Sussidi didattici per il corso di COSTRUZIONI EDILI

Prof. Ing. Francesco Zanghì

SOLLECITAZIONI SEMPLICI

AGGIORNAMENTO 04/10/2011

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SFORZO NORMALE CENTRATO

Lo sforzo normale si definisce centrato quando una forza, o un sistema di forze, agisce lungo l'asse baricentrico longitudinale dell'elemento strutturale. Può essere di due tipi:

• TRAZIONE (allungamento) • COMPRESSIONE (accorciamento)

y

x z

COMPRESSIONE

TRAZIONE

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3

La sollecitazione produce diagrammi di tensione e deformazione entrambi uniformi.

x

y

C=G

0 0

σε-N/EA -N/A

-N/EA -N/A

x

y

z

N

C

x

y

C=G

0 0

σεN/EA N/A

N/EA N/A

x

y

z

N

C

N<0

A

N−=σ

EA

N−=ε

N>0

A

N=σ

EA

N=ε

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FLESSIONE RETTA

Un elemento strutturale è soggetto a flessione retta quando il sistema di forze esterne si riduce ad una coppia di momento M che agisce su un piano di sollecitazione, contenente l’asse longitudinale della trave. La traccia del piano di sollecitazione sul piano della sezione è anche asse principale di inerzia per la sezione stessa.

La deformazione subita dall’elemento è un incurvamento secondo un arco di circonferenza. Le fibre superiori all’asse longitudinale subiranno un accorciamento mentre le fibre inferiori subiranno un allungamento ( o viceversa in base al segno del momento flettente).

M

M

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5

Le fibre appartenenti allo strato comprendente l’asse longitudinale non subiranno né allungamento né accorciamento (strato neutro).

L’intersezione tra lo strato neutro ed una qualsiasi sezione della trave viene

definito asse neutro. Durante la deformazione, la sezione

RUOTA attorno all’asse neutro.

Compressione

Trazione

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Il rapporto 1/R si chiama curvatura.

Poiché oL

L∆=ε

si ricava R

yEE == εσ

Le tensioni e le deformazioni avranno andamento lineare lungo l’asse verticale della sezione.

Esaminiamo l’equilibrio alla rotazione di una generica sezione S.

y

Il momento flettente esterno deve essere equilibrato dal momento interno generato

dalle singole forze elementari σ·a ciascuna moltiplicata per il relativo braccio y.

MR

JEya

R

Eya n === ∑∑ 2σ

Poiché, dalla (1) R= y/ε si ricava:

nJE

yM=ε

pertanto:

(1)

nJ

yM=σ

M

(2)

FORMULA DI NAVIER

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I valori di massima trazione e massima compressione si hanno in corrispondenza delle

fibre estreme della sezione, poste ad una distanza ymax dall’ asse neutro.

maxy

JW n=

MODULO DI RESISTENZA per flessione della sezione.

x

y

G

0 0

σε-M/W

M/W

n n

-M/EW

M/EW

n nM

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ESEMPIO N°1

E’ assegnata la seguente sezione a doppio T sottoposta all’azione di un momento flettente esterno M=100000 Nmm. Calcolare la tensione massima a cui la sezione è sottoposta.

70

100

10

10

10

Calcoliamo il momento di inerzia baricentrico orizzontale della sezione come differenza tra il momento di inerzia del rettangolo 70x100 e i momenti di inerzia dei rettangoli interni 30x80.

( ) 433

327333312800002583333312

80302

12

10070mmJ n =−=

⋅−

⋅=

Calcoliamo il modulo di resistenza a flessione della sezione:

3

max

6546750

3273333mm

y

JW n ===

Calcoliamo la tensione massima:

MPamm

N

W

M527.1527.1

65467

1000002

====σ

Tracciamo il diagramma delle tensioni:

n n

x

y

0

σ

-1.527 MPa

1.527 MPa

n n

M

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10

100

10

10

80

yG

ESEMPIO N°2

E’ assegnata la seguente sezione a T rovescia sottoposta all’azione di un momento flettente esterno M=-200000 Nmm. Calcolare la tensione massima a cui la sezione è sottoposta.

Suddividiamo la figura nei rettangoli elementari 80x10 e 10x90. Calcoliamo l’ordinata del baricentro e quindi la posizione dell’asse neutro:

( ) ( )( ) ( )

mmA

Sy

tot

xG 47.31

1700

53500

90101080

55901051080==

⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅==

Calcoliamo il momento d’inerzia baricentrico della sezione:

423

23

167299047.2680012

108053.23900

12

9010mmJ n =

⋅+

⋅+

⋅+

⋅=

Calcoliamo il moduli di resistenza delle fibre estreme della sezione:

( )35.24412

53.68

1672990mm

yh

JW

G

nx

s==

−=

34.5316147.31

1672990mm

y

JW

G

nx

i===

Calcoliamo la tensione massima e minima:

MPaW

M

xs

s 19.85.24412

200000===σ (trazione)

MPaW

M

xi

i 76.34.53161

200000===σ (compressione)

0

σ8.19 MPa

-3.76 MPa

n n

M

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Per l’equilibrio alla traslazione verticale: ∑ =⋅ Taτ

Si dimostra che:

n

n

Jb

ST

⋅

⋅=

*

τ

S*n = momento statico (rispetto all'asse baricentrico) di una delle due parti di sezione individuate dalla dividente parallela all'asse baricentrico nel punto di calcolo Jn = momento d’inerzia della sezione b = larghezza della sezione in corrispondenza della punto di

calcolo

TAGLIO

Si ha sollecitazione di taglio quando sulla struttura sono applicate forze con direzione perpendicolare al suo asse, giacenti sul piano della sezione e passanti per il suo baricentro. Le tensioni interne, dovendo opporsi a tale deformazione, giacciono sul piano

della sezione, quindi sono delle tensioni tangenziali ττττ.

T

τ

a

n nG

b FORMULA DI JOURAWSKI

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12

• CASI PARTICOLARI

A

T

2

3max =τ

A

Tmedia =τ

A

T

3

4max =τ

A

Tmedia =τ

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ESEMPIO N°3

E’ assegnata la seguente sezione a doppio T sottoposta all’azione di un momento flettente esterno M=400 kNm e uno sforzo di taglio verticale T=90 kN. Valutare lo stato tensionale della sezione.

X

Y

0

5

10

15

20

25

30

35

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

M

T

30

25

2

3

3

Calcoliamo il momento di inerzia baricentrico orizzontale della sezione come differenza tra il momento di inerzia del rettangolo 250x300 e i momenti di inerzia dei rettangoli interni 115x240.

4633

105.29712

2401152

12

300250mmJ n ⋅=

⋅−

⋅=

Calcoliamo il modulo di resistenza a flessione della sezione:

366

max

10983.1150

105.297mm

y

JW n ⋅=

⋅==

Calcoliamo la tensione massima: MPaW

M71.201

10983.1

104006

6

=⋅

⋅==σ

Tracciamo il diagramma delle tensioni normali:

0

σ

-201.71 MPa

n n

201.71 MPa

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Per il calcolo delle tensioni tangenziali con riferimento alle ali e all’anima della trave applichiamo la formula di Jourawski in corrispondenza dei vari punti di calcolo.

15.32

17.50

1.23

0.00

τ

0.00

4.69 ( )

MPazx 69.430105.297

13530115900006

=⋅⋅

⋅⋅⋅=τ

( )MPazy 23.1

250105.297

13530250900006

1=

⋅⋅

⋅⋅⋅=τ

( )MPazy 32.15

20105.297

13530250900006

2=

⋅⋅

⋅⋅⋅=τ

( )MPa5.17

20105.297

601202013530250900006max =

⋅⋅

⋅⋅+⋅⋅⋅=τ

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TORSIONE

Un solido è soggetto a torsione quando su di esso sono applicati, alle estremità, momenti uguali e opposti attorno al suo asse longitudinale e quindi giacenti sul piano della sezione.

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• Le sezioni ruotano una rispetto all’altra attorno all’asse longitudinale dell’angolo di torsione Θ mentre ogni fibra si deforma secondo un tratto di elica.

• Dovendo opporsi a deformazioni di scorrimento, le tensioni giacciono sul piano della

sezione, quindi sono delle tensioni tangenziali ττττ e poiché le deformazioni crescono dal centro alla periferia, le tensioni saranno massima lungo il bordo della sezione e nulle sul centro della sezione.

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Fonti

• Stefano Catasta – Materiale didattico • Nazzareno Corigliano – Materiali didattico • Gaetano Carbonaro – Materiale didattico • Luigi Coppola – Materiale didattico