Sulla propagazione delle onde sonore nell'atmosfera

Si definisce capacità termica di un corpo il rapporto

C= dUdT

Tra energia assorbita dal corpo e conseguente variazione della sua temperatura. Dalla relazione si ricava che questa variazione della temperatura sarà tanto maggiore quanto più piccola è la capacità

termica del corpo, per un certo assorbimento costante di energia dT = dUC

.

Per una mole di gas si parla di calore molecolare. Si trova che il calore molecolare misurato in una trasformazione a volume costante nella quale si ha assorbimento di energia vale:

C V=( dUdT

)V

Dove a piede della parentesi si è indicato che durante la trasformazione si è tenuto costante il volume. Se ne deduce che per una mole di gas la funzione della sua energia interna è ricavabile integrando

U (T )=CV T +W

Dove W è una costante di integrazione corrispondente all'energia residua del gas alla temperatura dello zero assoluto, totalmente trascurabile quando si parla solo di variazioni di energia interna. Si può dimostrare che tra calore molecolare misurato in una trasformazione isocora e calore molecolare misurato in una trasformazione isobara esiste una relazione per la quale la loro differenza equivale alla costante universale dei gas. Consideriamo il primo principio della termodinamica scritto in forma infinitesimale

dU+dL=dQ

Dove genericamente il lavoro equivale a dL= p dV corrispondente ad una variazione del volume del gas, mentre dQ rappresenta lo scambio di calore tra sistema e ambiente. Sappiamo che

dU =CV dT ; inoltre per un gas ideale vale l'equazione di stato (per una mole di gas):

PV =RT

La cui forma differenziale, considerando pressione e volume variabili indipendenti, sarà:

V dp+ p dV =RdT

Il termine del lavoro assume il ruolo di tramite tra il differenziale dell'equazione di stato e il primo principio della termodinamica p dV =R dT −V dp , che quindi riscriviamo:

C V dT +R dT −V dp=dQ → (CV+R)dT −V dp=dQ

Siamo interessati alla misurazione del calore molecolare in una trasformazione isobara, pertantodp=0 , a cui segue:

C p=(dQdT

)p

=CV+R

Come volevasi dimostrare, la costante universale dei gas è data dalla differenza tra il calore molecolare misurato in una trasformazione a pressione costante e il calore molecolare misurato in una trasformazione a volume costante. Definiamo K il rapporto

K=C p

C V

=CV +R

CV

=1+ RC V

Questo rapporto dipende dalle caratteristiche molecolari del gas in questione, in particolare il valoredi K dipende dal numero di atomi che compongono una sua molecola. Una trasformazione adiabatica è quella trasformazione reversibile nella quale non si ha scambio di calore con l'ambiente. Si immagini a proposito un gas rinchiuso in un contenitore a pareti isolanti e delimitato da un pistone. Una trasformazione adiabatica è quindi quella trasformazione per la quale il primo principio si scrive:

C V dT + p dV =0

Dall'equazione di stato dei gas perfetti si esprime la pressione come p=R TV

C V dT + RTV

dV =0

Equazione risolvibile esprimendo i rapporti delle variabili:

dTT

+ RC V

dVV

=0

E quindi si integra

∫ dTT

+ RCV

∫ dVV

=0

L'integrale indefinito corrisponde all'equazione:

log T+ RCV

log V =costante

Dove la funzione log( x) rappresenta il logaritmo naturale. Dalle proprietà dei logaritmi:

log T V R /C V=costante

Prendendo la funzione inversa si arriva infine a:

T V R /C V=costante

Il rapporto R/CV è esprimibile come K=1+R /C V , pertanto possiamo riscrivere:

T V K−1=costante

Relazione fondamentale che lega le variazioni di temperatura e volume in una trasformazione adiabatica. D'altra parte si può omettere il volume per sostituzione dall'equazione di stato:

V = RTp

Pertanto sostituiamo:

T ( RTp

)K−1

= T RK−1T K−1

pK −1 = T (K−1+1) RK−1

pK−1 = T K RK−1

pK−1 =costante

Semplificando i termini costanti, si prende la k-esima radice

K√ T K

pK−1=costante

Si arriva perciò alla relazione:

T

p(K−1)/ K =costante

L'equazione descrive il comportamento di un gas sottoposto ad una trasformazione adiabatica in funzione della sua temperatura e della sua pressione. Dopo la premessa iniziale, arriviamo a discutere il fenomeno della propagazione delle onde sonore nell'aria, in particolare analizzeremo una eventuale variazione della velocità di propagazione di queste onde sonore in funzione dell'aumento di altitudine. Andremo a dimostrare infatti che la velocità di propagazione è funzione della temperatura del gas nel quale si propagano le onde.Nei ragionamenti che seguiranno, le trasformazioni riguardanti l'aria saranno considerate, secondo buona approssimazione, trasformazioni adiabatiche in quanto l'aria è un cattivo conduttore di calore. Si consideri la relazione di compressibilità di un gas:

d VV

=− 1℘

dp

Una variazione del volume di un gas corrisponde all'applicazione di una pressione. L'effetto sarà tanto più apprezzabile quanto più piccolo è il valore del modulo di comprimibilità ℘caratteristico di ogni fluido. Si esprime il modulo di comprimibilità:

℘=−VdpdV

Poiché la massa di gas è tale che m=ϱV =costante ,dove ϱ rappresenta la densità, ad una variazione dV seguirà una variazione d ϱ . Il differenziale corrispondente si esprime:

d ϱV +ϱ dV =0

La variazione dV può quindi esprimersi come dV =−d ϱϱ , pertanto il modulo di

comprimibilità si scrive:

℘=ϱ dpd ϱ

E si ha che la comprimibilità è funzione della densità,della forma della funzione p (ϱ) e perciò del suo tasso di variazione e quindi del comportamento del gas in seguito all'applicazione delle forze di pressione. Si può dimostrare che nel caso di una trasformazione isoterma vale ℘= p , e cioè il modulo di comprimibilità è eguale alla pressione del gas. In una trasformazione isoterma vale infatti la legge di Boyle pV =costante , il differenziale di questa funzione si scrive:

p dV +V dp=0 e quindi dVV

=−dpp

Dalla definizione di compressibilità si ha dVV

=− 1℘

dp , eguagliando si ottiene perciò:

dpp

= 1℘

dp e quindi ℘= p come volevasi dimostrare.

Per una trasformazione adiabatica si considera sempre la funzione T V K−1=costante , che tramitel'equazione di stato dei gas si può esprimere come:

T = pVR

→ pV (K−1+1)

R=costante

Poiché stiamo considerando una trasformazione adiabatica a temperatura costante, si ottiene semplicemente la legge di Poisson

p V K=costante

Molto simile strutturalmente alla legge di Boyle, ma con un andamento più marcato dell'iperbole del grafico per via dell'esponente K>1 .

Essendo V K=mK

ϱK allora scriveremo p

mK

ϱK =costante , ma la massa è una costante, pertanto si

semplifica e si ottiene:pϱK =C

Dove C ≡costante , allora si ha p=C ϱK . Questa risulta essere la funzione p (ϱ) la cui derivata equivale a

dpd ϱ

=K C ϱK−1=K CϱK

ϱ

Ma C ϱK= p ,allora :dpd ϱ

= k pϱ

Avendo definito il modulo di comprimibilità come ℘=ϱ dpd ϱ

si ricava pertanto:

℘=k p

Relazione fondamentale del modulo di comprimibilità in un gas che subisce una trasformazione adiabatica. Lo studio sui fenomeni di propagazione delle oscillazioni riconduce usualmente all'equazione generale delle onde:

∂2 f∂ x2 =

1v2

∂2 f∂ t2

Nella quale, per descrivere il fenomeno si è ammessa l'esistenza di una funzione generica f ( x , t)

la cui relazione tra le sue derivate parziali seconde sia accomunata dall'inverso di una velocità al quadrato. La funzione f ( x , t) è una funzione che può assumere varie forme, ad esempio

f =sin ζ( x−v t ) , purché il suo argomento risulti essere sempre una combinazione lineare delle variabili indipendenti x e t. Dopo queste assunzioni consideriamo un gas contenuto in un cilindretto le cui pareti siano perpendicolari all'asse delle ascisse e lo intersechino nei punti x e x+dx. La sezione S sia unitaria tale che dm=ϱ0 dV =ϱ0 S dx=ϱ0 dx . Esercitando una rapida variazione di volume o impartendo un impulso ad un'estremità del cilindretto, si avrà una variazione locale di pressione e densità ϱ0 . Assumiamo la variazione infinitesima della pressione dp= p− p0 per la quale si ottiene la pressione finale p= p0+dp , così come la variazione infinitesima di densità ϱ=ϱ0+d ϱ . Questa perturbazione andrà ad influenzare gli elementi contigui nella direzione dell'impulso. Assumiamo che il comportamento dell'oscillazione possa essere descritto da una funzione

ℒ(x , t) . Sia lo spostamento definito da questa funzione molto piccolo, in altre parole, si consideri un oscillazione infinitesima. L'elemento dm , attraversato dalla perturbazione, viene quindi a trovarsi, in un determinato istante, tra x+ℒ( x , t) e x+dx+ℒ( x+dx , t ) . Una funzione del tipo f ( x+dx , y) equivale a f ( x , y)+∂ f /∂ x dx , pertanto scriveremo la variazione di posizione ΔS=S fin−S ini

x+dx+ℒ( x+dx , t )−x−ℒ( x ,t )=dx+∂ℒ∂ x

dx

Essendo la funzione in due variabili, si ricorre alle sue derivate parziali.Riprendiamo la variazione di densità locale, a cui si aggiunge lo spostamento infinitesimo, che

vanno a definire dm=(ϱ+d ϱ)(dx+∂ ℒ∂ x

dx ) . Eseguendo i calcoli si arriva a

dm=(ϱ0+ϱ0

∂ ℒ∂ x

+d ϱ+d ϱ∂ℒ∂ x

)dx

Dove si sono trascurati i termini infinitesimali di ordine superiore. In virtù del principio di conservazione della massa dmini=dm fin e pertanto:

(ϱ0+ϱ0

∂ ℒ∂ x

+d ϱ+d ϱ∂ ℒ∂ x

)dx=ϱ0 dx

Infine si ricava (essendo d ϱ=ϱ−ϱ0 ):

d ϱ=−ϱ0

∂ℒ∂ x

Relazione che esprime la variazione di densità del gas. Per un espansione, dove∂ℒ∂ x

>0 , la

densità diminuisce (d ϱ)<0 . D'altra parte, per una compressione∂ℒ∂ x

<0 la densità aumenta

(d ϱ)>0 . Il modulo di comprimibilità vale ancora ℘=ϱ0dpd ϱ

, possiamo quindi riscriverlo:

℘=−ϱ0

dpϱ0

(∂ℒ∂ x

)−1

=−dp1

(∂ℒ∂ x

)

Ossia:

p=p0−℘∂ℒ∂ x

Avendo definitivo dp= p− p0 . La forza risultante agente su dm è sicuramente data dalla concorrenza di due forze di pressione: una, data dalla perturbazione impressa nel gas, l'altra, dalla normale resistenza della pressione iniziale del gas, tale che F 1−F 2=R= p1 S− p2 S . Nel caso delnostro cilindretto, avendo definito unitaria la sezione, si avrà: R= p1− p2 , dove p1,2 altro non sono che le pressioni ai due lati dell'elemento dm .

p ( x , t)− p( x+dx , t)=p( x , t )− p (x , t)−∂ p∂ x

dx=R

Ossia:

R=−∂ p∂ x

dx

In questo caso la pressione è a noi nota come p=p0−℘∂ℒ∂ x

, pertanto:

R=− ∂∂ x

[ p0−℘∂ ℒ∂ x

]dx=−[ ∂∂ x

p0−℘ ∂∂ x

∂ ℒ∂ x

]dx

La forza risultante ha quindi espressione:

R=℘∂2 ℒ∂ x2 dx

D'altra parte dovrà essere necessariamente vero che questa forza acceleri l'elemento dm=ϱ0 dx

con un'accelerazione a=∂2 ℒ∂ t 2 , tale che la forza valga:

ϱ0

∂2 ℒ∂ t 2

dx=℘∂2 ℒ∂ x2

dx

Perciò si arriva all'equazione differenziale delle onde

∂2 ℒ∂ t2

=℘ϱ0

∂2 ℒ∂ x2

Dove è necessario, in termini di unità di misura, considerare il coefficiente℘ϱ0

con le dimensioni

di una velocità al quadrato, in maniera tale che v=√℘ϱ0

. Data la rapidità con cui avviene il

fenomeno, oltre al fatto che l'aria è un cattivo conduttore di calore, si può a maggior ragione considerare il processo adiabatico. In una trasformazione adiabatica abbiamo definito ℘=k p .

Approssimando l'aria ad un gas ideale, vale inoltre p=R TV

. Avendo considerato una mole di

aria, ed essendo m=ϱV , il peso molecolare valemn

=M . In definitiva si ha:

v=√ K RTM

La velocità di propagazione delle onde sonore nell'aria diventa così una funzione della temperatura.Volendo ora studiare come diminuisca questa velocità di propagazione con il diminuire della temperatura, bisognerà considerare i moti convettivi che avvengono nella troposfera. Si riconsideri infatti la condizione di inversa proporzionalità T V K−1=costante . Quando, per via dei moti convettivi, l'aria sale dal livello del mare a zone di minor pressione, essa si espande. Ricordiamo che il processo può ritenersi adiabatico, pertanto all'aumentare del suo volume diminuisce la sua temperatura. Vale il discorso inverso per l'aria che dalle zone a bassa pressione arriva al livello del mare, aumentando di temperatura. Consideriamo uno straterello di aria, sempre di sezione unitaria, di altezza dh la cui base inferioresi trovi a quota h rispetto al livello del mare. Chiaramente, se p è la pressione agente sulla baseinferiore, su quella superiore, a livello del mare, sarà p+dp , dove dp è l'aumento di pressione. Dalla legge di Stevin vale infatti, poiché un aumento di altezza comporta una diminuzione della pressione:

dp=−ϱ g dh

Dove la densità dell'aria equivale a ϱ= mV

, ma V = mM

RTp

, allora ϱ= M pRT

, pertanto

dp=−gM pR T

dh

Ritenendo valida la relazioneT

p(K−1) /K =costante la si trasforma in logaritmo:

logT

p(K−1)/ K =log T−log p(K−1)/K=costante

La derivata implicita di questa equazione porta a (ricordando le proprietà dei logaritmic log a=log ac )

1T

dT − 1p

K−1K

dp=0

Ossia:dTT

= K−1K

dpp

D'altra parte si ha che:dpp

=−gM

R Tdh

Pertanto si sostituisce:

dTT

=− K−1K

gMRT

dh

Semplificando si ottiene il tasso di variazione della temperatura in funzione dell'altezza:

dTdh

=− K−1K

g MR

L'aria è composta principalmente d'azoto, la cui molecola è nota essere biatomica. In questo caso il

valore di K è K= 75

, mentre il peso molecolare dell'aria è M =28,88u ; si ottiene che la

diminuzione di temperatura all'aumentare dell'altezza è pari a −9.73 K / km , valore leggermente superiore a quello reale, avendo considerato il processo reversibile e l'aria un gas ideale. Integrando si ottiene la funzione

T (h)=T i−K−1

Kg M

Rh

Dove T i , costante di integrazione, rappresenta la temperatura media misurata a livello del mare, che noi riterremo essere pari a 20° C=293,15° K . La velocità di propagazione si ritrova quindi essere funzione della temperatura, la quale è funzione dell'altezza. Il differenziale totale di una

funzione di questo tipo f ( x)=x (g ) risulta essere dfdg

= dfdx

dxdg

, pertanto sarà:

dvdh

= dvdT

dTdh

Dove dvdT

= ddT

[√ K RTM

]= 12

ddT

[ K R TM

]

√ K R TM

=12

K R

M √ K RTM

D'altra parte, il valore didTdh

è pari a quello trovato in precedenza. In definitiva il differenziale

totale vale:dvdh

=−12

K−1

√ K R TM

g

Consideriamo un'altitudine di 12 km , ove la funzione T (h) assume il valore di

293.15° K−7(7/5−1)

5g 28,88

R12 km=176,29 ° K . La variazione della velocità di propagazione

a questa altitudine risulta quindi essere:

dvdh

=−12

75−1

√ 75

R176,29° K

28,88

g=−2,76×10−2 ms

Le considerazioni sono state fatte assumendo l'aria come un gas ideale, che subisca trasformazioni reversibili e quindi adiabatiche, oltre ad aver considerato il problema solo unidimensionalmente,per semplicità, quando invece per maggior rigorosità si potrebbe affrontarlo dal punto di vista tridimensionale. Si osservi che, per la condizione di realtà della radice, la funzione T (h) , può

assumere solo valori positivi, e cioè T i−K−1

Kg M

Rh≥0 , essendo T i=293,15° K

idealmente, e K−1

Kg M

Rh=9.73 h , dovrà quindi essere 9.73h≤T i e quindi si possono

considerare solo altitudini h≤ 293,15° K9.73 K /km

→ h≤30.12 km . Chiaramente, dove l'aria è più

rarefatta, il suono si propagherà con meno incisività. Si noti che di conseguenza l'equazione risulta valida solo per un determinato intervallo di altezza, date le discontinuità presenti nell'atmosfera in termini di pressione e temperatura, generalmente legate a fenomeni quali contributi termici dagli oceani, radiazioni,strati di ozono e quant'altro. Inoltre il valore della temperatura per altitudini prossime al limite di realtà risultano inverosimili, ovvero approcciano lo zero assoluto, chiaro segnoche questa funzione è valida solo per un determinato intervallo più ristretto addirittura di quello definito dalla condizione di realtà. Idealmente il suo valore risulta verosimile per valori

0<h<15 km e cioè solo per buona parte della troposfera. D'altro canto il processo di rarefazionedell'aria,dato direttamente dalla relazione di Stevin, inizia a quote ben minori, all'altezza del Monte Everest o alla quota di crociera degli aerei di linea. Il valore trovato risulta quindi essere, per valori idealizzati, semplificati e approssimati, ragionevole.

Matteo Parriciatu