Suono e musica: le basi fisiche

dell’ armonia

Leonardo Castellani

Università del Piemonte Orientale

Torgnon , 14 Marzo 2013

• Sentiamo un suono quando il timpano dell’ orecchio è posto

in vibrazione da un’ onda sonora

• Un’ onda sonora è formata da zone di compressione e

rarefazione dell’ aria, che si propagano in tutte le direzioni

(se non ci sono ostacoli)

Alta pressione

(compressione)

Bassa pressione

(rarefazione)

Le molecole dell’ aria oscillano nella stessa direzione dell’ onda.

Le oscillazioni sonore sono quindi longitudinali.

Oscillazione del valore della pressione, nel tempo e nello spazio

p

(a) Onda longitudinale

(b) Onda trasversale

Le onde del mare non sono

nè completamente trasverse

nè completamente longitudinali

• Riassunto: per qualsiasi onda che si propaghi a velocità v :

λ

λ = lunghezza d’ onda

A

A = ampiezza dell’ onda → VOLUME del suono

f = frequenza = 1/ T = quante volte l’ onda oscilla in un secondo

→ ALTEZZA del suono . Si misura in Hertz (Hz)

v = λ / T

T = periodo = tempo impiegato nel percorrere λ

p

La FORMA dell’ onda dà invece il TIMBRO del suono !

ANDAMENTO PERIODICO SUONO

ALTRIMENTI RUMORE

La0 = 27.5 Hz

Do8 = 4186 Hz

La4 = 440 Hz

Le frequenze (fondamentali) delle corde del pianoforte

Esperimento con oscilloscopio:

le onde sonore di vari strumenti

Il VOLUME (o INTENSITA’) del suono

(legato all’ ampiezza A)

= energia trasmessa dall’ onda in un secondo

attraverso una superficie di 1 m2

Si misura in watt/m2

Soglia del dolore

Soglia della percezione

W/m2

I0

percezione

dolore

• Da cosa sono provocate le onde (oscillazioni) in natura ?

Da una eccitazione iniziale e da una forza di richiamo

• L’ eccitazione provoca uno spostamento x dalla posizione

di equilibrio

• La forza di richiamo F tende a riportare alla posizione di

equilibrio

• Per PICCOLI SPOSTAMENTI la forza di richiamo

è proporzionale allo spostamento (es: molla)

F = k x

Vediamo allora come oscilla una massa attaccata ad una molla:

Il moto della massa in questo caso

si chiama “moto armonico”.

Per questo motivo la forma dell’ onda

associata al movimento di m si chiama

onda armonica (oppure onda “pura”

o “sinusoidale” )

È l’ onda “più semplice”

• Le onde si possono SOVRAPPORRE !

Per esempio quando in mare si incontrano

due onde , le loro ampiezze si SOMMANO

Qualunque onda di frequenza f può ottenersi come

sovrapposizione di onde armoniche, di frequenze

n f (teorema di Fourier), con n = numero intero

n = 1 → FONDAMENTALE

n = 2 → PRIMA ARMONICA

n = 3 → SECONDA ARMONICA etc….

Ampiezze delle

armoniche

Analisi spettrale

Sovrapposizione di armoniche: non viene percepita come

un insieme di suoni a frequenze diverse, ma come un unico

suono, con data frequenza fondamentale. La presenza di

armoniche, variamente miscelate, produce il timbro del suono.

Meccanismo che permette di assegnare un’ unica sensazione di

altezza ad un tono complesso di strumento musicale

→ Analisi spettrale con oscilloscopio

Perché gli strumenti musicali emettono suoni, cioè

onde periodiche di compressione, e non rumori (aperiodici) ?

• Abbiamo visto che una molla oscilla armonicamente, e può quindi

emettere (spostando periodicamente le molecole di aria nelle

sue vicinanze) un suono armonico. Esempio: diapason.

• Uno strumento musicale è molto più complesso di una molla

o di un diapason. Vengono messe in vibrazione corde oppure

colonne di aria in opportuni cilindri etc. Queste vibrazioni

eccitano altre parti dello strumento (che entrano in risonanza).

A causa della riflessione delle onde, se fate vibrare una

corda tenuta fissa a due estremi, l’ onda riflessa interferisce

con l’ onda originaria, a meno che non si crei una

ONDA STAZIONARIA

• In genere in una corda vibrante (corda di chitarra, di

pianoforte, di clavicembalo…), o in una colonna d’ aria

vibrante (canna d’ organo, o di flauto etc..)

si creano sovrapposizioni di onde stazionarie,

con un’ onda di frequenza minima (la fondamentale)

accompagnata

da varie armoniche (con frequenze multiple della fondamentale)

• Però lo spettro di frequenze emesse da una chitarra o da

un violino non è semplicemente quello della corda che vibra.

Infatti il corpo della chitarra o del violino RISUONA per

alcune frequenze: le armoniche corrispondenti a quelle

frequenze vengono esaltate.

Il fenomeno della risonanza:

• Le onde sonore emesse da un diapason possono mettere in

vibrazione un altro diapason inizialmente “fermo”,

se le frequenze proprie dei due diapason sono uguali

• Esempio: altalena che oscilla con frequenza propria

di 1 Hz. Spinte di frequenza 1, 1/2, 1/3 Hz …

(una spinta ogni una, due, tre,…oscillazioni) possono metterla

in movimento ed ampliarne l’ ampiezza di oscillazione !

Tacoma Narrows

Bridge, 1940

• Esempio: diapason su cassa di risonanza.

Così nel pianoforte il La3 (220 Hz) mette in risonanza

il La4 (440 Hz ) dell’ ottava superiore

La3 (220 Hz)

La4 (440 Hz)

Con tecniche di interferometria olografica si ottengono

immagini delle onde stazionarie sul corpo dello strumento:

Ampiezza delle oscillazioni ≈ 10-5 cm

La serie armonica • Pizzicando una corda (Sol2), si eccitano in generale

più armoniche. L’ altezza corrisponde alla fondamentale Sol2

• L’ ampiezza delle varie armoniche determina la forma

dell’ onda stazionaria sulla corda, cioè il timbro

• Le prime otto armoniche, in notazione musicale:

Sperimentare col pianoforte !

Consonanza e dissonanza

• sensazione soggettiva associata a due o più toni suonati

simultaneamente

• due suoni all’ unisono (stessa frequenza della fondamentale)

hanno le stesse armoniche

• Cosa succede se modifichiamo gradatamente l’ altezza

(cioè la frequenza) di uno dei due suoni ?

1) un solo suono, battimenti

(si percepiscono bene fino a circa Δf = 10 Hz)

2) oltre 15 Hz: spariscono i battimenti, e ruvidezza del suono

3) quando Δf raggiunge un certo valore critico Δf D :

si distinguono due toni separati. Rimane la ruvidezza.

4) quando Δf raggiunge un certo valore critico ΔfCB :

scompare la sensazione di ruvidezza

Dalla sovrapposizione di due onde di frequenze vicine:

battimenti

Frequenza dei battimenti = differenza delle frequenze delle due onde

L’ orecchio

Frequenze diverse mettono in vibrazione

diverse zone di questa membrana

35 mm

ΔfCB corrisponde a circa 1.2 mm

• La cochlea è un raffinatissimo analizzatore di spettro

• quando un’ onda sonora raggiunge la cochlea, la sua membrana

inizia a vibrare nelle varie zone corrispondenti

alle armoniche presenti nel suono.

Quando vibrano zone diverse della membrana che distano meno

di circa 1.2 mm, si ha sovrapposizione parziale delle zone,

con relativa “fatica” del cervello per decodificare le frequenze

Sensazione di spiacevolezza

due suoni sono sentiti come “consonanti” se le loro fondamentali

e le loro principali armoniche

non sono nella situazione di

“vicinanza fastidiosa” nella cochlea.

• Quali sono gli intervalli musicali per cui questo accade ?

• In ordine di consonanza:

1/1 unisono

2/1 ottava

3/2 quinta

4/3 quarta

5/3 sesta maggiore

5/4 terza maggiore

6/5 terza minore

8/5 sesta minore

Rapporto tra le frequenze

Consonanze

“perfette”

Consonanze

“imperfette”

A. Frova, Le Scienze, gennaio 2000

Le scale musicali

Un certo numero di note (insieme discreto di frequenze)

scelte in modo da fornire

il maggior numero possibile di combinazioni consonanti

quando due o più note vengano suonate contemporaneamente

Con questo criterio si costruiscono immediatamente

due scale:

Consonanze perfette e imperfette → scala “giusta”

Solo consonanze perfette → scala pitagorica

Esempio: costruzione della scala pitagorica

Costruita con l’ ottava (2/1), la quinta (3/2) e la quarta (4/3)

do sol

3/2

do

4/3

1/2

f 3/2 f 2 f

4/3

re

9/8 f

3/2

la

27/16 f

Scala pentatonale

Scala pitagorica

do re mi fa sol la si do

1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2

9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243

9/8 = 1.125 = tono pitagorico

256/243 = 1.053 = semitono diatonico pitagorico

Poi generiamo fa# (quarta sotto si), do# (quarta sotto fa#),

sol# (quinta sopra do# ), la# (quarta sopra fa) e re# (quinta sotto la#)

Appare un nuovo semitono (per es. fa - fa#) 2187/2048 = 1.068 = semitono cromatico pitagorico

12 note

do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si 1 256 9 32 81 4 729 3 128 27 16 243

243 8 27 64 3 512 2 81 16 9 128

I CENTS

NB (9/8)6 2.027

Per un’analisi quantitativa dei rapporti di frequenze:

i CENTS. L’ ottava = 1200 CENTS.

SEMITONO TEMPERATO = 100 CENTS = 12 2

do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si 1 256 9 32 81 4 729 3 128 27 16 243

243 8 27 64 3 512 2 81 16 9 128

0 114 204 294 408 498 612 702 816 906 996 1110

Intervalli puri (matematici): quinta = 3/2 = 702 cents terza minore = 6/5 = 316 cents

quarta = 4/3 = 498 cents sesta maggiore = 5/3 = 884 c.

terza maggiore = 5/4 = 386 cents sesta minore = 8/5 = 814 cents

Scala giusta (o naturale)

basata su rapporti semplici

costruita per ottave, quinte, terze pure

do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si 1 16 9 6 5 4 17 3 8 5 9 15

15 8 5 4 3 12 2 5 3 5 8

0 112 204 316 386 498 603 702 814 884 1018 1088

do – re : 9/8 = 204 cents

re – mi : 10/9 = 182 cents problema anche per

melodie senza accordi

Problemi: consonanze solo in poche tonalità

Restrizioni alle trasposizioni e alle modulazioni !

Problemi risolti con la scala TEMPERATA

Necessario un compromesso: si rinuncia alla “giustezza” degli

intervalli musicali, per ottenere invece un rapporto di frequenze

SEMPRE UGUALE tra i semitoni della scala

Questo rapporto è dato da 12 2 = 1.0595 = 100 cents

semitono temperato

I cents

Paragone tra le varie scale:

Frequenze della scala temperata

C D E F G A B

do re mi fa sol la si

Quinta: do-sol

deviazioni da consonanza matematica: 0,0,-5,-2 (temp)

sol# - mib

deviazioni: -24 (lupo),-2,+35,-2

Terza maggiore: do - mi

deviazioni : + 22, 0, 0, +14(temp)

Sesta maggiore : do – la

deviazioni: +22, 0, +6, +16(temp)

Scala pitagorica:

Scala giusta:

Scala temperata:

si apprezzano meno le differenze quando non ci sono

accordi!

Vari temperamenti

Pitagorico (per quinte pure): apprezzabile per stili armonici in cui

si favoriscono quinte e quarte (polifonia in Cina e Europa medioevale)

Perotin, Adam de la Halle, Petrus de Cruce , XIII secolo.

Guillaume de Machaut, XIV secolo.

Terze maggiori e minori non sono pure. Una quinta “del lupo”.

Quando un intervallo musicale si allontana troppo dalla consonanza

matematica, diventa troppo “stonato” per essere utilizzato (si

dice allora “del lupo”). Nei temperamenti antichi si tollerano

circa 22 cents sulle terze (come nelle terze pitagoriche) e

circa 11 cents sulle quinte. Un orecchio moderno è forse più esigente.

Nel XV secolo lo stile musicale evolve con maggiore enfasi su

terze e seste necessità di temperamenti diversi

(“meantone tunings”: triadi maggiori quasi pure)

Temperamenti regolari (tutte le quinte temperate

con lo stesso numero di cents):

Aaron’s meantone, Silbermann.

Temperamenti irregolari: Kirnberger, Vallotti, Werckmeister,

il “ben temperamento” (quello del “Clavicembalo ben temperato”)

- ogni tonalità è usabile

- no lupi

- ottave pure

- tutti gli accordi suonano bene. Ben temperamento: terze maggiori

e quinte quasi pure per tonalità vicino a do, intervalli meno

puri, ma sempre accettabili, per tonalità lontane da do.

- ogni tonalità ha un suo “colore”. Si può scrivere musica

assecondando il colore della tonalità scelta.

Bach: clavicembalo ben temperato, 48 preludi e fughe, 2 in ogni

tonalità (maggiore e minore)

Temperamento equabile

Si diffonde dalla metà dell’ 800 (proposto da Mersenne verso

la metà del XVIII secolo).

Ogni scala suona nello stesso modo. Tutti gli accordi sembrano

ugualmente intonati.

Solo ottave pure

Tutte le tonalità abbastanza “interessanti”, ma tutte uguali tra loro

come colore.

Il migliore dei mondi?

Bach in “ben temperamento”

Musica medioevale in accordatura pitagorica

Chopin e romantica: temperamento equabile.

Frammenti musicali in vari temperamenti

Schubert: temperato Bach: clavicembalo

giusto organo

pitagorico (pitagorico 1/6 comma)

Buxtehude

Senfl: pitagorico

Handel temperato

Musica nella fisica ?

esempio contemporaneo: teoria delle stringhe (per spiegare le interazioni

fondamentali tra i componenti “ultimi” della materia)

QUARKS LEPTONI

LA MATERIA:

LE INTERAZIONI e le particelle mediatrici

Elettromagnetica: fotone γ

Forte: gluone

Debole: Z0, W±

Gravitazionale gravitone

Particelle puntiformi, senza struttura interna (fino a 10-18 metri)

Ragioni per una fisica “oltre il modello standard” . Ulteriori unificazioni

e-

e-

e-

e-

γ

Per es: l’ interazione elettromagnetica

tra elettroni è mediata dai fotoni

NOTA: le zone di interazione sono puntiformi

Per la gravitazione, lo stesso schema porta a inconsistenze

matematiche

E’ necessario superare il concetto di particella elementare

PUNTIFORME

Gli oggetti elementari sono STRINGHE, di estensione

~ 10-35 m

aperta chiusa

Le zone d’ interazione

sono estese

I vari modi di vibrazione

corrispondono alle varie

particelle

Illusioni acustiche: effetto Schepard

R. Shepard, J. Acoust. Soc. Am 36 (1964) 2346

Bibliografia:

J. G. Roederer, The Physics and Psychophysics of Music,

1995 Springer

J. Jeans, Science and Music, 1937 (Dover 1968)

H. Helmholtz, On the sensations of tone, 1885 (Dover 1954)

J. Backus, The acoustical foundations of music, Norton 1969

M. Critchley, R.A. Henson, La musica e il cervello, Piccin 1987

A. Schönberg, Manuale di armonia, 1922 (Il Saggiatore 1963)