83

S U L L A T R I G O N O M E T R I A D I U N A M E T R I C A

A C U R V A T U R A N E G A T I V A

di Francesco Amato (*) (Messina)

SUMMARY. Given a metrics, with negative variable curvature, the Poincar6's model is used to extend some results of hyperbolic geometry.

RIASSUNTO. Assegnata una metrica, a curvatura negativa non costante, si utilizza il mo- dello di Poincar6 per estendere certi risultati della geometria iperbolica.

Si sa che una delle realizzazioni pi/z comode della geometria non euclidea

iperbolica pub essere ottenuta sul semipiano di Poincar6, assegnata che sia la

metrica a curvatura costante negativa

(1) d~ 2 = dx2 ~ dy~ , (y > 0).

Con tale metrica si trova che le geodetiche dei piano iperbolico si rappresentano,

sul semipiano cartesiano y > 0, con le sernicirconferenze ortogonali all'asse x,

o con le semirette ortogonali all'asse .x. Utilizzando questo modello di Poincar6

M. T. Calapso [1] ha ottenuto diversi risultati e, tra I'altro, ha dimostrato che

il teorema di Pitagora pub ricevere una forma che vale in geometria assoluta [2].

Ci si pub domandare se certe propriet~ della geometria iperbolica non

possano essere estese a delle metriche a curvatura negativa non costante. Si sa

d'altro canto che Levi-Civita [3] ha dimostrato che si pub realizzare su ogni

superficie una trigonometria di piccoli triangoli e Hadamard [4] ha dimostrato

che sulle superficie a curvatura negativa si hanno delle propriet/i globali relative

alle geodetiche.

(*) Lavoro eaeguito nell'ambito deli'attivit/t dei Oruppi di ricerca matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche; (presentato da R. Calapso).

8 4 FRANCESCO AMATO

Nel presente lavoro ci proponiamo di considerare la realizzazione di una

trigonometria globale assegnata che sia ia metrica ortogonale

(2) d ~ = ( l - - [ - v s) du s + l-q- v s v ~ d v ~

utilizzando il modello di Poincar6.

lntanto, dalla (2), si ricava c h e l a curvatura di Gauss ~ data dalla formula

2 v 2 (3) K - (1 + v~) s '

dalla quale si vede che ia curvatura K ~ sempre negativa e si annulla ali'infi-

nito della geometria (t) e cio~ per v = 0 e v = c~. Quindi, la metrica (2) deft-

nisce una varieth V~ in tutto il semipiano v ~ 0 e il problema che ci si propone

quello di considerare le geodetiche di V~ come rette e determinare le propriet/|

dei triangoli geodetici.

Consideriamo dunque, in primo luogo, le equazioni delle geodetiche. Si sa

che utilizzando la forza viva associata

_ _ v 2 u _ a u v=dV (4) T = ~- (1 + v ~) q- v~ , dr- ' -dt-

ie geodetiche sono date dalle equazioni di Lagrange

(5) d t c ~ d~ - - - -O V = 0

considerando T come funzione delle quattro variabili u, v, u, v. Siccome T non

dipende esplicitamente dalla variabile u, la prima equazione delle (5) ci d/l:

(6) u (1 + v s) = c

dove c ~ una costante. D'altra parte, poich~ noi abbiamo l'integrale delle forze vive

1-']-v s v s : _ k s (7) (1 + vS),~ ~ + v s

possiamo ricavare le equazioni delle geodetiche, della metrica (2), dalle equazioni

(6) e (7), dove t ~ un parametro e c, k sono delle costanti. Si vede che se c = 0

allora u = cost. . Dunque u-----cost, sono geodetiche della metrica (2) e per la

varieth V~ bisogna considerare le semirette u : cost., (v > 0).

(~) Nella rappresentazione di Poincar6, ai punti del piano iperbolico corrispondono biunivocamente i punti reali di un semipiano cartesiano, mentre ai punfi ali'infinito cord- spondono tanto i punti della retta origine y-----0 del semipiano, quanto i punti ail'infinito.

SULLA TRIGONOMETRIA DI UNA METRICA A CURVATURA NEGATIVA 8 5

Supponiamo adesso c ~ 0. El iminando t e ponendo c ~ m k si ottiene,

dalle (6) e (7), I 'equazione deIle geodet iche di V~ sotto la forma

m d v (8) d u = vl/v ~ - [ - 1 - m s ' ( v ~ 0 )

dove m ~ una costante. Se questa costante ~ nulla allora noi ot teniamo le

semirette u-----cost.. Nel caso in cui m = - I - 1 , integrando l 'equazione (8), si ottiene:

(9) v ( u - - l ) : •

dove l ~ una costante . Dunque, noi abb iamo cosi due famiglie di iperboli

equilatere. Natura lmente si devono prendere le parti di ques te iperboli che si

t rovano nel semipiano v > O.

Supponiamo infine il r m ~ 1. In questo caso p o n en d o :

dalla (8) si r icava:

V 2 - J r - l - m s = 2

d u = m d p

p~ + m ~ - 1 "

Integrando, per m 2 < 1 si ottiene l ' equazione:

u --:- 1 - - m [/v 2 -[- 1 - - m 2 - - 1/1 - - m 2 2 ~ / ~ log v/v~ + x - m ~ + ~ '

che si pub anche scr ivere:

(10) v - - f l - - m 2

t/1 - - m 2 s h (u - - l)

m

Mentre, per m ~ ~ 1 si ricava l ' equazione:

m l/v+ -q - 1 - - m + u - - l arc tg

+ ~ - 1 V ~ - I

che si pub anche scr ivere :

(11) v = mV~--I

(u - 0 ~ 1 r

m

8 6 FR&NCESCO AMATO

Quindi si ha :

Le geodetiche della metrica (2) per v > 0 sono le semirette u = cost., le

due famiglie di iperboli equilatere (9), le curve (10) e le curve (11).

Osserv iamo adesso che se si indicano con du, dv i differenziali di una

direzione in un punto P(u, v) di Ve e con du', dv" i differenziali di un 'al t ra

direzione e con 0 l 'angolo di queste direzioni si ricava, tenendo conto della (2),

la formula :

( 1 + v 2) d u d u " q- l + v ~ - - dv dv"

V 2

COS 0

V ( 1 + v ~) d u ~ + - - m

che si pui5 anche scr ivere:

(12) cos 0 =

1 - ~ v 2 1 / v ~ d v~ V ( I + v ~) d u '~ + 1 + v_______~ ~ v2 d v "2

v~du du'-{- dv dr" - - o

Vv 2d u ~ + d v ~ t/v 2d u "~ + d v "~

Pertanto, tenendo conto della (8), l 'angolo delle tangenti a due geodet iche

passanti per P e corr ispondent i ai valori m e m" viene dato dalla formula

m m" -q- 1/v 2 -+- 1 - - m 2 I/~ W 1 - - m '2 cos 0 -~- v 2 --{-- 1

Si vede quindi che le geodetiche, corr ispondent i ai valori di m e m', sono

ortogonali qua ndo

m m ' + I/v 2 + 1 - - m ~ I/v 2 + 1 - - m "2 = 0

la quale ci dice che m, m' devono essere di segno differente. Elevando ai

quadrato i due membri si ottiene la relazione:

(13) m 2 + m '2 = v' + 1

e come conseguenza si ha:

Due geodetiche ricavate dalla (8) con m ed m" di segno differente, con m"

eventualmente nullo, sono ortogonali se m, m" soddisfano alla condizione (13).

In part icolare risulta che in V 2 le geodetiche, r icavate dalla (8), ortogonali

alle semirette u = cost . , (v > O) soddisfano alia condiz ione:

( l y ) m ~ = v ~ + 1

dalla quale si deduce che esse sono curve appar tenent i alia famiglia (I1),

SULLA TRIGONOMETRIA DI UNA METRICA A CURVATURA NEGATIVA 8 7

mentre le geodetiche ortogonali a una delle iperboli equilatere (9) soddisfano

alia condizione

m = - + - v .

Ognuna di queste geodetiche ~ anche una iperbole equilatera se v : 1 e natu-

ralmente ie iperboli equilatere ortogonali devono appartenere a famiglie differenti.

Consideriamo dunque due iperboli (9) di famiglie differenti

v ( u - - l ) = 1 , v ( u - - r ) = - - 1 .

Se esse sono ortogonali, devono incontrarsi nel punto

v = l , u : l - ~ - l : l ' - - I

e quindi, occorre che si abbia:

1 " = l ~ - 2 .

Cosicch~ si ottiene:

Le iperboli equilatere

v ( u - - ~ - ] - 1 ) = 1 , v ( u - - ~ - - l ) : - - I

sono ortogonali nel punto A (~, 1).

Siccome per una traslazione lungo l'asse u si pub supporre ~ = O, ne

risulta che, essendo dato un triangolo rettangolo geodetico i cut cateti sono

iperboli equilatere, si pub supporre che il vertice del triangolo rettangolo sia

nel punto A (0, 1) e che i cateti siano definiti dalle curve

(14) v(u + 1) = 1, v(u - - 1) : - - 1.

Consideriamo adesso come ipotenusa una semiretta u = r. Essa incontra

le curve (14) net punti

( 1) c(u=rv-1) (15) B u : r , v - - l q - r ' 1 - - r

semprecch/~ si abbia P ~ 1. D'altra parte, se si prende come ipotenusa una delle

curve (10), le coordinate del punto B(uo, vo) soddisfano l'equazione (10) e la

prima equazione deile (14), mentre le coordinate di C(ul, v,) soddisfano l'equa-

zione (10) e ia seconda equazione delle (14).

8 8 FRANCESCO AMATO

Nel caso in cui l ' ipotenusa ~ u-----r, tenendo conto della (12), si r icava:

1 dove si deve porre v = 1-4------~

/

Cosi pure

dove si deve porre v

Pertanto si ha :

I l m r

lP cos B - -

VI + v ~

V cos C - -

1/1 + v'

(16)

1 1 c o s B = V l + ( l + r ) 2 ' c o s t = 1 / l + ( 1 - r y '

l + r 1 - - r sen B = sen C =

1/1 + (1 + ry ' 1/1 + (1 - - r) ' '

osservando che i secondi membri sono staff presi positivi, perch~ gli angoli B,

C sono acuti. Tale affermazione si pub dimostrare operando la trasformazione

di variabili

u = x, v = e y

e poich~, in questo caso, la metrica (2) diventa:

d d :_ (1 + e ~') [d x' + d y']

ne segue c h e l a metrica ~ coniorme e quindi gli angoli coincidono con gli

angoli dello spazio euclideo E2(x, y).

Ritornando alle formule (16) si ricava facilmente:

(17) sen (B -+- C) = 1/1+ (1 + 0 2 r ( 1 - - 0 2 '

cos (t3 + C) = ? < 1

7~ dalle quali si vede c h e l a somma B - [ - C ~ - ~ - . Quindi i triangoli rettangoli

in A(0, 1), i cui cateti sono definiti dalle curve (14) e hanno come ipotenusa

u = r, (r ~ ~ 1), soddisfano alla condizione di avere la somma degli angoli

minore di ~.

SULLA TRIGONOMETRIA DI UNA METIIICA A CUIIVATURA NEGATIVA 8 9

In quello che concerne il parallelismo ~ facile vedere che, essendo dati

una geodetica e un punto al di fuori della geodetica, vi sono delle geodetiche

passanti per quel punto che non incontrano la geodetica data. A tale scopo, con-

sideriamo le geodetiche passanti per il punto P(uo, Vo) , (con v o > 0). Siccome

possiamo sempre supporre che si abbia u = 0, si ha che tra le geodetiche

di V2 passanti per P(0, Vo) vi ~ la semiretta u-----0, (v > 0). Inoltre, dalla (9),

si ricava che per P(0, Vo) passano le iperboli equilatere

(vo') ( ' ) ( 1 8 ) v u + _--_ = 1 , v u = - - 1 . Vo

lnfine dalle geodetiche (10) e (11) si deduce che tali geodetiche passano

per P(0, v o) se si ha:

t/i - - m ~ ml/~ - 1 ( 1 9 ) Vo = , Vo =

l l / 1 - - m ~ ll/m ~ - 1 - - s h cos

m m

le quali ci permettono di determinare l. Cosicch~ ie curve (10) e (11) che

passano per P(0, v0) hanno rispettivamente le equazioni:

V Vo I/1 - m ~

sh u l / i - m 2 ivy-}- l - - m 2 4 - c h u V l - - m 2 ~ /1 - -m 2 m m

V = vo f ~ - - 1

u r ~ - 1 u -~vm " - 1 COS i ~ - 1 --~ s e n t/vo ~ + 1 - - m 2

m m

Quindi deduciamo :

A ogni valore d i m positivo o negativo corrisponde una geodetica passante

per P. 2 S e m : 1 -+- Vo, dalla seconda delle (19) si ha 1----- 0 e in questo caso la

geodetica corrispondente, ricavata dalla (11), ha per equazione

(20) v ----- Vo U V o

COS 2 (i + Vo

che per la (13') risulta perpendicolare alia semiretta u----O, (v > O) in P(O, vo).

9 0 FRANCE$CO AMATO

Supponiamo adesso the si prenda come geodefica non passante per P(O, v o)

ia semiretta u = r, (v > 0). Questa curva incontra la curva (20) se si ha:

rVo < ~_ --2< +Vo ~ 2 "

Cosi pure la semiretta u = r incontra le curve (18) nei punti

V o

Q (r, r v0 + 1 1

e questi punti sono nel semipiano v > 0 se si ha:

rv o + 1 > 0 , 1 - - V o r > O

da cui si ricava che rVo deve essere compreso nell'intervallo ( - - 1, I). In parti-

colare se rvo = 1 si ha che il punto /~ si porta all'infinito, dunque la seconda

curva delle (18) incontra la semiretta u ~ r, (v > O) all'infinito e quindi si

deduce che la seconda curva delle (18) i~ parallela a tale semiretta. Se invece

r v o > 1 cio~ r > 1 _ la seconda curva delle (18) non incontra la semiretta u =--r, V0

(v > o). Premesso cib passiamo a calcolare I'angolo 0 delle geodetiche

(21) u : 0 , v (u - - ~o ) = - - 1

in P(0, v,). Tenendo conto della formula (12) si ottiene:

COS 0 V~ f i + vo

e siccome l'angolo di parallelismo ~ ~ - 0 si ricava

V o (22) sen ~ - r v;

Quindi si ha: 1 L'angolo di parallelismo della geocletica u = - - rispetto al punto P(O, Vo)

!I o

clato clalla formula (22).

Consideriamo infine il triangolo rettangolo che ha il vertice dell'angolo retto

nel punto P(O, v0) e come cateti la semiretta u = O , ( v > O) e la geodetica (20).

S U L L A T I l I G O N O M E T I l I A D I U N A M E T R I C A A C U R V A T U R A N E G A T I V A 91

Se si vuole che tali cateti siano tagliati dall ' iperbole

v (u + ~) = l

occorre che si abbia ~ > 0 ed allora si ricava che l ' iperbole incontra i cateti

nei punti S 0, , T - - ~ + ~-, ~ dove ~ ~ definito dal l 'equazione t rascendente

(23) ~ = vo v o

1/1 + Vo

Cosicch~ risulta che il triangolo geodetico rettangolo ~ determinato per mezzo

delle due costanti Vo e ~.

Siccome dalle (23) si vede che ~ > vo i lati del triangolo si ot tengono

dalle formule :

( 111/'~ f~ l--t-v 2 fl/~l/l~v2 (24) a : V - - v / ~ b : c vo v I / ~ av, dr, _ _ 2 = . J Vo II

dove abbiamo suppos to ~ compreso ira v o e 1/~ altrimenti bisogna cambiare il

segno di a e c. Si vede quindi che tra i lati a, b, c del triangolo PST esiste

una relazione e ques ta si ottiene dalle formule (23), (24) el iminando Vo, ~, ~3.

Messina, Marzo 1971.

92 F R A N C E S C O AMATO

BIBLIOGRAFIA

[1] M. T. Calapso, Sulla geometria non euclidea iperbolica, Rendiconti del Seminario Mate-

matico di Messina, Tomo V, anno 1960-61.

[2] M. T. Calapso, Le th~or~me de Pytagore en g~om~trie absolue, C. R. Acad. Sc. Paris,

t. 263, 1966.

[3] Levi-Civita, Terne di congruenze sopra una superficte ed estensione della trigonometria,

Compositio Mathematica, vol. I, 1934, p. 115-162.

[4] J. Hadamard, Les surfaces d courbures oppos~es et leurs lignes g~od~siques, Journal de Math6matiques pures et appliqu6es, Tome IV, ann6e 1898, Paris.

[5] Levi-Civita, La trigonometrie des petits triangles sur une surface, Conf6rence de la R6union Internationale des Math. Paris, Juillet 1937.

[6] A. Tonolo, I1 teorema dei senl per i triangoli tracciati sopra una superficie, Atti Accademia Naz. Lincei Rend., serie VI, 1934.