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Spazio e geometria Intuizione spaziale e geometria dalla scuola dell’infanzia alla scuola primaria

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Spazio e geometria

Intuizione spaziale e geometria dalla scuola dell’infanzia alla scuola primaria

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Misconcezioni e geometria (Sbaragli, 2005)

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Misconcezioni e geometria (Sbaragli, 2005)

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Misconcezioni e geometria (Sbaragli, 2005)

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I concetti figurali…

Condividono con i concetti Le proprietà di astrattezza, generalità, perfezione, stabilità Il fatto che le loro caratteristiche sono interamente

determinate dalla definizione e dai postulati della teoria formale in cui sono inseriti

Condividono con le immagini mentali Le proprietà spaziali (forma, posizione, grandezza) Differiscono dai disegni perché Un disegno è un modello materiale e concreto, un concetto

figurale è un oggetto mentale astratto Un disegno è specifico, un concetto figurale è sempre

generale Un disegno ha proprietà sensoriali non spaziali (ad es. il

colore), in un concetto figurale si astrae da queste proprietà.

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E’ piu grande il punto A o il punto B?

Classe

A

B

Non risponde

Punto B

Uguali

II P 68% 6% 7%

III P

40% 45,7% 2%

IV P 12,3% 50,9% 27,3%

V P 20% 40% 28,8%

I M 20% 20% 45,4%

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Ci sono più punti in AB o in CD?

Gli allievi che rispondono “In CD” sono sviati dal fatto che un punto, pur essendo concettualmente un’entità adimensionale, acquista nella sua rappresentazione figurale una realtà bidimensionale (è visto come una “piccolissima macchia”)

AB

CD

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Obiettivi per l’apprendimento della geometria

Senso spaziale- Può essere definito come l’intuizione sulle figure e sulle relazioni tra di esse- Capacità di visualizzare oggetti, compiere trasformazioni mentali su di essi, individuare forme geometriche in natura e nell’arte

Contenuti geometrici- Figure e proprietà- Trasformazioni- Localizzazione- Visualizzazione

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La gerarchia dei van Hiele

0. VisualizzazioneGli alunni riconoscono le figure in base alle loro caratteristiche

visuospaziali globali: figure “a punta”, “grasse” ecc.1. AnalisiGli alunni riconoscono le figure in base alle loro proprietà: cosa rende un

rettangolo un rettangolo?2. Deduzione informaleGli alunni riconoscono le figure in base alla loro definizioni. Iniziano a

percepire la necessità di dimostrazioni.3. DeduzioneGli alunni si sanno muovere all’interno di un sistema assiomatico

deduttivo per la geometria4. RigoreGli alunni sanno confrontare tra loro e ragionare su diversi sistemi

assiomatici deduttivi per la geometria

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Caratteristiche dei livelli

1. I livelli sono sequenziali2. I livelli non dipendono dall’età

(diversamente dagli stadi piagetiani)

3. L’avanzamento dipende dalle attività di insegnamento-apprendimento (diversamente dagli stadi piagetiani)

4. Uno degli obiettivi dell’educazione matematica nella scuola primaria è preparare l’avanzamento dai livelli 0 e 1 al livello 2.

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Quali attività per ciascun livello?

Attività appropriate per il livello 0:- Classificazione di figure, riconoscimento di proprietà comuni. L’accento deve passare da proprietà non geometriche (la figura è “grassa”, “verde” ecc.) a proprietà geometriche- Devono includere molti esempi diversi in modo da non focalizzare l’attenzione su caratteristiche irrilevanti.

Attività appropriate per il livello 1:- Si concentrano più sulle proprietà delle figure che sulla loro identificazione- applicano i concetti a intere classi di figure (es. tutti i rettangoli, tutti i prismi) piuttosto che a singoli esempi; analizzano classi di figure per determinare nuove proprietà.

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Attività di livello 0: tipi di figure

Ogni alunno sceglie una figura a caso e dice qualcosa su di essa

Ogni alunno sceglie due figure a caso e osserva una somiglianza e una differenza

Il gruppo sceglie una figura a caso e la piazza al centro del tavolo; poi trova le figure che hanno in comune con essa una specifica proprietà (es. un lato curvo e un lato diritto)

Data una proprietà, gli alunni disegnano una loro figura con quella proprietà

Un gruppo inventa una “proprietà segreta” e disegna cinque figure con quella proprietà. Gli altri indovinano la regola

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Attività di livello 0: la figura segreta

A un bambino viene consegnata una busta con una “figura segreta”, uguale a una delle figure in un insieme prefissato

Gli altri gli fanno domande “sì-no” sulla figura segreta e cercano di indovinare quale sia, restringendo le possibilità all’interno dell’insieme

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Attività di livello 0: Geopiano

Preparare delle carte con figure che possono essere riprodotte sul geopiano

Gli alunni realizzano sul geopiano degli ingrandimenti di tali figure e copiano il risultato sulla carta quadrettata

Gli alunni copiano una figura da una carta e la scompongono sul geopiano

Vengono proposte agli alunni una serie di “sfide”

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Attività di livello 1: Caccia alla proprietà

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Attività di livello 1: Classifichiamo i triangoli

Preparare un insieme di carte con disegnati dei triangoli di ogni tipo

Gli alunni devono suddividerli in tre gruppi disgiunti ed esaustivi

Poi preparano una descrizione di ciascun gruppo Infine, rimettono insieme i triangoli e li tripartiscono

secondo un diverso criterio

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Attività di livello 1: Classifichiamo i quadrilateri

lati

angoli

diagonali

simmetrie

parallelogrammi

rettangoli

rombi

quadrati

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Attività di livello 1: Localizzazione

Posizioni nascoste

Gioco delle coordinate

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Attività di livello 2

“Lista definitoria minima”

Vero-falso

Il Teorema di Pitagora “induttivo”

“Dimostrazioni senza parole”

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Simmetria assiale

Sulla carta millimetrata, i bambini disegnano un segmentoPoi, da un lato del segmento, fanno un disegno che tocca il segmento stesso in qualche modoSuccessivamente ne creano l’immagine speculareLa correttezza dell’immagine può essere controllata attraverso lo specchio

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Localizzazione: traslazioni

Far disegnare una figura su carta quadrettata, sulla quale è fissato un sistema di assi cartesianiFar aggiungere 6 alle prime coordinate di ciascun vertice e ridisegnare la figuraPoi far aggiungere 9 alla seconda coordinata e poi +6 alla prima, +9 alla secondaChiedere anche sottrazioni

Cos’è cambiato in ciascun caso? Cosa significa cambiare l’ascissa? E l’ordinata?

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Localizzazione: simmetrie assiali

Far disegnare un pentagono su carta quadrettataRiflettere la figura nel secondo quadrante usando l’asse delle y come asse di simmetriaRipetere nel terzo e quarto quadrante, usando gli assi delle x e poi di nuovo delle y come assi di simmetriaDOMANDE:Che relazione c’è tra la terza e la quarta figura?In che altro modo si sarebbe potuta ottenere la quarta figura?Come sono correlate le coordinate delle quattro figure?Cosa si può dire sui segmenti che collegano vertici corrispondenti in figure simmetriche?

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Localizzazione: omotetie

Disegnare un quadrilateroMoltiplicare la coordinata di ciascun vertice per due, poi farle dividere per dueFar congiungere l’origine degli assi cartesiani con i vertici corrispondenti delle varie figure…cosa notano i bambini?

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Localizzazione: dilazioni

Una dilazione non è un’omotetia (la forma cambia!)

Se aggiungo 10 alla x e moltiplico la y per 3 la figura mi esce distorta

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Cosa significa misurare un oggetto?

1. Decidere la caratteristica che dev’essere misurata

2. Selezionare un’unità di misura appropriata

3. Confrontare l’unità con la caratteristica in questione

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Obiettivi per l’apprendimento della misura

1. Capire la caratteristica che dev’essere misurata

2. Capire il concetto di unità di misura e il loro uso

3. Capire l’uso degli strumenti di misura

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Unità arbitrarie o convenzionali?

Vantaggi delle unità arbitrarie:

1. Facilitano la focalizzazione sulla caratteristica da misurare

2. Coi bambini più piccoli, permettono di usare solo numeri di grandezza ragionevole

3. Danno un’ottima giustificazione alle misure convenzionali!

4. Sono divertenti…

Vantaggi delle unità convenzionali:

1. La conoscenza delle unità convenzionali è un valido obiettivo dei programmi che dev’essere affrontato

2. Una volta che i concetti della misura sono ben sviluppati, usare unità convenzionali è semplice come usare unità arbitrarie

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Approssimazione e stime

Sottolineare il carattere approssimato del processo di misura: tutte le misure sono a meno di un errore. Usare unità più piccole, riduce l’errore ma non lo elimina (matematicamente, non esiste l’unità “più piccola di tutte”!)

Stimare una misura prima di effettuarla è importante:

1. Aiuta i bambini a concentrarsi sulla caratteristica da misurare;

2. Aiuta la motivazione (i bambini, o i gruppi, faranno a gara a chi ci va più vicino!)

3. Aiuta a familiarizzarsi con le unità convenzionali (se si deve stimare l’altezza di una porta in metri, occorre pensare bene a quanto sia lungo un metro)

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Misurare lunghezze

Alcune unità arbitrarie che si possono usare in classe:

1. Impronte giganti di cartoncino;

2. Strisce di cotone (utili per misurare linee curve);

3. Cannucce da bibita (si possono facilmente tagliare in “sottounità”)

4. Stuzzicadenti, cubetti, regoli…

Più lungo, più corto, uguale

Sentieri curvi

Quanto è lunga la maestra?

Indovina la misura

Cambio di unità

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Righelli: fate attenzione!

Molti bambini credono che i numeri sui righelli contino le tacche, non gli spazi (unità di misura) tra una tacca e l’altra. Questo porta a errori nel processo di misura.

Per accertarsene, dare ai bambini un righello “muto” e chieder loro di misurare un oggetto. Hanno capito i righelli quei bambini che contano gli spazi tra le tacche.

Per testare la comprensione dei righelli, si può anche dare ai bambini un righello rotto privo delle prime due unità. Alcuni diranno che è impossibile fare misure, perché non c’è punto di inizio. Chi comprende i righelli non avrà difficoltà a eseguire la misura.

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Misurare aree

All’inizio, è difficile distinguere l’area da altre caratteristiche, come la lunghezza.

Secondo Piaget, ancora a 9 anni la conservazione dell’area può essere problematica

Errori comuni:

Confondere le formule dell’area e del perimetro

Sbagliare l’altezza di un triangolo (o altro poligono) con il lato obliquo

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Aree: dai rettangoli ad altri quadrilateri

Un parallelogrammo può essere trasformato in un rettangolo che ha stessa base, stessa altezza, stessa area…e un triangolo può sempre essere visto come metà di un parallelogrammo!…lo stesso per un trapezio!

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Misurare volumi e capacità

Volume e capacità sono sinonimi che indicano la quantità di spazio occupata da un oggetto (o che un contenitore può contenere)

All’inizio, concentrarsi su attività con liquidi usando bicchieri e contenitori di plastica, imballi di polistirolo

Classificazione di capacità

Seriazione di capacità

Confronto di scatole

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Misurare il peso

Già alla scuola dell’infanzia il bambino può effettuare confronti di peso tenendo un oggetto in ciascuna mano a braccia estese e valutando la diversa spinta verso il basso esercitata

Successivamente, si può passare a usare bilance a piatti e bilance a molla, anche artigianali

Come unità arbitrarie, si possono usare cubetti di plastica o legno con lo stesso peso

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Misurare il tempo

Il tempo è diverso dalle altre caratteristiche perché non può essere visualizzato; quindi è più difficile per il bambino comprendere le unità di tempo e il loro uso

Unità arbitrarie di tempo: oscillazione di un pendolo, tacca su una “clessidra ad acqua”

Insegnare a leggere l’orologio è difficile, perché non è evidente il nesso col tempo che dev’essere misurato

Un possibile approccio:- iniziare con orologi a una lancetta- discutere la relazione tra le due lancette- attività con due orologi- concentrarsi su intervalli di 5 minuti- introdurre orologi digitali

Quale dura di più?

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Una domenica d’estate, sulla spiaggia del Poetto…

A. (7 anni), G. (7 anni) ed E. (5 anni) stanno costruendo un castello di sabbia.

G. improvvisamente esclama: “Io e A. siamo nati lo stesso anno e lo stesso mese, ma io

sono nato l’11 e lui il 12, quindi io sono più grande!” E. protesta veementemente: “Ma che dici? Il 12 è più grande dell’11, quindi il più grande

è lui!” G. ribatte: “No, è più grande chi è nato prima. L’11 viene prima del 12 e

dunque io sono più grande!” A., che sinora se ne è rimasto in silenzio, conclude: “Ha ragione G.”