Societatea de S˘tiint˘e Matematice din Romaniaantipa.rdsbv.ro/pdf/subiecte.pdf · Gazeta...

Ministerul Educatiei, Cercetarii si InovariiSocietatea de Stiinte Matematice din Romania

Olimpiada Nationala de MatematicaEtapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, 7 Martie 2009

CLASA a VII-a

Problema 1. Fie m si n numere naturale nenule cu proprietatea ca 5divide 2n + 3m. Sa se arate ca 5 divide 2m + 3n.

Problema 2. Fie ABC un triunghi ascutitunghic ın care M si N suntmijloacele laturilor AB, respectiv AC, iar S este un punct mobil pe latura(BC). Sa se arate ca (MB −MS)(NC −NS) ≤ 0.

Problema 3. Fie a si b doua numere naturale. Sa se arate ca numarula2 + b2 este diferenta a doua patrate perfecte daca si numai daca ab estenumar par.

Problema 4. Se considera un triunghi echilateral ABC. Punctele M , Nsi P sunt situate pe laturile AC, AB si BC, respectiv, astfel ıncat ∠CBM =1

2∠AMN =

1

3∠BNP si ∠CMP = 90◦.

a) Sa se arate ca triunghiul NMB este isoscel.b) Sa se determine masura unghiului ∠CBM .

Timp de lucru 3 ore + 1/2 ora pentru ıntrebari lamuritoare asupra enunturilorFiecare problema este punctata de la 0 la 7 puncte



CLASA a VIII-a

Problema 1. Sa se determine numerele reale pozitive x, y, z care verificasimultan egalitatile x2y2+1 = x2+xy, y2z2+1 = y2+yz si z2x2+1 = z2+xz.

Problema 2. Numerele reale a, b, c, d, e au proprietatea ca

|a− b| = 2|b− c| = 3|c− d| = 4|d− e| = 5|e− a|.

Sa se arate ca numerele a, b, c, d, e sunt egale.

Problema 3. Consideram prisma patrulatera regulata ABCDA′B′C ′D′

ın care AB = a, AA′ = a√

22

, iar M este mijlocul muchiei B′C ′. Fie F piciorulperpendicularei din B pe dreapta MC. Sa se determine masura unghiuluidintre planele (BFD) si (ABF ).

Problema 4. Numerele naturale a si b verifica relatia

(a2 − 9b2)2 − 33b = 16. (1)

a) Sa se arate ca |a− 3b| ≥ 1.b) Sa se determine toate perechile de numere naturale (a, b) care satisfac

relatia (1).



Olimpiada Nationala de Matematica

Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, 7 Martie 2009

CLASA a IX-a

Problema 1. Pe laturile AB si AC ale triunghiului ABC se considerapunctele D si respectiv E, astfel ıncat DA + DB + EA + EC = 0.

Fie T intersectia dreptelor DC si BE. Sa se determine α real astfel ıncat

TB + TC = αTA.

Gazeta Matematica

Problema 2. Elementele multimii M = {1, 2, 3, . . . , 99, 100} se aseazaıntr-un tablou cu 10 linii si 10 coloane, astfel:

1 2 · · · 10

11 12 · · · 20...

91 92 · · · 100

Sa se arate ca oricum am sterge 10 elemente ale tabloului, printre cele90 de numere ramase exista cel putin 10 numere ın progresie aritmetica.

Problema 3. a) Fie a, b ≥ 0 si x, y > 0. Sa se arate ca

a3

x2+

b3

y2≥

(a + b)3

(x + y)2.

b) Fie a, b, c ≥ 0 si x, y, z > 0 astfel ıncat a + b + c = x + y + z. Sa searate ca

a3

x2+

b3

y2+

c3

z2≥ a + b + c.

Problema 4. Sa se determine functiile f : N∗ → N

∗ pentru care

f (x + y) + f (x)

2x + f (y)=

2y + f (x)

f (x + y) + f (y),

pentru orice x, y ∈ N∗.

Timp de lucru 3 ore + 1/2 ora pentru ıntrebari lamuritoare asupra enunturilor

Fiecare problema este punctata de la 0 la 7 puncte




CLASA a X-a

Problema 1. Fie f, g : R → R doua functii cu proprietatea

f(g(x)) = g(f(x)) = −x,

pentru orice x ∈ R.a) Sa se arate ca f si g sunt functii impare.b) Dati un exemplu de functii cu proprietatea din enunt.

Problema 2. Sa se determine numerele complexe z1, z2, z3 de acelasimodul, cu proprietatea ca z1 + z2 + z3 = z1z2z3 = 1.

Gazeta Matematica

Problema 3. Fie multimile A = {x ∈ R | 3x = x + 2} siB = {x ∈ R | log

3(x + 2) + log

2(3x − x) = 3x − 1}. Sa se arate ca:

a) A ⊂ B;b) B 6⊂ Q si B 6⊂ R \ Q.

Problema 4. a) Fie z1, z2, z3 numere complexe nenule de acelasi modulastfel ıncat z1 + z2 + z3 = 0. Sa se arate ca punctele A1(z1), A2(z2), A3(z3)sunt varfurile unui triunghi echilateral.

b) Fie n ≥ 3 un numar natural si fie Un

= {z ∈ C | zn = 1} multimearadacinilor de ordin n ale unitatii. Sa se determine numarul maxim de ele-mente ale unei multimi A ⊂ U

ncu proprietatea ca z1 + z2 + z3 6= 0 pentru

orice z1, z2, z3 ∈ A.




CLASA A XI-a

Problema 1. Fie A,B,C trei matrice de ordin 3, care au elementenumere reale si care ındeplinesc conditiile: det(A) = det(B) = det(C) sidet(A+ iB) = det(C + iA). Aratati ca det(A+B) = det(C + A).

Problema 2. Fie n ∈ N∗ si o matrice A ∈ Mn(C), A = (apq)16p,q6n, cuproprietatea:

aij + ajk + aki = 0,∀i, j, k ∈ {1, 2, . . . , n}.

Aratati ca rang(A) 6 2.Gazeta Matematica

Problema 3. Fie (xn)n≥1 un sir definit de

x1 = 2, xn+1 =

√xn +

1

n,∀n ≥ 1.

Aratati ca limn→∞

xn = 1 si calculati limn→∞

(xn)n.

Problema 4. a) Aratati ca functia F : R→ R, F (x) = 2[x]−cos(3π{x})are proprietatile: functia F este continua pe R si, pentru orice y ∈ R, ecuatiaF (x) = y are exact trei solutii ([x] este partea ıntreaga a lui x).

b) Fie k > 0 un numar ıntreg par. Aratati ca nu exista nicio functief : R → R cu proprietatile: functia f este continua pe R si, pentru oricey ∈ Imf , ecuatia f(x) = y are exact k solutii (Im f este multimea valorilorfunctiei f).

Timp de lucru 3 ore + 1/2 ora pentru ıntrebari lamuritoare asupra enunturilor.Fiecare problema este punctata de la 0 la 7 puncte.




CLASA A XII-a

Problema 1. Fie f : [0,∞) → [0,∞) o functie descrescatoare, astfel

ıncat

∫x

0

f(t)dt < 1, oricare ar fi x ≥ 0. Sa se arate ca:

a) limx→∞

∫x

0

f(t)dt exista si este finita;

b) limx→∞

xf(x) = 0.

Problema 2. Fie A un inel comutativ cu n elemente, n ≥ 2. Sa se arateca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) x2 = x, oricare ar fi x ∈ A ;b) numarul functiilor polinomiale f : A → A este n2.

Gazeta Matematica

Problema 3. Fie f : [0, 1] → R o functie continua astfel ıncat

∫1

0

(x − 1)f(x)dx = 0.

Sa se arate ca:

a) exista un punct a ∈ (0, 1) astfel ıncat

∫a

0

xf(x)dx = 0 ;

b) exista un punct b ∈ (0, 1) astfel ıncat

∫b

0

xf(x)dx = bf(b).

Problema 4. Fie K un corp finit cu q elemente si n ≥ q, n ∈ N. Sa sedetermine probabilitatea ca alegand un polinom din multimea polinoamelorde grad n din K[X], acesta sa nu aiba nicio radacina ın K.

Timp de lucru 3 ore + 1/2 ora pentru ıntrebari lamuritoare asupra enunturilor.Fiecare problema este punctata de la 0 la 7 puncte.

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ

"ADOLF HAIMOVICI"

ETAPA JUDEŢEANĂ - 7 martie 2009

Filiera tehnologică : profil servicii, şi resurse naturale şi protecţia mediului

Nota: Timp de lucru 3 ore

Toate subiectele sunt obligatorii

Fiecare subiect este notat de la 0 la 7

CLASA a IX-a

1. Considerăm şirurile definite prin 2 1n

a n= − şi 2 , na

nb n

∗= ∈� .

a) Arătaţi că ( )na este o progresie aritmetică, iar ( )nb este o progresie geometrică.

b) Determinaţi n∗

∈� astfel încât :2

1 2 ... 2009n

a a a+ + + = .

c) Calculaţi suma 1 2 2009...S b b b= + + + .

2. Un inspector trebuie să controleze şase şcoli din şase localităţi: A, B, C, D, E, F. El are

planificată verificarea într-o săptămână, câte o şcoală pe zi. Inspectorul poate parcurge doar

următoarele trasee:

- de la A către F;

- de la B către A;

- de la C către B sau D sau E;

- de la D către A sau B;

- de la E către A sau B sau D sau F.

Să se demonstreze că el poate verifica toate şcolile şi că există un singur mod în care o poate face.

3. Fie ABC un triunghi, punctele M, N, P astfel încât BM MC=��

, 2AN NC=��

, 3AP PB=��

şi Q

mijlocul segmentului ( )PM .

a) Arătaţi că : 2 1

3 3BN BC BA= +��

şi 1 1

4 8BQ BC BA= +��

.

b) Demonstraţi că punctele B, Q, N sunt coliniare şi calculaţi valoarea raportului BQ

QN.

4. La un concurs de jocuri, o echipă formată din trei elevi X, Y, Z, trebuie să-şi aleagă trei numere

reale strict pozitive(fiecare elev câte un număr), astfel încât produsul lor să fie 1, iar suma lor să fie

mai mare decât suma inverselor lor.

Să se demonstreze că:

a) Nici unul dintre elevi nu şi-a ales numărul 1.

b) Unul şi numai unul dintre ei şi-a ales un număr supraunitar.


"ADOLF HAIMOVICI"






CLASA a X-a

I. Se dau numerele reale: 2 2x m m k= + − şi 2 2

y m m k= − − unde , m k ∗∈� şi m k> .

Demonstraţi că: a) x y ∗⋅ ∈� ;

b) 2 2xk m k

y

∗⋅ − − ∈� .

II. Se consideră funcţia ( ) ( ) ( )1

: 0, 0, , f f x xx

∞ → ∞ = + şi 5 5log 4, log 6α β= = .

a) Demonstraţi că 2α β+ < .

b) Demonstraţi că 1α β⋅ < .

c) Comparaţi ( )f α cu ( )f β .

III. Se consideră mulţimile: { }2 / , , 0M z x y x y y= = + ∈ ≠� şi ( )

( )

33

3/

z zA u z M

z z

− = = ∈

−

.

a) Demonstaţi că A ⊂� .

b) Determinaţi cel mai mic element al mulţimii A şi indicaţi forma numerelor din mulţimea M

pentru care se obţine această valoare.

(Notă: dacă 2z x y= + , atunci 2z x y= − )

IV. Sub deviza „SPORTUL înseamnă SĂNĂTATE”, ministerul turismului organizează faza

naţională a olimpiadei elevilor. La atletism participă 1005 elevi, având pe tricouri numerele

{ }1 2 1005, ,..., 1, 2, 3,..., 2009n n n ∈ . Demonstraţi că printre elevi există unul cu numărul de pe tricou

1005 sau doi pentru care suma numerelor de pe tricourile lor este 2010.


"ADOLF HAIMOVICI"






CLASA a XI-a

I. Fie ( ) ( )3ijA a M= ∈ � , o matrice simetrică ( ), , 1,3

ij jia a i j= ∀ ∈ , astfel încât elementele

de pe diagonala principală sunt egale, iar suma elementelor fiecărei linii este egală cu m∈� .

Demonstraţi că ( )detm A⋅ este pătrat perfect.

II. a) Calculaţi ( ) ( )lim 2ln 2 1 3ln 2 lnx

x x x→∞

+ − + + .

b) Determinaţi , , , 5 k l m k m∗∈ ≤ <� astfel încât:

( )2 2lim 1x

kx lx m kx lx m→∞

+ + − − + = .

III. Fie

0 1 1

0 0 1

0 0 0

A

=

şi 0 / , ,

0 0

a b c

M a b a b c

a

= ∈

� .

a) Calculaţi 3A .

b) Dacă ( )3, A X X A X M⋅ = ⋅ ∈ � demonstraţi că X M∈ .

c) Demonstraţi că ecuaţia 2X A= nu are soluţii în ( )3M � .

IV. Pe o suprafaţă plană, raportată la reperul ortogonal ( )xOy , trei persoane se aşează în

trei puncte necoliniare A, B, C, astfel încât coordonatele acestor puncte să fie numere

întregi. Demonstraţi că:

a) S ∈� , unde S este aria triunghiului ABC.

b) Cele trei persoane nu se pot aşeza în vârfurile unui triunghi echilateral.


"ADOLF HAIMOVICI"






CLASA a XII-a

1. Fie 3

1

0 1 , ,

0 0 1

a b

G c a b c

= ∈

�

� ��

� � �

.

a) Calculaţi 3 , A A G∈ .

b) Arătaţi că ( ),G ⋅ este grup necomutativ.

c) Câte elemente are grupul ( ),G ⋅ ?

2. Să se determine , a b∈� astfel încât primitivele funcţiei ( )2

2

2: ,

4 5

x ax bf f x

x x

+ +→ =

+ +� � să

fie funcţii raţionale.

3. Se consideră grupul ( ),K ⋅ , unde { }, , , K e a b c= , e elementul neutru şi 2 2 2a b c e= = = .

a) Să se rezolve ecuaţia 3x e= , în grupul ( ),K ⋅ .

b) Să se arate că ab c= .

c) Să se arate că grupurile ( ),K ⋅ şi ( )4 , +� nu sunt izomorfe.

4. Considerăm funcţia : 0,2

fπ

→

� , ( )( )

20

sin cos sin

cos

x t t tf x dt

t

+= ∫ .

a) Calculaţi 4

fπ

.

b) Demonstraţi că f este strict monotonă.

c) Calculaţi ( )

0

20lim

xx

f x

x>

→.


"ADOLF HAIMOVICI"


Profil real, specializarea ştiinţele naturii

Nota: Timp de lucru 3 ore Toate subiectele sunt obligatorii Fiecare subiect este notat cu punctaje de la 0 la 7

CLASA A IX A

1. Fie numerele nnA 2010 1= − şi n

nB 2010 2009n 1, n= − − ∈� . Demonstraţi că, pentru orice

număr natural n, nA se divide cu 2009, iar nB se divide cu 22009 .

2. Asupra unui punct material acţionează două forţe 1F��şi 2F ,��

având modulele 2N, respectiv

2 3 N. Ştiind că modulul forţei rezultante 1 2F F+��

este de 4N, determinaţi măsura unghiului dintre

forţele 1 2F F+��

şi 1 2F F .−��

3. Determinaţi toate şirurile ( )n n 0

a≥

de numere naturale, cu proprietatea că

2 2n 2 n 1 n 1 n 1 n n na a a 2a a a a 0.+ + + ++ − + + − =

Gazeta Matematică 11/2008 4. În deşert există trei depozite de combustibil ale armatei, nesituate în linie dreaptă, pe care le vom numi A, B şi C. a) Unde trebuie poziţionat un punct de deservire tehnică pentru cele trei depozite, astfel încât acesta să se afle la egală distanţă de A, B şi C? b) Comandamentul doreşte să construiască o şosea rectilinie, astfel încât depozitele A, B şi C să se afle la egală distanţă faţă de ea. Câte astfel de şosele se pot construi?


"ADOLF HAIMOVICI"




CLASA A X A

1. Rezolvaţi ecuaţiile:

a) x x2 4 3 2 2 0;⋅ + ⋅ − = b) ( ) ( ) ( )2 1

3 32 x 2 3 x 2 2 x 2 0.− + − − − =

2. a) Demonstraţi că punctele din planul complex având afixele 1 2 3z , z , z sunt coliniare, dacă şi

numai dacă există un număr real t astfel încât ( )2 1 3 1z z t z z .− = ⋅ −

b) Fie a, b ∈� şi funcţia ( )f : , f z a z b.→ = ⋅ +� � Arătaţi că dacă punctele de afixe

1 2 3z , z , z sunt coliniare, atunci şi punctele de afixe ( ) ( ) ( )1 2 3f z , f z , f z sunt coliniare.

Gazeta Matematică 10/2008

3. a) Dacă a, b, x ∈� , arătaţi că 2 2a sin x b cos x a b .⋅ + ⋅ ≤ +

b) Demonstraţi că sin x cosx2 3 4, x .⋅ < ∀ ∈� 4. Costurile de producţie ale unui anumit produs se obţin adunând costurile fixe (mijloace de producţie, impozite şi taxe, chirii etc.) şi costurile variabile (salarii, cheltuieli cu materiile prime etc.). Într-o întreprindere, costurile de producţie ale unui anumit produs funcţie de numărul unităţilor de produs fabricate sunt următoarele:

a) Exprimaţi în funcţie de n costul de producţie al fiecărei unităţi de produs fabricată. b) Dacă preţul de vânzare al produsului este fixat la 16 lei/buc, determinaţi câte unităţi din

acest produs trebuie fabricate pentru a obţine profit maxim pe fiecare unitate de produs. nulă.

Producţia (buc.) Costuri fixe (lei) Costuri variabile (lei) n 10 000≤

10 000 n 20 000< ≤ 20 000 n 30 000< ≤

100 000 120 000 150 000

5n 8n 30 000− 8n 40000−


"ADOLF HAIMOVICI"





Fiecare subiect este notat cu punctaje de la 0 la 7

CLASA A XI A

1. a) Demonstraţi că ecuaţia 22 2

X1 2

=

nu are soluţii în ( )2M .�

b) Arătaţi că ecuaţia 2

2X I= are o infinitate de soluţii în ( )2M .�

2. Găsiţi exemple de funcţii f , g, h : →� � pentru care:

a) ( )xlim f x→−∞

= +∞ şi ( )xlim f x ;

→∞= −∞

b) ( )xlim g x 1→−∞

= şi ( )xlim g x ;

→∞= +∞

c) ( )xlim h x 1→−∞

= − şi ( )xlim h x 1.

→∞=

3. Fie ( )3A, B M∈ � cu 2 2

3A B I ;− = considerăm şi matricele X A B= − şi Y A B.= +

a) Arătaţi că 3XY I AB BA.− = −

b) Demonstraţi că ( ) ( )3 3det XY I det YX I .− = − −

c) Calculaţi ( )det AB BA .−

Gazeta Matematică 4/2008

4. Deasupra unui cub 1 1 1 1 11 1 1 1A B C D A B C D′ ′ ′ ′ cu muchia de 3cm se aşează un alt cub

2 2 2 2 2 2 2 2A B C D A B C D′ ′ ′ ′ , astfel încât 2 2 2 2A , B , C , D să fie mijloacele muchiilor pătratului 11 1 1 1A B C D′ ′ ′ ′ .

Deasupra feţei 2 2 2 2A B C D′ ′ ′ ′ se aşează un nou cub 3 3 3 3 3 3 3 3A B C D A B C D′ ′ ′ ′ , astfel încât 3 3 3 3A , B , C , D

să fie mijloacele muchiilor pătratului 2 2 2 2A B C D′ ′ ′ ′ . Continuăm procedeul la nesfârşit, obţinând o

coloană de cuburi. Aflaţi înălţimea, volumul şi aria totală a acestei coloane.


"ADOLF HAIMOVICI"




CLASA A XII A

1. Calculaţi:

a) 1

30

tdt;

t 1+∫ b)

1 5

90

xdx.

x 1+∫

Gazeta Matematică 3/2008 2. Fie n 2≥ un număr natural fixat, iar

( ) n3 3

x 0 0

G A M A 0 y 0 , A I .

0 0 z

= ∈ = =

�

a) Determinaţi cardinalul mulţimii G. b) Demonstraţi că, în raport cu înmulţirea matricelor, G este grup abelian. 3. Găsiţi exemple de legi de compoziţie care să fie: a) asociative, dar necomutative; b) comutative, dar neasociative; c) necomutative şi neasociative. (În fiecare caz, precizaţi mulţimea pe care este definită operaţia.) 4. Se consideră funcţia continuă [ )f : 0; ,→ + ∞� astfel încât pentru oricare două puncte

( )A a,0 şi ( )B b,0 , aria suprafeţei cuprinsă între graficul funcţiei, axa Ox şi verticalele prin

punctele A şi B, este mai mică decât aria pătratului de latură AB. Demonstraţi că funcţia f este identic nulă.


"ADOLF HAIMOVICI"


Filiera tehnologică : profil tehnic




CLASA a IX-a.

I. Se consideră următorul şir de numere reale *1 2,

3 3n

x n n= + ∈�

a)Să se calculeze 10x

b)Să se arate că şirul n

x constituie o progresie aritmetică.

c)Să se determine 1 2 100{ , ,..., }x x x∩� .

II. Să se determine valorile parametrilor reali ,a b astfel încât 2 2{ | 4 0} { | 3 0}x x x a x x bx∈ − + = ∈ + − =� ∪ � ={ 3,1,3}− .

III. Se consideră funcţia 2: , ( ) ;f f x ax bx c→ = + +� � cu a,b,c∈� ,a 0≠

a)Dacă u,v sunt numere întregi distincte să se arate că ( ) | ( ( ) ( ))u v f u f v− − .

b)Dacă (2) 2005f = arătaţi că (5) 2009f ≠ ,utilizând eventual punctul anterior.

IV. Graficul funcţiei 22 4: , ( )

9 3f f x x x c→ = − − +� � ,c∈� descrie traiectoria parcursă

de mingea de baschet aruncată de un jucator spre coş.

a)Considerînd panoul având înălţimea de 3 m şi aplicat în originea unui sistem de axe de

coordinate,în plan vertical, şi stiind că mingea intră în coş determinaţi valoarea lui c.

b)Pentru c=3 precizaţi la ce distantă de coş mingea a atins înăltimea maximă şi care a

fost această înălţime.


"ADOLF HAIMOVICI"






CLASA a X-a

I.

a)Arătaţi că 1 1

( ) ( ) 4, ( ) , 0a b a ba b

+ + ≥ ∀ >i

b)Arătaţi că 2 5 3 7(log 3 log 7) (log 2 log 5) 4+ + ≥i

c)Arătaţi că 2log 3 \∈� �

II.

a)Dacă A este mulţime finită de numere reale iar :f A A→ este o funcţie injectivă

arătaţi că funcţia f este bijectivă.

b)Determinaţi funcţiile injective1 1 1 1 1 1

:{1, , ,..., } {1, , ,..., }2 3 2009 2 3 2009

f → astfel încât

1 1 1(1) 2 ( ) 3 ( ) ... 2009 ( )

2 3 2009f f f f= = = =

III. Rezolvaţi ecuaţia:8 27 7

12 18 6

x x

x x

+=

+.

IV. Se consideră numerele complexe: z a ib= + , 1 1 3z i= + si 2 3z i= + ; ,a b ∈� .

a)Să se determine 1 2| |z z− .

b)Daţi exemplu de un număr complex z pentru care 2| | 2z z− = .

c)Determinaţi numerele complexe z care verifică condiţiile: 1| | 2z z− = iar

2| | 2z z− ≤ .


"ADOLF HAIMOVICI"



Nota: Timp de lucru 3 ore Toate subiectele sunt obligatorii Fiecare subiect este notat de la 0 la 7

CLASA a XI-a I.

a)Dacă 1 0a b+ + = calculaţi lim( 1 2 3)→∞

+ + + + +n

a n b n n .

b)Să se calculeze 1

3

0

2 3 4lim( )

3→

+ +x x x

x

x.

II. Spunem că două matrice A,B 2 ( )M∈ � au proprietatea (*)dacă A+B=A iB.

a)Justificaţi că matricele A=4 17

2 6

−

− si B==

6 17

2 4

− −

− − au proprietatea (*)

b)Să se arate că dacă matricele X,Y 2 ( )M∈ � au proprietatea (*) atunci X Y Y X=i i .

III. Fie { 3

0 0

( ) | 0 0 }

0 0

x

M A M A y

z

= ∈ =

� şi matricele B=

1 0 0

0 2 0

0 0 3

,C =

1 0 0

0 8 0

0 0 27

−

a)Să se arate că nA M∈ , A M∀ ∈ şi 1n∀ ≥ b)Să se arate că dacă 3( )X M∈ � şi B X X B=i i atunci X M∈ .

c)Să se rezolve ecuaţia 3X C= .

IV. Se consideră funcţia : (0, )f → ∞� îndeplinind condiţiile ( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y+ = ⋅ ∀ ∈� şi (1)f e= . a) Calculaţi (3)f

b)Demonstraţi că ( ) ,xf x e x= ∀ ∈� .

c)În ipoteza că există lim ( )x

f x l→−∞

= ∈� ,determinaţi valoarea lui l .


"ADOLF HAIMOVICI"






CLASA a XII-a

I. Se consideră funcţia 1 , 1

: , ( )2 , 1

ax xf f x

x x

+ <→ =

+ ≥� �

a) Să se arate că pentru a=2 ,funcţia dată admite primitive şi să se determine o primitivă.

b) Să se arate că pentru a=1 ,funcţia f nu admite primitive.

c) Pentru a=1 să se găsească o funcţie :g →� � astfel încât f+g să admită primitive

II.

a)Să se dea un exemplu de grup abelian ( , )G i având 10 elemente şi să se găsească un

element a G∈ , ,a e≠ astfel încât 10

a e= ,unde e reprezintă elementul neutru al grupului.

b)Să se dea un exemplu de grup necomutativ cu 6 elemente şi să se gasească un element

x al grupului pentru care 2

x e= , x e≠ ..

III. Se consideră şirul de integrale *ln , 0,n

nI xdx x n= > ∈∫ �

a)Să se calculeze 1I .

b)Să se arate că 1

ln , 2n

n nI x x nI n

−= − ∀ ≥

c)Să se calculeze 3

I .

IV. Se consideră mulţimea 2 2

{ ( ) / }G A M A I inversabila= ∈ + −� iar pe mulţimea G

legea de compoziţie A B A B A B= + +� i .

a)Să se justifice că multimea G are cel puţin două elemente.

bArătaţi că2 2 2.

( ) ( )A B A I B I I= + ⋅ + −�

c)Să se arate că ( , )G � este grup abelian.


"ADOLF HAIMOVICI"


Filiera teoretică, profil umanist




CLASA A IX-A

1. Se dau mulţimile:

a) }3 9

{ \{ 1}/1

xA x

x

+= ∈ − ∈

+� � si

2

30{ \{ 1}/ }B y

y y

∗= ∈ − ∈

+� � . Să se determine

mulţimile A B∩ .

b) Fie mulţimea {1,2,3,4}A = . Elementele mulţimii A A× se scriu pe cartonaşe, fiecare

element pe câte un cartonaş şi se introduc într-o urnă. Care este probabilitatea ca

extrăgând un cartonaş suma numerelor de pe acesta sa fie 6? Care este probabilitatea ca

extrăgând un cartonaş, câtul numerelor de pe acesta (în ordinea scrierii lor) să fie în

intervalul (0,25 ; 0,75)?

2. Fie , , : , ( ) 3; ( ) 2 8; ( ) 12

xf g h f x g x x h x x→ = + = − + = − +� � . Determinaţi aria

poligonului mărginit de graficele celor 3 funcţii şi axele de coordonate.

3. a) Fie 2: , ( )f f x x bx c→ = + +� � . Determinaţi ,b c ∈� ştiind că reprezentarea

geometrică a graficului funcţiei f este o parabolă având vârful 1 3

( ; )2 4

V

b) Dacă 1x y+ = , demonstraţi că 3 3 1

4x y+ ≥ .

4. O persoană îşi propune ca peste 4 ani să dispună de un depozit bancar de 20.000 RON.

Dacă persoana nu îşi ridică dobânda, aceasta se adaugă sumei iniţiale şi dobânda pe anul

următor se aplică sumei totale. Ştiind că dobânda anuală este de 25%, ce depunere trebuie

făcută în prezent pentru ca peste 4 ani să aibă suma propusă?


"ADOLF HAIMOVICI"




CLASA A X A

1. Se consideră funcţia f:D → � , f(x) = ( )23log x mx 1− +

a) Determinaţi m ∈� astfel încât D = � . b) Pentru m = 1 să se studieze monotonia funcţiei.

c) Pentru m = 1 să se rezolve în 1

; + 2

∞

ecuaţia f(x) = 5 - 2x .

2. a) Rezolvaţi ecuaţia: 1 2x 1 x x5 6 30 150+ +

+ = + b) Demonstraţi că ( )x, y, z (1; )∀ ∈ +∞ are loc x y zlog y log z log x 3+ + ≥

3. a) Determinaţi x ∈� ştiind că al şaselea termen al dezvoltării binomului

x 5lg(10 3 ) (x 2)lg3 n( 2 2 )− −+ este 21, iar coeficienţii binomiali ai termenilor doi, trei şi patru sunt în

progresie aritmetică.

b) Demonstraţi că 1 2 n n 1

0 *n n nn

C C C 2 1C ... ;n

2 3 n 1 n 1

+−

+ + + + = ∈+ +

�

4. a) Într-o bancă se depune o sumă cu o dobândă compusă de 3%. Arătaţi că timpul după care capitalul este dublul sumei depuse este mai mic decât 24 ani. Se ştie că 1,03log 2 24< .

b) Să se calculeze suma S ce se va depune anual într-o bancă pentru amortizarea unei datorii de 1000 euro, rambursabilă în 4 ani dacă dobânda de împrumut este de 5%.


"ADOLF HAIMOVICI"






Clasa a XI-a

I. Pentru graful din imagine avem următoarele cerinţe:

a) precizează numărul de noduri şi numărul de muchii;

b) determină ordinul fiecărui nod;

c) identifică două drumuri care unesc vârful A cu vârful E;

d) elimină cât mai puţine muchii pentru ca graful rămas să fie arbore.

II. Un antrenor trebuie să aleagă dintre doi sportivi, Cătălin şi Lucian, pe cel care va

reprezenta clubul la un concurs de tenis de masă. El analizează performanţele obţinute de

cei doi sportivi la ultimele zece antrenamente, rezultate date în punctaj în tabelul de mai

jos

Nr. antrenament I II III IV V VI VII VIII IX X

Punctaj Cătălin 7 8 6 9 7 7 8 6 8 9

Punctaj Lucian 8 6 7 6 8 9 9 7 6 9

a) Să se calculeze media rezultatelor pentru fiecare sportiv în parte. Ce se observă?

b) Calculând dispersiile să se decidă care din sportivi va pleca la concurs.

III. La un concurs de matematică, din totalul participanţilor 78% au rezolvat primul

subiect , 72% pe cel de-al doilea , 50 de elevi au rezolvat ambele subiecte şi nu au existat

elevi care să nu fi rezolvat nici unul din cele două subiecte. Câţi elevi au participat la

concurs?

IV. Cinci prieteni vorbesc între ei la telefon fiecare cu fiecare cel mult o dată, pentru a

detalia planul unei excursii.

a) Care este numărul maxim de convorbiri?

b) Este posibil ca fiecare dintre ei să fi avut un număr impar de convorbiri?

Justificaţi răspunsul.


"ADOLF HAIMOVICI"




Clasa a XII-a

I). Se consideră sistemul de ecuaţii

1

3 ,

3

x y z

x y z m R

mx y z m

− + =

+ + = ∈ + + =

.

a) Să se rezolve sistemul pentru m=2; b) Să se determine minimul expresiei 2 2 2E x y z= + + , unde x,y,z sunt soluţiile

sistemului pentru m=1.

II). Fie matricea ( )3

1 0 1

0 1 0

1 0 1

A M R

= ∈

.

a) Să se arate că dacă ( )3X M R∈ , astfel încât AX XA= şi 23X O= atunci 3X O= .

b) Dacă ( )3X M R∈ astfel ca AX XA= şi 10243X O= atunci 3X O= .

III). Pe mulţimea numerelor reale definim legile de compoziţie 2 2 6x y xy x y∗ = − − + şi

3( ) 12x y xy x y= − + +� .

a) Să se verifice că ( ) ( ) ( )2 3 1, x x x R∗ − = − ∀ ∈� ;

b) Ştiind că 1e este elementul neutru în raport cu legea " "∗ şi 2e este elementul

neutru în raport cu legea " "� să se calculeze 1 2 1 2e e e e∗ + � .

IV). Într-un raft din bucătărie de tipul 3x3, mama lui Vlad aşează în fiecare căsuţă mere sau portocale, după plac. Asociem astfel fiecărei configuraţii a raftului o matrice de tipul 3x3 cu elemente egale cu 1 sau -1 după cum în căsuţa asociată din raft mama lui Vlad pune un măr sau o portocală.

a) Să se dea exemplu de astfel de matrice care are determinantul egal cu 4; b) Să se arate că orice astfel de matrice are determinantul din mulţimea { 4,0,4}− .

Societatea de S˘tiint˘e Matematice din Romaniaantipa.rdsbv.ro/pdf/subiecte.pdf · Gazeta...

Documents

Transcript of Societatea de S˘tiint˘e Matematice din Romaniaantipa.rdsbv.ro/pdf/subiecte.pdf · Gazeta...