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Storia della MatematicaLezione 15

ENRICO ROGORA1

1Dipartimento di Matematica”Sapienza”, Universita di Roma

Roma, 15 Aprile 2014

ENRICO ROGORA Storia della Matematica

Evangelista Torricelli (1608-1647)


Biografia essenziale

Nacque a Faenza e studio presso i gesuiti. Dopo il 1626 e a Roma,dove viene in contatto con Benedetto Castelli, professore allaSapienza. Nel 1641 completa l’Opera geometrica (pubbl. 1644)accolta con entusiasmo da Castelli e Galielo, che lo invita acollaborare ad Arcetri. Torricelli collabora solo pochi mesi con Galileo,che muore nel gennaio del 1642. Alla morte di Galileo, Torricelli ienenominato Matematico del Granduca di Toscana.Tra il 1643 e il 1647 si occupera di geometria, di teoria del moto, dellacostruzione di lenti, della teoria del vuoto e della pressioneatmosferica. Muore a trentanove anni nel 1647. In matematica, inparticolare, estese e perfeziono il metodo degli indivisibili, compı iprimi passi nella direzione del calcolo differenziale, studiando letangenti alla cicloide e si rese conto per primo del legame tral’operazione di integrale e di derivata (Teorema fondamentale delcalcolo o di Torricelli-Barrow).


L’iperboloide infinito

Affronto ora un problema che, a degli aspiranti Geometri,sembrerebbe non solo difficile, ma addirittura impossibile. Infatti nelletrattazioni scolastiche di Geometria si trovano misure di figure limitateda ogni parte, e fra tutti i solidi, dei quali gli Autori antichi e moderni,con numerosi sforzi, hanno determinato la misura, nessuno, che iosappia, ha una estensione infinita. E se si propone di considerare unsolido, oppure una figura piana, infinitamente estesa, ciascuno pensasubito che una figura di questo genere debba essere di grandezzainfinita. Eppure esiste un solido, di lunghezza infinita, ma dotato diuna sottigliezza tale, che per quanto prolungato all’infinito, nonsupera la mole di un piccolo cilindro.Il risultato suscito grande sorpresa e un acceso dibattito sul senso esulle capacita della matematica di trattare l’infinito attuale.


L’iperboloide infinito o Tromba di Torricelli

La Tromba di Torricelli, detta anche di Gabriele, e un solido ottenutodalla rivoluzione intorno all’asse della curva di equazione y = 1

xnell’intervallo [1, +∞). Questo solido ha la particolarita di averevolume finito, ma area infinita.


Iperboloide Infinito (III)


Iperboloide Infinito (IV)

Quanto al metodo della dimostrazione, dimostreremo un uniconotevole teorema in duplice modo, cioe con gli indivisibili ed allamaniera degli antichi. Benche, a dire il vero, esso sia stato scopertocon la Geometria degli Indivisibili, la quale e un vero modo scientificodi dimostrare, diretto, e per cosı dire, naturale.Mi muove a compassione la vecchia Geometria, la quale nonconoscendo, oppure non ammettendo gli indivisibili, nello studio dellamisura dei solidi scoprı cosı` poche verita, che una penosa poverta diidee e perdurata fino all’eta nostra. Infatti, i teoremi degli antichi checompongono la dottrina dei solidi, rappresentano soltanto una partedelle speculazioni che, nella nostra epoca, il mirabile Cavalieri (pernon parlare degli altri) fece attorno a numerose classi di solidi,differenti di specie e abbondanti in gran numero.


Realta e indagine matematica

Che i principii della dottrina de motu siano veri o falsi a me importapochissimo, Perche se sono veri, fingasi che sian veri conformehabbiamo supposto e poi prendansi tutte le altre specolazioniderivate da essi principii, non come cose miste, ma puregeometriche. Io fingo o suppongo che qualche corpo o punto simuova all’ingiu et all’insu con la nota proporzione et horizontalmentecon moto equabile. Quando questo sia, io dico che seguirtutto quelloche ha detto il Galileo et io ancora. Se poi le palle di piombo, di ferro,di pietra, non osservano quella supposta proporzione, suo danno: noidiremo che non parliamo di esse.Quando pero Torricelli viene informato dall’artigliere Giovan BattistaReneri della forte discordanza tra le previsioni della teoria del motodei proiettili con la pratica dell’artiglieria genovese, egli rispondevasottolineando la totale veridicita fisica della teoria galileiana,spiegando che la discrepanza dipendeva da circostanze collateraliquale l’attrito dell’aria e suggeriva alcuni accorgimenti da adottare, inseguito ai quali Reneri si convince della correttezza della teoria diGalileo.


Considerazioni conclusive

La grande stagione della matematica italiana a cavallo tra ilsedicesimo e il diciassettesimo secolo, che vede accanto ai nomi diGalileo, Cavalieri e Torricelli anche quelli di Mengoli, Castelli, siconclude con la morte di questi.Il declino della ricerca matematica in Italia e accompagnato dallaascesa negli altri paesi europei, in particolare in Francia, dove l’operadi Cartesio, Fermat, Pascal e Roberval apriranno nuovi orizzonti allaricerca matematica.


Ancora sul paradosso della ruota di Aristotele

Ruota di Aristotele



Rotolamento



Si ha puro rotolamento di un corpo su una superficie, quando, istanteper istante, esiste un solo punto di contatto del solido con lasuperficie e l’atto di moto in quell’istante e di pura rotazione intorno alpunto di contatto, ovvero la velocita istantanea del punto di contatto enulla. E chiaro allora che, se questo accade per il punto di contattodella ruota grande, non puo accadere per il punto di contatto dellaruota piccola, che quindi rotola strisciando sul suo binario.


Cicloide

La cicloide fu studiata per la prima volta da Nicola Cusano e ricevetteil suo nome nel 1599 da Galileo. Si dedicarono allo studio di questacurva anche Torricelli, Roberval, Fermat, Cartesio, Huygens,Bernoulli e Newton. La cicloide:

risolve il problema della tautocrona ovvero le oscillazioni su di unarco di cicloide sono esattamente isocrone (e non soloapprossimativamente come in un pendolo semplice);risolve il problema della brachistocrona ovvero la curva su cuiuna massa che scivola impiega meno tempo per percorrere iltragitto fra due punti dati e un arco di cicloide.


Cicloide

Cicloide


Cicloide

Scegliendo un sistema di riferimento in cui l’origine e posta nel puntodi contatto della circonferenza con la retta sulla quale lacirconferenza rotola senza strisciare, con l’asse delle ascissecoincidente con tale retta e orientato nel senso del movimento dellaruota e con l’asse delle ordinate orientato in modo che lacirconferenza sia sempre nel semipiano delle ordinate positivedurante il suo moto, l’equazione della cicloide e{

x = −R · sin ωt + ωty = R − R · cos ωt


Cicloide

Cicloide


Cicloide

Area Cicloide


Area della cicloide

Per calcolare l’area sottesa ad un arco completo di cicloide, il metodoproposto da Torricelli consiste in

1 traslare gli indivisibili del semicerchio in nero nella figura, inmodo che il loro estremo sinistro stia sulla cicloide C, ottenendoin questa maniera gli indivisibili in rosso, i cui estremi destriindividuano una certa curva G;

2 osservare che la curva G divide in due regioni congruenti ilrettangolo di base uguale alla semicirconferenza e altezzauguale a due volte il raggio (una di queste regioni e identificatacon un tratteggio viola nella figura);

3 dedurre quindi, in base al principio di Cavalieri e alla formula perl’area della circonferenza, che l’area di mezza cicloide e uguale atra volte l’area di mezzo cerchio, e quindi che la regionedelimitata da un arco completo di cicloide e dalla retta su cuirotola il cerchio che definisce la cicloide e uguale a tre cerchi.


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