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Statistica descrittiva: scatter plot

Nel caso in cui si abbia a che fare con dati multivariatie utile considerare uno scatter plot.

Ad esempio

pressione:X1,X2,. . .

eta:Y1,Y2,. . .

Si rappresentano le osservazioni (X1,Y1), (X2,Y2), . . . come puntinel piano cartesiano (x , y), ottenendo cosı una ”nube di punti”come negli esempi successivi...

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Scatter Plot

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Correlazione

Con uno scatter plot si puo riconoscere se i dati si concentranoattorno a qualche curva (”legge”).L’esempio piu semplice e il caso in cui la legge e una legge lineare.Quanto una distribuzione di probabilita di un vettore (X ,Y ) siconcentra attorno ad una retta?

Y = aX + b + errore piccolo

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Correlazione & Covarianza

Covarianza:

cov [X ,Y ] = E[(X −mX )(Y −mY )]

dove mX e mY medie di X e Y .

Per variabili discrete

cov [X ,Y ] =∑x ,y

(x −mX )(y −mY )P{X = x ,Y = y}

Correlazione:

ρ(X ,Y ) =cov [X ,Y ]√

Var(X )Var(Y )

Se X ,Y sono indipendenti ρ(X ,Y ) = 0 (non vale il viceversa!).

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Esercizio.

Si supponga che la distribuzione del vettore aleatorio discreto(X ,Y ) sia data da

X/Y 2 5 6

0 0.3 0.1 0 0.4

1 0.2 0 0 0.2

2 0 0 0.4 0.4

0.5 0.1 0.4

Calcolare Cov(X ,Y ).

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Correlazione

Correlazione e Dipendenza lineare

−1 ≤ ρ ≤ 1

|ρ| vicino ad unoY = aX + b + ε

con ε “piccolo”

|ρ| = 1 allora P{Y = aX + b} = 1

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Statistica Matematica: dati e variabili aleatorie

Nella statistica matematica i dati sono pensati come realizzazionidi variabili aleatorie.

Variabili aleatorie:

X1, . . . ,Xn

(Modello)

Osservazioni:

x1, . . . , xn(Dati)

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Osservazioni indipendenti

Spesso (ma non sempre) si ipotizza che le osservazioni sianoindipendenti e con la stessa legge (IID).

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Principio di sostituzione

Se le osservazioni sono indipendenti ed identicamente distribuiteallora l’istogramma delle osservazioni (per n grande) approssima ladistribuzione teorica (incognita!!).[Ancora una volta legge dei grandi numeri...]

n=200

data

Density

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

n=1500

data

Density

-4 -2 0 2

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

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Cumulata e funzione di sopravvivenza

Cumulata (CDF)

F (x) = P{X ≤ x}

Nel caso continuo

F (x) =

∫ x

−∞f (u)du

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Cumulata e funzione di sopravvivenza

Funzione di ripartizione empirica

Fn(x) =numero di Xi tali che Xi ≤ x

n

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Cumulata e funzione di sopravvivenza

Funzione di sopravvivenza

S(x) = P{X > x}

Ovviamente S(x) = 1− F (x).Nel caso continuo

S(x) =

∫ +∞

xf (u)du

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Cumulata e funzione di sopravvivenza

Funzione di sopravvivenza empirica

Sn(t) =numero di Xi tali che Xi > t

n

Tipicamente: Xi tempo di morte...Sn(t) frazione di sopravvissuti almeno fino a t.

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Cumulata e funzione di sopravvivenza

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Statistica Matematica

Dati: si pensano i dati come realizzazioni di variabili aleatorie:

X1, . . . ,Xn.

Modello: si ipotizza che la legge di probabilita di X1, . . . ,Xn

dipenda da un parametro θ incognito, fθ. Il parametro θappartiene ad un insieme di parametri Θ.

Inferenza: si cerca di rispondere a domande su θ.

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Statistica

Date le osservazioni

X1(ω) = x1, . . . ,Xn(ω) = xn

Stima puntuale: stimare il vero valore di θ o una sua funzioneτ(θ).

Stima per intervalli di confidenza: Determinare un intervallo alquale appartiene θ.

Test: θ appartiene a Θ0 oppure a Θ1 (con Θ = Θ0 ∪Θ1)?

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Running example: campioni gaussiani.

Le osservazioni X1, . . . ,Xn sono IID Gaussiane di media m e divarianza σ2.In altre parole (proprieta delle v.a. gaussiane)

Xi = m + σ2εi

con ε1, . . . , εn IID Gaussiane di media nulla e varianza 1.

m quantita di interesse,

1/σ2 parametro che determina la precisione della misurazione,

εi errori che affliggono le misurazioni.

In questo casoθ = (m, σ2).