n

1

(1)n(2n 1)3 e

(2n1)2pi2x/4a2 cos(2n 1)pit

2a

132.Jo(it

s)

s Jo(ia

s)

1 2

n

1

e2nx/a

2

Jo(nt/a)

n Jn(n)

dove 1, 2,...sono le radici positive di Jo() = 0


f (s) F(x)

133.Jo(it

s)

s2 Jo(ia

s)

1

4(t2 a2) + x + 2a2

n

1

e2nx/a

2

Jo(nt/a)

3n

Jn(n)

dove 1, 2,...sono le radici positive di Jo() = 0

134.1

as2tanh

(as2

)Funzione onda triangolare

0

1

2a 4a 6ax

F(x)

135.1

stanh

(as2

)Funzione onda quadrata (o quadra)

-1

1

a 2a 3a 4a 5ax

F(x)

136.pia

a2s2 + pi2coth

(as2

)Funzione onda seno rettificata

0

1

a 2a 3ax

F(x)

137.pia

(a2s2 + pi2) (1 eas)

Funzione onda seno semirettificata

0

1

a 2a 3a 4ax

F(x)


f (s) F(x)

138.1

as2 e

as

s (1 eas)

Funzione onda a dente di sega

0

1

a 2a 3a 4ax

F(x)

139.

eas

s


Funzione unitaria di Heaviside

0

1

ax

F(x) = U(x a)

140.eas (1 es)

s

Funzione impulso

0

1

a a+x

F(x)

141.

1

s (1 eas)v. anche n78, pag.139

Funzione a scalino

0123

a 2a 3ax

F(x)

142.es + e2s

s (1 es)2

F(x) = n2, n 5 x < n + 1, n = 0, 1, 2, . . .

01234

1 2 3x

F(x)


f (s) F(x)

143.

1 ess (1 res)


F(x) = rn, n 5 x < n + 1, n = 0, 1, 2, . . .

0

1

r

1 2 3x

F(x)

144.pia (1 + eas)

a2s2 + pi2

F(x) ={ sin(pix/a) 0 5 x 5 a

0 x > a

0

1

ax

F(x)


3.5 Tabella delle funzioni speciali

1. Funzione Gamma, della variabile reale n:

(n) =

0

un1

ueu du , n R+

2. Funzione Beta, delle due variabili reali m, n:

B(m, n) =

10

um1(1 u)n1 du = (m)(n)

(m + n), m, n R+

3. Funzioni di Bessel: per ogni n Z+ {0},Jn(x) =

xn

2n(n + 1)

{1 x

2

2(2n + 2)+

x4

2 4(2n + 2)(2n + 4) }

4. Funzioni di Bessel modificate : per ogni n Z+ {0},In(x) = i

nJn(ix) =xn

2n(n + 1)

{1 +

x2

2(2n + 2)+

x4

2 4(2n + 2)(2n + 4) + }

5. Funzione degli errori

erf(x) =2pi

x0

eu2

du

6. Funzione complementare della funzione degli errori

erfc(x) = 1 erf(x) = 2pi

x

eu2

du

7. Integral esponenziale

Ei(x) =

x

eu

udu

8. Integral seno

Si(x) =

x0

sin u

udu

9. Integral coseno

Ci(x) =

x

cos u

udu


10. Integral seno di Fresnel

S(x) =

x0

sin u2 du

11. Integral coseno di Fresnel

C(x) =

x0

cos u2 du

12. Polinomi di Laguerre

Ln(x) =ex

n!

dn

dxn(xnex) , n = 0, 1, 2, . . .

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