Strutturazione e consolidamento del pensiero proporzionale

Modena, 22 marzo 2017

http://www.dmi.unipr.it/it/didattica/rally

Il Paradosso

di Wittgenstein - Kripke

Seguire una regola è impresa

impossibile da realizzare

privatamente, poiché una

regola è intelligibile,

comprensibile, solo

all’interno dell’insieme delle

modalità di comportamento

comune agli individui di una

certa comunità, ambiente

culturale, in cui vige.

È una pratica acquisita in base

all’interazione sociale…

Adattato da “Ricerche

Filosofiche”

(1941-1953; in ital. 1967)

Le conoscenze e le competenze matematiche , pur contraddistinte da un linguaggio particolare , sintetico, fatto di codici semiotici i cui significati non sempre hanno chiavi di lettura univoche, sono interpretate come «regole»,

soluzioni uniche, indiscutibili !!!!!!

Un aspetto didattico del paradosso è che, essendo le classi ambienti culturali in cui le attività e le pratiche quotidiane definiscono e danno significato agli argomenti che vi si insegnano, gli allievi da tali pratiche

elaborano, più o meno consciamente e più o meno coerentemente, ma inesorabilmente, (un protocollo di) regole da seguire, per es. per avere successo o perlomeno “sopravvivere” alle richieste degli insegnanti.

Di qui nasce quello che possiamo chiamare: il senso degli studenti per la matematica.

SI PARTE DALLA REGOLA O DALLA DEFINIZIONE…

SI PROPONGONO NUMEROSI ESERCIZI IMPOSTATI PER LA CONFERMA DELLO STUDIO, PER LA VELOCITA’ NELL’APPLICAZIONE …

- SI VERIFICA CON LA STESSA TIPOLOGIA

DI ESERCIZI

- SI PASSA AD ALTRO …

FUNZIONA ANCHE PER

L’ACQUISIZIONE DEL PENSIERO

PROPORZIONALE ? ( E PER LA AREE E

LE FUNZIONI E …?????? )

STUDIA BENE LE REGOLE (TEOREMI, DEFINIZIONI …)

- La strutturazione in autonomia di una tabella di dati , data una situazione descritta in un problema

- La rappresentazione di una situazione mediante grafico su un piano cartesiano e la sua lettura interpretativa

- Il rapporto fra proporzionalità e funzione continua ( impossibile in un contesto additivo)

- La lettura anche solo intuitiva e argomentata del coefficiente angolare della retta …

- La trasposizione del concetto di frazione equivalente nei problemi o in contesti di proporzionalità ( solitamente nella scuola primaria sono solo esercizi aritmetici…)

ATTRAVERSO I PERCORSI DI CONOSCENZA PREGRESSI ,

COME SONO STATI INSERITI E APPRESI …

AVVIARE UNA COMPETENZA MATEMATICA

ATTRAVERSO IL METODO DELLA RICERCA

VARIATA - MRV - ATTRAVERSO I PROBLEMI ,

E’ TEMPO PERSO ?

- RIPARTIRE DAL PROBLEMA NON STANDARD - SUSCITARE LA NECESSITA’ DI SINTETIZZARE UN CONCETTO, UNA FORMA , UNO STRUMENTO, UN’EQUAZIONE ...

Federica ha voluto ingrandire il disegno :

e ha ottenuto questo:

Senza misurare, trova le dimensioni mancanti della seconda figura

A

BC

DE

F2

86

2

2

4A'

B' C'

D'E'

F'?

?9

?

?

?

Mauro ha voluto imitare Federica e ha fatto questi due

disegni:

Senza misurare, trova le dimensioni mancanti della seconda

figura

Utilizzati sia come introduzione alla scuola media, che come

“diagnosi” alle superiori

2

6

4

4

2

2

FORMA ARITMETICA DI UN RAPPORTO PROPORZIONALE

SCOMPOSIZIONE GEOMETRICA DELLE

FIGURE

SOLUZIONE SCORRETTA E

APPLICAZIONE DEL PENSIERO ADDITIVO

•UTILIZZO DELLA FRAZIONE

•ALTRO PERCORSO CORRETTO ED ORIGINALE

•SOLUZIONE CORRETTA SOLO GEOMETRICA

•INDUZIONE DALLA GEOMETRIA ALLA SINTESI DEL RAPPORTO: FRAZIONE

•SOMMA LA DIFFERENZA ALLE MISURE DEGLI ALTRI LATI, MA NON VERIFICA NEMMENO LA CORRETTEZZA IN UN RAPPORTO VISIVO

•NON SI ORIENTA

COSA VALUTARE ?

L'ACQUARIOIn questo acquario c'è tutta la

famiglia Pesci:

il nonno, papà, mamma e i

loro tre piccoli, di cui uno

è già stato disegnato per

intero.

Naturalmente si somigliano

tutti. Anche se non hanno

tutti le stesse dimensioni,

sono tutti della stessa

forma.

Completate i disegni del

resto della famiglia

Pesci.

Cercate di fare dei disegni

precisi.

• Aspetti geometrici: traslazioni, rotazioni,

simmetrie

• Rapporto di similitudine irrazionale

• Possibilità di inizio di calcolo letterale

per individuare esplicitamente il rapporto di

similitudine (è √2 , quindi un lato

corrisponde ad una diagonale nel pesce-

mamma)

La domanda aggiuntiva : “Quale è la mamma?”

permette un confronto tra 4 e 3√2)

MRV promuove il pensiero ipotetico Sono molteplici le funzioni cognitive coinvolte in attività discorsive in cui gli alunni costruiscono (scoprono) significati nelle situazioni didattiche in cui operano, ovvero producono ipotesi.

La costruzione di un significato nuovo può essere più o meno cosciente; si può avere ad es. una classificazione fatta concretamente dagli alunni, la produzione di un’ipotesi o la genesi di una condizionalità (rilevabile dall’uso di specifici marcatori linguistici del tipo: quando, mentre, se…allora, perché).

Si parla comunque di ipotesi quando il processo di produzione di un significato nuovo è cosciente per l’allievo.

Le attività argomentative in cui si producono ipotesi o si generano

condizionalità sono riconducibili a due modalità principali, che

opportunamente coltivate appaiono fondamentali per permettere la

transizione nel lungo periodo al pensiero teorico proprio della matematica.

Esse sono caratterizzate dal diverso modo con cui il soggetto si rapporta al

mondo esterno rispetto al suo mondo interno.

La prima modalità è caratterizzata dalla produzione di congetture

interpretative di ciò che si (percepisce), ad es. al fine di organizzarlo.

La seconda è caratterizzata dalla produzione di congetture previsionali (ad

es. ipotesi su una situazione futura).

MRV PROMUOVE L’INTRECCIO DELLA LOGICA DELLA RICERCA CON

LA LOGICA DEDUTTIVA

Logica della ricerca e logica deduttiva: il legame fondamentale tramite le abduzioni.

Porre domande anziché eseguire mosse deduttive: un esempio dai racconti di Sherlok Holmes: Silver Blaze Un’ abduzione

Background: il famoso cavallo Silver Blaze è stato rubato dalla scuderia nel

cuore della notte, e il mattino dopo il suo padrone ha trovato lo stallo vuoto"

Ispettore: «C’è qualche punto su cui vorreste attirare la mia attenzione?»"

Sherlock Holmes: « Sul curioso incidente del cane di notte»"

Ispettore: «Il cane non ha fatto niente nella notte!»"

Sherlock Holmes: « Proprio questo è il curioso incidente»«

Sherlock Holmes ha in effetti posto tre domande"

1) C’era un cane di guardia nelle scuderie quando il cavallo è stato rubato? Sì"

2) Il cane ha abbaiato?« No, non ha nemmeno svegliato i ragazzi che dormono nella scuderia. "

3) A chi un cane da guardia addestrato non abbaia nel cuore della notte? "

Al proprietario, naturalmente.

Un’ abduzione caratterizza la modalità della logica della ricerca e può

segnare la transizione alla logica deduttiva.

L’insegnante supporta l’uso di questo schema, la sua organizzazione nelle pratiche didattiche, promuovendo la transizione dal suo uso nella vita di tutti i giorni al contesto matematico.

Così facendo permette la costruzione di competenze matematiche, in cui le conoscenze si intrecciano con le competenze argomentative degli allievi in situazioni in cui risolvono e si pongono dei problemi.

MRV induce un atteggiamento aperto alla ricerca, in cui l’allievo:

- pone e si pone problemi;

- produce ipotesi, definizioni, argomentazioni;

- non è imbalsamato nel tipico schema chiuso: situazione data ! risolvi/dimostra.

LE CONSEGUENZE DIDATTICHE DEL MRV

- Le variazioni sono generate dagli studenti stessi

(con il supporto dell’insegnante, più marcato all’inizio, più attenuato quando il metodo si afferma nella classe):

QUINDI il controllo passa dagli “altri” a se stessi nel porre il problema: una concezione più ampia di che cos’è un problema e una maggiore condivisione emotiva.

- Le variazioni affrontano uno stesso argomento sotto più punti di vista:

QUINDI si genera una comprensione più profonda e più ampia.

Si produce un senso per la matematica condiviso e positivo.

Vantaggi cognitivi e didattici di MRV

Ricordiamo alcune delle conseguenze metodologiche di MRV coi problemi:

1. Il controllo passa dagli “altri” a se stessi nel porre il problema: una concezione più ampia di che cos’è un problema e una maggiore condivisione emotiva.

2. Le variazioni affrontano uno stesso argomento sotto più punti di vista: si genera una comprensione più profonda e più ampia.

Trasferiamo queste proprietà alle definizioni e otterremo un metodo per affrontare le definizioni in classe.

La proporzionalità e l’utilizzo delle frazioni

Due esempi per partire …

(ANCORA UN TESTO DI SCUOLA MEDIA )

G.Flaccavento Romano

Ci avviamo adesso allo studio di due importanti concetti: quello di rapporto e quello di proporzione

Ma i rapporti non li conoscono già?

Ma non conoscono già i termini “dividendo” e “divisore” o numeratore e denominatore?

antecedente conseguente

b

a

b

a

antecedente

conseguenteb

aa : b

I bambini si trovano ad affrontare problemi di

proporzionalità ben prima di affrontare le

proporzioni.

Nei problemi di proporzionalità semplice ci sono

due tipi di rapporti:

• rapporto scalare tra grandezze dello stesso

genere

• rapporto “funzione” o valore unitario tra

grandezze di genere diverso

Il prezzo di una macchinina è 5 euro.

Quanto si deve pagare per comperarne 4?

macchinine euro

5

1 5

4

4

5

4

• invarianza del rapporto scalare in verticale

costo di 4 macchinine 4 macchinine

=

costo di 1 macchinina 1 macchinina

• invarianza del rapporto funzione (valore unitario) in orizzontale (funzione “costo”)

costo di 4 macchinine costo di 1 macchinina

=

4 macchinine 1 macchinina

Proporzionalità multipla

La quantità di zucchero necessaria per 10 bambini per una

settimana di colonia è di 3,5 Kg.

Quanto zucchero occorrerà per 50 bambini che vanno in

colonia 28 giorni?

Alcuni studenti:

“50 bambini è 5 volte più di 10 e 28 giorni è 4 volte più di 1 settimana, dunque occorrerà una quantità di zucchero 20 volte più grande”.

Il non banale teorema-in-atto messo in opera è

consumo (5 10 , 4 7) = 5 4 consumo (10 , 7)

cioè hanno riconosciuto la “bilinearità” della funzione “consumo”:

f(a x , b y) = a b f(x , y)

Proporzionalità multipla

Si può schematizzare così:

10 50 x

7 3,5

28 z

y

e si mette in evidenza la dipendenza di z da due variabili indipendenti tra loro.

Dello stesso tipo sono problemi di geometria, fisica, probabilità e statistica ecc.

Proporzionalità multipla

Secondo il signor Pasticcere una torta per 6 persone

deve pesare 0,8 kg . Per ogni kg di torta occorre mezzo

chilo di farina. Quanta farina dovrà usare Pasticcere

per preparare una torta per 10 persone?

persone peso torta farina

6 0,8 Kg

10

1 0,5

• Le variabili non sono indipendenti fra loro: la farina

necessaria dipende dal peso della torta che si vuole

realizzare, che a sua volta dipende dal numero di

persone che mangeranno la torta.

• x dipende da y, y dipende da z

• Si evidenzia così la necessità di passare al rapporto,

alla frazione

• FAR SEMPRE RIFERIMENTO ALLE FRAZIONI

COME STRUMENTO DI SINTESI

PROPORZIONALE IN VARI CONTESTI (

geometria, probabilità, problemi aritmetici , funzioni

algebriche da ricavare, geografia, scienze … )

Proporzionalità multipla

Domanda

Il ricorso a “buoni problemi”, in un’ottica

socio-costruttivista, può incidere sulla

costruzione del pensiero proporzionale?

Lavorare per problemi è guadagno o perdita

di tempo?

Rinaldi- Grugnetti- Cattini 1999

Gli allievi che

hanno affrontato in un’ottica socio-costruttivista

l’argomento “proporzioni”

e che hanno superato autonomamente l’ostacolo

rappresentato dalla struttura additiva,

hanno maggiormente interiorizzato il pensiero

proporzionale

e, di conseguenza, hanno maggiori capacità a

medio o lungo termine di riconoscere una

situazione proporzionale?

METODOLOGIA DI CONTROLLO

Ideazione ed analisi di problemi

• in ambiti differenti

• in situazioni “vicine” alla esperienza

• atti a provocare conflitti cognitivi

• in chi non riconosce situazioni di proporzionalità

• proposti lontano dalle lezioni sulla proporzionalità

• senza parole-chiave

• che possano innescare automaticamente gli schemi legati alla proporzionalità

• Classi in cui la proporzionalità

è stata introdotta in un’ottica socio-costruttivista

S - C

Terze medie

• Classi (di controllo) in cui la proporzionalità

è stata introdotta in modo tradizionale

T

Terze medie e biennio superiori

IL COLORE VIOLA

Abbiamo preparato una bella tinta viola mescolando 50 ml di blu e 30 ml di rosso.A un certo punto abbiamo esaurito il colore e ci restano solo 40 ml di blu per rifarlo.Quanti millilitri di rosso dovremo utilizzare per ottenere lo stesso colore?Spiegazione:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Se in un’altra occasione volessimo utilizzare 50 ml di rosso, quanto blu dovremmo unire per ottenere sempre lo stesso colore?Spiegazione:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

VIOLA 1 n

allievi

GIUSTO SBAGLIATO strategia

additiva

CLASSI S-C 68 49,2% 50,8% 70%

CLASSI T 220 20,9% 79,1% 86,78%

VIOLA 2 n

allievi

GIUSTO SBAGLIATO strategia

additiva

CLASSI S-C 67 42,4% 57,6% 71%

CLASSI T 220 11% 89% 83,3%

IL COLORE DEL MAREUn amico ci ha detto che per riprodurre un particolare colore del mare, dobbiamo

mescolare tra loro quattro diversi colori e ci ha consigliato le rispettive quantità, che sono riportate nella tabella qui sotto.

Purtroppo abbiamo a disposizione una quantità diversa del primo colore.

Riesci a determinare le quantità degli altri colori, in modo che il colore finale non cambi?

Spiegazione:____________________________________________________________

________________________________________________________

COLORE QUANTITA’

CONSIGLIATA

QUANTITA’

EFFETTIVA

Verde scuro 70 ml 50 ml

Azzurro cielo 40 ml

Giallo chiaro 25 ml

Bianco 20 ml

RISULTATI

MARE n GIUSTO SBAGLIATO ADD

CLASSI S-C 68 55,8% 44,2% 46,6%

CLASSI T 217 14,7% 85,3% 77,83%

Alcune osservazioni:

*pare che la tabella (che suggerisce una strategia risolutiva) abbia

leggermente facilitato le classi T

*Il fatto che un colore vada a zero pare provocare ripensamenti nelle

classi S-C: la percentuale di chi sbaglia cala rispetto al problema de

Il colore viola 1 e 2 e soprattutto si può notare che tra chi sbaglia

cala sensibilmente la percentuale di chi applica la strategia additiva.

Nelle classi T invece tale percentuale rimane molto alta, pur calando

un po’.

CHIMICASul testo di chimica, abbiamo trovato che per

neutralizzare 10 ml di una soluzione fortemente acida occorre aggiungere 80 ml di un composto alcalino.

Noi però dobbiamo neutralizzare 25 ml della soluzione acida.

Quanti millilitri del composto alcalino dovremo utilizzare?

Spiegazione:_______________________________________________________________________________________________________________________

Inserito per testare se e soprattutto in chi, numeri più semplici avrebbero facilitato il superamento dell’ostacolo

Abbiamo agito sulla variabile didattica “numeri” per vedere se in che misura numeri più “facili” avrebbero favorito le classi T.

CHIMICA n° GIUSTO SBAGLIATO ADD

CLASSI S-C 66 82,4% 17,6% 10,3%

CLASSI T 214 47,7% 52,3% 40,2 %

Alcune considerazioni sui risultati

Il campione significativo e l’ampliamento temporale della ricerca consentono di affermare che

laddove il pensiero proporzionale è stato introdotto attraverso la proposta di problemi risolti autonomamente con il ricorso ad una strategia moltiplicativa,

a lungo termine avviene più facilmente il riconoscimento di un problema di proporzionalità in contesti differenziati.

Ancora problemi che ci aiutino a testare conoscenze o ad acquisire competenze

relative al pensiero proporzionale

19.I.3. UNA FOTO AFRICANA (Cat. 3, 4)

Clara osserva una grande fotografia di un paesaggio africano.

Conta le zebre e le giraffe.

Ce ne sono 36 in tutto e il numero delle zebre è il doppio del numero delle giraffe.

Quante sono le giraffe?

Quante sono le zebre?

Spiegate come avete trovato le vostre risposte.

19.II.6. GATTI GOLOSI (Cat. 4, 5)

La nonna ha due grossi gatti, Fuffi e Pallina, molto golosi di biscotti per gatti. La nonna dà ai

suoi gatti solo biscotti interi.

Fuffi mangia ogni giorno lo stesso numero di biscotti e la stessa cosa fa Pallina.

Pallina è più golosa e mangia, ogni giorno, sempre il doppio dei biscotti che mangia Fuffi.

Oggi, la nonna ha comprato una confezione da 100 biscotti e sa già che saranno sufficienti per una settimana, ma non per due settimane.

Quale può essere il numero di biscotti che ciascun gatto mangia in una settimana?

Spiegate come avete trovato la vostra risposta.

8. IL MINIGOLF (CAT. 5, 6) Diego ha rappresentato, su un foglio di carta quadrettata, un percorso per un

gioco di minigolf con nove buche numerate da 1 a 9.

La distanza in linea retta tra il punto P, la partenza, e la buca 9, che rappresenta l’arrivo, è di 120 m.

Ecco la rappresentazione del percorso.

Qual è la lunghezza, in metri, di tutto il percorso?

Spiegate come avete fatto a trovare la vostra risposta.

ANALISI A PRIORI

Compito matematico

Trovare la misura in metri della lunghezza di un percorso rappresentato su una griglia quadrettata, conoscendo la distanza in

linea retta tra il punto iniziale e quello finale del percorso.

Analisi del compito

- Capire che il percorso disegnato su carta quadrettata corrisponde ad un percorso effettivo sul terreno

- Capire che la distanza di 120 metri corrisponde alla distanza tra il punto di partenza e la buca 9 sul percorso effettivo.

- Capire che è possibile prendere per unità di misura il lato del quadretto per misurare segmenti sulla quadrettatura.

- Contare quanti quadretti ci sono tra la partenza e la buca 9 in linea retta (15).

- Calcolare a quanti metri corrisponde, nella situazione reale, un lato del quadretto (120 : 15 = 8)

- Determinare la lunghezza totale del percorso sulla quadrettatura (45 unità) e moltiplicarla per 8 per avere la lunghezza reale

del percorso: 360 m

Oppure:

- Capire che una lunghezza di 120 metri sul terreno corrisponde a 15 lati di quadretti sulla quadrettatura

- Contare i lati-quadretto dell’intero percorso di 15 in 15 e scoprire che si ottengono così esattamente 3 gruppi.

- Moltiplicare quindi 120 × 3 per trovare la lunghezza del percorso (360 in m)

Oppure:

- Determinare la lunghezza del percorso sulla quadrettatura (45 unità), notare che 45 corrisponde a tre volte 15; determinare

la lunghezza reale che è anch’essa uguale a tre volte la lunghezza corrispondente a 15 unità (120 m) : 120 × 3 = 360.

Il conteggio e i calcoli possono essere leggermente semplificati se ci si accorge che il tracciato segue il contorno di tre quadrati

lungo tre dei loro lati.

Un errore possibile potrebbe consistere nel contare i quadretti invece che i lati-quadretto, il che porta a calcolare una unità

anziché due nei vertici dove la linea cambia direzione.

Un altro errore potrebbe consistere nel considerare il percorso disegnato come quello reale e nel dare come risposta la misura

della sua lunghezza misurata con il righello.

Attribuzione dei punteggi

4 Risposta corretta (360 m) con una spiegazione chiara e completa (dettaglio dei calcoli effettuati, degli eventuali conteggi,

eventuale esplicitazione delle relazioni tra la distanza data e l’intero percorso, …) che faccia capire la procedura adottata

Livello: 5, 6 Origine: Udine

ANALISI A PRIORI

Compito matematico

Trovare la misura in metri della lunghezza di un percorso rappresentato su una griglia quadrettata, conoscendo la distanza in

linea retta tra il punto iniziale e quello finale del percorso.

Analisi del compito

- Capire che il percorso disegnato su carta quadrettata corrisponde ad un percorso effettivo sul terreno

- Capire che la distanza di 120 metri corrisponde alla distanza tra il punto di partenza e la buca 9 sul percorso effettivo.

- Capire che è possibile prendere per unità di misura il lato del quadretto per misurare segmenti sulla quadrettatura.

- Contare quanti quadretti ci sono tra la partenza e la buca 9 in linea retta (15).

- Calcolare a quanti metri corrisponde, nella situazione reale, un lato del quadretto (120 : 15 = 8)

- Determinare la lunghezza totale del percorso sulla quadrettatura (45 unità) e moltiplicarla per 8 per avere la lunghezza reale

del percorso: 360 m

Oppure:

- Capire che una lunghezza di 120 metri sul terreno corrisponde a 15 lati di quadretti sulla quadrettatura

- Contare i lati-quadretto dell’intero percorso di 15 in 15 e scoprire che si ottengono così esattamente 3 gruppi.

- Moltiplicare quindi 120 × 3 per trovare la lunghezza del percorso (360 in m)

Oppure:

- Determinare la lunghezza del percorso sulla quadrettatura (45 unità), notare che 45 corrisponde a tre volte 15; determinare

la lunghezza reale che è anch’essa uguale a tre volte la lunghezza corrispondente a 15 unità (120 m) : 120 × 3 = 360.

Il conteggio e i calcoli possono essere leggermente semplificati se ci si accorge che il tracciato segue il contorno di tre quadrati

lungo tre dei loro lati.

Un errore possibile potrebbe consistere nel contare i quadretti invece che i lati-quadretto, il che porta a calcolare una unità

anziché due nei vertici dove la linea cambia direzione.

Un altro errore potrebbe consistere nel considerare il percorso disegnato come quello reale e nel dare come risposta la misura

della sua lunghezza misurata con il righello.

Attribuzione dei punteggi

4 Risposta corretta (360 m) con una spiegazione chiara e completa (dettaglio dei calcoli effettuati, degli eventuali conteggi,

eventuale esplicitazione delle relazioni tra la distanza data e l’intero percorso, …) che faccia capire la procedura adottata

Livello: 5, 6 Origine: Udine

· 15. COMPLEANNI IN FAMIGLIA (CAT. 7, 8, 9, 10)

C’è stato un anno, alcuni anni fa, in cui i compleanni nella famiglia di Francesca sono stati molto particolari:

la cugina Elisabetta aveva compiuto il doppio degli anni di Francesca,

la mamma Carla aveva compiuto il doppio degli anni di Elisabetta,

la nonna Lia aveva compiuto il doppio degli anni di Carla.

Anche quest’anno, il 2017, è un anno molto particolare per i compleanni della famiglia: la mamma Carla festeggia il doppio degli anni di Francesca e la nonna Lia compie 110 anni!

Quanti anni compie Francesca nel 2017?

Spiegate come avete fatto a trovare la vostra risposta.

ANALISI A PRIORI

Compito matematico

Trovare l’età della più giovane di quattro persone sapendo che qualche anno prima le quattro età erano in progressione

geometrica di ragione 2 e che oggi l’età della terza è il doppio di quella della più giovane e che la più vecchia ha 110 anni.

Analisi del compito

- Rappresentare le relazioni tra gli anni che quattro persone avevano qualche tempo fa e constatare che la relazione « il

doppio » che si ripete da una persona all’altra. permette di dire che l’età della terza è il « quadruplo » di quella della prima

… e che, per esempio, le quattro età si possono esprimere in funzione di quella di Francesca: E = 2F, C = 4F, L = 8F (in

progressione 1, 2, 4, 8).

- Rendersi conto che le relazioni fra le età si modificano con il passare degli anni e che nel 2017 l’età di ciascuna persona

aumenta dello stesso numero (di anni) e che l’età dell’una non è più il doppio della precedente; in particolare Carla, che

aveva quattro volte l’età di Francesca, ne avrà solamente il doppio nel 2017.

Ci sono più modi di procedere:

- Per tentativi sull’età di Francesca prima e dopo il 2017:

prima: F E C L diff. con 110 nel 2017 F E C L

5 10 20 40 70 75 80 90 110 90 ≠ 2 × 75

10 20 40 80 30 40 50 70 110 70 ≠ 2 × 40

11 22 44 88 22 33 44 66 110 66 = 2 × 33

- Dalle relazioni fra F e C che passano dal quadruplo al doppio nel 2017, comprendere che lo scarto (d) tra il primo anno

“particolare” e il 2017 è il doppio dell’età di F nel “passato” o la metà dell’età di C nel “passato” (Questa relazione è

molto delicata da trovare, essa deriva dall’uguaglianza fra C e il doppio di F nel 2017 4F + d = 2(F + d) da cui si ha 2F =

d per sottrazione di 2F e di d da ogni membro, sia con calcolo algebrico, sia con il modello della « bilancia », sia con una

rappresentazione grafica). La nonna che nel 2017, avrà 8 volte l’età di F sommata a d avrà allora 10 volte l’età di F o 110

anni, ciò porta a concludere che F ha11 anni nell’anno passato, numero che, sommato ad uno scarto di 22 anni, porta a 33

anni per l’età di F nel 2017.

Oppure:

per via algebrica: indicare, ad esempio, con x l’età di Francesca all’epoca del primo evento, con n gli anni trascorsi fra il

primo ed il secondo evento ed impostare un sistema di due equazione in due incognite

- Concludere che l’età di Francesca 22 anni fa era 11 e che quindi oggi compie 33 anni.

Attribuzione dei punteggi

4 Risposta corretta (33 anni) con spiegazione chiara e completa della procedura seguita (tentativi, relazioni rappresentate

graficamente o procedura algebrica, con dettaglio dei calcoli)

Livello: 7, 8, 9, 10

Origine: Siena

10. GARA DI PESCA (Cat. 5, 6, 7, 8)

Aldo, Carlo e Biagio partecipano ad una gara di pesca. Al termine della gara scoprono che:

Biagio ha pescato 7 trote in più di Aldo;

Carlo ha pescato il doppio delle trote pescate da Biagio che è anche il triplo di quelle pescate

da Aldo.

Quante trote ha pescato ciascuno dei tre amici?

Spiegate il vostro ragionamento.

14. LA CREMA DA SPALMARE (Cat. 8, 9, 10)

A Giovanni piace molto la crema da spalmare alla nocciola Nocciolì e l’acquista regolarmente.

La crema Nocciolì è di solito venduta in vasi da 800 grammi al prezzo di 4,50 euro a vaso.

Oggi Giovanni ha ricevuto tre pubblicità che riguardano offerte speciali per l’acquisto della crema

Nocciolì.

La prima pubblicità dichiara che, nel negozio A, i vasi di crema Nocciolì da 800 grammi sono venduti

con lo sconto del 30%.

La seconda pubblicità annuncia che, nel negozio B, la crema da spalmare è venduta in vasi più grandi

che contengono il 30% di prodotto in più di quelli che sono venduti abitualmente, ma che costano

ancora 4,50 euro .

La terza pubblicità indica che, nel negozio C, il vaso da 800 grammi costa 4,50 euro, ma che per

l’acquisto di 3 vasi, ciascuno da 800 grammi, un quarto vaso è offerto gratuitamente.

Quale negozio dovrà scegliere Giovanni per acquistare la crema Nocciolì più conveniente?

SPIEGATE COME AVETE TROVATO LA VOSTRA RISPOSTA.

4. SEMPRE IL DOPPIO…

Tom ha 3 barattoli: uno piccolo, uno medio e uno grande.

Vuole utilizzarli tutti per riporre le sue 100 biglie e vuole rispettare queste regole:

- il barattolo medio deve contenere il doppio delle biglie del barattolo piccolo,

- il barattolo grande deve contenere il doppio delle biglie del barattolo medio.

Tom potrà sistemare tutte la sue biglie nei tre barattoli rispettando le regole?

Se non è possibile, qual è il numero massimo di biglie che potrà mettere nei barattoli sempre

rispettando le regole?

Spiegate le vostre risposte.

8. LA FAMIGLIA DEGLI ELFI (Cat. 5, 6)

Nel bosco di un paese lontano vive una famiglia di elfi:

papà, mamma, nonni e una bambina. Gli

elfi sono creature fantastiche e possono vivere molto a

lungo.

Tra meno di dieci anni, il nonno compirà 1.000 anni.

La bambina, la mamma e il nonno compiono gli anni lo

stesso giorno.

Quest’anno nel giorno del compleanno, la bambina dice

al nonno: «Nonno, ho notato che la

mamma oggi compie la metà dei tuoi anni e io oggi ho

esattamente un terzo dell’età della mamma!»

Tra quanti anni il nonno compirà 1.000 anni?

Spiegate come avete trovato la vostra risposta.

11.F.11 TARTUFI AL CIOCCOLATO (Cat. 6, 7, 8)

Ecco qualche confezione della ditta Tartuffardi contenenti tutte lo stesso tipo di tartufi al

cioccolato:

Classico Alternato Piccolo Tribù

Ed ecco le etichette che indicano il peso del

contenuto, da incollare sulle confezioni:

Ma queste etichette non sono in ordine e ne manca

una.

540 g

630 g

810 g

Trovate la confezione per la quale non c’è etichetta e indicate il suo peso.

Spiegate il vostro ragionamento.

15 II 14. IL DROGHIERE (Cat. 7, 8, 9)

Il droghiere Pasquale ha confezionato delle bustine di tre grandezze differenti contenenti

zafferano, ma ha dimenticato di scrivere su ogni bustina il peso della sostanza.

Lui sa che con 14 grammi di zafferano può confezionare:

- 12 bustine piccole e 4 grandi oppure - 4 grandi e 4 medie oppure

- 5 medie, 5 piccole e 2 grandi

Qual è il peso di ciascuna bustina?

Spiegate il vostro ragionamento

15 II 15. IL BARATTO (Cat. 7, 8, 9, 10)

Sull’isoletta Marebello i bambini raccolgono conchiglie che scambiano nel negozietto del

villaggio. Ecco le tariffe per ciascuno degli oggetti richiesti dai bambini:

36 conchiglie per un gelato,

40 conchiglie per un panino,

24 conchiglie per un’aranciata,

100 conchiglie per una maschera subacquea,

60 conchiglie per un aquilone.

I bambini possono anche scambiare i ricci che prendono nelle rocce sottomarine per avere i

cinque oggetti precedenti. Ecco le tariffe:

45 ricci per uno dei cinque oggetti,

27 ricci per un altro oggetto,

75 ricci per un altro oggetto ancora.

Quanti ricci ci vorranno per ciascuno dei due oggetti rimanenti?

Spiegate come avete trovato la vostra risposta.