Stability Profili Aperti

Stabilita profili aperti, ver1.1, LW 1

Stabilita di travi con profili aperti in parete sottile

Walter Lacarbonara

20 novembre 2006

Indice

1 La torsione uniforme 2

1.1 La funzione d’ingobbamento riferita al centro di torsione . . . . . . . . . . . 3

2 La torsione non uniforme 4

2.1 Effetto della rigidezza all’ingobbamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Sezioni di interesse tecnico 7

3.1 Sezione a T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Sezione a L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Sezione a doppio T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Sezione a doppio T con ali diseguali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.5 Sezione a C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Le equazioni di equilibrio linearizzate 10

4.1 L’Energia potenziale totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1.1 La stazionarieta dell’energia potenziale totale . . . . . . . . . . . . . 13

5 Casi notevoli di instabilita flesso-torsionale 13

5.1 Trave a profilo aperto compressa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.1.1 Sezioni monosimmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3 Trave a profilo aperto soggetta a coppie flettenti d’estremita . . . . . . . . . 15

5.3.1 Sezioni monosimmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.4 Altri casi notevoli di sollecitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.4.1 Il lavoro delle forze esterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Draft: 20 novembre 2006


Sommario

Si mostrano gli elementi essenziali della teoria della stabilita di travi con profili aperti in

parete sottile. Si richiama dapprima la teoria della torsione uniforme, si illustra la torsione

non uniforme secondo Vlasov. Si deducono, ricorrendo alla formulazione variazionale, le

equazioni linearizzate di equilibrio di una trave in condizioni di presollecitazione indotta da

forza assiale, coppie flettenti d’estremita, di taglio e carichi distribuiti. Si discutono alcuni

casi notevoli di instabilita flesso-torsionale quali la trave compressa da una forza normale

centrata o sollecitata da coppie flettenti.

1 La torsione uniforme

Il problema di torsione uniforme, nello spirito del metodo degli spostamenti, si rias-

sume come segue. Il campo di spostamenti (v, w) congruente, ove si assuma come polo il

baricentro della sezione, si pone nella forma

v = θ × y, w(y) = kT

ω(y), θ = kTza (1.1)

dove kT = θ′1 indica la curvatura torsionale uniforme e ω la funzione d’ingobbamento speci-

fica riferita al baricentro. Il campo di tensione congruente si ottiene attraverso l’equazione di

legame τ = Gγ, in cui si sostituisca l’equazione di congruenza γ = ∇w+v′ = kT (∇ω+a×y).

Le equazioni di equilibrio di campo e al contorno, ∇·τ = 0 e τ ·n = 0, conducono al seguente

problema di Neumann per la funzione d’ingobbamento:

∇2ω = 0, su D∂ω

∂n= y · l, su ∂D

(1.2)

dove l indica il versore tangente al bordo del dominio. Le coordinate del centro di torsione

sono date da

xT

:= − 1Ix

∫

Dω y dA, y

T:=

1Iy

∫

Dω x dA (1.3)

Nel caso di profili aperti in parete sottile, la piccolezza dello spessore consente di trascurare

le variazioni della funzione di ingobbamento lungo lo spessore. Percio, con riferimento alla

linea media C della sezione (Fig. 1), fissata un’origine aritraria ed un verso positivo e detta

s l’ascissa curvilinea lungo C, la funzione ω dipende soltanto da s. Inoltre, dall’annnullarsi

della tensione tangenziale sulla linea media consegue

γ = kT (∇ω + a × y) = 0 (1.4)

1L’apice indica la derivata rispetto a z.



E quindi possibile esprimere il gradiente di ω lungo la linea media come

dω = ∇ω · ds = −a × y · ds = −y × ds · a = r(s)ds = −2dΩ (1.5)

dove dΩ e l’area settoriale spazzata dal vettore y nel percorrere l’elemento d’arco ds. A

meno di una costante inessenziale, la funzione d’ingobbamento si esprime come ω = −2Ω.

Di conseguenza, il centro di torsione, posto dA= b(s)ds, assume le coordinate

xT

:=2Ix

∫

DΩ(s) y(s)b(s) ds, y

T:= − 2

Iy

∫

DΩ(s) x(s)b(s) ds (1.6)

La parte puramente deformativa della funzione d’ingobbamento, univocamente determinabile,

si ottiene come

ωd = ω − (ω0 − xT y + yT x) = −2Ω − ω0 + xT y − yT x (1.7)

dove ω0 = −2/A∫D Ω(s)b(s)ds.

s = 0

s = c

b(s)

T

yT

ydΩ

dΩT

G

sds

x

y

C

Figura 1: Profilo aperto in parete sottile: centro di torsione, aree settoriali riferite al

baricentro e al centro di torsione.

1.1 La funzione d’ingobbamento riferita al centro di torsione

Se si assume come polo di riduzione il centro di torsione, si ottiene la funzione d’ingob-

bamento riferita al centro di torsione stesso e indicata con ωT .

Poiche v = θ × (y− yT )

dωT = −(y− yT ) × ds · a = rT (s)ds = −2dΩT (1.8)Draft: 20 novembre 2006


Quindi, ωT = −2ΩT + ω0. Se si determina la costante ω0 (cio corrisponde anche a scegliere

un’opportuna origine del sistema d’ascissa curvilinea) in modo da soddisfare la condizione∫

Dω

TdA = 0 (1.9)

la funzione d’ingobbamento2 si esprime come

ωT

= 2(ΩT− Ω

T) (1.10)

dove ΩT esprime il valor medio della funzione ΩT sulla sezione. Si riassumono le proprieta

notevoli di ΩT.

Proprieta I: La funzione d’ingobbamento ωT, Eq. (1.10), corrisponde alla parte puramente

deformativa dell’ingobbamento ωd, Eq. (1.7).

Proprieta II: La funzione d’ingobbamento ωT verifica le seguenti identita∫

Dω

Tx dA = 0,

∫

Dω

Ty dA = 0 (1.11)

Infatti per la Proprieta I, ωT = ωd = −2Ω− ω0 +xT y−yT x. Sostituendo questa espressione

di ωT

nelle (1.11), e sfruttando proprieta geometriche banali, si verificano le identita.

2 La torsione non uniforme

Nelle condizioni in cui l’ingobbamento della sezione sia impedito oppure sia applicato un

momento torcente variabile lungo la linea d’asse, insorge uno stato di tensione longitudinale

autoequilibrato a cui si associa, per l’equilibrio allo scorrimento, uno stato di tensione

tangenziale detto secondario. Poiche nelle condizioni predette (ingobbamento impedito o

momento torcente variabile), la curvatura torsionale non e piu uniforme; inoltre, stante la

w(z, s) = θ′(z)ωT (s), segue che l’elongazione (ε = w′) e la tensione longitudinale sono date,

rispettivamente, da

ε = θ′′(z)ωT(s) σ = Eω

Tθ′′ (2.12)

Dall’equilibrio di un concio di trave in direzione z, si ottiene il seguente sforzo di scorrimento

il cui carattere secondario e dichiarato con il pedice 2:

q2 = τ2b = −∫ s

0σ′b(s)ds = −Eθ′′′

∫ s

0ωT b ds (2.13)

2La ΩT , avente come polo il centro di torsione e l’origine tale da soddisfare l’Eq. (1.9), descrive la

cosiddetta area settoriale principale.



Si genera quindi una coppia torcente secondaria data da

MT2 =∫ c

0(y− yT ) × q2ds · a =

∫ c

0q2 rT ds = −EΓθ′′′ (2.14)

dove

Γ = −∫ c

0

(∫ s

0

ωTb ds

)dω

T(2.15)

Posto Λ(s) =∫ s0 ωT b ds, integrando per parti Γ, si ottiene

Γ = −∫ c

0ΛdωT = −ΛωT

∣∣∣∣c

0

+∫ c

0ωT

dΛds

ds =∫ c

0ω2

Tb ds =

∫

Dω2

TdA (2.16)

La funzione Γ e detta rigidezza all’ingobbamento (warping rigidity). Sommando gli effet-

ti della torsione primaria di De Saint Venant, MT1 = G Jθ′, e quelli della torsione non

uniforme, si ottiene

MT = G Jθ′ − E Γθ′′′ (2.17)

2.1 Effetto della rigidezza all’ingobbamento

L’equazione di equilibrio di una trave soggetta ad una densita di coppie torcenti mT si

scrive M ′T

+ mT = 0, ovvero, in virtu della (2.17),

EΓθ′′′′ − GJθ′′ = mT(2.18)

Se si trascura l’effetto della rigidezza aggiuntiva EΓ dovuto alla torsione non uniforme

−GJθ′′ = mT (2.19)

Nel secondo caso le condizioni al contorno sono θ = 0 se la rotazione torsionale e impedita

o GJθ′ = 0 se la rotazione e libera; nel caso di torsione non uniforme, sono necessarie

ulteriori condizioni al contorno, ovvero occorre aggiungere informazioni sul tipo di vincolo.

Un vincolo atto ad impedire la rotazione torsionale consentendo tuttavia l’ingobbamento e

detto ritegno torsionale. In questo caso,

θ = 0, EΓθ′′ = 0 (2.20)

La condizione vincolare impone l’annullamento delle tensioni normali σ = EΓθ′′ corrispon-

dente al libero ingobbamento della sezione.

Al fine di apprezzare l’effetto della rigidezza aggiuntiva da torsione non uniforme, si

integrano le equazioni (2.19) e (2.18) con mT uniforme e considerando ritegni torsionali. La

(2.19) conduce a

θ1 =mT `2

2GJ

(z

`− z2

`2

)(2.21)



L’integrazione della (2.18), unitamente alle condizioni (2.20), fornisce

θ = θ1 +mT `2

GJλT

[e√

λT

z` + e

√γ(1− z

`)

1 + e√

λT

](2.22)

dove λT

= `2GJ/(EΓ) quantifica la snellezza torsionale. L’effetto della maggiore rigidezza

torsionale fa sı che le rotazioni torsionali siano ridotte rispetto alla teoria della torsione

uniforme. Infatti, calcolando il rapporto tra θ e θ1 in mezzeria si ottiene

θ

θ1

= 1 − 8λT

(e√

λT /2 − 1)2

1 + e√

λT

< 1 (2.23)

In Fig. 2(a) si riportano gli andamenti della rotazione torsionale di una trave in acciaio C

310x31 di luce ` = 4 m, con ritegni torsionali, soggetta ad un momento torcente mT = 500

Nm/m. In Fig. 2(b) si riporta il rapporto percentuale tra θ e θ1 in mezzeria. Per la trave

considerata, GJ = 10699 N m2, EΓ = 6098 N m4, λT = 43.9. La rotazione ottenuta e

l’83 % di quella fornita dalla teoria della torsione uniforme. Per elevate snellezze torsionali,

l’effetto della torsione non uniforme diventa inapprezzabile.

λ0 1 2 3 40

0.02

0.04

0.06

0.08

z

θ

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

(a) (b)

%

T

C 310x31

T G

Figura 2: (a) Rotazione torsionale in una trave C 310x31 di luce ` = 4 m senza il contrib-

uto di MT2

(linea sottile) e con il contributo da torsione non uniforme (linea spessa); (b)

rotazione in mezzeria calcolata con la (2.22) rapportata a quella ottenuta con la (2.21) in

funzione di λT .



3 Sezioni di interesse tecnico

Si riportano nel seguito alcune sezioni di interesse tecnico con il centro di torsione,

l’inerzia torsionale J e la rigidezza all’ingobbamento Γ.

3.1 Sezione a T

J =bt3 + d∗w3

3, Γ =

b3t3

144+

d∗3w3

64≈ 0 (3.24)

T

GTG

Figura 3: Sezione a T, d∗ = d − t/2

3.2 Sezione a L

J =(b∗ + d∗)t3

3, Γ = (d∗)3(b∗)3

t3

36≈ 0 (3.25)

T

T

TG

Figura 4: Sezione a L, d∗ = d− t/2, b∗ = b− t/2.



3.3 Sezione a doppio T

J =2bt3 + d∗w3

3, Γ =

d∗2b3t

24(3.26)

Figura 5: Sezione a doppio T, d∗ = d − t

3.4 Sezione a doppio T con ali diseguali

J =b1t

31 + b2t

32 + d∗w3

3, Γ =

(d∗)2(b1)3t1α12

, α =1

1 + (b1/b2)3t1/t2(3.27)

T

G

G

T d1

Figura 6: Sezione a doppio T asimmetrica, d∗ = d − (t1 + t2)/2.



3.5 Sezione a C

J =2b∗t3 + d∗w3

3, Γ = (d∗)2(b∗)3t

[1 − 3α

6+

α2

2

(1 +

d∗w

6b∗t

)]

α =1

2 + (d∗w)/(3b∗t)

(3.28)

La posizione del centro di torsione e data da

xT = xG + b∗α − w

2(3.29)

T

T Gd1

G

Figura 7: Sezione a C, d∗ = d − t, b∗ = b− w/2.



4 Le equazioni di equilibrio linearizzate

Lo stato di presollecitazione della trave si pensa essere indotto da azioni d’estremita -

forza centrata di compressione P, coppia flettente m = Mxax + Myay , forza di taglio T ap-

plicata nel centro di taglio3 - e da forze distribuite trasversali. Gli effetti della torsione e del

conseguente ingobbamento delle sezioni sono tenuti in conto solo nel passaggio dalla config-

urazione di riferimento a quella variata. Lo stato di tensione indotto dalla presollecitazione

si puo, percio, esprimere come

σ0 = −P

A+

Mx(z)Ix

y − My(z)Iy

x, τ 0 = τ0xax + τ0

y ay (4.30)

Lo stato di deformazione e descritto dal tensore di Green-Lagrange D il quale, adottando

la notazione tensoriale, si scrive4

D =∇u + ∇u>

2+

∇u>∇u2

= E + D(2), D(2)ij =

12uk,iuk,j (4.31)

La parte di primo ordine e il tensore della deformazione infinitesima la cui unica compo-

nente non nulla e l’elongazione longitudinale che consta di un contributo flessionale, k×y ·a,

e di un contributo indotto dalla torsione non uniforme, θ′′ωT,

ε = k× y · a + θ′′ωT

= −kyx + kxy + θ′′ωT

= −u′′Gx − v′′

Gy + θ′′ω

T(4.32)

stanti le equazioni di congruenza5 kx = −v′′G

e ky = u′′G

di una trave assunta indeformabile

a taglio. Lo spostamento di un punto materiale generico della trave e dato da

v(y, z) = vG

+ θ × (y− yT), w(y, z) = θ′ω

T(4.33)

Le componenti della parte del secondo ordine del tensore di Green-Lagrange nelle quali

spendono lavoro le tensioni di presollecitazione sono

D(2)11 =

12(u′2 + v′2 + w′2)

D(2)13 =

12(u,xu′ + v,xv′ + w,xw′), D

(2)23 =

12(u,yu

′ + v,yv′ + w,yw

′)(4.34)

Trascurando i gradienti dello spostamento longitudinale rispetto a quelli associati allo

spostamento nel piano della sezione e adottando la notazione ingegneristica, posto γ(2)ij =

2D(2)ij , si ottiene

ε(2) =12(u′2 + v′2), γ(2)

xz = u,xu′ + v,xv

′, γ(2)yz = u,yu

′ + v,yv′ (4.35)

3Coincidente con il centro di torsione T.4Si adotta la convenzione classica fk,i = ∂fk/∂xi, con i = 1, 2, 3 e x1, x2, x3 → x, y, z.5Le equazioni di congruenza linearizzate si possono scrivere come segue: ε = εa + γ = u′

G− φ × a,

k = φ′. Decomposto uG = wGa + vG (con vG = uGax + vGay) segue che γ = v′G− φ × a. Dal vincolo di

indeformabilita a taglio, γ = 0, si ottiene φx = −v′G

e φy = u′G

. Quindi, kx = −v′′G

e ky = u′′G

.



Sostituendo la (4.33) nella (4.35) si ottengono le equazioni di congruenza nonlineari in

funzione degli spostamenti generalizzati (vG(z), θ(z))

ε(2) =12

u′2

G+ v′2

G+ θ′2

[(x − xT )2 + (y − yT )2

]+ 2θ′

[v′

G(x − xT ) − u′

G(y − yT )

]

γ(2)xz = θ

[v′

G+ θ′(x − x

T)], γ(2)

yz = −θ[u′

G− θ′(y − y

T)] (4.36)

Nel paragrafo seguente si calcola l’energia potenziale totale.

4.1 L’Energia potenziale totale

L’energia potenziale totale U si esprime come

U = WE + WG − L (4.37)

dove WE e WG sono, rispettivamente, l’energia potenziale elastica e geometrica. L’energia

elastica si calcola come

WE

=12

∫

V

Eε2dV +12

∫ `

0

GJθ′2dz

=12

∫ `

0

[EIy(u′′

G)2 + EIx(v′′G)2 + EΓ(θ′)2 + GJθ′2

]dz

(4.38)

L’energia geometrica e il lavoro delle tensioni di presollecitazione nelle componenti del

secondo ordine del tensore della deformazione e si esprime come

WG =∫

Vσ0

ijD(2)ij dV =

∫

Vσ0ε(2)dV +

∫

Vτ 0 · γ(2)dV =

∫ `

0

(W ′

G[σ0] + W ′

G[τ0)

]dz (4.39)

avendo posto γ(2) = γ(2)xz ax + γ

(2)yz ay , W ′

G[σ0] e l’energia elastica specifica (per unita di

lunghezza di trave) associata alle tensioni longitudinali di presollecitazione mentre W ′G[τ ] e

l’energia geometrica specifica associata alle tensioni tangenziali. Si ottiene

W ′G[σ0] =

∫

Dσ0ε(2)dA

=12

∫

D

(−P

A+

Mx(z)Ix

y − My(z)Iy

x

)

u′2

G+ v′2

G+ θ′2

[(x − xT )2 + (y − yT )2

]+ 2θ′

[v′

G(x − xT ) − u′

G(y − yT )

]dA

= −P

2[u′2

G+ v′2

G+ θ′2r2

T+ 2θ′(u′

GyT − v′

GxT )

]+ Mxθ′

(Cxθ′ − u′

G

)+ Myθ

′ (Cyθ′ − v′

G

)

(4.40)

dove

Cx = −yT +1

2Ix

∫

D(y · y)ydA, Cy = xT − 1

2Iy

∫

D(y · y)xdA, r2

T=

IG

A+ yT · yT (4.41)

I coefficienti Cx e Cy sono detti coefficienti di forma della sezione ed il significato apparira

chiaro dalle equazioni di equilibrio. L’energia geometrica specifica assume la forma

W ′G[τ0] =

∫

D

τ0xθ

[v′

G+ θ′(x − xT )

]− τ0

y θ[u′

G− θ′(y − yT )

] dA (4.42)



Al fine di integrare la (4.42), si utilizzano le equazioni di equilibrio integrale alle basi e di

equilibrio indefinito, quella al contorno, e di equilibrio globale:∫

Dτ0xdA = Tx = −M ′

y ,

∫

Dτ0y dA = Ty = M ′

x

∇ · τ0 = −(σ0)′ su D, τ 0 · n = 0, su ∂D(4.43)

Percio la (4.42) diventa

W ′G[τ0] = θ(u′

GM ′

x + v′GM ′

y) + θθ′(xT M ′y − yT M ′

x) + θθ′∫

Dτ0 · ydA (4.44)

Al fine di calcolare l’ultimo integrale, si utilizza la seguente identita

τ 0 · y =12∇ · [(y · y)τ0] − 1

2(y · y)∇ · τ 0 =

12∇ · [(y · y)τ0] +

12(y · y)(σ0)′ (4.45)

Quindi, applicando il teorema di Gauss e la condizione di equilibrio al contorno, nonche

(σ0)′ = M ′x/Ixy − M ′

y/Iyx e la (4.41) si ottiene∫

Dτ0 · ydA =

12

∮

D(y · y)(τ0 · n)ds +

12

∫

D(y · y)(σ0)′dA =

12

∫

D(y · y)(σ0)′dA

=M ′x(Cx + y

T) + M ′

y(Cy − xT)

(4.46)

Sostituendo questa nella (4.42) si ottiene

W ′G[τ0] =

[M ′

x(Cxθ′ − u′G) + M ′

y(Cyθ′ − v′

G)]θ (4.47)

Infine, l’energia geometrica specifica si esprime come

W ′G

= −P

2[u′2

G+ v′2

G+ θ′2r2

T+ 2θ′(u′

Gy

T− v′

Gx

T)]

+Mxθ′(Cxθ′ − u′

G

)+ Myθ

′ (Cyθ′ − v′G

)

+[M ′

x(θ′Cx − u′G) + M ′

y(θ′Cy − v′

G)]θ

= −P

2[u′2

G+ v′2

G+ θ′2r2

T+ 2θ′(u′

GyT − v′

GxT )

]

+(Mxθ)′[Cxθ′ − u′G] + (Myθ)′[Cyθ

′ − v′G]

(4.48)

L’energia potenziale delle forze interne, elastiche e geometriche, diventa

W = WE + WG =12

∫ `

0

[EIy(u′′

G)2 + EIx(v′′G)2 + EΓ(θ′)2 + GJθ′2

]dz

−12

∫ `

0P

[u′2

G+ v′2

G+ θ′2r2

T+ 2θ′(u′

Gy

T− v′

Gx

T)]

+∫ `

0(Mxθ)′[Cxθ′ − u′

G]dz +

∫ `

0(Myθ)′[Cyθ

′ − v′G]dz

(4.49)



4.1.1 La stazionarieta dell’energia potenziale totale

Imponendo la stazionarieta di U (i dettagli saranno inseriti in una futura appendice)

δU = δWE

+ δWG− δL = 0 (4.50)

si perviene al seguente sistema di equazioni differenziali6:

EIyu′′′′+P (u′′ + y

Tθ′′) + (Mxθ)′′ = 0

EIxv′′′′+P (v′′ − x

Tθ′′) + (Myθ)′′ = 0

EΓθ′′′′−GJθ′′ + P (r2Tθ′′ + y

Tu′′ − x

Tv′′)

− Cx[(Mxθ)′′ + Mxθ′′]− Cy [(Myθ)′′ + Myθ′′] + Mxu′′ + Myv

′′

+[(x

Q− x

T)fx + (y

Q− y

T)fy

]θ = 0

(4.51)

Ad esso si aggiungono opportune condizioni al contorno. Si osservi il pieno accoppiamento

tra le variabili di flessione (u, v) e quella di torsione θ.

5 Casi notevoli di instabilita flesso-torsionale

5.1 Trave a profilo aperto compressa

Assumendo m ≡ 0 e f ≡ 0, la (4.51) diventa

EIyu′′′′+P (u′′ + yT θ′′) = 0

EIxv′′′′+P (v′′ − xT θ′′) = 0

EΓθ′′′′−GJθ′′ + P (r2Tθ′′ + yT u′′ − xT v′′) = 0

(5.52)

Per semplicita di trattazione, si consideri una trave semplicemente appoggiata ed avente

ritegni torsionali in corrispondenza degli appoggi. Le condizioni al contorno, in entrambe

le sezioni di estremita, si esprimono

u = 0, v = 0, EIxv′′ = 0, EIyu

′′ = 0, θ = 0, EΓθ′′ = 0 (5.53)

Le soluzioni hanno evidentemente la seguente forma7:

u = U1 sinnπz

`, v = U2 sin

nπz

`, θ = U3 sin

nπz

`(5.54)

Sostituendo la (5.54) nella (5.52), usando la notazione matriciale, si ottiene8

Pny − P 0 −PyT

0 Pnx − P Px

T

−PyT PxT (Pnθ − P )r2

T

U1

U2

U3

=

0

0

0

(5.55)

6Si e omesso il pedice G per snellezza notazionale7Sono tali da soddisfare identicamente tutte le condizioni al contorno e, per opportuni valori di

(U1, U2, U3), soddisfano le equazioni di equilibrio8Si osservi la simmetria della matrice dei coefficienti.



dove

Pnx = n2π2EIx

`2, Pn

y = n2π2 EIy

`2, Pn

θ =n2π2EΓ/`2 + GJ

r2T

(5.56)

Poiche si intende determinare il carico critico ed il corrispondente modo, questo e atteso che

si verifichi per n = 1. Denoteremo con (Px, Py , Pθ) i valori di (Pnx , Pn

y , Pnθ ) corrispondenti a

n = 1. Si osservi che (Px, Py) sono i carichi critici Euleriani che indurrebbero sbandamento

flessionale nei piani yz e xz.

Sono ammesse soluzioni non banali di (5.55) se e solo se il determinante della matrice

dei coefficienti si annulla fornendo l’equazione caratteristica nella forma

F(P ) = (Px − P )(Py − P )(Pθ − P )

−(

xT

rT

)2

(Py − P )P 2 −(

yT

rT

)2

(Px − P )P 2 = 0(5.57)

Il carico critico, Pc, e la piu piccola radice di (5.57). Osserviamo che nel caso di sezioni

bisimmetriche, T ≡ G, percio xT = yT ≡ 0. La (5.57) diventa

F(P ) = (Px − P )(Py − P )(Pθ − P ) = 0 (5.58)

In questo caso non si verifica accoppiamento flesso-torsionale. Il carico critico e

Pc =minPx, Py, Pθ. Poiche Pθ > (Px, Py), l’instabilita si manifesta come nell’asta di Eu-

lero, per flessione nel piano d’inerzia debole, ed il carico critico e quello Euleriano. A ciascun

livello di carico corrispondente a Px, Py , o Pθ, corrisponde un modo di buckling puramente

flessionale (Px o Py ,) o torsionale Pθ .

Nel caso di sezione generica, priva di assi di simmetria, e intuitivo pensare che l’ac-

coppiamento flesso-torsionale sia tale da far manifestare l’instabilita attraverso un modo

flesso-torsionale ad un livello di carico inferiore rispetto a quello puramente flessionale

di tipo Euleriano. Si puo, infatti, dimostrare9 che Pc <minPx, Py, Pθ. La diminuzione

dipende dal grado di accoppiamento flesso-torsionale. Per calcolare il modo critico si sosti-

tusce P = Pc nella (5.55), si determina l’autovettore (U1, U2, U3) che, sostituito nella (5.54),

fornisce il modo cercato.

5.1.1 Sezioni monosimmetriche

Nel caso applicativo tipico di sezioni monosimmetriche, il centro di torsione appartiene

all’asse di simmetria. Quindi e xT = 0 oppure yT = 0. Supponendo che l’asse di simmetria

sia l’asse y, l’equazione caratteristica (5.57) si fattorizza semplificandosi nella

F(P ) = (Px − P )

[(Py − P )(Pθ − P ) −

(yT

rT

)2

P 2

]= 0 (5.59)

9A tal fine si osservi che F(0) = PxPyPθ, F(Px) = (xT /rT )2 (Px − Py)P 2x , F(Py) = − (yT /rT )2 (Px −

Py)P2y . Quindi, se Px < Py, poiche F(0) > 0 e F(Px) < 0, segue che Pc < Px. Se, al contrario, Py < Px,

poiche F(0) > 0 e F(Py) < 0, segue che Pc < Py.



Le radici sono

P = Px, Pxθ =1

2K

[(Py + Pθ) ∓

√(Py + Pθ)2 − 4KPyPθ

](5.60)

dove K = 1 − (yT/r

T)2 e detto fattore d’accoppiamento flesso-torsionale. Si osservi che

l’accoppiamento riguarda la flessione intorno all’asse di simmetria, ay , ovvero nel piano di

inflessione xz, e la torsione. Si puo dimostrare, con ragionamento analogo al precedente, che

con riferimento al problema accoppiato, Pc <minPy , Pθ. Il modo di buckling si esprime

come

uc(z) = βyT Pc

Py − Pcsinπ

z

`, vc(z) ≡ 0, θc = β sin π

z

`(5.61)

dove β e una costante che si determina con la condizione di normalizzazione.

Tuttavia, se Px =minPx, Py, Pθ, il carico critico diventa Pc = Px, ovvero di tipo

Euleriano, ed il corrispondente modo consiste in un’inflessione pura nel piano di simmetria

yz. Cio accade se l’asse di simmetria e anche l’asse forte di inerzia. Si illustra la situazione

con un esempio.

5.2 Esempio

Si consideri una trave in acciaio di secione C 310x31 (Fig. 7) e luce ` = 5 m. Quindi,

d = 305 mm, b = 74 mm, t = 12.7 mm, w = 7.2 mm, d∗ = 292 mm, b∗ = 70.4 mm. Dai

calcoli risulta: A = 3890 mm2, Ix = 5.3 107 mm4, Iy = 1.9 106 mm4, J = 132x103 mm4

α = 0.359, xG = 19.8 mm, xT = −41.4 mm, rT = 125.9 mm, Γ = 290x108 mm6, Cx = 0.

Assumendo E = 210 kN/mm2 e ν = 0.3, si ottiene Px = 4398 kN, Py = 160 kN,

Pθ = 827 kN. Impiegando la (5.60), Pxθ 1 = 807 kN e Pxθ 2 = 5.0 103 kN. Il carico critico e

Pc =minPy , Pxθ 1, Pxθ 2 = 160 kN, ad esso corrisponde il modo critico con inflessione nel

piano xz, piano di simmetria. Il secondo modo di buckling e, invece, di tipo flesso-torsionale,

uc(z) ≡ 0, vc(z) = −βxT Pc

Px − Pcsinπ

z

`, θc = β sinπ

z

`(5.62)

5.3 Trave a profilo aperto soggetta a coppie flettenti d’estremita

Le equazioni del problema sono

EIyu′′′′ + Mxθ′′ = 0

EIxv′′′′ + Myθ

′′ = 0

EΓθ′′′′ − (GJ + 2CxMx + 2CyMy)θ′′ + Mxu′′ + Myv′′ = 0

(5.63)



G (u, 0, 0) (0, v, θ)

(a) (b)

Figura 8: (a) Modo critico (puramente flessionale) e (b) secondo modo di buckling (flesso-

torsionale) di una sezione C 310 x31.

Con riferimento ad una trave appoggiata con ritegni torsionali, si assuma la soluzione del

tipo (5.54). Il sistema risolvente diventa

Py 0 −Mx

0 Px −My

−Mx −My r2TPθ + 2(CxMx + CyMy)

U1

U2

U3

=

0

0

0

(5.64)

L’equazione caratteristica e

F(Mx, My) =M2

x

Py+

M2y

Px− 2CxMx − 2CyMy − r

T2Pθ = 0 (5.65)

Questa equazione rapparesenta nel piano delle sollecitazioni (Mx, My) (Fig. 8) un’ellisse,

detta frontiera di buckling, con assi paralleli a Mx = 0 e My = 0. In generale, assegnata una

coppia m = Mxax +Myay , ovvero un’asse di sollecitazione, questa corrisponde ad un punto

sollecitazione Q nel piano (Mx, My). Facendo crescere l’intensita della coppia, tenendo

fisso l’asse di sollecitazione, ovvero percorrendo una retta per l’origine e passante per Q, si

ragginuge la situazione critica in corrispondenza dell’intersezione della retta con la frontiera

di buckling, nel punto sollecitazione Qc cui corrisponde la coppia critica mc. In generale,

il modo critico e di tipo flesso-torsionale con (u, v, θ) 6= (0, 0, 0), si manifesta quindi con

uno sbandamento flessionale secondo un piano d’inflessione deviato e con un’avvitamento

torsionale intorno all’asse di torsione. Poiche U2/U1 = (Iy/Ix)(My/Mx), l’angolo formato

dal piano d’inflessione con l’asse x e arctan((Iy/Ix)(My/Mx)).

Le intersezioni della frontiera di buckling con gli assi rappresentano le coppie critiche

intorno agli assi principali che inducono flessioni rette accompagnate da torsione. Il puntoDraft: 20 novembre 2006


O

Mxc

Q

Qx

F

Qc

=

MycQy=

Mx

My

Figura 9: Frontiera di buckling di una sezione con asse di simmetria x.

Qx corrisponde alla coppia critica

Mxc = CxPy ±√

C2xP 2

y + rT

2PyPθ (5.66)

mentre il punto Qy corrisponde alla coppia critica

Myc = CyPx ±√

C2y P 2

x + rT2PxPθ (5.67)

5.3.1 Sezioni monosimmetriche

Nel caso di sezioni monosimmetriche, ad esempio rispetto all’asse y, Cy = 0, quindi, il

momento critico diventa.

Myc = ±π

`

√EIx

(π2

`2EΓ + GJ

)(5.68)

Inoltre, trascurando il contributo di Γ (come nelle sezioni tipo L, T), il momento critico e

quello di Prandtl

Myc = ±π

`

√EIxGJ (5.69)

5.4 Altri casi notevoli di sollecitazione

Si riportano, a titolo meramente illustrativo, alcuni casi notevoli di sollecitazione per i

quali sono disponbili soluzioni in forma tabellare per le quali si rimanda a testi specializzati.

In Fig. 9(a), e considerato il caso di trave semplicemente appoggiata con ritegni torsionali,



la flessione fuori piano e tuttavia bloccata10. Trascurando Γ, il momento critico e

Mc =2π

`

√EIy GJ (5.70)

Quindi, l’aggiunta del vincolo di tipo flessionale fa raddoppiare il momento critico di Prandtl.

Nelle figure Fig. 9(b)-(e) sono riportate condizioni di sollecitazione che conducono a mo-

menti di presollecitazione variabili lungo l’asse della trave, quindi a problemi differenziali

a coefficienti variabili la cui soluzione diventa notevolmente piu complessa. Si ricorre a

funzioni non elementari per la relativa rappresentazione come, ad esempio, la funzione di

Bessel. Le soluzioni sono comunque fornite nella forma

Mc = γ

√EIy GJ

`2(5.71)

dove il fattore γ e dato in funzione del rapporto λT per diverse posizione della forza (centro

di torsione, intradosso, estradosso), e per diverse condizioni di vincolo.

F

l

(a)

(b)

(c)

F

(d)

(e)

Figura 10: Casi notevoli di sollecitazione.

10Questo vincolo e indicato con linea piu spessa rispetto agli altri casi



Appendice

5.4.1 Il lavoro delle forze esterne

Il lavoro compiuto dalle forze esterne f(z) si scrive come

L =∫ `

0f · v

Qdz (5.72)

dove vQ

e lo spostamento del punto d’applicazione Q della forze esterne. Sia yQ

= yQ−y

T

il vettore di posizione di Q rispetto al centro di torsione T, dove yQ e il vettore di posizione

di Q rispetto a G. Poiche la sezione ruota intorno a T di un angolo θ (supposto finito, ai fini

dell’analisi), lo spostamento di Q si calcola come vQ = yQ′ − yQ , avando indicato con y

Q′ il

vettore di posizione rispetto a T del punto Q’, posizione assunta da Q nella configurazione

variata. Il tensore di rotazione piano

R(z) =

[cos θ − sin θ

sin θ cos θ

](5.73)

Si ha yQ′ = RyQ , quindi vQ = (R− I)yQ di componenti

uQ

= (cos θ − 1)(xQ− x

T) − sin θ(y

Q− y

T),

vQ

= sin θ(xQ− x

T) + (cos θ − 1)(y

Q− y

T)

(5.74)

Effettuando uno sviluppo in serie di Mac Laurin e arrestandosi a termini di ordine di θ2, si

ottiene

uQ = −θ(yQ − yT )− 12θ2(xQ − xT ),

vQ

= −12θ2(y

Q− y

T) + θ(x

Q− x

T)

(5.75)

Quindi, il lavoro delle forze esterne del secondo ordine fornisce

L(2) =∫ `

0f · v(2)

Qdz = −1

2

∫ `

0

[(xQ − xT )fx + (yQ − yT )fy

]θ2dz (5.76)



Figura 11: Tabella A: Profilato ad L a lati uguali.



Figura 12: Tabella A (segue): Profilato ad L a lati uguali.



Figura 13: Tabella B: Profilato ad T a spigoli vivi.



Figura 14: Tabella C: Profili IPE.



Figura 15: Tabella D: Profili HE.



Figura 16: Tabella E: Profilati ad U serie normale.



Figura 17: Tabella E (segue): Profilati ad U serie normale.


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