SOLUZIONE NUMERICA DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI A GRANDI DIMENSIONI SU GPUs

Relatore: Candidato:

Dajana Conte Vitale Luca

•  Calcolo parallelo

•  CUDA

•  Librerie di ottimizzazione

•  Equazioni Differenziali

•  Calcolo parallelo

•  CUDA

•  Librerie di ottimizzazione

•  Equazioni Differenziali

•  Cos’è?

•  Vantaggi

•  Applicazioni

GPGPU – General-Purpose Computing on Graphics Processing Units

Legge di Amdahl

•  Algoritmi Paralleli

•  Speedup

•  Calcolo parallelo

•  CUDA

•  Librerie di ottimizzazione

•  Equazioni Differenziali

CUDA - Compute Unified Device Architecture

•  Vantaggi

Algoritmi Paralleli principali:

•  Prodotto scalare tra Vettori

•  Norma Infinito

•  Prodotto Matrice Vettore

•  Prodotto Matrice Matrice

•  Calcolo parallelo

•  CUDA

•  Librerie di ottimizzazione

•  Equazioni Differenziali

Basic Linear Algebra Subprograms

•  BLAS - Seriale

•  cuBLAS - Parallelo

THRUST

•  Calcolo parallelo

•  CUDA

•  Librerie di ottimizzazione

•  Equazioni Differenziali

Sistemi di ODEs a grandi dimensioni:

Con

!′ ! = ! !,! ! , !" !!,!! !! = !!

!! !: !!,! !!ℝ! → ℝ! !

Applicazioni:

•  Circuiti integrati su larga scala

•  Semidiscretizzazione spaziale di equazioni alle derivate parziali

Metodi Waveform Relataxion

Si costruisce una successione che soddisfa:

Con

•  Approssimazione iniziale y(0)(t)

•  Funzione di Splitting

•  Condizione di consistenza

•  Convergenza

! !!! (!) !!! !

!(!!!)! ! = ! !,! !!! ,!(!) !!(!!!) !! = !!

!

!: !!,! !!ℝ!!ℝ! → ℝ! !

! !,!,! = !(!,!)!lim!→!!

! ! = !!(!)!

Picard

Che porta al seguente sistema:

Per Picard bisogna scegliere la funzione F

! !,!, ! = !(!, !)!

!!(!!!)! ! = !" !,! ! (!) !! = 1,2…!!!(!!!) ! = !!

!

! !,!(!!!),!(!) = !(!,!(!))!

Nel caso in cui f è lineare abbiamo:

Con derivano dalla semidiscretizzazione parziale di PDEs dipendenti dal tempo.

Scriviamo la matrice A = N – M :

WR Picard: M= 0, N=A

!! ! = !" ! + !(!)! !! = !! !

Α ∈ ℝ!"!,!,!: [!!,!] → ℝ!!

! !!! ! ! +!! !!! ! = !! ! + ! ! !!

Discretizzazione temporale

Metodi lineare multistep

Metodi WR a tempo discreto

!!!!!! = ℎ !!!(!!!! ,!!!!)!

!!!

!

!!!!

con!!!j,!!! ∈ ℝ, ! = 0,1,… , !!!! ≈ ! !! , !! = !! +!ℎ,! = 0,… ,!!

!!!!!!(!!!) + ℎ !!!!!!!

(!!!)!

!!!

!

!!!

= ℎ !!!!!!!(!) + ℎ !!! !! + ! !"#!! ≥ 0

!

!!!

!

!!!!

!

Analisi della convergenza

! 1ℎ!!!!! +!

!!! < 1!

Equazione del calore 2D

0

2

4

6

8

10

12

14

256 512 1024 2048 4096 8192 16384

Picard Ottimizzato vs Picard CUDA

Picard ottimizzato vs Picard seriale

Picard CUDA vs Picard seriale

FINE