03/03/2012

1

1

Università della Calabria

Corso di statisticaCorso di statistica

RENDE RENDE a.aa.a 20112011--20122012

Campus di Arcavacata

IL CONCETTO DI MEDIA

I) Criterio di internalità (Chisini)

La media di una variabile X è qualunque valore reale Mintermedio tra il minimo x(1) ed il massimo x(n) di unadistribuzione. ( ) ( )1 nx M x≤ ≤

II) Logica della trasferibilità di una variabile (Chisini)

La media di una variabile X è quel valore M, intermediotra il minimo x(1) ed il massimo x(n) di una distribuzioneche, rispetto ad una funzione sintetica delle osservazioni,ne lascia inalterato il valore.

( ) ( )1

, , , ,nn v o l t e

f x x f M M=K K1 44 2 4 43

Il valore della funzione f(•) non cambia se si sostituisce ad ogni intensità di X il valore M.

03/03/2012

2

III) Minimizzazione della perdita globale (Wald)

La media di una variabile X è quel valore M che minimizzala funzione di perdita complessiva che si ottiene quando allesingole osservazioni (x1,………,xn) si sostituisce M.

( )( ), m i n s e id x Mθ θ= =l( ),id x θ = Perdita subita nel sottrarre ���� da xi, per i=1,2,……..,n( )⋅ =l Funzione che sintetizza le singole perdite in un unico valore

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1

n

n

ii

x x x M M M

x n M=

+ + + = + + +

= ⋅∑

l l K l l l K l

c

l l

IV) Principio della equiripartizione (Naguno-Kolmogorov-De Finetti)

La media di una variabile X è quel valore M che realizzal’equiripartizione rispetto ad una funzione( )⋅l

LA MEDIA ARITMETICALa sua individuazione deriva dalla logica della trasferibilità di una variabile (Chisini).

( ) ( )1

, , , ,nn v o l t e

f x x f µ µ=K K1 4 2 4 3

Se la funzione f(•) corrisponde alla somma:

1 2

n

n v o l t e

x x x µ µ µ+ + + = + + +K K1 44 2 4 43

1 1 2

1

=

n

ini n

i Xi

xx x x

x nn n

µ µ ==

+ + += ⇒ =∑

∑K

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Media aritmetica: modalità di calcolo

Distribuzione di frequenze

Successione di n intensità1 =

n

ii

X

x

nµ =

∑

1=

k

i ii

X

x n

nµ =

⋅∑1

=k

X i ii

x fµ=

⋅∑Frequenze assolute Frequenze relative

1

ˆ

=

k

i ii

X

x n

nµ =

⋅∑Distribuzioni in classi

1ˆ p e r 1 , 2 , ,2

i ii

x xx i n−

+= = K

Valore centrale dell’i-esima classe

Il calcolo dei valori centrali introduce un’approssimazione perchéequivale ad attribuire una ripartizione uniforme delle frequenzeall’interno di ciascuna classe.

Carattere NUMERO DI BOTTIGLIE

1 1 1 2 2 2 2 33 3 4 4 4 4 4 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6

n

ii 1

x1 1 6 1 1 9

3 9 7n 3 0 3 0

,=+ + +

µ = = = =∑ L

( ) ( )

( ) ( )

n

i i ni 1

i ii 1

x n

x fn

1 0 1 0 2 0 1 3

3 0 1 0 6 0 1 3 3 9 7

, ,

, , ,

=

=µ = = =

= × + × +

+ × + + × =

∑∑

L

N. bottiglie ni fi1 3 0,10

2 4 0,13

3 3 0,10

4 5 0,17

5 11 0,37

6 4 0,13

Totale 30 1

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4

Carattere PREZZO CH, classi equiampie (primi 20 consumatori)

Classe ci ni fi

1,69 |—| 1,77 1,73 3 0,15

1,77 —| 1,85 1,81 0 0

1,85 —| 1,93 1,89 3 0,15

1,93 —| 2,01 1,97 5 0,25

2,01 —| 2,09 2,05 9 0,45

Totale 20 1

( ) ( ) ( )

k

i ii 1

c n

n

1 7 3 3 1 8 1 0 2 0 5 9

2 0

1 9 5 8

, , ,

,

=µ = =

× + × + + ×= =

=

∑

L

0 11

x x 1 6 9 1 7 7c 1 7 3

2 2

, ,,

+ += = =

1 22

x x 1 7 7 1 8 5c 1 8 1

2 2

, ,,

+ += = =

k 1 kk

x xc

2

− +=

i 1 ii

x xc

2

− +=

Proprietà della media aritmeticaI) Internalità ( ) ( )1 X nx xµ≤ ≤

Dim: ( ) ( ) ( )1 p e r 1 , ,i nx x x i n≤ ≤ = K

( ) ( ) ( )11 1 1

n n n

i ni i i

x x x= = =

≤ ≤∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )11

n

i ni

n x x n x=

⋅ ≤ ≤ ⋅∑

( )

( )

( ) ( ) ( )1

1 1

n

ii

Xn n

x

x x x xn

µ=≤ ≤ ⇔ ≤ ≤∑

II) Proprietà Baricentrica ( )1

0n

i Xi

x µ=

− =∑

Dim: ( )

1 1 1 1

1 1 1 1

0

n n n n

i X i X i Xi i i i

n n n n

i i i ii i i i

x x x n

x n x n x x

µ µ µ= = = =

= = = =

− = − = − =

= − = − =

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

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5

III) Linearità

{ } { }1 1 1, , , ,n n nx x y x y xα β α β→ = ± = ±K K

t r a s f o r m a z i o n e l i n e a r eY X

X Yα β= ± →

( )

( )

1 1 1

1

1 1 1

1 1 =

n n n

Y i ii i i

n

i Xi

x xn n n

n xn n

µ α β α β

α β α β µ

= = =

=

= ± = ± =

± = ±

∑ ∑ ∑

∑

Y Xµ α β µ= ±

Corollari:

{ } { }1 1 1, , , ,n n nx x y x y xβ β→ = ± = ±K K

Y Xµ β µ= ±

{ } { }1 1 1, , , ,n n nx x y x y xα α→ = ± = ±K K

Y Xµ α µ= ±a)

b)

( ),α β ∈ ℜDim:

Scelta Prezzo MM

MM 1,99

MM 1,99

MM 1,99

MM 2,09

MM 2,09

MM 2,09

MM 2,09

MM 2,09

MM 2,13

Per i soli succhi di frutta MM considerare il carattere PREZZO MM. La casa produttrice decide di cambiare il prezzo di vendita del prodotto: per ogni acquirente il nuovo prezzo sarà pari al prezzo di vendita mediano attuale più il 18.75% del prezzo attuale. Qual è la media dei nuovi prezzi di vendita?

9 1 5

2

M e x x 2 0 9,+= = =

La nuova serie dei prezzi p* sarà dunque ottenuta dalla trasformazione lineare:

p* = 2,09 + 0,1875 p

0629

5518

9

p9

1ii

,, ===µ

∑=

2 0 9 0 1 8 7 5 2 0 9 0 1 8 7 5 2 0 6 2 4 7* , , , , , ,µ = + ⋅ µ = + ⋅ =

* * *1 2 3p = p = p = 2 , 0 9 + 0 , 1 8 7 5 1 , 9 9 = 2 , 4 6×

*9p = 2 , 0 9 + 0 , 1 8 7 5 2 , 1 3 = 2 , 4 9×

* *4 8p = = p = 2 , 0 9 + 0 , 1 8 7 5 2 , 0 9 = 2 , 4 8×L

9

ii 1

1 2 4 6 2 4 6 2 4 9p 2 4 7

9 9

* * , , , ,=

+ + +µ = = =∑

L

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IV) Associatività1

1

=

= ∑G

X j jj

nn

µ µ

G = numero di gruppi

nj = numerosità del j-esimo gruppo (j=1,….,G)

( )1 2

1 , ,=

+ + + + + =K

K K1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43

j

j G

s u d d i v i s i o n e d e l l e i n t e n s i t à i n G g r u p p i d i n u m e r o s i t à n j G

n n n n n

1 1 1= = =

=∑ ∑ ∑1 4 4 2 4 4 3

jnn G

i i ji j i

s o m m a d e l l e i n t e n s i t à

x x

1

1 11 1 1 1

1 1 1; ; ; ;

= = =

= = =∑ ∑ ∑K K1 4 4 4 4 4 4 4 4 442 4 4 4 4 4 4 4 4 443

j Gn nn

i j i j G G ij Gi i i

m e d i e d e i g r u p p i

x x xn n n

µ µ µ

1 1 1

1 1 1

1 1

1 1 1

= = =

= = =

= =

= =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

j

j

nn G

X i i ji j i

nG G

i j j j jjj i j

x xn n

x n nn n n

µ

µ

xij = j-esima intensità dell’i-esimo gruppo

Scomposizione della media generale

Media aritmetica delle medie dei

gruppi

Dim:

nj Rivenditoren.bottiglie

bis

Bar 6

Bar 6

Bar 5

Bar 5

Bar 6

Bar 3

Bar 5

Bar 4

9 Bar 5

Coloniali 3

Coloniali 6

Coloniali 4

Coloniali 5

Coloniali 3

Coloniali 4

Coloniali 5

Coloniali 2

9 Coloniali 4

D. Automatico 2

D. Automatico 5

D. Automatico 3

4 D. Automatico 6

S.market 4

S.market 6

S.market 5

S.market 2

S.market 3

S.market 6

S.market 5

8 S.market 1

30 129

3 0

ii 1

x=∑

45

36

16

32

b a r b a rb a rb a r

1x

nµ = ∑

c o l c o lc o lc o l

1x

nµ = ∑

d a d ad ad a

1x

nµ = ∑

s m s ms ms m

1x

nµ = ∑

( ) ( ) ( ) ( )b a r c o l d a s m9 9 4 83 0

µ × + µ × + µ × + µ ×µ =

ii

1 1 2 9x 4 3

n 3 0,µ = = =∑

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7

Gruppi/modalitàG

njj = 1, …, G

Bar 9 45

Coloniali 9 36

D. Automatico 4 16

Supermarket 8 32

Totali 30 129

jn

ii 1

x=∑

( ) ( ) ( ) ( )b a r b a r c o l c o l d a d a s m s mn n n nn

µ =

µ × + µ × + µ × + µ ×=

b a r b a rb a rb a r

1 1x 4 5 5

n 9µ = = × =∑

c o l c o lc o lc o l

1 1x 3 6 4

n 9µ = = × =∑

d a d ad ad a

1 1x 1 6 4

n 4µ = = × =∑

s m s ms ms m

1 1x 3 2 4

n 8µ = = =∑

( ) ( ) ( ) ( )5 9 4 9 4 4 4 8 1 2 94 3

3 0 3 0,

× + × + × + ×µ = = =

V) Minimizzazione della somma degli scarti al quadrato

( )21

m i n s e e s o l o s e n

i Xi

x δ δ µ=

− = =∑

Dim: ( ) ( )2 2

1 1

s e n n

X i i Xi i

x xδ µ δ µ= =

≠ ⇒ − > −∑ ∑

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

1 1

2 2

1

1

2

n n

i i X Xi i

n

i X Xi

n

X i Xi

x x

x n

x

δ µ µ δ

µ µ δ

µ δ µ

= =

=

=

− = + − − =

= − + − +

+ − −

∑ ∑

∑

∑

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

1 1

2 2

1 1

n n

i i X Xi i

n n

i i Xi i

x x n

x x

δ µ µ δ

δ µ

= =

= =

− = − + −

⇒ − > −

∑ ∑

∑ ∑

Termine nullo per la II proprie-tà della media arit-metica

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Quale indice di posizione scegliere?

La mediana minimizza la somma degli scarti in valore assoluto:

n

ii 1

x c c M em i n=

− = ⇒ =∑

La mediana è un indice robustorobusto: non subisce l’influenza di valori anomali

CRITERIO:

� Se occorre un indice che tenga conto di tutti i tutti i valorivalori, si utilizza la media.

� Se non si vuole che i valori estremivalori estremi alterino il valore dell’indice, allora si utilizza la mediana

esempio:Scelta del luogo in cui situare il deposito di n punti vendita, in modo da minimizzare le distanze complessive (quindi i costi):

il luogo che soddisfa tale condizione è la mediana dei punti vendita

INDICI STATISTICI DI VARIABILITA’Variabilità: Attitudine di un fenomeno ad assumerediverse intensità

Caratteristiche di un indice di variabilità

• Dispersione rispetto ad un centro

• Mutua variabilità

• Mutevolezza delle frequenze(Concentrazione per caratteri trasferibili)

Come si misura la variabilità?

( )( )( ) ( )

( ) ( )

1

1 1

1 1

) , , 0

) , , 0

) , , ,

) S e , , , X è p i ù v a r i a b i l e d i Y

n

n n

n n

i V x x

i i V c c

i i i V x c x c V x x

i v V x x V y y

≥

=

+ + =

≥ →

K

K

K K

K K

V(••••): Indice di variabilità; c: costante nota

N.B. Un indice di variabilità è sempre maggiore o uguale a zero.

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Variabilità e funzione di ripartizione empirica

Una funzione di ripartizione empirica molto ripida (che subitoraggiunge 1) indica scarsa variabilità. Viceversa, unafunzione di ripartizione empirica che raggiunge 1 moltolentamente indica elevata variabilità.

Campo di Variazione

È molto sensibile alla presenza di valori anomali

Differenza Interquantile

Differenza tra due quantili equidistanti dagli estremi delladistribuzione

Via via meno sensibile alla presenza di valori anomali, mamano che r ed s si avvicinano.

r > s

Differenza Interquartile

È un indice più robusto del campo di variazione

Coefficiente di Variazione Interquartile

� Non dipende dall’unità di misura del carattere osservato(come il Range e l’IQR) ma solo dal rapporto tra quartili

� Se Me→→→→ 0 allora CQV →→→→ ∞∞∞∞

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Variabilità rispetto ad un centroObiettivo: Sintetizzare una opportuna funzione degli scartidelle singole intensità dall’indice di posizione M prescelto

Successione degli scarti:( ) ( ) ( ) ( )1 2, , , , ,i nx M x M x M x M− − − −K K

( )

( )1

2

1

0

S e

m i n

n

ii

n

ii

x

M

x

µµ

µ

=

=

− == ⇒ − =

∑

∑

1

S e m i nn

ii

M M e x M e=

= ⇒ − =∑

Ogni scarto esprime la distanza di ciascuna intensità dall’indiceM.

La variabilità rispetto ad un centro può essere definitaspecificando in diversi modi M.

Ricordiamo che:

VARIANZA

� Misura la dispersione media intorno alla media aritmetica.

� Si calcola come media aritmetica dei quadrati degli scarti.

1. Per una successione di valori:

2. Per una distribuzione di frequenza:

3. Per una distribuzione in classi di frequenza:

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N. bottiglie ni fi1 3 0,10

2 4 0,13

3 3 0,10

4 5 0,17

5 11 0,37

6 4 0,13

Totale 30 1( )

( ) ( ) ( )

2

2 1

2 2 21 3 , 9 7 3 2 3 , 9 7 4 6 3 , 9 7 4

3 0

7 2 , 9 72 , 4 1

3 0

n

i ii

x n

n

=

−= =

− × + − × + + − × = =

= =

∑

L

µσ

( ) ( ) ( )

2

2 21

2 2 2

21 3 2 4 6 4

3 , 9 73 0

5 4 51 5 , 7 3 2 , 4 1

3 0

n

i ii

x n

n

== − =

× + × + + ×= − =

= − =

∑

L

σ µ

Formula alternativa:

Classe ci ni fi

1,69 |—| 1,77 1,73 3 0,15

1,77 —| 1,85 1,81 0 0

1,85 —| 1,93 1,89 3 0,15

1,93 —| 2,01 1,97 5 0,25

2,01 —| 2,09 2,05 9 0,45

Totale 20 1

( )( )

( ) ( )

( )

2

22 1

1

2 2

2

1 , 7 3 1 , 9 6 0 , 1 5 1 , 8 1 1 , 9 6 0

2 , 0 5 1 , 9 6 0 , 4 5 0 , 0 0 4

k

i i ki

i ii

c n

c fn

=

=

−= = − =

= − × + − × + +

+ − × =

∑∑

L

µσ µ

( ) ( )

n

i i ni 1

i ii 1

c n

c f 1 7 3 0 1 5 2 0 5 0 4 5 1 9 6n

, , , , ,=

=µ = = = × + + × =

∑∑ L

( ) ( )( )

2

2 2 2 21

1

2 2

2 2

1 , 7 3 0 , 1 5 1 , 8 1 0

2 , 0 5 0 , 4 5 1 , 9 6 0 , 0 0 4

n

i i ni

i ii

c n

c fn

=

=

= − = − =

= × + × + +

+ × − =

∑∑

L

σ µ µ

Formula alternativa:

03/03/2012

12

Proprietà della varianza

I)20 X≤ ≤ ∞σ

II) Esprime la variabilità nella stessa unità di misuradel carattere osservato, ma elevata al quadrato

III) ( )22

2X = −σ µ µ

Dim: ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

22

1

2 2

1 1 1

2 2

1

2 2

1

1=

1 1 12

12

1

n

X ii

n n n

i ii i i

n

ii

n

ii

xn

x xn n n

xn

xn

=

= = =

=

=

− =

= − + =

= − + =

= −

∑

∑ ∑ ∑

∑

∑

σ µ

µ µ

µ µ µ

µ

Formula alternativa per il calcolo della varianza

IV)t r a s f o r m a z i o n e l i n e a r e

Y XX Y= ± →α β

( ),α β ∈ ℜ

Dim:

e i i Y Xy x= + = +α β µ α β µ

( ) ( )

( )

2 22

1 1

22 2 2

1

1 1

1

n n

Y i Y i Xi i

n

i X Xi

y xn n

xn

σ µ α β α β µ

β µ β σ

= =

=

= − = + − − =

= − =

∑ ∑

∑

quindi:

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13

Esempio

Scelta Prezzo MM

MM 1,99

MM 1,99

MM 1,99

MM 2,09

MM Me ���� 2,09

MM 2,09

MM 2,09

MM 2,09

MM 2,13

Nuovo prezzo = prezzo mediano attuale + 18.75% del prezzo attuale.

Qual è la varianzavarianza del nuovo prezzo?

Trasformazione lineare:

p* = 2,09 + 0,1875 p

2 * 2 20 , 1 8 7 5 0 , 0 3 5 0 , 0 0 2 0 , 0 0 0 0 7 5= × = × =σ σ

Calcolo della nuova varianza:

αααα = 2,09; ββββ = 0,1875

2 * 2 2=σ β σ

V) Decomposizione della varianza

La varianza di X è data dalla somma della mediadelle varianze di gruppo (varianza interna) e dallavarianza delle medie di gruppo (varianza esterna).

( )22 21 1

V A R I A N Z A I N T E R N A V A R I A N Z A E S T E R N A

1 1G GX j j j X j

j j

n nn n= =

= + −∑ ∑1 4 2 43 1 4 4 4 2 4 4 43

σ σ µ µ

Se:

G = numero di gruppi;

µµµµj: media dell’i-esimo gruppo;

nj = numerosità dell’j-esimo gruppo (j = 1,….,G);

allora:

2 2 2T O T I N T E X T= +σ σ σossia:

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Dim:

( )

1 2

s u d d i v i s i o n e d e l l e i n t e n s i t à i n G g r u p p i d i n u m e r o s i t à 1 , ,

j

j G

nj G

n n n n n

=

+ + + + + =

K

K K1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 43

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

222

1 1 1

V a r i a n z a d e l l a p a r t i z i o n e i n g r u p p i

2

1 1

2 2

1 1 1 1

1 1

1 1

1

1 1

12

i

i

i i

i

nn G

X i X i j Xi j i

nG

i j j j Xj i

n nG G

i j j j Xj i j i

nG

i j j j Xj i

x xn n

xn

xn n

xn

= = =

= =

= = = =

= =

= − = − =

= − + − =

= − + − +

+ − −

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

1 4 4 4 2 4 4 43

σ µ µ

µ µ µ

µ µ µ

µ µ µ

1

1 jn

j i jj i

xn =

= ∑µMedia aritmetica delle intensità appartenenti all’i-esimo gruppo.

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

è u g u a l e a z e r o p e r l a I p r o p r i e t à d i

1 22 0

i in nG G

i j j j X j X i j jj i j i

x xn n= = = =

− − = − − =

∑ ∑ ∑ ∑1 44 2 4 43

µ

µ µ µ µ µ µ

3° Addendo

Quindi:

1° Addendo

( )

( )

2

1 1

2 2 2

1 1 1

V a r i a n z a d e l l ' i - e s i m o g r u p p o

1

1 1 1

i

j

I N T

nG

i j jj i

nG G

i j j j j jj i jj

xn

x n nn n n

= =

= = =

− =

= − = =

∑ ∑

∑ ∑ ∑1 4 4 4 2 4 4 43

µ

µ σ σ

2° Addendo

( ) ( )2 2 21 1 1

V a r i a n z a d e l l e m e d i e d i g r u p p o

1 1i

E X T

nG G

j X j X jj i j

nn n= = =

− = − =∑ ∑ ∑1 4 4 4 2 4 4 43

µ µ µ µ σ

03/03/2012

15

Esempio sceltabottiglie CH MM Totale

1 1 2 3

2 2 2 4

3 2 1 3

4 5 0 5

5 7 4 11

6 4 0 4

Totale 21 9 30

( ) ( ) ( )

6

11

2 1

1 1 2 2 6 44 , 2 8

2 1

iC H ii

C H

x n== = =

× + × + + ×= =

∑

L

µ µ

( ) ( ) ( )

6

12

9

1 2 2 2 5 43 , 2 2

9

iM M ii

M M

x n== = =

× + × + + ×= =

∑

L

µ µ

G = 2 (1 = CH; 2 = MM)

( )

( ) ( )

6 2

2 2 11

2 2

2 1

1 4 , 2 8 1 6 4 , 2 8 4 4 0 , 2 91 , 9 2

2 1 2 1

iC H C H ii

C H

x n=

−= = =

− × + + − ×= = =

∑

L

µσ σ

( )

( ) ( )

6 2

2 2 12

2 2

9

1 3 , 2 2 2 6 3 , 2 2 0 2 5 , 5 62 , 8 3

9 9

iM M M M ii

M M

x n=

−= = =

− × + + − ×= = =

∑

L

µσ σ

( ) ( )2 21

1 1 , 9 2 2 1 2 , 8 3 92 , 1 9

3 0

G

I N T j jj

nn =

× + ×= = =∑σ σ

( )

( ) ( )

22

1

2 2

1

4 , 2 8 3 , 9 7 2 1 3 , 2 2 3 , 9 7 90 , 2 4

3 0

G

E S T j X jj

nn =

= − =

− × + − ×= =

∑σ µ µ

03/03/2012

16

SCARTO QUADRATICO MEDIO

(o scostamento quadratico medio, o deviazione standard)

� E’ uguale alla radice quadrata della varianza.

� Esprime la variabilità nella stessa unità di misura delcarattere osservato.

1. Per una successione di valori:

2. Per una distribuzione di frequenza:

3. Per una distribuzione in classi di frequenza:

σ è interpretabile come scarto medio intorno alla media; la maggior parte dei valori sono compresi nell’intervallo:

[µµµµ - σσσσ; µµµµ + σσσσ]

s i t u a z i o n e d i m a s s i m a v a r i a b i l i t à

0 p e r 1 , , 1 i nx i n x n= = − =K1 4 4 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 43µ

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

22

1

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

1

10 1 1

11 2

12

111

n

ii

xn

n nn

n n nn

n n nn

n nn n n

n n

=

= − =

= − − + − ⋅ =

= − + + − =

= − + + − =

− = − = = −

∑σ µ

µ µ µ

µ µ µ µ

µ µ µ µ µ

µµ µ µ

Nella situazione di massima variabilità

σ 2= µ 2(n-1) e 1nσ µ= −

MASSIMA VARIABILITA’

( ) ( )2 2 1 1n nσ σ µ µ= = − = −Quindi:

03/03/2012

17

INDICI DI VARIABILITA’ RELATIVA

Coefficiente di variazione

E’ un indice indipendente dall’unità di misura (è un numeropuro) e può essere utilizzato per confrontare distribuzionidiverse

( ) ( )2 20 1 e 0 1n n≤ ≤ − ≤ ≤ −σ µ σ µPoiché:

INDICE DI VARIABILITA’ RELATIVI NORMALIZZATI (compresi tra 0 ed 1)

Scarto quadratico medio relativo

Si ottiene come rapporto tra il valore assunto dallo scarto ed il valore massimo che esso può assumere per la distribuzione:

5614322 ,, ==σ=σ

07029973

561

1nrel ,

,

, ==−µ

σ=σ

390973

561CV ,

,

, ==µσ=

N. bottiglie ni fi1 3 0,10

2 4 0,13

3 3 0,10

4 5 0,17

5 11 0,37

6 4 0,13

Totale 30 1

Scarto quadratico medio:

Coefficiente di variazione:

Scarto quadratico medio relativo:

Esempio

03/03/2012

18

INDICI DI MUTUA VARIABILITÀ

DIFFERENZE MEDIEDifferenza Media Semplice (senza ripetizione)

Differenza Media Quadratica

Misurano quanto le unità statistiche differiscono tra di lorotra di loro(non più rispetto ad un punto fisso).

Il calcolo si basa sulle differenze tra tutte le coppie di unità statistiche.

Successione di valori Distribuzione di frequenza

Successione di valori Distribuzione di frequenza

A B C D E F G

xi 3 6 5 10 3 6 7

A 3 3 2 7 0 3 4

B 6 3 1 4 3 0 1

C 5 2 1 5 2 1 2

D 10 7 4 5 7 4 3

E 3 0 3 2 7 3 4

F 6 3 0 1 4 3 1

G 7 4 1 2 3 4 1

Scarti semplici in valore assoluto

Impresa Addetti

A 3

B 6

C 5

D 10

E 3

F 6

G 7

totale 40

n

ii 1

x4 0

5 7 1n 7

,=µ = = =∑

Calcolo della Differenza Media Semplice:

03/03/2012

19

Impresa Addetti

A 0

B 0

C 0

D 0

E 0

F 0

G 40

totale 40

Impresa Addetti

A 5,71

B 5,71

C 5,71

D 5,71

E 5,71

F 5,71

G 5,71

totale 40

Equidistribuzione degli addetti Massima concentrazione di addetti

xi = xj ∀∀∀∀ i,j ∆∆∆∆ = 0A B C D E F G

xi 0 0 0 0 0 0 40

A 0 0 0 0 0 0 40

B 0 0 0 0 0 0 40

C 0 0 0 0 0 0 40

D 0 0 0 0 0 0 40

E 0 0 0 0 0 0 40

F 0 0 0 0 0 0 40

G 40 40 40 40 40 40 40

∆∆∆∆ = 2µµµµ

( )

( )

( )

n n

i j ii j 1 i 1

x x 2 n 1 x

2n n 1 n n 1

≠ = =

− −∆ = = = µ

− −

∑ ∑

INDICE DI CONCENTRAZIONE

R = 0 se ∆∆∆∆ = 0Caso di equidistribuzioneequidistribuzione del carattere

R = 1 se ∆∆∆∆ = 2µµµµCaso di massima concentrazionemassima concentrazione del carattere

0 ≤≤≤≤ R ≤≤≤≤ 1

2 8 6,∆ = 2 2 5 7 1 1 1 4 2m a x , ,∆ = µ = × =

Se:

03/03/2012

20

auto ni1 3

2 8

3 6

4 2

5 1

tot 20

X = NUMERO DI AUTO POSSEDUTE relativo ad un collettivo di 20 famiglie

Caso di distribuzione di frequenza

nj 3 8 6 2 1

ni auto 1 2 3 4 5

3 1 24 36 18 12

8 2 24 48 32 24

6 3 36 48 12 12

2 4 18 32 12 2

1 5 12 24 12 2

( )

( ) ( ) ( )

1

1

1 2 3 8 1 3 3 6 5 4 1 2 4 4 01 , 1 6

2 0 1 9 3 8 0

K

i j i ji j

x x n n

N N

≠ =− ⋅

∆ = =−

− ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅= =

⋅

∑

L

Scarti semplici in valore assoluto

55,222MAX =×=µ=∆

INDICI DI

ETEROGENEITÀ ED OMOGENEITÀ

Mutabilità: Attitudine di un fenomeno ad assumerediverse modalità

Distribuzione Massimamente Omogenea: le n unitàstatistiche presentano tutte la stessa modalità

Distribuzione Massimamente Eterogenea: nelladistribuzione di frequenza appaiono tutte le k modalità, ead ognuna di esse è associata la medesima frequenza.

Caratteristiche di un indice di mutabilità

M(••••): Indice di mutabilità

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1

1

) , , m i n

m a s s i m a o m o g e n e i t à

) , , m a x

m a s s i m a e t e r o g e n e i t à

) m i n , , m a x

o m o g . / e t e r o g . i

n

n

n

i M x x M

i i M x x M

i i i M M x x M

=

=

< <

K

K

K

n t e r m e d i a

03/03/2012

21

INDICI DI ETEROGENEITA’ ED OMOGENEITA’

( ) 2 21 1 1 1

1 1k k k k

i i i i ii i i i

G f f f f f= = = =

= − = − = −∑ ∑ ∑ ∑

INDICE DI GINI

kii kfG ,,2,1max

1L=∀=≡

m a x 2 21

1 11 1 1

k

i

kG

k k k=⇒ = − = − = −∑

X: carattere qualitativo con k modalità

INDICE DI GINI NORMALIZZATO

( )11

11

1

12

2

max

*

−=

−−=

−

−== ∑∑ k

kG

k

kf

k

f

G

GG i

i

Massima eterogeneità (minima omogeneità)

Modalità fix1 0,2

x2 0,2

x3 0,2

x4 0,2

x5 0,2

Totale 1

Modalità fix1 0

x2 0

x3 1

x4 0

x5 0

Totale 1

Minima eterogeneità (massima omogeneità)

( )( )

K2i

i 1

2

G 1 f

1 5 0 , 2

1 5 0 0 4 0 8, ,

== − =

= − ×

= − × =

∑

K2i

i 1

G 1 f

1 1 0

== − =

= − =

∑

i

1f , i 1 , , k

k= ∀ = K

03/03/2012

22

SCELTA ni fiCH 21 0,7

MM 9 0,3

Totale 30 1

( ) ( )

K2i

i 1

2 2

G 1 f

1 0 , 7 0 , 3 1 0 4 9 0 0 9 0 4 2, , ,

== − =

= − + = − + =

∑

502

11

K

11G ,max =−=−=

Indice di eterogeneità normalizzato di Gini (0 ≤ G* ≤1)

Indice di eterogeneità di Gini

84050

420

G

GG ,

,

,*

max

===

ConclusioneG* è abbastanza elevato →→→→ la distribuzione è abbastanza eterogenea: entrambe le modalità sono presenti, ma con frequenze non equilibrate tra loro.

Esempio 1

Negozio ni fiBar 9 0,30

Coloniali 9 0,30

D. automatico 4 0,13

Supermarket 8 0,27

Totale 30 1

( )( )

42i

i 1

2 2 2 2

G 1 f

1 0 , 3 0 , 3 0 , 1 3 0 , 2 7

1 0 , 0 9 0 , 0 9 0 , 0 2 0 , 0 7 0 , 7 3

=

= − =

= − + + + =

= − + + + =

∑

7504

11

K

11G ,max =−=−=

970750

730

G

GG ,

,

,*

max

===

ConclusioneG* molto prossimo ad 1 →→→→ la distribuzione è molto eterogenea: tutte le modalità sono presenti e con frequenze molto simili tra loro.

Esempio 2

03/03/2012

23

FORMA DI UNA DISTRIBUZIONE

Due distribuzioni che presentano gli stessi valori degliindici di posizione e degli indici di variabilità possonodifferire per il peso dei valori più grandi e/o più piccolirispetto al valore centrale a causa del comportamentodifferenziato nelle code della distribuzione.

La forma di una distribuzione è importante proprio pervalutare l’effetto delle intensità posizionate sulle codedella distribuzione.

Obiettivo dello studio della forma di una distribuzione èmisurare se una distribuzione è simmetrica oppure diquanto essa si discosta dalla situazione di simmetria.

In una distribuzione simmetrica le intensità posizionatealla stessa distanza da un indice di posizione (ad es. lamedia aritmetica) ma in posizione opposta rispetto a taleindice presentano la stessa frequenza (o densità difrequenza).

Una distribuzione che non risulta simmetrica si diceasimmetrica

-2 0 2 4

050

010

0015

00

Intensità

Den

sità

di f

requ

enza

SIMMETRIA E ASIMMETRIA

Distribuzione simmetrica

Proprietà:

1 3 1 3

)

) ( p e r d i t r i b u z i o n i u n i m o d a l i )

) ( e s o n o e q u i d i s t a n t i d a )

X

X

i M e

i i M e M o

i i i Q M e Q M e Q Q M e

== =

− = −

µµ

N.B. Queste proprietà valgono in una sola direzione

03/03/2012

24

0 10 20 30

050

010

0015

00

Intensità

Den

sità

di f

requ

enza

-30 -20 -10 0

050

010

0015

00

Intensità

Den

sità

di f

requ

enza

Asimmetria positiva

Distribuzioni asimmetriche

Asimmetria negativa

• Le intensità si attardano sullacoda di destra delladistribuzione

• Per distribuzioni unimo-dali:

X M e M o> >µ

• Le intensità si attardano sullacoda di sinistra delladistribuzione

• Per distribuzioni unimo-dali:

XM o M e> > µ

INDICI DI FORMAForniscono informazioni sulla forma di una distribuzione (simmetria, asimmetria positiva o negativa).

Indice di Hotelling e SolomonIndice di Hotelling e Solomon

0

1 0

0 1

H S

H S

H S

A S i m m e t r i a

A A s i m m e t r i a P o s i t i v a

A A s i m m e t r i a N e g a t i v a

=− ≤ <

< ≤

Poiché vale la seguente relazione: X XM eµ σ− ≤allora: 1 1H SA− ≤ ≤

N.B. Nel caso in cui AHS = 0 la distribuzione non è necessariamente simmetrica

Indice di Yule e BowleyIndice di Yule e Bowley

0

0

0

Y B

Y B

Y B

A S i m m e t r i a

A A s i m m e t r i a P o s i t i v a

A A s i m m e t r i a N e g a t i v a

=<>

03/03/2012

25

INDICI DI FORMA BASATI SULLA STANDARDIZZAZIONE

Tale indici neutralizzano l’effetto di qualunque indice diposizione e di variabilità attraverso una operazione distandardizzazione del tipo:

p e r 1 , ,X i XiX X

X xX Z Z z i n

− −→ = = = Kµ µσ σ

Z è la variabile standardizzata. Essa, oltre a non dipendere dall’unità di misura del carattere osservato, presenta sempre media pari a zero e varianza pari ad uno. Infatti:

11 , , , ,

X i X n Xi n

X X X

x x xz z z

− − −= = =K Kµ µ µσ σ σ

( )1 1

1

1 1

1 1 1 1 0 0

n ni X

Z ii i X

n

i XiX X

xz

n n

xn n

= =

=

−= = =

= − = ⋅ ⋅ =

∑ ∑

∑

µµσ

µσ σ

( ) ( )2 221 1

2

2 2

2 21 1

1 10

1 1 1 1

n n

Z i Z ii i

n ni X

i Xi i X X

z zn n

xz

n n

= =

= =

= − = − =

−= = = ⋅ =

∑ ∑

∑ ∑

σ µ

µ σσ σ

Indice di FisherIndice di Fisher

FA− ∞ ≤ ≤ ∞0

0

0

F

F

F

A S i m m e t r i a

A A s i m m e t r i a p o s i t i v a

A A s i m m e t r i a n e g a t i v a

=><

Successione di valori

Distribuzione di frequenza

03/03/2012

26

Indici di curtosiIndici di curtosi

• Misurano la maggiore o minore frequenza delleosservazioni situate nelle code della distribuzione, ossia diquelle che presentano gli scarti dalla media più elevati.

• Sono basati su un confronto tra la distribuzione empirica ed un modello teorico di riferimento quale la distribuzione distribuzione NormaleNormale.

Intensità

Den

sità

di f

requ

enza

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

Distribuzione Normale (Gauss-Laplace)

• E’ utilizzata come modello teorico di riferimento perché frequentemente presente come distribuzione di fenomeni naturali• E’ una distribuzione simmetrica unimodale

è un indice di disnormalità basato sul confronto tra la distribuzione empirica ed il modello della distribuzione Normale

Successione di valori

Distribuzione di frequenza

Indice di curtosi di PearsonIndice di curtosi di Pearson

Per la distribuzione Normale:

AK = 3

K = AK – 3

03/03/2012

27

0

0 l e p t o c u r t i c a

0 p l a t i c u r t i c

K D i s t r i b u z i o n e N o r m a l e

K D i s t r i b u z i o n e

K D i s t r i b u z i o n e a

= > 0

K = 0

K < 0

Distribuzione leptocurticaDistribuzione leptocurtica: i valori si accentrano intorno alla media più di quanto accade per la distribuzione Normale

Distribuzione platicurticaDistribuzione platicurtica: presenta delle densità di frequenza nella coda della distribuzione più di quanto accade per la distribuzione Normale.

N. bottiglie CH ni fi Fi

1 1 0,05 0,05

2 2 0,09 0,14

3 2 0,09 0,23

4 5 0,25 0,48

5 7 0,33 0,81

6 4 0,19 1

Totale 21 1

N. bottiglie MM ni fi Fi

1 2 0,22 0,22

2 2 0,22 0,44

3 1 0,11 0,55

4 0 0 0,55

5 4 0,45 1

6 0 0 1

Totale 9 1

( )3

1

3 3 3

3 3 3

1

1 1 4 , 2 9 2 4 , 2 9 3 4 , 2 92 2

2 1 1 , 3 9 1 , 3 9 1 , 3 9

4 4 , 2 9 5 4 , 2 9 6 4 , 2 95 7 4

1 , 3 9 1 , 3 9 1 , 3 9

11 3 , 3 5 8 , 9 9 1 , 6 0 ,

2 1

C Hn C HC H iC H i

iC H C H

xA F n

n =

− = ⋅ =

− − − + ⋅ + ⋅ +

− − −+ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= − − − −

∑µ

σ

( )0 4 0 , 9 6 7 , 5 8

1 5 , 4 40 , 7 4

2 1

+ + =

= − = −

µµµµCH = 4,29 µµµµMM = 3,22σσσσCH = 1,39 σσσσMM = 1,69

03/03/2012

28

( )

( )

M M3

nM MM M i

M M ii 1M M M M

3 3

3 3

x1A F n

n

1 1 3 , 2 2 2 3 , 2 22 2

9 1 , 6 9 1 , 6 9

3 3 , 2 2 5 3 , 2 24

1 , 6 9 1 , 6 9

1 0 , 6 64 , 5 9 0 , 7 6 0 , 0 0 2 4 , 7 0 , 0 7

9 2 1

=

− µ = ⋅ = σ

− −= ⋅ + ⋅ +

− −+ + ⋅ =

= − − − + = − = −

∑

Dal confronto risulta che entrambe le distribuzioni presentano un valore negativo dell’indice di Fisher, quindi un’asimmetria negativa, che è leggermente più accentuata per i consumatori CH.

IL BOXPLOTPermette di studiare graficamente la forma di una distribuzioneCostruzione del boxplot:Costruzione del boxplot:

1. Si determinano i quantili: x(1), Q1, Q2 = Me, Q3, x(n)2. Si disegna una scatola di estremi Q1 e Q3 tagliata

sulla mediana

Q 1 Me Q 3

3. Si calcolano i valori a e b:( ) ( )1 3 1 3 3 11 , 5 ; 1 , 5a Q Q Q b Q Q Q= − − = + −

4. Si calcolano i valori αααα e ββββ:αααα = minimo dei valori maggiore di aββββ = massimo dei valori minori di b

03/03/2012

29

5. Si disegnano i baffi sui valori αααα e ββββ

Q 1 Me Q 3 ��

5. I valori oltre a e b sono disegnati con dei puntini(valori anomali)

Q 1 Me Q 3 ��

Caratteristiche del boxplot:

• Permette di visualizzare le informazioni sullaforma e la variabilità di una distribuzione

• Consente di confrontare graficamente la forma dipiù distribuzioni

Esempi

Distribuzione simmetrica

Distribuzioneasimmetricapositiva

Distribuzioneasimmetricanegativa

3.54.04.55.05.56.06.5

510152025

-25-20-15-10-5

03/03/2012

30

Distribuzione CHESEMPI

Q1 = 4Q2 = Me = 5Q3 = 5

( ) 52QQ51Qa 131 ,, =−−=

{ } 3ax i =≥=α min( ) 56QQ51Qb 133 ,, =−+=

{ } 6bx i =≤=β max

Q1 = 2Q2 = Me = 3Q3 = 5

Distribuzione MM

( ) 52QQ51Qa 131 ,, −=−−=( ) 59QQ51Qb 133 ,, =−+=

{ } 1ax i =≥=α min{ }im a x x b 5β = ≤ = 1

2

3

4

5

n. b

ottig

lie s

ucch

i MM

1

2

3

4

5

6

n. b

ottig

lie s

ucch

i CH

02

46

810

Boxplot Numero di stabilimenti (n=50)

02

46

8

Boxplot Numero di stabilimenti (n=49)

( )1 3 11 , 5 1 4 , 5 3 , 5 0a Q Q Q= − − = − = − ⇒ =α

( )3 3 11 , 5 4 4 , 5 8 , 5 8b Q Q Q= + − = + = ⇒ =β

Caso a) n=50:

Caso b) n=49:

Q1 = 1; Me = 2; Q3 = 4

Q1 = 1; Me = 2; Q3 = 4( )1 3 11 , 5 1 4 , 5 3 , 5 0a Q Q Q= − − = − = − ⇒ =α

( )3 3 11 , 5 4 4 , 5 8 , 5 8b Q Q Q= + − = + = ⇒ =β

03/03/2012

31

Le relazioni statistiche per distribuzioni doppie possono essere di due tipi:

• Connessione: esistenza di una relazione reciproca tra i due caratteri

–Dipendenza assoluta

• Dipendenza: esistenza di una relazione di causa-effetto tra i due caratteri

–Dipendenza lineare–Dipendenza in media

• Correlazione (o intedipendenza): esistenza di una relazione di dipendenza reciproca tra i due caratteri.

Relazioni statistiche

INDICI DI CONNESSIONE

Indice ChiIndice Chi--quadro di Pearson (quadro di Pearson (χχχχχχχχ22))

ˆ = f r e q u e n z e t e o r i c h ei ji jn n

nn

• •=

Per misurare la connessione bisogna considerare ledifferenze tra le frequenze teoriche e le frequenzeosservate.

( )1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

ˆ ˆ

1 1

10

k h k h k h

i j i j i j i ji j i j i j

k h k h

i j i ji j i j

n n n n

n n n n n nn n

n n n n nn

= = = = = =

• • • •= = = =

− = − =

= − = − =

= − ⋅ = − =

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

03/03/2012

32

20 χ≤ ≤ ∞

2 0χ = Non esiste connessione (esiste indipendenza)tra X ed Y. Ogni frequenza congiunta è pari allarispettiva frequenza teorica.

2 0χ > Esiste connessione (non esiste indipendenza)tra X ed Y. Almeno una frequenza congiunta èdiversa dalla rispettiva frequenza teorica.

L’indice chi-quadro è pari alla somma dei quadrati delledifferenze tra le frequenze teoriche e le frequenzeosservate.

Formulazione alternativaFormulazione alternativa

( )22 ˆˆ

i j i j

i ji j

n n

n

−= ∑ ∑χ

2

ˆ

i j

i j i j

n

n= +∑ ∑

2ˆ

ˆ

i j

i j i j

n

n−∑ ∑

ˆ2

ˆ

i j i j

i j i j

n n

n− =∑ ∑

2

ˆ 2ˆ

i ji j i j

i j i j i ji j

nn n

n n

n

• •= + − =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

2

2i j

i j i j

nn n n

n n• •= + − =∑ ∑

03/03/2012

33

Indice PhiIndice Phi--quadro di Fisher (quadro di Fisher (φφφφφφφφ 22))

{ }20 m i n 1 , 1k h≤ ≤ − −φ

2 1 1 i j j ih k n n n• •= − = − ⇒ = =φ

2 1 i j ih n n •= − ⇒ =φ

Perfetta dipendenza bilaterale in tabelle quadrate

Perfetta dipendenza di Y da X in tabelle rettangolari

2 1 i j jk n n •= − ⇒ =φ

Perfetta dipendenza di X da Y in tabelle rettangolari

h < k

k < h

negozio scelta Bar Coloniali D. Autom. S.market Totale

CH 9 8 1 3 21

MM 0 1 3 5 9

Totale 9 9 4 8 30

( )∑ ∑

= =

−=χ

k

1i

h

1j ij

2

ijij2

n

nn

ˆ

ˆ

negozio scelta Bar Coloniali D. Autom. S.market Totale

CH 6,3 6,3 2,8 5,6 21

MM 2,7 2,7 1,2 2,4 9

Totale 9 9 4 8 30

Frequenze teoriche ijn̂

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2

2 2 2 2

9 6 , 3 8 6 , 3 1 2 , 8 3 5 , 6

6 , 3 6 , 3 2 , 8 5 , 6

0 2 , 7 1 2 , 7 3 1 , 2 5 2 , 4

2 , 7 2 , 7 1 , 2 2 , 4

1 , 1 6 0 , 4 6 2 , 8 2 1 3 , 2 7

− − − −= + + + +

− − − −+ + + + =

= + + =L

χ

Metodo A.

03/03/2012

34

negozio scelta Bar Coloniali D. Autom. S.market

CH 81 64 1 9

MM 0 1 9 25

Frequenze teoriche 2ijn

negozio scelta Bar Coloniali D. Autom. S.market

CH 189 189 84 168

MM 81 81 36 72

ji nn .. ×

[ ]

2 8 1 6 4 1 9 1 9 2 53 0 11 8 9 1 8 9 8 4 1 6 8 8 1 3 6 7 2

3 0 1 , 4 4 1 1 3 , 2 7

= × + + + + + + − =

= × − =

χ

−

⋅=χ ∑ ∑

= =

1nn

nn

k

1i

h

1j ji

2ij2

..Metodo B.

44030

2713

n

1 22 ,, ==χ=Φ 20 1≤ ≤φ

negozio

scelta Bar Coloniali D. Autom S.market Totale

CH 9 0 4 0 13

MM 0 9 0 8 17

Totale 9 9 4 8 30

Esempi di perfetta dipendenza unilateraleEsempi di perfetta dipendenza unilaterale

Massima dipendenza unilaterale del carattere SCELTA (X) dal carattere NEGOZIO (Y)

jij nn .=

negozio

scelta Bar Coloniali D. Autom S.market Totale

CH 21 0 0 0 21

MM 0 0 9 0 9

Totale 21 0 9 8 30

Massima dipendenza unilaterale del carattere NEGOZIO (Y) dal carattere SCELTA (X)

.iij nn =

03/03/2012

35

DIPENDENZA IN MEDIA

Y quantitativo Y quantitativo X qualitativo X qualitativo

Indipendenza in media di Y da X:

al variare delle modalità di X le medie delle distribuzioni condizionate di Y rimangono costanti.

X quantitativo X quantitativo Y qualitativo Y qualitativo

Indipendenza in media di X da Y:

al variare delle modalità di Y le medie delle distribuzioni condizionate di X rimangono costanti.

( )

( )

2

2 |1

| 2 2

1

ˆ

i

X

k

X Y y x iE X T i

X Yh

X

j X jj

n

x n

= •=

•=

−= =

−

∑

∑

µ µση

σµ

( )( )

2

2 |1

| 2 2

1

j

Y

h

Y X x Y jE X T j

Y Xk

Y

i Y ii

n

y n

= •=

•=

−= =

−

∑

∑

µ µση

σµ

Rapporto di correlazione di PearsonRapporto di correlazione di Pearson

MMMM

XY x0 – x1 x1 – x2 … xh-1 - xh tot

y1 n11 n12 … n1h n1.

y2 n21 n22 … n2h n2.

nij ni.

yk nk1 nk2 … nkh nk.

tot n.1 n.2 n.j n.h n

Se y è quantitativo:

03/03/2012

36

Proprietà:

|0 1X Y≤ ≤η

| 0X Y =ηPerfetta indipendenza in media: le medie delle distribuzioni condizionate di X sono tutte uguali tra loro ed uguali alla media generale (µX)

| 1X Y =η

Perfetta dipendenza in media: le varianze delle distribuzioni condizionate di X sono nulle. Ad ogni modalità di Y corrisponde una sola intensità di X che presenta frequenza non nulla

I)

II) |0 1Y X≤ ≤η

III) L’indice non è simmetrico

| |Y X X Y≠η η

IV) | | | | X Y = Y X X Y Y X X Y= ⇒ =η η η η ρ

ESEMPIOFatturato (Y) Settore

merceologico (X) � 200

200-|300

300-|400

400-|500 >500 Totale

Alimentare 11 1 5 1 3 21 Bevande 1 1 0 1 0 3 Health Care 6 1 1 2 2 12 I. Packaging 7 2 1 1 3 14 Totale 25 5 7 5 7 50

( )1| 1

11

1ˆ

1 5 0 1 1 2 5 0 1 3 5 0 5 4 5 0 1 1 2 5 6 3

2 1

3 4 8 , 4 8

h

Y X x j jj

y nn

==•

= =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

=

∑µ

( )

( )

2

2 |1

| 2 2

1

i

Y

k

Y X x Y iE X T i

Y Xh

Y

j Y jj

n

y n

= •=

•=

−= =

−

∑

∑

µ µση

σµ

03/03/2012

37

( )2| 2

12

1ˆ

1 5 0 1 2 5 0 1 4 5 0 12 6 6 , 6 7

3

h

Y X x j jj

y nn

==•

= =

⋅ + ⋅ + ⋅= =

∑µ

( )3| 3

13

1ˆ

1 5 0 6 2 5 0 1 3 5 0 1 4 5 0 2 1 2 5 6 23 8 4 , 3 3

1 2

h

Y X x j jj

y nn

==•

= =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

∑µ

( )4| 4

14

1ˆ

1 5 0 7 2 5 0 2 3 5 0 1 4 5 0 1 1 2 5 6 34 1 2

1 4

h

Y X x j jj

y nn

==•

= =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

∑µ

( )1

1ˆ

1 5 0 2 5 2 5 0 5 3 5 0 7 4 5 0 5 1 2 5 6 73 4 4 , 8 4

5 0

h

Y j jj

y nn

•=

= =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

∑µ

Le medie delle distribuzioni condizionate sono tutte diverse dalla media di Y per cui esiste dipendenza in media

( )( ) ( )( ) ( )

2

|1

2 2

2 2

3 4 8 , 4 8 3 4 4 , 8 4 2 1 2 6 6 , 6 7 3 4 4 , 8 4 3

3 8 4 , 3 3 3 4 4 , 8 4 1 2 4 1 2 3 4 4 , 8 4 1 4 1 0 0 . 4 7 4 , 1

i

k

Y X x Y ii

n= •=

− =

= − + − +

+ − + − =

∑ µ µ

( )( ) ( )( ) ( )( )

2

1

2 2

2 2

2

ˆ

1 5 0 3 4 4 , 8 4 2 5 2 5 0 3 4 4 , 8 4 5

3 5 0 3 4 4 , 8 4 7 4 5 0 3 4 4 , 8 4 5

1 . 2 5 6 3 4 4 , 8 4 7 7 . 4 1 0 . 6 0 6

h

j Y jj

y n •=

− =

= − + − +

+ − + −

+ − =

∑ µ

03/03/2012

38

( )

( )

2

2 |1

| 2 2

1

1 0 0 . 4 7 4 , 10 , 1 1 6

7 . 4 1 0 . 6 0 6

i

Y

k

Y X x Y iE X T i

Y Xh

Y

j Y jj

n

y n

= •=

•=

−= = =

−

= =

∑

∑

µ µση

σµ

La dipendenza in media del carattere FATTURATO dal carattere SETTORE MERCEOLOGICO è piuttosto debole.

CORRELAZIONE

Misura del grado di interdipendeza (dipendenza reciproca) tra due caratteri quantitativi (variabili).

Coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson (ρρρρ)

1 1

2 2

n n

X Y

x y

x y

x y

M M

( ) ( )i x i YX Y

X Y

1x y

n− µ − µ

ρ =σ σ

∑

X YX Y

X Y

σρ =

σ σ

= covarianza tra X ed YX Yσ

03/03/2012

39

La covarianza ci fornisce informazioni su come variano (co-variano) simultaneamente le due variabili considerate.

0 I n d i p e n d e n z a

0 I n t e r d i p e n d e n z a p o s i t i v a

0 I n t e r d i p e n d e n z a n e g a t i v a

X Y

X Y

X Y

=><

σσσ

X Y− ∞ ≤ ≤ ∞σ

1 1− ≤ ≤ρ

0 I n c o r r e l a z i o n e

0 C o r r e l a z i o n e p o s i t i v a

0 C o r r e l a z i o n e p e g a t i v a

1 M a s s i m a c o r r e l a z i o n e p o s i t i v a

1 M a s s i m a c o r r e l a z i o n e n e g a t i v a

=><

== −

ρρρ

ρρ

XYρIl segno di XYσdipende da

INTERPRETAZIONE GRAFICAIncorrelazione

Xi

Yi

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3-2

-10

12

3

Xi

ρ=1ρ=1ρ=1ρ=1

Correlazione diretta

Yi

-3 -2 -1 0 1 2

-3-2

-10

12

Yi

Xi

ρ=0,8ρ=0,8ρ=0,8ρ=0,8

Correlazione diretta

-2 -1 0 1 2 3

-2-1

01

23

ρ=0,3ρ=0,3ρ=0,3ρ=0,3Correlazione diretta

Xi

Yi

-3 -2 -1 0 1 2

-3-2

-10

12

ρ=ρ=ρ=ρ=−−−−1111Correlazione inversa

Xi

Yi

-2 -1 0 1 2 3

-3-2

-10

12

ρ=ρ=ρ=ρ=−−−−0,80,80,80,8

Correlazione inversa

Xi

Yi

-3 -2 -1 0 1 2

-3-2

-10

12

ρ=ρ=ρ=ρ=−−−−0,30,30,30,3

Correlazione inversa

Xi

Yi

-2 0 2 4

-20

2

03/03/2012

40

Formula alternativa per la covarianza

( ) ( )1

1

1

1

n

X Y i X i Yi

n

i i X Yi

x yn

x yn

=

=

= − − =

= −

∑

∑

σ µ µ

µ µ

Correlazione per successione di valori

1

2 22 2

1 1

1

1 1

n

i i X Yi

X Yn n

i X i Yi i

x yn

x yn n

=

= =

−=

− −

∑

∑ ∑

µ µρ

µ µ

Ricordando che:

22 2

1

1 nX i X

i

xn =

= −∑σ µ 22 21

1 nY i Y

i

yn =

= −∑σ µe

ii yx2ix

2iy

Cliente fedele CH(X)

fedele MM(Y)

1 0,933 0,067 0,063 0,870 0,004

2 0,400 0,600 0,240 0,160 0,360

3 0,820 0,180 0,148 0,672 0,032

4 0,978 0,022 0,022 0,956 0,000

5 0,795 0,205 0,163 0,632 0,042

6 0,384 0,616 0,237 0,147 0,379

7 0,986 0,014 0,014 0,972 0,000

8 0,993 0,007 0,007 0,986 0,000

9 0,994 0,006 0,006 0,988 0,000

10 1,000 0,000 0,000 1,000 0,000

Totale 8,283 1,717 0,898 7,385 0,819

Relativamente ai primi 10 consumatori misurare la correlazione tra i caratteri FEDELE CH e FEDELE MM.

ESEMPIO

1

2 22 2

1 1

1

1 1

n

i i X Yi

X Yn n

i X i Yi i

x yn

x yn n

=

= =

−=

− −

∑

∑ ∑

µ µρ

µ µ

03/03/2012

41

830

10

2838

n

xn

1ii

X ,,

===µ∑

=

170

10

7171

n

yn

1ii

Y ,,

===µ∑

=

( )

N

i ii 1

X Y x y

x y0 8 9 8

0 8 3 0 1 7 0 0 5 2N 1 0

,, , ,=σ = − µ µ = − × = −

∑

n2i

i 1

x7 3 8 5

0 7 3 8n 1 0

,,= = =

∑n

2i

i 1

y0 8 1 9

0 0 8 2n 1 0

,,= = =

∑

( ) ( )2 20 0 5 2

10 7 3 8 0 8 3 0 0 8 2 0 1 7

,

, , , ,

−ρ = = −

− −

Massima correlazione positiva

Correlazione per tabelle a doppia entrata

1 1

2 22 2

1 1

1ˆ ˆ

1 1ˆ ˆ

k h

i i i j X Yi j

X Yk k

i i X i j Yi i

x y nn

x n y nn n

= =

• •= =

−=

− −

∑ ∑

∑ ∑

µ µρ

µ µ

ESEMPIO

A d d e t t i ( Y ) F a t t u r a t o ( X ) ≤ 2 0 0 2 0 0 - | 3 0 0 3 0 0 - | 5 5 0 5 5 0 - | 9 5 0 > 9 5 0 T o t a le

≤ 2 0 0 5 9 7 2 2 2 5 2 0 0 - | 3 0 0 1 1 1 2 0 5 3 0 0 - | 4 0 0 1 2 1 3 0 7 4 0 0 - | 5 0 0 0 0 0 2 3 5 > 5 0 0 0 1 0 2 5 8 T o t a le 7 1 3 9 1 1 1 0 5 0

03/03/2012

42

Per calcolare il termine è consigliabilecostruire la tabella delle , ossia:

ˆ ˆi j i ji j x y n∑ ∑

ˆ ˆi j i jx y n

100 250 425 750 3.608 100 50.000 225.000 297.500 150.000 721.600 250 25.000 62.500 106.250 375.000 0 350 35.000 175.000 148.750 787.500 0 450 0 0 0 675.000 4.870.800 1.256 0 314.000 0 1.884.000 22.658.240

La somma degli elementi all’interno di tale tabella è pari a:

ˆ ˆ 3 3 . 5 6 1 . 1 4 0i j i ji j x y n =∑ ∑

da cui

ˆ ˆ 3 3 . 5 6 1 1 4 06 7 1 . 2 2 3

5 0

i j i ji jx y n

n= =

∑ ∑

Per il calcolo gli altri termini:

ˆ ix in ˆ jy jn ˆ i ix n ˆ j jy n 2ˆ ix

2ˆ i ix n 2ˆj

y

2ˆj j

y n

100 25 100 7 2.500 700 10.000 250.000 10.000 70.000 250 5 250 13 1.250 3.250 62.500 312.500 62.500 812.500 350 7 425 9 2.450 3.825 122.500 857.500 180.625 1.625.625 450 5 750 11 2.250 8.250 202.500 1.012.500 562.500 6.187.500

1.256 8 3.608 10 10.048 36.080 1.577.536 12.620.288 13.017.664 130.176.640 18.498 52.105 15.052.788 138.872.265

1 1ˆ 1 8 . 4 9 8 3 6 9 , 9 6

5 0X i i

i

x nn

= = =∑µ

1 1ˆ 5 2 . 1 0 5 1 . 0 4 2 , 1

5 0Y j j

j

y nn

= = =∑µ

6 7 1 . 2 2 3 3 6 9 , 9 6 1 . 0 4 2 , 1 2 8 5 . 6 8 7X Y = − ⋅ =σ

2

1

1 1ˆ 1 5 .0 5 2 . 7 8 8 3 0 1 .0 5 6

5 0i

k

i

i

x nn =

= =∑

2

1

1 1ˆ 1 3 8 . 8 7 2 . 2 7 5 2 .7 7 7 . 4 4 5

5 0

h

j j

j

y nn =

= =∑

( ) ( )2 22 8 5 . 6 8 7

3 0 1 . 0 5 6 3 6 9 , 9 6 2 . 7 7 7 . 4 4 5 1 . 0 4 2 , 1

0 , 5 4 2

X Y = =− −

=

ρ

Correlazione diretta