STUDIO  DI  FUNZIONI  

STUDIO  DI  FUNZIONI  

6  

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE

Vogliamo ora limitare la nostra attenzione a quelle funzioni che hanno come

insieme di partenza e di arrivo un sottoinsieme dei numeri reali, cioè 𝐴,𝐵 ⊆ ℝ .

Es6. Funzione costante: 𝑓 𝑥 = 𝑘;

Es7. Funzione identità: 𝑓 𝑥 = 𝑥;

Es8. Funzione polinomiale di primo grado: 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞;

Es9. Funzione polinomiale di secondo grado: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐;

Es10. Funzione polinomiale: 𝑓 𝑥 = 𝑎!𝑥! + 𝑎!!!𝑥!!! +⋯+ 𝑎!𝑥 + 𝑎!;

Es11. Funzione razionale: 𝑓 𝑥 = !!!!!!!!!!!!!!⋯!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!⋯!!!!!!!

.

Ci limiteremo, per ora, ad analizzare solo queste tipologie di funzioni

reali.

Ma qual è il problema principale da affrontare nello studio di una funzione?

È quello di tracciare nel piano cartesiano il grafico relativo alla funzione

considerata.

DEF.4 Si chiama GRAFICO DI UNA FUNZIONE REALE DI VARIABILE

REALE 𝑓:𝐴 → 𝐵 il sottoinsieme del piano cartesiano ℝ×ℝ formato da quei

punti 𝑃 𝑥, 𝑦 tali che 𝑦 = 𝑓 𝑥 con 𝑥 ∈ 𝐴,

𝐺! = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ×ℝ: 𝑥 ∈ 𝐴   ∧ 𝑦 = 𝑓 𝑥

Nell’Es6. il grafico è una retta parallela all’asse x;

nell’Es7. il grafico è la bisettrice del primo e terzo quadrante;

nell’Es8. il grafico è una retta;

nell’Es9. il grafico è una parabola.

L’obiettivo del nostro lavoro è quello di determinare caso per caso il

grafico delle funzioni del tipo descritto negli esempi 10 e 11.

Per raggiungere il nostro obiettivo dovremo di volta in volta determinare:

STUDIO  DI  FUNZIONI    

STUDIO  DI  FUNZIONI    

7  

1. Il campo di esistenza;

2. Le intersezioni con gli assi;

3. Il segno della funzione;

4. Gli asintoti verticali, orizzontali e obliqui;

5. I massimi e i minimi;

6. I flessi.

STUDIO  DI  FUNZIONI  

STUDIO  DI  FUNZIONI  

8  

IL CAMPO DI ESISTENZA

DEF.5 Si chiama CAMPO DI ESISTENZA DI UNA FUNZIONE il più

grande insieme di valori della x per i quali l’espressione 𝑓 𝑥 ha senso, ovvero

è il più grande dominio che la legge f può avere.

Ad esempio le funzioni polinomiali hanno come campo di esistenza tutto

l’insieme dei numeri reali. Infatti le operazioni coinvolte in una funzione

polinomiale sono addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni ed elevamento a

potenza con esponente intero e positivo: tutte operazioni sempre eseguibili

nell’insieme dei numeri reali.

Invece se consideriamo le funzioni razionali fratte (tipo quelle

rappresentate nell’esempio ES11.) allora il campo di esistenza non coinciderà

sempre con l’insieme dei numeri reali. Infatti in questi casi la funzione

comprende un’operazione non sempre eseguibile: la divisione. È noto che non

ha senso dividere per zero: la divisione 3:0 è impossibile mentre la divisione 0:0

è indeterminata. Pertanto nel caso delle funzioni razionali fratte per determinare

il campo di esistenza basterà togliere, dall’insieme di tutti i numeri reali, gli zeri

del polinomio che si trova al denominatore della frazione.

Praticamente nel caso di funzione razionale fratta, procediamo nel seguente

modo:

1. Risolviamo l’equazione associata al denominatore;

2. Se l’equazione è impossibile allora il campo di esistenza coincide con

tutto l’insieme dei numeri reali;

3. Se l’equazione ammette alcune soluzioni allora il campo di esistenza è

l’insieme dei numeri reali privato di quegli elementi che sono soluzioni

dell’equazione.

STUDIO  DI  FUNZIONI    

STUDIO  DI  FUNZIONI    

9  

ES12. Determina il campo di esistenza della funzione razionale fratta

𝑦 =3𝑥! + 2𝑥 − 52𝑥! + 𝑥 − 1

Basta risolvere l’equazione di secondo grado associata al denominatore, cioè 2𝑥! + 𝑥 − 1 = 0.

Applicando la nota formula risolutiva

𝑥!,! =!!± !!!!!"

!!,

in questo caso otteniamo :

𝑥!,! =−1 ± −1 ! − 4 ⋅ 2 ⋅ −1

2 ⋅ 2=−1 ± 1 + 8

4=−1 ± 34

da cui segue che gli zeri del denominatore sono:

𝑥! =!!!= 1 e 𝑥! =

!!= !

! .

Dunque in conclusione il campo di esistenza è l’insieme dei numeri reali privato

dei due numeri appena trovati, in simboli:

𝐶.𝐸.= ℝ − −1, !!= 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ −1   ∧ 𝑥 ≠ !

! .

STUDIO  DI  FUNZIONI  

STUDIO  DI  FUNZIONI  

10  

LE INTERSEZIONI CON GLI ASSI

Nella costruzione del grafico di una funzione rivestono particolare

interesse i punti in cui tale grafico interseca gli assi cartesiani. L’asse delle

ascisse (asse x) ha equazione 𝑦 = 0 , mentre l’asse delle ordinate (asse y) ha

equazione 𝑥 = 0 .

Per determinare gli eventuali punti d’intersezione del grafico con gli assi

cartesiani è sufficiente risolvere i corrispondenti sistemi di equazione:

INTERSEZIONE CON ASSE DELLE x:  𝑦 = 0

𝑦 = 𝑓 𝑥  ⟺  𝑦 = 0

 𝑓 𝑥 = 0    

Ne segue che le soluzioni dell’equazione 𝑓 𝑥 = 0 forniranno le ascisse

degli eventuali punti d’intersezione con l’asse x. Parliamo di eventuali

intersezioni perché non sempre l’equazione considerata ammette soluzioni in ℝ.

Ad ogni sua soluzione corrisponderà un punto di intersezione con l’asse delle

ascisse e se l’equazione è impossibile allora il grafico della funzione non

intersecherà l’asse delle ascisse.

INTERSEZIONE CON ASSE DELLE y:   𝑥 = 0𝑦 = 𝑓 𝑥  ⟺   𝑥 = 0

 𝑦 = 𝑓 0    

Il punto di coordinate 0, 𝑓 0 esiste solo nel caso in cui 0 ∈ 𝐶.𝐸.  ed in

tal caso l’intersezione sarà unica.

ES13. Consideriamo la funzione 𝑦 = !!!!!!!!!!!!!!!

. Essa interseca l’asse x nei punti

𝐴 𝑥!, 0  e 𝐵 𝑥!, 0  dove

𝑥!,! =−2 ± 2 ! − 4 ⋅ 3 ⋅ −5

2 ⋅ 3=−2 ± 4 + 60

6=−2 ± 86

ovvero 𝑥! =!!"!= − !

!    e 𝑥! =

!!= 1 .

Quindi il grafico interseca l’asse delle ascisse nei punti

𝐴 − !!, 0   e 𝐵  1, 0   .

Rimane da trovare l’intersezione con l’asse y:

STUDIO  DI  FUNZIONI    

STUDIO  DI  FUNZIONI    

11  

  𝑥 = 0𝑦 = 𝑓 𝑥  ⟺   𝑥 = 0

 𝑦 = 𝑓 0  ⟺  𝑥 = 0

 𝑦 = !∙!!!!∙!!!!∙!!!!!!

 ⟺  𝑥 = 0  𝑦 = !!

!!  ⟺ 𝑥 = 0

 𝑦 = 5      

quindi il punto d’intersezione con l’asse y è 𝐶   0, 5  .