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SU UNA CLASSE DI OPERATORI DIFFERENZIALI

di Francesco Rosati Q) (L'Aquila)

Nell'ambito della teoria degli operatori differenziali lineari (di forma nor-

male) a coefficienti continui, hanno particolare interesse quelli di tipo W nel

senso di P61ya [1] (~). Lo studio delle soluzioni di equazioni omogenee, ottenute

attraverso operatori di tipo W, ha avuto uno sviluppo notevole [2], [3], in ipotesi

assai generali, mediante il collegamento con la teoria dei sistemi di Tchebycheff

quando non si richieda la normalith dell'operatore.

In questo lavoro, riprendendo la trattazione di P61ya e quelle pih recenti

di altri Autori [4], [5], mostro come quella possa svilupparsi, per operatori di

forma normale, in ipotesi pih ampie della richiesta continuith dei coefficienti.

Questo fatto, attraverso Io studio della funzione di Green di certi problemi

ai limiti non omogenei, per i quali esiste " s e m p r e " ed ~ unica la soluzione, ha

permesso una valutazione in forma integrale dell'errore di formule di interpola-

zione che, per la generalittt delle ipotesi, non rientravano in schemi di tipo

classico [6], [7], [8], [9]. In pari tempo sono pervenuto alla costruzione di opera-

tori monotoni in una classe funzionale pifa ampia di quella introdotta in un

precedente lavoro [5].

Pertanto hello studio qui effettuato, dovendo applicare operatori E di or-

dine n ~ 1 e forma normale anche a funzioni non soluzioni di E u ~ O, ho

ritenuto opportuno studiare le proprieth di tali operatori nell'ipotesi di misura-

bilith dei coefficienti in intervalli aperti ove risultano localmente sommabili.

(i) Lavoro eseguito presso l'lstituto di Matematica Applicata, Facolth di lngegneria. (~) I humeri fra [] si riferiscono alla Bibliografia, posta in fine.

7 0 FRANCESCO ROSATI

Lo studio ~ condotto in modo autonomo, cio~ senza ricorrere alia teoria dei

sistemi di Tchebycheff, che opera in C ~-~ su problemi omogenei, ma richiede

restrizioni per quelli non omogenei.

1. POSIZIONE DEL PROBLEMA: PRIME PROPRIET/~.

In un fissato intervallo aperto (a, b) dell'asse x, [-- co ~< a < b ~< + c~],

si consideri I'operatore differenziale lineare di forma normale e di ordine n

dn n dn_ k

(1.1) e - ax~ + ~ , ( x ) dx~ ' 1

col coefficienti a valori reali a,(x) ELtoc(a, b), k = 1, . . . , n: cio~ L-misurabili

in (a, b) e L-sommabili localmente, vale a dire su ogni intervallo chiuso

[~, ~] c (a, b). L'equazione E[u(x)]=O, xE(a, b) sar~ riferita a funzioni u(x) a valori reali,

dotate di derivata ( n - 1)-esima assolutamente continua su ogni [~, ~] C (a, b),

cio6 localmente: u E A C:~-' (a, b). Pertanto ['equazione ECu] ~ 0 dovr/t intendersi

verificata in quasi tutto (a, b).

Estendendo la trattazione del P61ya, riferita al caso a,(x) E C(a, b) ed

u E C"(a, b), per cib che riguarda gli operatori E di tipo W, siano portati alia

definizione seguente :

DEF)NIZIONE 1.I. L'operatore E dato in (1.1) ~ di tipo W in (a, b) se, per l'equazione

(1.2) E [u (x)] = o, x ~ (a, 6),

esiste un sistema di soluzioni lui(x)~A Cfo~l(a, b)] i = 1, . . . , nl tali che, intro-

dotti i successivi wronskiani (3) Wk (x) ~ W, [ul, . . . , u,], risulti

(1.3) W , ( x ) ~ u , ( x ) ~ O , ed inollre per n~>~2 Wk(x)~O, xE(a,b), (k-=2,...,n)(4).

,~ (x) u~ (x) [ (3) Ore W2(x )~ u, l(x) u 2(x) e cosi di seguito fino a W~(x).

[ 4) Poich~ W~(x)EAC~-;k(a, b), cib significa che WkIx) ha segno costante in (a, b).

S U U N A CLASSE D I O P E R & T O R I D I F F E R E N Z I A L I 71

Per operatori di tipo W, riferendosi ad un s is tema di soluzioni per cui

valgono (1.2) e (1.3), conviene introdurre i seguenti operatori

(1.4) E k [u] ~ Wk+' [u, . . . . . uk, u] IV, [Ul . . . . . u,] ' (k ~ 1, . . . , n).

Tali operatori, tutti di forma normale, sono r ispet t ivamente applicabili a

funzioni di A Ct~l(a, b), perci6 possono operare insieme in A C~-~'(a, b); si

ha poi per ogni u di quest 'ul t ima classe

(1.5) en [u] =- e [u] (~).

Vale la seguente propriet~ di fattorizzazione:

TF~OREMA 1.I. Se E (cio~ En) d un operatore di tipo W in (a, b), si pub determinate un sistema di funzioni {% E A C;o~ (a, b) [ i ~ 1, .. . , nl, con %(x) ~ O, tali che, introdotti gli operatori

d u(x) ( i = 1, . . . , n), (1.6) Di[u(x)]- ax %(x)'

si abbia (eseguendo il prodotto nell'ordine DkDj:_ ~ ... D, [u(x)])

R k

(1.7) gk[u(x)] ~ H j % ( x ) H i Ok_~+, [U (X)], (/r I, . . . , n) (~), 1 I

per ogni u ~ A Ct~7 ~ (a, b).

Dimostrazione. lnfatti, posto [riferendosi a soluzioni per cui valgono le (1.3)]

(1.8) % (x) = w,_, (x) w~ (x) W~_, (x) , W_, ~ Wo ~-- 1, (i ~--- 1 . . . . , n),

in virtfl delle ipotesi fatte sulle {u~(x)[i= 1 . . . . , n}, sar/~ %EAC~o~i(a, b).

Per k ~ I, n >~ 1 ~ verificata la prima delle (1.7), in quasi tutto (a, b),

dato che ivi risulta

cl u(x) E, [u (x)] ~ u, (x) dx %(x) = r (x) D, [u (x)],

(~) L'identit~ essendo intesa in quasi tutto (a, b).

(6) Per i = a la (1.6) va intesa quasi ovunque in (a, b); analogamente la (1.7) per k = n .

72 FRANCE$CO ROSATI

per ogni u della dovuta classe. Per n ~ 2, dopo aver osservato che

k ( I .9) ~-[i ~' (X) ~ Wk CX)

l W k _ a ( x ) ' ( k : 2 . . . . , n ) ,

si pub rilevare che ambo i membri di (1.7) sono operatori di forma normale.

La loro coincidenza, per un fissato k ~ n , sara provata osservando che [u~,..., uk]

sistema fondamentale per Ek[u] = 0, 1o ~ pure per l 'equazione ottenuta egua-

gliando a zero il secondo membro di (1.7).

Per k = 1, gia si ~ detto; ammessa vera la cosa per k - - 1 , la si dimostra

per k, 2 ~ k - ~ n . Esaminato il secondo membro di (1.7), e scrittolo a meno di

fattori non nulli, relativamente a { u 1 , . . . , / ~ k - l } , si ha

per j = l . . . . , k - - 1 .

La tesi sara mostrata provando che una relazione analoga vale per uk(x ).

lnfatti si ha

~-' )If I ~-~, ' )Jl D,t~,D,_i[u,(x = Dk ,%(x)-'.E,_l[u,(x =

i ~-' wkI., . . . . . .k 1, " ; l a y w~(~) w,_:(x)]

avendo tenuto conto della validita di (1.7) per k - - 1 , nonch~ della (1.9). Dopo

cib, essendo anche u k soluzione, non pub che valere la (1.7) per k ~ n , con la

validita quasi ovunque per k = n; c . d . d . .

Quanto ora stabilito pub essere facilmente invertito avendosi il seguente

TEOREMA 1.II. Se un operatore differenziaIe lineare E di ]orma normale, a

coefficienti in Lloc(a, b), ha la forma (1.7) con k = n, esso ~ di tipo W; esiste

r in A ~ocP"-lta~ , b) un sistema di soluzioni di E [u] = 0 verificanti le (1.3).

SU UNA CLASSE DI OPERATORI DIFFERENZIALI 73

n ~ Dimostrazione. Tenuto conto che 0 ~ %(x) E A Cto~ ~(a, b), comunque si fis-

sino Xo E (a, b) e k ~< n, il sistema di Iunzioni

(1.10)

u~ (x; Xo) = r, (x),

u~ (x; xo) = ~, (x). ~o~ (~3 d ~ , .) Xo

X x ; '~k-- 1

u~ (x; Xo) = ~ (x). ~, (~) d ~ . . . r (~) d ~ , , o d Xo

fondamentale per l'equazione Ek[u ] = 0 individuata da (1.7).

Basra osservare che da k

w, [ cr~ (x, Xo), cr~ (x, Xo), . . . , cr, (x, Xo)]~=~o = I - [~ ~ - '+ ' (Xo) ~ o, 1

segue

w~ [ u , (x, Xo), u~ (x, Xo), . . . , U, (x, Xo)] ~ o,

per ogni k-~< n, onde le (1.10) forniscono sistemi di tipo W.

x ~ (a, o),

Osservazione 1.I. I1 sistema di tipo W dato in (1.10) gode della proprieth

che Uk(x, xo) ha in xo uno zero di ordine k - - - 1 , cio~ il comportamento di t

[U~, . . . , Uk] in Xo ~ analogo a quello di [I, x - - x 0 , . . . , (X--Xo) *-~] relativo d k

all 'operatore dx k ' di tipo W.

Osservazione 1.II. La Uk(x, ~), ove ~ E (a, b) ~, come funzione di x, solu-

zione (per ogni ~) della Ek[U ] = 0 ed ha uno zero di ordine k - - 1 per x - . ~ .

Percib il nucleo risolvente di detta equazione 6 dato da

k

(1.11) h'~(x, ~) = u,(x , ~). I-I~v,(~) -~, k ~ n. 1

Osservazione 1.iii. 1~ ovvio che richiedendo soluzioni delle particolari equa-

zioni II,. D,_~+l [U] - - O, esse sono gi~ in C "-~ appena si imponga [2], [3] che 1

opt(x) E C"-~(a, b) invece che %(x)E A Clo-j(a, b). Nel caso attuale si richiede la

fattorizzazione di un operatore di forma normale. I teoremi stabiliti mostrano

inoltre come richiedendo ipotesi pih forti sulle q~, si abbiano maggiori preci-

sazioni sulla classe delle soluzioni delle equazioni considerate.

74 FRANCESCO ROSATI

2. ZERI DELLE SOLUZIONI DI EQUAZION1 DI TIPO W

Riferendosi a l l 'operatore E ~ E , , di tipo IV, nella forma fatlorizzata (1.7),

si s tabi l iscono propriet/l, in parle note [1], [4], [5], per operatori a coefficienti

in C(a, b); qui 1o studio ~ condot to in Ltoc(a, b).

TEOREMA 2. I. Nelle ipotesi poste, ogni soluzione u EACTo-j'(a, b) della

Ett ~ O, non pu~ annullarsi in pift di n - 1 punti (distinti o no) senza essere

nutla identicamente.

Dimostrazione. L'affermazione ~ vera per n = l ; da Eu----O segue u=c~a(x) ,

con c costante, ~1EACtoc(a, b). Poich6 q~-~ 0 l 'esis tenza di uno zero per u(x)

porterebbe c - ~ - 0 , indi u ~ 0. Per n :>~ 2, se u(x) ~ una soluzione con n zeri,

la Dan ne ha almeno n - -1 e, cosi proseguendo, [D,_I ... D~uJ ne ha a lmeno uno.

D'altra parle, stante la fatlorizzazione (1.7), da E u = 0 segue [D~_ 1 . . . D~u]-----

= c q~ (x), con c costante e ~,, :~ 0.

L 'es is tenza di uno zero in lale espress ione richiede perci6 c = 0, indi

l 'identit/l a zero del l ' espress ione stessa. Di qui r isa lendo a D~u si ha che tale

espress ione 6 nulla idenl icamenle e cosi pure la u.

TEOREMA 2.II. Se per una f(x)EAC~o71(a, b) risulta E f > O [ < 0 1 in quas~

tutto (a, b), essa non pu6 avere in (a, b) n + 1 zeri, se due almeno sono distinti (7).

d f , detto xo uno zero di f , Dimostrazione. Per n ~ 1, poich~ E f ----- ~ d x ~

fx ~ E f (~ ) d~, espress ione che non pub annullarsi in un si ha f (x) ~ r~ (x) o ~ (~)

altro punto x ~ x0, per le ipotesi fatte su E f e ~ .

Per n ~ 2, ~ assurdo che f abbia n -1-- 1 zeri se a lmeno due di essi sono

distinti. Infatti se f t rovasi in tali ipotesi 1o s tesso accade per f/~a: percib

D~f ne avrebbe almeno n, di cui (almeno) due distinti. Cosi p roseguendo

[D~_1. . .D~(f) ] ne avrebbe a lmeno due distinti : x 0 e x.

(7) I1 Teorema 2.I, facendo intervenire D , _ t . . . Dtu.-~ c~,, vale anche per u E C"-~ (a, b);

invece il Teorema 2.11 d/t una nuova v is ione delia proprieth the, per f E C"(a, b), impone

alla f di non avere n-~-I zeri (distinti o no) se E r g O , EfEC(a, b).

SU UN& CLASSE DI OPERATORI DIFFERENZIALI 7 5

Da (1.7) con k = n seguirebbe allora

fx �9 E f (~)

(2.1) D . _ , . . . D I f ( x ) ~ ~n(X) o ~1 (6-':-''~n(~)

espress ione che per le ipotesi fatte su E f non pub annullarsi in x.

Nel caso part icolare che f E C " ( a , b) ed E f E C ( a , b), non ~ pill r ichiesta

l 'esistenza di a lmeno due zeri distinti. Infatti basta che la (2.1) abbia almeno

un altro zero (distinto o no) da Xo; cib ~ assurdo sia nel caso gi~ visto di

uno zero in x # x0, sia r ichiedendo che in Xo la (2.1) abbia uno zero di ordine

almeno due : dovrebbe essere E f ( x o ) = 0, contro l ' ipotesi E f ~ 0 (~ continua)

in (a, b), c . d . d . .

Osservato che il nucleo r isolvente K(x , ~) definito in (1.11), ha per x =--

uno zero di ordine n - 1, a norma del Teo rem a 2.I esso non pub avere altri

zeri ; si ha (8) perci6

(2.2) K(x , ~ ) ~ 0 , per x ~ ; s g n K ( x , ~ ) = s g n ( x - - ~ ) ' - t .

Cib premesso, si vuoI mostrare come il mass imo numero di zeri ammissibili ,

per le soluzioni di E u = 0, possa aumentare quando si in t roduca una discon-

tinuith di prima specie nelle derivate di o |d ine n - 1.

TEOREMA 2.III. Sia v(x) soluzione di E v = 0 e v'"-~'(x), in un fissato

E (a, b), abbia una discontinuitfi (9) di prima specie con salto c ~ O.

Se v (x) ha n zeri in (a, ~] oppure in [~, b) si ha rispettivamente

(2.3)

I 0, per x E ( a , {], V (x)

c g ( x , ~), per x E [~, b), (io)

oppure

- c K ( x , V(X)

0,

per x E (a, ~],

per x E [~, b).

Se v (x) ha n + 1 zeri non puO che verificarsi una delle due alternative (2.3).

r (x) _ ,, (8) Non essendovi a temere confusione si ~ posto K--K~. Per n----l, K(x, ~ ) = - ~ u.

(9) Cio~ v E C"-2(a, b), v6A C~7 ~(a, ~], YEA "-~ Goc [~, b). (lo) Per n = 1 i due valori di v nel punto ~ vanno intesi come valori limiti, rispettiva-

mente in (a, ~1 e [~, b).

76 F R A N C E S C O R O S A T I

Dimostrazione. Per n = 1, r ichiedendosi la discontinuith di v per x ~ ~,

se uno zero cade in (a, ~] sarh ivi v ~ 0, mentre in [~, b) non potrh che essere

v(X) ~ c - - onde v ( x ) ~ - c . K ( x , ~). In modo analogo si procede~.'se uno '

zero cade in [~, b), onde la seconda delle (2.3).

Se poi v ammette due zeri in (a, b) non potendo risultare nulla identica-

mente, entrambi gli zeri dovranno trovarsi in (a, ~] oppure in [~, b), onde le (2.3).

Per n ~ 2, se v ha n zeri in (a, ~], la

I v(x), per x E (a, ~.], V(x)

v ( x ) - - c K ( x , ~), per x E [ ~ , b),

soluzione in AC~-~I(a, b) di E V ~ - 0 ed ~ dotata di n zeri. II Teorema 2.I

impone che sia V ~ 0 in (a, b), onde la prima delle (2.3). In modo analogo

la seconda.

L'ult ima affermazione del Teorema, gih mostrata per n = 1, viene a mme ssa

vera per n - 1 e si dimostra per n. Tenuto conto della (1.7), con k = n, scritta

la Ev ~ 0 in forma equivalente [D~ ... D~ IDly}] = 0 ed osservato che Div ha

almeno n zeri, l ' ammessa validith del teorema per n - - 1 impone che sia D~v ~ 0

in (a, ~], D i v e 0 in (~, b); oppure D ~ v ~ O in (a, ~), D ~ v ~ O in [~, b).

Dalla continuit~ di D t v in (a, ~] e [~, b) [per n ~ 2 in tutto (a, b)] segue

v-- - -0 in (a, ~], v ~ 0 in (~, b); oppure v ~ 0 in (a, ~), v ~ 0 in [~, b):

di qui si perviene alle (2.3), c . d . d . .

Da quanto ora stabilito discende una nuova proprieth per le soluzioni di

E v = 0, per le quali v'~-~'(x) ha una discontinuith di prima specie.

TEOREMA 2. IV. Nelle ipotesi precedentemente poste per v(x) soluzione di

E(v)---O, se essa ha n zeri in (a, b) e due di essi appartengono rispettivamente

agti intervalli (a, ~], (~, b) ovvero (a, ~), [~, b), l a v (x) non ha altri zeri che quelli.

La presenza di un altro zero, imponendo alia v(x) n + 1 zeri, r ichiederebbe

il verificarsi di una delle (2.3). Poich~ K(x, ~.)~ 0 per x ~ ~ cib ~ assurdo,

in quanto per ipotesi vi sono zeri in ciascuno degli intervalli (a, ~], (~, b)

ovvero (a, ~), [~, b).

SU UNA CLASSE DI OPERATORI DIFFERENZIALI 77

3. PROBLEMI AI LIMITI OMOGENEI

Si consideri in (a, b) l 'equazione differenziale, di ordine n ~ 1, E u = 0

definita da (1.1), in generale non di tipo W e si fissino gli r-~< n punti

{x i l i = 1, . . . , r} con le limitazioni

(3.1) a < xl < . . . < xr < b.

A tall punti si associno gli r interi positivi { m e [ i = 1, . . . , r} tali che F

(3.2) ~-~, m, = n. 1

Si richiede che l 'unica soluzione u ~ A C7o71(a, b) di E u = 0, verificante

le n condizioni ai limiti

(3.3) u 'h' (xi) = O, (h = O, . . . , m, - - 1; i = 1, . . . , r),

sia la u ~ 0: non esis tano cio~ autosoluzioni del problema (1.1), (3.3).

lndicato con luilj= 1, . . . , n} un s is tema fondamentale di soluzioni di (1.1),

(cio~ della E u = O da essa ottenuta) perch~ detto problema ai limiti sia sprov-

visto di autosoluzioni occorre e basta che sia Q~)

ml x7 r) = det tu~."' (xe) } ~ 0. (3.4) Ln(ul, . . . , un; xl , . . . ,

Ha particolare interesse, ad esempio nella teoria dell ' interpolazione, che la

(3.4) suss is ta per ogni scelta di r-~< n, degli r punti verificanti la (3.1) e degli r

interi verificanti (3.2): diremo in tal caso che (3.4) ~ "sempre" verificata. Indicando

con equazione (1.1) quella ottenuta ponendo Eu-----0, si conclude col

TEOREMA 3.I. Condizione necessaria e sufficiente perchd ogni soluzione di (1.1)

abbia aI pib n - 1 zeri (distinti o no) k che la (3.4) sia "'sempre '" verificata.

Avendo presente che le soluzioni delle equazioni di tipo IV, di cut al n. 2,

godono di tall proprieth (Teorema 2.I), si pone il problema di esaminare fin

dove tale proprieth degli zeri, per ogni soluzione di (1.1), implichi il verificarsi

della proprietb W.

Rilevato che per un qualsiasi s is tema fondamentale di soluzioni di (1.1) si ha

/r )

(3.5) W, (ul , " ' ' , I l k - - l , EI j Cj Ilj -~- Uk ~ W k (Ill , " " " , Ilk--l l Ilk),

(l~) Ore j rappresenta indice di riga; quelli di colonna corrispondono alle coppie (i, h), h ~ O , . . . , m i - - 1 ; i ~ l , . . . , r.

78 FRANCESCO ROSATI

per ogni scelta delle k - 1 costanti c/, si perviene al seguente risultato che

mere in relazione il verificarsi della (3.4) con la proprieM W.

TEOREMA 3.II. Se la (1.1) ammette in A n-, C~o c (a, b) un sistema di n soluzioni "sempre" verificanti la (3.4), comunque si fissi un XoE (a, b), l'equazione data

gode della proprietb W in (a, Xo) kJ (Xo, b) (~).

Dimostrazione. Tenuto conto che un sistema di soluzioni { u j l j = l , ..., n} veri-

ficanti " s e m p r e " la (3.4) ~ certo fondamentale [si osservi che Ln(ul, . . . , u~; x ~) =

= W ~ (x)], si vede subito che il teorema ~ vero per n = l . Per n:>~2 si costruisce

un sistema fondamentale l u / [ j = l . . . . , nl, in modo che, in un fissato XoC(a, b)

la uj(x) abbia uno zero di ordine n - - j ; in particolare sia

(3.6) u~ h' (xo) = ~h,~-j, (h : 0 . . . . , n - - j ) .

Dico che per un sistema siffatto vale la proprietb W in (a, xc) e in (xo, b).

La ul(x) ha in xo uno zero di ordine n - 1, pertanto per iI Teorema 3.I non pub

avere altri zeri. Percib si ha W~(u~(x))~ 0 per x ~ xo, avendo segno costante

separatamente per x < Xo e x > x o. Rimane da provare che Wk(u~, . . . , u k ) ~ 0

per x # xo, k = 2 . . . . , n; ia classe di W~(x) io render/~ poi di segno costante

separa tamente in (a, Xo) e (xo, b).

Ammesso vero il teorema per k - - 1 , 1o si dimostra per k ~ n . Per un

fissato arbitrario xE [(a, b ) - {xo}], in virt~a di (3.4) ritenuta " s e m p r e " valida,

si pub costruire una soluzione v~(x) con n - - k zeri in Xo e k - - 1 in x. Cercata

tale soluzione nella forma k--I

(3.7) vk (x) = ~ j Cj u~ (x) + u~(x), I

le k - 1 costanti C/ sono univocamente individuate (~3). Applicando la (3.5) {k--l) alla (3.7) risulta (essendo v~ (x) ~ O)

[ W k (/11 . . . . . U/~--I' / /k)]X= ~ = [ W k ( U l , " ' " I / / ' - - 1 ' Vk)JX= ~ = (3.8)

{k--l) - - = . . . , o .

(~*) Ci6 significa che si pu6 costruire un sistema di soluzioni per le quail Wk ( x ) # 0 in (a, xo)1.3 (xo, b) non essendo pi/a in generale, per k ~ n - - 1 , Wk (x) di segno costante in tutto l'insieme, ma separatamente in (a, Xo) e (x0, b).

k--I (~) Da E j ~ u J h'(x)+u), h ' (x )=0 , h = 0 , . . . , k- -2 , essendo Wk-l(u~,. .- , uk -1 )#0

1 in (a, xo)1.3 (xo, b), stante l'ammessa validit~t del teorema per k - 1.

S U U N A C L A S S E D I O P E R & T O R I D I F Y E R E N Z I A L I 79

Poich~ il primo membro dell 'uit ima relazione non dipende da vk, ma solo

da (u~ . . . . , uk) e poich~ x - ~ xo ~ un arbitrario elemento di (a, b), si ha la

tesi in (a, x0)L)(xo, b) ove risulta Wk ( x ) ~ 0, c. d. d. .

Quanto provato metre in luce come il verificarsi della proprietb W in (a, b)

sia pill restrittivo [cfr. Teorema 3.I] del richiedere che ogni soluzione di E u = 0

abbia al pifa ( n - 1) zeri, cio~ che (a, b) sia intervallo di non oscillazione per

l 'equazione data. La propriet& di non oscillazione in (a, b) porta la propriet& W

in ogni fissato intervallo aperto (~, [3) contenuto propriamente in (a, b) (~4).

Quanto segue precisa meglio la natura dei sistemi di tipo W, soluzioni in

A Cz~o7 ~ (a, b) di equazioni dalla forma (I.1), di ordine n.

TEOREMA 3.III. Condizione necessaria e sufficiente perchd E u sia di tipo W

che per la (1.1) si possa trovare un sistema di soluzioni { u j ( x ) l j ----- 1, . . . , n}

in A C7s (a, b) in modo che risulti " s e m p r e " in (a, b)

�9 ~" �9 x T " ) ~ 0 , con r ~ < k , Lk(Ul, . . . , Uk, Xl , . . , (3.9)

m , + . . . + m ~ = k , ( k = l . . . . , n).

Dimostrazione. La necessith ~ ovvia conseguenza della Lk(u 1 . . . . , uk; x k) =--

= - W k ( u l . . . . , uA 05).

Per la sufficienza, tenuto conto che l 'essere E u di tipo W richiede l 'esistenza

di un sis tema di soluzioni di AC~f f (a , b) per cui W k ( x ) ~ O in (a, b), ( k = l , . . . , n ) ,

il teorema ~ ovvio nel caso n = 1. Per n ~ 2 viene mostrato per induzione da

k - - 1 a k ~ n. Basterh provare che, per k ~ n, se {uj(x)lj = 1, . . . , k} ~ un

s is tema di funzioni con Wh(x) ~ 0 (h = 1 . . . . , k), risulta verifica/a la (3.9).

Conviene tenet conto che per ogni ~ ( x ) E A CTff(a, b) si ha

w~ [r u, , . . . , r " uA = r wk (u, . . . . , uA, (k = 1 , . . . , n).

In particolare posto q~(x) ~ u~(x) -~, con Ux ~ O, risulta

W . ( I , u~, u . ) _ u, . . . . ~ = u,~" W , ( u , , . . . , uA ,

(i4) Cio6 a < g ovvero [3 < b.

(15) Cir. (1.3).

8 0 YRANCESCO ROSATI

da cui segue

(3.10) Wk(u, u , ) = u f . W , _ , ( ( u 2 Y ( u * l ' t ' " ' ' ' \ \ u ~ ] ' " ' ' ' \ u ~ / /"

Parimenti, nelle stesse ipotesi, sussiste la

m 1 m 1 m r m, �9 X ~ 9 = [ ~ ( X , ) . . . ~ ( X ~ ) ~r] L ~ ( U , , . . . U , , X, . . . . , L, (~. u,, . . . , ~ . u,; X 1 , . . , " , " X r ) ,

da cui, per u~ ~ 0, si ottiene

" ~' x T O = Lk(ul, . . . , U,, Xl , . . . ,

(3.11) U2 �9 �9 Uk m I m r )

= [ U , ( X y " . . . U l ( X r F r ] "Lk 1, U , ' " ' Ul ; X, . . . . , Xr .

Stante le (3.10) e (3.11), nella dimostrazione per induzione da (k - - l ) a k ( k 4 n ) ,

I'ipotesi W k ( u l , . . . , u k ) # O , pub essere sostituita dalla

(3 .12) w~_,(vl . . . . . v~_i) # o,

ove, tenendo conto che u ~ ( x ) # O, si ~ posto

(3.13) uj+,(x) = U l ( X ) " Cj + v , ( O d t , ( j = l , . . . , k - - l ) , o

con Xo arbitrario fissato in (a, b) e vj ~ A C~o72(a, b).

Ammesso dunque vero il teorema per k - - l , da (3.12), stante la (3.13) segue

r

~ x;O # o, ~ m, = k - 1 (3.14) Lk_,(v,, . . . , v,_,; x, , . . . , i �9 1

andiamo a stabilire la (3.9). Nel secondo membro di (3.11) Cib premesso,

si ha

uj+, (x) f [ u,(x) - - c j + 0vj(t) dt ' c~ costante, ( j = l . . . . , k - l ) .

Nel determinante che figura in detto secondo membro, fissiamo l'attenzione

SU UNA CLA$$E DI OPERATOIiI DIFFERENZIALI 8 1

sulle colonne di indici

1, m i + l , . . . , m , + m ~ + . . . m , + l ,

e, partendo dall 'ult ima, togliamo a ciascuna di esse la precedente C6).

A calcoli effettuati, indicando con Fm~(Xj) , ( j = 1 . . . . , r), la matrice

( k - 1) X ( m j - 1) formata dalle prime m i - - 1 colonne di W k _ , ( V , , . . . , V~_~)~=~ i ,

si ha, per m ~ + m 2 q - ' ' ' + m , = k - ~ < n ,

,3,5 Lk(, u, m, ) ' u---l-' " " ' u l x , , . . . , X7 ~ :

/; L = d T 2 " ' * *

1

Fro, (x,)

v~ (~) v~('~,)

v,,_, (.~,)

Fm~(Xe)

Q @ O 0 @ O

B S D O 0 @

1.,., (.:,)

v~ (.~,)

vk_,(r

Fm,(X,.) d'~r,

avendo sviluppato il determinante secondo gli elementi della prima riga�9 La

matrice che figura sotto il segno di integrale pub scriversi

�9 ml--1 m2--1 m r _ l - - 1 m r - - l x L k _ , ( v l , . . . , Vk_,, Xl , % , X2 , . . . , X,._, , % , X,. ).

Essa ha determinante ~ 0 per x~_l < % ~ x, , (s = 2 . . . . , r), r isultando

di segno costante al variare di "~, per i ' ipotesi (3.14).

Tale espressione si annulla solo se almeno un % coincide con uno degli

estremi Xs_ , ovvero x~. Trattasi dunque di una funzione integranda di segno

costante. Sarh percib non hullo l ' integrale che figura a secondo membro di

(3.15). Dalla (3.11), tenendo conto dell 'arbitrarieth degli elementi che ivi figurano,

si ha allora la tesi, per k ~ n; c . d . d . . '

(t6) Sulla s-ma riga (s ~> 2), in corrispondenza a tali colonne figurano

f;:' ff C s + vs(zs)dZs; c , + vs(~Adz~; . . . ; c ~ + v~(zAdzs , o o o

mentre nella prima riga figura l'elemento 1 nelle colonne indicate, 0 helle rimanenti. A sot- trazione effettuata la prima riga presenta 1 sul la prima colonna, 0 in tutte le altre, Sul la

s-ma riga, helle colonne prima indicate figurano:

cs v,(~,)d~,; (z,)d~,; . . . ; (~Adz,. o

6 - R e n d . C i r c . g a t e m . P a l e r m o - S e r i e 11 - T o m o X I X ~ A n n o 1970

8 2 FII&NCE$CO ROSATI

4. PROBLEMI NON OMOOENEI

Sia f ( x ) un'assegnata furizione a valori reali di Lloc(a, b); si r icercano in

A CTo~l(a, b) eventuali soluzioni del problema differenziale [vedi (1.1)]

eu = / ( x ) , (4.1)

c o n

(4.2) u 'h'(x,) = 1,,~, ( i = 1, . . . , r ; h = O, . . . , m , - - I ) ,

ove la (4.I) ~ intesa valida in quasi tutto (a, b), mentre le costanti lt, h sono

arbi trariamente fissate; i punti xi e gli interi m t verificano r ispet t ivamente le

(3.I) e (3.2). Se si richiede che il problema posto abbia " s e m p r e " una ed una sola

soluzione, cio~ per ogni scelta di r ~ n, dei punti (3.1) e degli indici (3.2),

occorre e basra che la (3.4) sia verificata in corr ispondenza a tali scelte.

I1 Teorema 3.II ed il success ivo 3.III, indicano un modo per scegliere opera-

tori E u di forma normale, per cui ~ " s e m p r e " soddisfat ta la (3.4); basta

considerare operatori di tipo W in (a, b).

Limiteremo in primo luogo l ' indagine relativa alle (4.1) e (4.2) al caso in

cui E u sia in (a, b) di tipo W (generalizzato), secondo la Definizione 1.I.

In tale ipotesi, detto {Uih(x) l i = 1, . . . , r; h = O, . . . , m i - - 1} un s is tema

fondamentale in A C7o-~ 1(a, b) per E[u] = O, individuato da

(4.3) u ( k ) i.h (X j ) = ~(i,h,,(j,k,' ( j = 1 , . . . , r; k = 0 , . . . , m j - 1),

la soluzione di (4.1), (4.2) ha la forma

(4.4)

r mi - - I

(o~ U(x) = ~ , Z ~ t ~ u ~ ( x ) +. C(x, ~)f(~)a~., (1,) I 0

avendo introdotto la funzione di Green (t8) del problema, data da

(4.5) r mi - - I

c (x, ~) = ~ , ~ u,~ (x) K '~' (x~, ~) x (x~, x, ~), I 0

(~7) Tale formula vale nei casi di esistenza ed unicit/t della soluzione, cio~ nei casi di validith di (3.4) in corrispondenza ad una fissata r-pla di punti e di indici, verificanti rispet- tivamente (3.1) e (3.2). Non si richiede in generale la proprietd W.

(is) Ove G(x, ~) sta per G(x, ~; x~ ~ . . . . . x'~).

$ U U N A CLASSE D I O P E R A T O R I D I F F E R E N Z I A L I 83

ove K ( x , ~) ~ il nucleo r isolvente di E u = 0 [cfr. (1.11)] e X e definita da

(4.6) 7~ (xi, x, ~) =

0, per (x - - ~) (x,. - - ~) > 0,

0, per ~ - - x - - - - - x ~ ,

x - - x i per ( x - - ~ ) ( x ~ - - ~ ) ~ 0 , ~r I x - x , l '

Si pone il p rob lema di esaminare il c o m p o r t a m e n t o di G(x , ~) nel l ' ins ieme

(4.7) T ~ {(x, ~) la < x < b, a < ~ < b}.

Pos to

(4.8) T~ ~ t(x, ~)[xE(a, b), a < ~ x + x , - I x - x , r I

2

Tb ~ I(x, ~ ) l x E ( a , b), x+ x ,+lx -x . I ~ < f < b I,

si ha:

TEOREMA 4.I. Se r >~ 2, n ~ 2, per la funzione di Green data in (4.5) risulta

(4.9) G(x , ~ ) - - 0 , per (x, ~)E T ~ U T b .

In T - - (T~ U Tb), la funz ione di Green ~ nulla solo sui seguenti {x = x i [ i = 1 . . . . , rl

ove, per ~ fissato, presenta come funz ione della sola x i soli zeri di rispettivo

ordine mi; posto perci6 mo ~ O, Xo : a, x,+l : b, risulta nell'insieme considerato

t

)"--~h mh (4.10) ( - - 1 G(x, ~) > O, per x E (x,, xt+,), ( i = O . . . . . r).

Se r = 1, n :>i 1, la (4.9) ~ valida in T* -~ (Ta - - O Ta) U (Tb - - 0 To), avendosi

in T - - T*

x - - x~ . K (x, ~) ( % C(x, ~) = Ix - - x,I

(i9) Se n----l, per x - - - - x t ~ , in T - - T * si debbono dare alia G i due valori limiti

--[-1 e --1. Per n--~l K(x, ~ ) ~ 0 ; per n ~ l vale la (2.2).

8 4 FRANCESCO ROSATI

Dimostrazione. Ovvia la prova relativa ai caso r = 1.

S e n ~ 2, r ~ 2 conviene tenet conto che G(x, ~), per ~ assegnato, ha

almeno gli r zeri x~ . . . . , x~, di molteplicith m~, . . . , m~. Poich6 G come fun-

zione di x ~ soluzione di E G = 0, separatamente in (a, ~] e [~, b) con salto 1 (~r/-- 1

per x = ~ nella c3xn_----~ G(x, ~), trovasi nelle condizioni dei Teoremi 2.11I-2.IV.

Fissato ~E (a, b), si consideri la funzione, della sola x, G(x, ~): essa ha

almeno n zeri in [~, b) se ~ ~ x~; in (a, ~] se ~ x,.

La (2.3) impone allora la (4.9), avendosi inoltre G(x, ~ )=- -" K(x, ~) se

x ~ - ~ x ~ ; G(x, ~ ) = K ( x , ~-) se x ~ x , onde per la (2.2) si ha la (4.10),

per x ~ ~ x ~ e anche per x ~ ( x .

In T - - ( T a U Tb), per x~ <( ~ ( x ~ , vi sono n zeri di G(x, ~) che non

cadono tutti in uno solo dei due intervalli (a, ~] oppure [~, b): il Teorema 2.IV

impone pertanto che G(x, ~) abbia solo i detti n zeri nei punti x~ di rispettive

molteplicit/l mi. Ne segue che G(x, ~) ha segno costante nei singoli aperti

(xt, xi+~). Tenuto conto che come funzione di { la G, per x fissato, ~ in

ACtoc(a, b), e che nell ' insieme prefissato G(x, x ~ ) = K ( x , x~) ~ O, si ha

G(x, {) ~ 0 per x~ ~ x, x, ~ { ~ x~, onde la (4.10) in (x~, b). La molteplicit~

degli zeri porge allora la (4.10), c .d .d . .

Dal Teorema 4.I, tenuto conto della classe di G(x, ~) segue:

TEOREMA 4.II. La funzione di Green data in (4.5), per ogni fissato x E (a, b), funzione di ~ E (a, b) di segno costante.

Dalle propriet/l ora stabilite ne discendono analoghe relative ad operatori pi/l ampi di quelli considerati.

TEOREMA 4.1II. Per E dato in (1.1), non necessariamente di tipo W, sia (a, b) intervallo di non oscillazione [clod per Eu ~ 0 sia "sempre" verificata la (3.4)];

sotto tall ipotesi valgono ancora le propriet& della funzione di Green, relativa ad Eu ----- 0, date dai Teoremi 4.I e 4.II.

Dimostrazione. Poich~ nelle ipotesi poste ~ ancora valido il teorema di esistenza ed unicit/l espresso da (4.4), 6 univocamente individuata, in (a, b ) X

X (a, b), la funzione di Green (4.5) relativa ad Eu = 0. Fissato ad esempio

un arbitrario a ~ x ~ x, , il Teorema 3.l assicura per Eu la propriet& W in

(x, b). Pertanto, per la G(x, ~) valgono relativamente a (x, b) le propriet/t di annullamento e segno, espresse nei Teoremi 4.I e II per (a, b). La indipen-

denza della funzione di Green da x e l'arbitrarieth di tale punto in (a, x,)

conducono alia tesi.

SU U N A CLA$$E DI OPERATORI DIFFERENZI&LI 8 5

5. L'INTERPOLAZIONE IN INTERVALLI D1 NON OSCILLAZIONE

Assegnata in (a, b) una g ( x ) 6 A CTo-~'(a, b), si vuol costruire una funzione

U(x; g)E ACTo-~(a, b) soluzione della Eu = O, con Eu dato in (1.1), che nei

punti (3.1) assuma i medesimi valori d i g e di certe sue derivate; precisamente

si abbia

(5.1) U(h) [ (h) (x~; g ) = (i , r; h O, m~ g (x,), = I . . . , = . . . , - 1 ) .

Se (a, b) 6 di non oscillazione per Eu = O, tale U(x; g) esiste ed ~ unica,

in corrispondenza ad ogni fissata r-pla di punti (3.1) e di indici (3.2), avendosi

[cfr. (4.4) con f = 0]

r mt--I

( 5 . 2 ) U (x ; g) = E i Z h g(h) (Xt) Uth (X). 1 o

Assunta in A Cz~o-~(a, b) la U(x; g) come interpolatrice della g, nella classe

delle soluzioni di Eu = 0, si commette un errore (di interpolazione) espresso da

(5.3) R(x ; g) =~ g(x) - - U(x, g), x E (a, b).

Osservato che in quasi tutto (a, b) vale la E R = Eg, e che R'h'(Xi; g ) = O,

( i - - - - -1 , . . . , r; h-----O, . . . , m i - 1), da (4.4) si ha

(5.4) R (x; g) ---- G (x, ~) E g (~) d ~, x E (a, b).

Tale formula ha carattere assai pifi generale di quello qui considerato, tuttavia

nelle ipotesi poste ha particolare rilievo, in virtfi delle propriet/l del segno di

G(x, Se Eg(~) ~ limitata, nel senso delle funzioni misurabili, in

[ x + x t - - l x - - xl] x + x, + ]x - - x,[ Ax \ 2 ' 2 ] '

detto v . s u p E g Iv-inf Eg] il vero estremo superiore [inferiore] di E g per ~6Ax,

esiste un opportuno numero p(x), con v . inf E g ~ < p ( x ) ~ < v - s u p Eg, in modo

che sia

(5.5) R(x; g) = p(x) . f f C ( x ,

8 6 FBANCESCO ROSATI

Cib 6 evidente appena [tenendo conto che per il Teorema 4.III, G(x, ~) ha

segno costante al variare di ~] si applichi a (5.4) il Teorema della media.

Se poi E g ~ continua in Ax, esiste almeno un "~x tale che [Eg('~x)] ~ p(x),

onde la

(5.6) R(x ; g ) = E [ g ( L ) ] . G(x, ~)d~, per x E ( a , b).

Si ritrova cosi, in questo caso assai particolare, la classica formula di

P61ya, stabilita perb per operatori di tipo W, ove l 'errore appare come prodotto

di E g calcolato in un opportuno punto di Ax, per la soluzione di Eu ~-1,

nulla in x,., con le derivate fino all 'ordine m i - 1, (i-----1, . , . , r).

Si osservi che nel caso in esame la (5.4), indi la (5.5), non richiedono

l 'esistenza di E g in tutto (a, b) ma solo quasi ovunque.

La (5.4) pur limitandosi ad operatori E per i quail (a, b) 6 di non oscilla-

zione, ~ stabilita in ipotesi cosi generali da non farla rientrare nelle trattazioni

classiche [1], [9] e neppure in quelle recentemente stabilite in [6], [8] per opera-

tori a coefficienti continui su intervalli chiusi e limitati e, in [7], per operatori

dotati di aggiunto.

6. OPERATORI MONOTON1

Supponiamo che per E dato in (1.1), cio~ per Eu = O, l ' intervallo (a, b)

sia di non oscillazione; dal Teorema 4.III segue che se gli interi m i ~>~ 1 sono

tutti pari (n ~ 2) risulta G(x, ~ ) ~ O, (x, {)E T, [cfr. Teor. (4.I)], con le solite

precisazioni sulla validit& del segno = .

Detto monotono un operatore Eu del tipo (1.1), per il quale dall 'essere

Eu >1 0 quasi o v u n q u e in (a, b), con assegnate condizioni ai limiti, segua

u ~ 0, si pu6 stabilire una notevole propriet/t che estende quella stabilita in [5].

TEOREMA 6.I. Se gli interi [mi; i = 1, . . . , rl sono tutti pari [indi n pari ~ 2]

e risulta Eu E Ltoc(a, b) con Eu ~ 0 in quasi tutto (a, b); se (a, b) ~ intervallo

di non oscillazione per l'operatore E ed ~ u'h'(x~)= 0, ( i = 1, . . . , r; h = 0 . . . . , m~--1),

risulta u ~ 0 in (a, b), cio~ Eu ~ monotono. Si ha inoltre u(x) = 0 per x ~ xi

(i = 1, . . . , r), s e e solo se risulta Eu ---- 0 quasi ovunque per

x E ( . X - q - x ~ - - [ x - - x ~ [ x --k x~ -~ [x - - x~[_) 2 ' 2 "

S U U N A C L A S S E D I O P E R A T O R I D 1 F F E R E N Z I A L I 87

Dimostrazione. Osservato che, nelle ipotesi poste, vale univocamente la

rappresentazione

u (x) = fa b G (x, ~) E [u (~)] d ~,

il Teorema 4.III sul segno di G(x, ~) e la richiesta parit/a dei numeri mi

conducono alia tesi.

Le cose dette possono trovare immediata applicazione nei procedimenti di quasilinearizzazione in classi funzionali opportunamente ampliate rispetto quelle

considerate in [4].

Una piO semplice immediata applicazione 6 data dalla possibiliiii di valu-

tazione a priori del segno dell'errore in formule di interpolazione del tipo

considerato al n. 5.

L'Aquila, Aprile 1970.

8 8 FRANCESCO ROSATI

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