Slides AM Nozioni Finanziarie

Ripasso di finanza di base

Nicola Borri

LUISS

Questa versione: October 2, 2014

I Le slides che seguono sono basate su J. Cochrane, InvestmentNotes, November 2006, disponibile sulla pagina web del corsoo direttamente sulla sua pagina personale.

I Dovreste avere studiato la maggior parte dei concetticontenuti nelle slides che seguono - o almeno una gran parte -nei corsi di finanza e/o matematica finanziaria e econometriadei corsi triennali.

I Qualora questi concetti risultino del tutto nuovi, fateriferimento a Cochrane (2006) o a qualsiasi altro testointroduttivo di finanza per una analisi piu dettagliata diquella che potro fare in classe.

Nota linguistica

Come potete ben immaginare, in finanza linglese e la lingua piuutilizzata, sia nella teoria che nella pratica. Per questa ragione,manterro in inglese molti termini la cui traduzione, pur possibile,suonerebbe artificiale.

Outline

Notazione e definizione di rendimenti

Probabilita e statisticaProbabilitaStatisticaRegressioniSerie storiche

Massimizzazione

Algebra lineare

Stocks

Fixed income (bonds)NotazioneValore attesoYieldForward ratesHolding period returnsYield curveDurationImmunizzazione

Notazione temporale

I Utilizzeremo pedici per descrivere quando una cosa avviene:e.g., P2014 e il prezzo alla fine dellanno 2014.

I Indicheremo il prezzo al tempo t con Pt , il tasso di interesseal tempo t con Rt , etc.

I Talvolta, quando il timing e particolarmente importante,utilizzeremo una notazione piu precisa: e.g., Rt,t+1 denota iltasso di rendimento dal tempo t al tempo t + 1.

I Oggi e in genere indicato come tempo t = 0.

Rendimenti

I Con R indichiamo il rendimento lordo (o piu comunemente iningelse gross return): e.g.,

R =$ payoff

$ investment.

I Per unazione che paga un dividendo pari a Dt :

Rt+1 =Pt+1 + Dt+1

Pt=

$ payoff at t + 1

$ investment at t.

I Un gross return e un numero come 1.1 per un rendimento del10%.

I Il rendimento netto (o piu comunemente in inglese netreturn) e pari a:

rt+1 = Rt+1 1.I Il rendimento percentuale e:

100 rt+1.

Rendimenti

I Il rendimento log o continuously compounded e pari a:

rt = ln Rt ,

per esempio, ln(1.10) = 0.09531 or 9.531%.

I Il real return corregge per il tasso di inflazione:

R realt+1 =Goods back at t + 1

Goods paid at t.

Rendimenti

I Lindice dei prezzi al consumo e definito come:

CPIt $t

Goodst; t+1

CPIt+1CPIt

.

I Possiamo utilizzare i dati su CPI per trovare i rendimenti reali:

R realt+1 =$t+1

Goodst+1$t+1

$t Goodst$t=

$t+1 1CPIt+1$t 1CPIt

= Rnominalt+1CPIt

CPIt+1=

Rnominalt+1t+1

.

I Quindi, per trovare i rendimenti reali dobbiamo semplicementedividere i gross returns per il gross inflation rate.

Rendimenti

I E lequazione di Fisher? Nota che questa equazione vale per ilog returns:

ln R realt+1 = ln Rnominalt+1 ln t+1.

I E quindi vero solo dopo una approssimazione che possiamofare la stessa cosa per i net returns:

Rnominalt+1t+1

=1 + r nominal

1 + r nominal ,

lapprossimazione e innocua per tassi di inflazione bassi.

Rendimenti

I Utilizzando la stessa idea utilizzata per trovare i rendimentireali, possiamo trovare i rendimenti in dollari di strumentifinanziari denominati in valuta diversa dal dollaro.

I Supponi di avere un titolo italiano che paga un rendimentolordo in Euro (E):

R ITt+1 =E payoff at t + 1

E investment at t.

I Definisci il tasso di cambio come:

e$/Et =$tEt

,

allora:

R$t+1 =$t+1$t

=Et+1

Et

$t+1/Et+1$t/Et

= REt+1e$/Et+1

e$/Et.

Rendimenti capitalizzati (compound returns)

I Supponi di detenere uno strumento che paga il 10% per annoper 10 anni.

I Cosa ottieni con un investimento di $1?

I La risposta corretta non e certo $2 ($1 + 10 0.1), dalmomento che accumuli interessi sugli interessi

I La risposta corretta e data dal rendimento capitalizzato ocompounded (compound return).

Rendimenti composti

I Denota con Vt il valore al tempo t. Allora:

V1 = RV0 = (1 + r)V0

V2 = R (RV0) = R2V0VT = R

TV0.

I Quindi, RT e il compound return.


I Calcolare esponenziali con carta e penna non e sempre facile.Per questa ragione, i log returns sono molto utili.

I Ricorda che:

ln(ab) = ln a + ln b; ln(a2) = 2 ln a.

I Quindi:

ln V1 = ln R + ln V0

ln VT = T ln R + ln V0.

I In altre parole, il compound log return e pari a T volte il logreturn periodale.


I Considera ora un problema multi-periodale. Il T -period returne pari a:

R1 R2 . . . RT ,

mentre il T -period log return e pari a:

ln R1 + ln R2 + . . . ln RT .

I Con i log returns, possiamo anche sottrarre al posto didividere per ottenere i rendimenti reali esatti, o per fareconversioni di valuta:

R real =Rnominal

ln(R real) = ln Rnominal ln .

Rendimento capitalizzato intra-periodale

I Considera un bond che paga il 10% capitalizzato semi-annualmente:i.e., due pagamenti del 5% sono fatti con un intervallo di sei mesi.

I In questo caso, il rendimento complessivo annuale (lordo) e pari a:

(1.05)(1.05) = 1.1025 = 10.25% > 10%.

I E se il rendimento fosse capitalizzato trimestralmente?

(1.025)4 = 1.1038 = 10.38% > 10.25%.

I Capitalizzato N volte:

(1 +r

N)N .

I Se capitalizziamo in maniera continua o istantanea:

limN

(1 +r

N)N = 1 + r +

1

2r2 + . . . = er .

Rendimento capitalizzato intra-periodale

I Se il rendimento capitalizzato lordo e pari a R = er quandocapitalizziamo nel continuo, allora possiamo trovare ilcontinuously compouneded o log return come r = ln R.

I Per esempio: un rendimento dichiarato del 10% capitalizzatonel continuo e in realta un rendimento lordo pari ae10% = 1.1057 = 10.517%.

I Quale il rendimento su tre anni di un titolo che paga unrendimento dichiarato pari a R, capitalizzatosemi-annualmente?

I Deve essere pari a:

(1 +r

2)23.

I In maniera simile, il rendimento capitalizzato nel continuo suT anni e pari a: erT .

Outline



Massimizzazione

Algebra lineare

Stocks


Variabili aleatorie (random variables)

I Modelliamo i rendimenti azionari come random variables.

I Una random variable puo assumere uno tra diversi valori, conuna probabilita associata.

I Per esempio:

Value Probability1.1 1/5

R = 1.05 1/51.00 2/50.00 1/5

I Ogni valore e una delle possibili realizzazioni della randomvariable.

I Nota come le probabilita sommino a 1.

Random variables

I La distribuzione (o density) di una random variable e una listadei valori che puo assumere insieme alle associate probabilita.

I Per esempio, la distribuzione dellesempio precedente puoessere illustrata graficamente come segue:

0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

gross return

pro

babili

ty

Random variables

I Spesso pensiamo a random variables continue, ovvero chepossano assumere un qualsiasi numero reale.

I In maniera simile al caso appena visto di distribuzionediscreta, ora parleremo di distribuzione di probabilitacontinua f (R) (continuos density).

I La density ci dice la probabilita per unita di R: f (R0)R cidice la probabilita che la random variable R sia tra Ro eR0 + R.

I Unipotesi molto comune e che i returns (o i log returns)siano distribuiti come una normale (normally distributed). Inquesto caso la density e data da una funzione specifica:

f (R) =12

exp[ (R )2

22].

Distribuzione normale

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

= 8%, = 16%

Distribuzione normale

I Circa il 30% della probabilita di una distribuzione normale sitrova piu di una standard deviation () dalla media ().

I E circa il 5% si trova piu di due standard deviations dallamedia (per la precisione, la linea del 5% si trova 1.96 standarddeviation dalla media).

I Interpretazione: vi e solo una probabilita pari a 1/20 = 5%di osservare un valore piu di due standard deviations dallamedia di una distribuzione normale.

I I rendimenti azionari hanno fat tails, nel senso che e un popiu facile osservare valori estremi rispetto al caso di unadistribuzione normale.

Momenti

I Spesso riassumiamo il comportamento di una variabilealeatoria attraverso alcuni momenti (moments), come lamedia e la varianza.

I Con Ri denotiamo il valore generico che una random variableR assume con probabilita i .

I La media e definita come:

E (R) = possible values i

iRi ,

e ci dice dove si trova R in media.

I La varianza e definita come:

2(R) = E [(R E (R))2] = i

i [Ri E (R)]2,

e ci dice quanto lontano R sia in genere dalla media.

Momenti

I La covarianza e definita come:

cov (Ra,Rb) = E [(RaE (Ra))(RbE (Rb))] = i

i [Rai E (Ra)][Rbi E (Rb)],

e misura la tendenza di due rendimenti a muoversi insieme.

I Quando la covarianza e positiva (negativa) i rendimenti si muovononella stessa (opposta) direzione. Se la covarianza e zero, non vi enessuna tendenza per un rendimento ad essere elevato quando ilsecondo e basso.

I La dimensione della covarianza dipende dallunita di misura (deirendimenti).

I Il correlation coefficient risolve questo problema:

Corr(Ra, Rb) = =cov(Ra, Rb)

(Ra)(Rb).

I Il correlation coefficient e per definizione tra -1 e 1.

Momenti

I Per random variables nel continuo, le somme diventanointegrali.

I Per esempio, la media diventa:

E (R) =

Rf (R)dR.

I Nel caso di distribuzione normale, la media e pari alparametro e la varianza al parametro 2.

Momenti di combinazioni di random variables

I Le costanti escono dai valori attesi, e il valore atteso di unasomma e pari alla somma dei valori attesi.

I Se c e d sono numeri:

E (cRa) = cE (Ra),

E (Ra + Rb) = E (Ra) + E (Rb).

I Piu in generale:

E [cRa + dRb] = cE (Ra) + dE (Rb).

Momenti di combinazioni di random variables

I La varianza di somme funziona come per calcolare unquadrato:

var(cRa+dRb) = c2var(Ra)+d2var(Rb)+ 2cd cov(Ra, Rb).

I Le covarianza funzionano in maniera lineare:

cov(cRa, dRb) = cd cov(Ra, Rb).

Distribuzioni normali

I Le distribuzioni normali hanno unaltra proprietaparticolarmente utile.

I Combinazioni lineari di random variables distribuite come unanormale sono a loro volta distribuite come una normale.

I Se Ra e Rb sono distribuite come normale, allora:

Rp = cRa + dRb

e anche distribuito come una normale, con media e varianzache seguono le formule viste nelle slides precedenti.

I Nota che possiamo pensare a Rp come il rendimento di unportafoglio composto dai titoli a e b, con pensi c e d .

Distribuzioni log-normali

I Una variabile R e lognormally distributed se r ln(R) enormally distributed.

I Questa e una distribuzione particolarmente utile per azioni eobbligazioni in quanto i (gross) returns sono tali per cui non sipossa perdere piu di quanto si e investito (R > 0).

I Al contrario, se R e distribuito come una normale stiamoimplicitamente assumendo che possa assumere valori negativi.

I Dal momento che R = e lnR = er per definizione, e per casoanche vero che E (R) = eE (r )?

I Certamente no, dal momento che E [f (x)] 6= f [E (x)] ... maqualcosa di non troppo diverso e vero:

E (R) = eE (r )+1/22(r ).


I Per la varianza le cose sono leggermente piu complicate.

I Nota come R2 = e2r e quindi e lognormally distributed.

I Allora:2(R) = e2E (r )+

2(r )[e2(r ) 1].


I Dal momento che combinazioni lineari di normali sononormali, il prodotto di log-normali e distribuito come unalog-normale.

I Per esempio:R1R2 = e

r1+r2 ,

dal momento che r1 e r2 sono normali, allora lo e ancher1 + r2, e quindi R1R2 si distribuisce come una log-normale.

Statistica

I Supponi di non conoscere le probabilita.

I In questo caso devi stimarle in un campione.

I In maniera simile, se non conosci media, varianze, etc. alloradovrai stimarle.

Media campionaria (sample mean)

I La media o media campionaria e pari a:

R =1

T

T

t=1

Rt ,

dove {R1, R2, . . . , RT} e un campione di dati sui rendimentiazionari.

I Tieni a mente la distinzione tra sample mean e la media verao population mean.

I Quando il campione diviene sempre piu grande, la samplemean si avvicina alla population mean. Questa proprieta echiamata consistency.

Varianza campionaria (sample variance)

I La varianza campionaria e pari a:

s2 = 2 =1

T 1T

t=1

[Rt R ]2.

Variazione dei momenti campionari

I Nota come la sample mean, la standard deviation, e altrestatistiche, variano da campione a campione e quindi sonorandom variables.

I Al contrario, la population mean e variance sono solo numeri.


I Iniziamo con la variazione della sample mean.

I Supponiamo che tutti gli Rt siano estratti dalla stessadistribuzione, allora:

R =1

T

T

t=1

Rt

E (R) =1

T

T

t=1

E (Rt) = E (R).

I Questo risultato dimostra come la sample mean sia unbiased:in media, su diversi campioni, la sample mean rivela la veramedia.


I La varianza della sample mean e pari a:

2(R) = 2(1

T

T

t=1

Rt) =1

T 2

T

t=1

2(Rt) + covariance terms.

I Se ipotizziamo che i rendimenti siano i.i.d. (independent andidentically distributed) otteniamo una formula che probabilmentericorderai:

2(R) =2(R)

T,

or

(R) =(R)

T.

I Per i rendimenti azionari, lipotesi che cov(Rt , Rt+1) e abbastanzabuona.


I Supponi ora di non conoscere .

I Puoi stimare la variazione campionaria della sample meanutilizzando la tua stima per , ovvero la standard deviation:

(R) =(R)

T.

I Questa formula e in genere utilizzata per misurare lincertezza dellamedia campionaria, e per testare che la media campionaria siauguale a qualche valore, tipicamente zero (ti ricorda nientelespressione t-test?).

I Questo test e in genere basato su un intervallo di confidenza(confidence interval).

Intervallo di confidenza

I Supponi ora di assumere distribuzioni normali.

I Lintervallo di confidenza per la media e dato dalla sample meanpiu o meno 2 standard errors (per essere precisi: 1.96).

I Interpretazione: se la vera media fosse al di fuori dellintervallo,allora ci sarebbe una probabilita inferiore al 5% di osservare unamedia campionaria grande (o piccola) quanto quella che osserviamo.

I Con la potenza di calcolo dei computer abbiamo ora a disposizioneun metodo piu semplice: il p-value o probability value.

P-value

I Possiamo calcolare la probabilita che la sample mean risulti esserealmeno grande come il valore osservato () data lipotesi nulla.

I Questa operazione e equivalente a calcolare larea al di sotto delladistribuzione della media campionaria passato il valore della mediacampionaria che osserviamo, data una ipotesi (null hypothesis)relativa al vero valore della media.

P-value

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

distribution ofsample mean

hypothesis: the true samplemean is here

sample mean thistime

pvalue = area to the rightof vetical bar

T-test

I In genere, i test sono fatti utilizzando la t-distribution.

I Infatti e possibile dimostrare che il rapporto:

T

R E (R)

si distribuisce come una t-distribution.

Regressioni

I In finanza in genere utilizziamo regressioni del tipo: unrendimento sul rendimento di mercato:

Rt = + Rm,t + et ; t = 1, 2, . . . , T ,

o regressioni multiple di rendimenti sul rendimento di unaserie di portafogli:

Rt = + Rm,t + Rp,t + et ; t = 1, 2, . . . , T .

I Utilizzeremo pacchetti software che utilizzano formulestandard per fare regressioni (per esempio Excel, o Matlab).

I Queste formule sono basate su una serie di ipotesi (che sonoin genere sbagliate per una data regressione!) che e beneavere a mente.

Regressioni

I Ecco una lista di alcuni risultati importanti che riguardano leregressioni:

1. il valore in una popolazione di un singolo coefficiente e:

=cov(y , x)

var(x);

2. la regressione restituisce il vero (o meglio: e unbiased)solo se il termine di errore non e correlato con le variabili adestra delluguale;

3. in una regressione multipla, 1 cattura leffetto su yesclusivamente di movimenti di x1 che non sono correlati conmovimenti di x2.

Regressioni: formule con matrici

I Il modello di regressione lineare e: Y = X + e, dove Y eun vettore (T,1), X e una matrice (T,k), e un vettore(k,1) e e e un vettore (T,1).

I La stima nel modello OLS e pari a:

= (X X )1X Y .

Regressioni: formule con matrici

I Gli standard errors misurano la variabilita di rispetto adiversi campioni:

2() = (X X )12e .

I Questa formula e valida solo se gli errori hanno la stessavarianza e non sono correlati luno con laltro.

I Per stimare questa quantita iniziamo dal trovare gli errori:e = Y X per poi formare la varianza degli erroris2 = var(e).

I Quindi:2() = (X X )1s2.

R-square

I Una volta ottenuti gli errori, possiamo anche calcolare ilR-square:

R2 =var(X )

var(Y )= 1 var(e)

var(Y ).

Cosa accade se gli errori hanno diversa varianza, o sonocorrelati? (1/2)

I Ricorda come si calcola la varianza di :

2() = 2[(X X )1X Y ]

= 2[(X X )1X (X + e)]

= 2[(X X )1X e]

= E [X X )1X eeXX X )1]

I Nellultima riga abbiamo utilizzato lipotesi che E (e) = 0 e laformula var(Ax) = Acov(x , x )A.

Cosa accade se gli errori hanno diversa varianza, o sonocorrelati? (2/2)

I Definisci = E (ee).I Allora:

2() = (X X )1X X (X X )1. (1)

I Se i 2(et) sono tutti identici (per ogni t) e (etes) = 0 (noncorrelati) allora e diagonale:

E (ee) = = 2e I ,

e la formula e quella standard.

I Altrimenti dobbiamo utilizzare la formula (1) con .

Regressioni GLS

I Se 6= 2I , allora la stima GLS e piu efficiente:

GLS = (X1X )1X 1Y .

I In practica, la procedura GLS funziona come segue:

1. fai una OLS;2. trova e;3. usa e per stimare ;4. fai una GLS.

Regressioni GLS

I Gli standard errors di una stima GLS sono:

(GLS ) = (X1X )1.

I Dimostrazione:

(GLS ) = 2[(X 1X )1X 1Y ]

= 2[(X 1X )1X 1(X + e)]

= 2[(X 1X )1X 1e]

= E [(X 1X )1X 1ee1X (X 1X )1] (2)

OLS vs. GLS

I Quando gli errori non soddisfano lipotesi OLS ( 6= 2e I ),allora GLS e piu efficiente.

I Questo significa che per un T grande, abbiamo che(GLS ) < (OLS ).

I Tuttavia, e abbastanza comune in finanza utilizzarecomunque le stime OLS:

1. OLS e comunque unbiased (non distorto): E (OLS ) = .2. OLS e potenzialmente inefficiente, ma questa caratteristica

non e sempre vitale.3. Perch utilizziamo comunque OLS? Perche talvolta invertire

una matrice 1 puo creare problemi.

OLS vs. GLS

I Nota che sebbene in finanza sia comune luso di OLS, questonon significa che si utilizzi la standard error formula.

I Se 6= 2e I , allora la standard formula OLS e distorta etroppo ottimistica.

I Per questa ragione, se usiamo stime OLS, allora e importanteutilizzare la formula generale (1) o qualche proceduraequivalente (cf. Fama-MacBeth).

Serie storiche

I Una serie storica (time series) e un insieme di osservazioniripetute di una random variable: per esempio, il rendimento diun titolo azionario i ogni mese per un dato intervallotemporale.

I Denotiamo una time series come: x1, x2, . . . , xt , . . ..I Time series hanno medie e varianze: E (xt) e 2(xt).

Momenti condizionali vs. non-condizionali

I A volte le time series si muovono lentamente nel tempo(temperatura, price-earning ratios, etc.); altre volte sono menoprevedibili (stock returns, una serie di lanci di una monetina).

I Queste proprieta sono catturate dalle conditional mean evariances.

I Per esempio, utilizzando tutta linformazione disponibile a t,quale e la media di xt+1? Possiamo scrivere la stessadomanda come Et(xt+1), o E (xt+1|It), dove con It si indica ilinformation set.

I Al contrario, le mean e variances regolari sono chiamateunconditional.

White noise

I Il blocco di partenza di un modello time series e il cosiddettoprocesso white noise, in genere indicato con e.

I Un white noise e come il lancio di una moneta, ovverocompletamente imprevedibile nel tempo.

White noise

I Iniziamo con un white noise a media zero:

Et(et+1) = E (et+1),

e conditional variance costante:

2t (et+1) = 2(et+1) =

2e .

I Chiaramente, la autocorrelation del white noise e pari a zero:

corr(et , et+j ) = corr(et , etj ) = 0.

I Dal momento che abbiamo ipotizzato un processo a mediazero, possiamo anche scrivere:

E (etet+j ) = E (etetj ) = 0.

Processo MA

I Utilizzando come punto di partenza il white noise, possiamoora costruire un processo moving average o processo MA.

I Il processo MA(1) e:

xt = et + et1.

I In maniera simile, il processo MA(2) e:

xt = et + 1et1 + 2et2.

Processo MA

I Il processo MA(1) introduce persistenza, e serve a catturare ilfatto che la conditional mean possa essere diversa dallaunconditional mean:

Et(xt+1) = Et(et+1 + et) = et

Et(xt+2) = Et(et+2 + et+1) = 0

I Il processo MA(2) ricorda shocks per 2 periodi.

Processo MA

I Trucco per lavorare con processi MA: elementi con indiceminore o uguale a t sono noti al tempo t e quindi sono solonumeri, non random variables: rimangono nella formula per laconditional mean. Elementi con indice maggiore di t sonoinvece random variables con conditional mean pari a zero.

Processo MA

I Le conditional mean per un processo MA(1) sono:

2t (xt+1) = 2t (et+1 + et) =

2e

2t (xt+2) = 2t (et+2 + et+1) = (1 +

2)2e2t (xt+3) =

2t (et+3 + et+3) = (1 +

2)2e2t (xt+j ) =

2t (et+j + et+j1) = (1 +

2)2e ; j 3

I Nota che abbiamo utilizzato il fatto che gli et non sonocorrelati nel tempo e hanno la stessa conditional variance adogni orizzonte.

Processo MA

I Il processo MA(k) ha un memoria di k periodi: dopo k periodidimentica da dove viene.

I Nella slide che segue, rappresento graficamente la conditionalmean e variance di un processo MA(2), ipotizzando1 = 2 = 1 e et = et1 = et2 = 1.

Processo MA

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

j periods ahead

Conditional mean and standard deviation of MA(2)

E

t (x

t+j)

t (x

t+j)

Medie e trends

I Molte time series non si muovono attorno a un trend a mediazero.

I Per tenerne in conto, possiamo semplicemente aggiungere unacostante:

xt = + et + 1et1,

in modo che tutto si sposti parallelamente verso lalto di .

I Alcune time series (per esempio, il PIL) hanno un trendpositivo nel tempo t:

xt = a + b t + et + 1et1.

Modelli AR

I Una diversa strada per complicare il modello white noise einvece quella del processo autoregressivo o processo AR.

I Il processo AR(1) e:

xt = xt1 + et .

I Il processo AR(2) e:

xt = 1xt1 + 2xt2 + et .

Modelli AR

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

j periods ahead

Conditional mean and standard deviation of AR(1)

E

t (x

t+j)

t (x

t+j)

Modelli AR

0 5 10 15 20 25 30 35 408

6

4

2

0

2

4

6Simulations of AR(1)

rho = 0.1

rho=0.9

Modelli AR

I Nota come:

1. la conditional mean decade geometricamente verso launconditional mean;

2. la conditional standard deviation aumenta lentamente e tendealla unconditional standard deviation;

3. valori maggiori di inducono una maggiore persistenza nellatime series.

Fittare un modello

I Per iniziare, cosa significa fittare un modello? Per esempio,capire quale processo AR o MA meglio descrive unatime-series (stock returns, etc.).

I I processi AR sono particolarmente convenienti perchepossono essere fittati con una semplice regressione(aggiungendo una constante).

Modelli piu complessi (1/2)

I Il valore futuro di una variabile, xt , potrebbe essere legato ai valoripassati di unaltra variabile yt .

I Per esempio: sembra sia possibile prevedere i rendimenti azionariattraverso il D/P ratio oltre che utilizzando rendimenti passati.Possiamo modellizzare questo risultato attraverso un multi-variableAR(1):

xt = x + xxxt1 + xyyt1 + ext

yt = y + yxxt1 + yyyt1 + eyt

I Possiamo scrivere la stessa cosa in forma compatta attraverso unavector autoregression (VAR):

zt = + Azt1 + et

zt =

[xtyt

]; =

[xy

]; A =

[xx xyyx yy

]; et =

[exteyt

],

che possiamo fittare attraverso due regressioni OLS separate.

Modelli piu complessi (2/2)

I Supponi invece di volere modellare una time series che mostripersistenza nella volatilita come nella media.

I I modelli visti fino ad ora non sono adatti, in quanto t(xt+1) econstante.

I ARCH e GARCH sono modelli adatti a questo scopo.

I Per esempio, i tassi di interesse sono piu volatili quando i tassi diinteresse sono elevati. Possiamo rappresentare questaipotesi/evidenza in un modello di term structure come segue:

xt+1 = + xt +

xtet+1.

I In questo modello, quando il livello di x e elevato, anche laconditional variance e elevata (questo modello e chiamato squareroot ).

Outline



Massimizzazione

Algebra lineare

Stocks


Massimizzazione

I Tipico problema in finanza:I Quanto un investitore deve consumare vs. risparmiare?I Quale asset deve comprare?

I Questi problemi sono risolti attraverso la massimizzazione diuna funzione obiettivo (utilita) soggetta a un vincolo dibilancio (i.e., linvestitore ha una certa quantita di risorse).

Massimizzazione vincolata

I Considera questo semplice esempio: un consumatore vuolemassimizzare lutilita che deriva da due beni, mele X epesche Y dato un vincolo di bilancio:

max{X ,Y }

U(X , Y ) s.t. PXX + PY Y = W .

I Per potere risolvere numericamente questo problema, supponiche la funzione di utilita sia log e separabile nei due beni:

max{X ,Y }

[log(X ) + a log(Y )] s.t. PXX + PY Y = W .

Soluzione per sostituzione (1/3)

I Quando il problema e cosi semplice, possiamo utilizzare il vincolo esostituire per uno dei due beni:

max{X ,Y }

[log(X ) + a log(W PXX

PY)].

I Troviamo quindi il massimo ponendo la derivata della funzioneobiettivo rispetto alla variabile di scelta pari a zero (in genere,questa derivata e definita come first order condition o FOC):

d

dX{log(X ) + a log(W PXX

PY)} = 0

1

X a PX

PY

PYW PXX

= 0

1

X=

aPXW PXX

W PXX = aXPXW = (a + 1)PXX

X =W

(1 + a)PX


I La soluzione X = W(1+a)PX

e una curva di domanda: quanto

un investitore domanda del bene X data la sua ricchezza, ilprezzo del bene, e potenzialmente i prezzi degli altri benidisponibili.

I Nota come la domanda abbia una pendenza negativa: sePX , allora X .

I Il fatto che PY non entri nella curva di domanda e unrisultato che dipende dalla scelta della funzione di utilita log.

I In generale, infatti, la domanda di un bene dipende dal prezzorelativo PX /PY .


I Per trovare Y , utilizza il vincolo e la soluzione per X :

Y =W PXX

PY=

a

1 + a

W

PY.

Soluzione per Lagrangiano (1/4)

I La soluzione per sostituzione funziona bene quando il numero dibeni tra cui scegliere e limitato.

I Ovviamente, quando abbiamo molti beni (pensa per esempio a titoliazionari!) tra cui scegliere, il metodo per sostituzione e pocoadatto.

I In questo caso, e meglio risolvere il problema utilizzando ilLagrangiano.

I Ecco come funziona:

1. aggiungi (o sottrai) volte il vincolo del problema;2. differenzia rispetto a X , Y e il associato al vincolo;3. risolvi il sistema di tre equazioni che ne risulta.


I Applicando il metodo al nostro esempio:

max{X ,Y ,}

U(X , Y ) (PXX + PY Y W )

X :U

X= PX

Y :U

Y= PY

: PXX + PY Y = W

I Combinando le prime due equazioni otteniamo una relazioneclassica: saggio marginale di sostituzione uguale al rapporto tra iprezzi:

U/XU/Y

=PXPY

.


I Con log utility:

1

X= PX X =

1

PXa

Y= PY Y =

a

PYPXX + PY Y = W

I Sostituisci X e Y nel vincolo e risolvi per :

PX (1

PX) + PY (

a

PY) = W

(1

) + (

a

) = W

=1 + a

W


I E ora utilizza (anche chiamato shadow price del vincolo) pertrovare X e Y :

X =1

PX=

W

1 + a

1

PX

Y =a

PY=

aW

1 + a

1

PY

I Commento: il risultato e chiaramente lo stesso ottenuto con ilmetodo di sostituzione, ma utilizzare il Lagrangiano e piu elegante,consente di trattare X e Y in maniera simmetrica ed e il metododa utilizzare in problemi di portafoglio in cui il numero delle variabilidi scelta e elevato.

Outline



Massimizzazione

Algebra lineare

Stocks


Algebra lineare

I Supponi di dovere considerare 25 portfolios, 3 risk factors, 600 mesidi dati, etc.

I Se non vuoi impazzire, dovrai fare affidamento allalgebra lineare eorganizzare i dati in matrici.

I Una matrice e semplicemente un insieme rettangolare di dati (comeun range di celle in Excel):

A =

a b cd e fg h ij k l

I La dimensione di una matrice e data dal numero di righe e colonne.

Per esempio, la matrice A e di dimensione (4, 3).

I Un vettore e un caso speciale di matrice con una sola colonna.

I Per sommare matrici (della stessa dimensione) basta sommare glielementi corrispondenti.

Algebra lineare

I La moltiplicazione tra matrici e piu complicata.

I Date due matrici A, di dimensione (mA, nA), e B, di dimensione(mB , nB ), la regola e che la moltiplicazione AB e possibile quandoil numero di colonne della prima matrice e lo stesso del numero dirighe della seconda matrice (nA = mB ).

I Se la moltiplicazione e possibile, allora si procede moltiplicandoogni riga della prima matrice per le colonne della seconda matrice esommando quindi gli elementi.

Algebra lineare

I Esempio:

A =

[a b cd e f

]; B =

g hi jk l

.I Allora AB e pari a:

AB =

[a b cd e f

] g hi jk l

= [ag + bi + ck ah + bj + cldg + ei + fk dh + ej + fl

].

Algebra lineare

I Molte regole della moltiplicazione standard valgono anche per quellatra matrici.

I Per esempio: (A + B)C = AC + BC .

I Una grande differenza e che AB 6= BA.I La matrice identita I e la matrice equivalente al numero 1 per gli

scalari, ed e una matrice quadrata con tutti 1 sulla diagonaleprincipale e 0 nelle altre posizioni.

I Considera una matrice identita I = I3, con tre righe e tre colonne.

I Nota che: AI = IA = A per ogni A.

Matlab e matrici

I Matlab e un software basato sullalgebra lineare (Matlab sta permatrix laboratory).

I In Matlab e comunque possibile effettuare la moltiplicazioneelemento per elemento per matrici con la stessa dimensione.

I Questa operazione e chiamata dot product e il comando e .I In maniera simile, puoi effettuare una divisione elemento per

elemento con il comando ./

I Per fare la trasposta di una matrice, utilizziamo il comando prime :

A =

[a bc d

] A =

[a cb d

].

Algebra lineare

I Una matrice si dice simmetrica quando gli elementi non sulladiagonale sono gli stessi, in modo che la matrice sia uguale alla suatrasposta.

I Il trasposto di un vettore colonna e uguale a un vettore riga.

I Quando moltiplichiamo una matrice quadrata per un vettoreotteniamo un altro vettore:

Ax =

[a bc d

] [ef

]=

[bf + aedf + ce

]= y .

I Quando moltiplichiamo un vettore riga per una matrice quadrataotteniamo un altro vettore riga:

x A =[ef] [a b

c d

]=[cf + ae df + be

]= y .

Algebra lineare

I Il prodotto di un vettore riga per un vettore colonna e uguale a unoscalare. Questa operazione e in genere chiamata inner product.

I Loperazione inversa, il prodotto di un vettore colonna per unvettore riga produce una matrice. Questa operazione e in generechiamata outer product.

I Un oggetto molto utile e la forma quadratica. Anche questaoperazione produce un numero, e in genere e fatta con una matricesimmetrica al centro:

x Ax =[e f

] [a bb d

] [ef

]= [ae2 + df 2 + 2bef ].

Inversione di una matrice

I Supponi di avere Ax = b, con A una matrice e x e b vettori.

I Sarebbe comodo potere fare qualcosa del tipo: x = A1b.

I La matrice inversa ha la proprieta che:

AA1 = A1A = I .

I Perche una matrice sia invertibile, deve essere quadrata e deveessere full rank (ricorda: il suo determinante deve essere diverso da0, o le sue colonne devono essere linearmente indipendenti), il cheequivale a dire che non si puo dividere per zero nel caso degliscalari.

I Per il caso di matrici di dimensioni 2 2 esiste una formulasemplice:

A1 =

[a bc d

]1=

1

ad bc

[d bc a

].

I Nota: il determinante di A e ad bc: questa e la ragione per cuiabbiamo bisogno della condizione di full rank!

Esempio 1

I Supponi di volere formare un portfolio Rp a partire da un insieme diassets R1, R2, . . . , RN , con pesi w1, w2, . . . , wN .

I Possiamo scrivere:

Rp = w1R1 + w2R

2 + . . . + wNRN =

N

i=1

wiRi .

I O possiamo usare una notazione compatta:

Rp = w R,

dove: w1w2...

wN

; R =

R1

R2

...

RN

.

Esempio 2 (1/2)

I In finanza e molto comune lavorare con varianze.

I Possiamo conservare linformazione sulle varianze di x and y e sullaloro covarianza in una covariance matrix:[

2(x) cov(x , y)cov(x , y) 2(y)

].

I Supponi che x e y siano elementi del vettore z :[xy

],

allora possiamo pensare alla varianza di z come:

E (zz ) = E (

[xy

][xy ]) =

[E (x2) E (xy)E (xy) E (y2)

].

I Se x e y hanno media zero, allora questa e la covariance matrix.

Esempio 2 (2/2)

I Se z non e a media zero, allora la formula standard2(z) = E (z2) E (z)2 funziona e

cov(z , z ) = E (zz ) E (z)E (z ).

I Utilizziamo forme quadratiche per trovare la varianza di unportafoglio data la varianza dei rendimenti sottostanti.

I Con R a media zero:

var(w R) = E ((w R)(R w)) = w E (RR )w .

I Nota: i w sono numeri, gli R sono random, cosi che i numeripossono uscire dalloperatore valore atteso.

Outline



Massimizzazione

Algebra lineare

Stocks


La fallacia della time-diversification

I E molto comune sentire dire che un investitore dovrebbe mantenerelinvestimento in azioni for the long run, in quanto i loro rendimentisono piu stabili su un orizzonte temporale lungo (per esempio,Jeremy Siegel e un fautore di questa tesi).

I Ma e vero?

I Iniziamo dalla definizione di 2-period gross return:

R0,2 = R0,1R1,2.

Quindi, in logs:ln R0,2 = ln R0,1 + ln R1,2.

La fallacia della time-diversification

I Quali sono la media e la standard deviation del 2-period return,assumendo che i rendimenti medi siano gli stessi ogni anno e che irendimenti siano indipendenti nel tempo?

E (ln R0,2) = E (ln R0,1) + E (ln R1,2) = 2E (ln R)

2(ln R0,2) = 2(ln R0,1) +

2(ln R1,2) = 22(ln R)

I Nota: il rapporto tra rendimento medio e varianza dei rendimenti eindependente rispetto allorizzonte temporale (i.e., il 2 si cancella).

Da dove proviene questa fallacia?

I Considera ora il rendimento annualizzato (periodale):

Rann0,2 = (R0,1R1,2)1/2,

quindi:

ln Rann0,2 =1

2(ln R0,1 + ln R1,2).

I In questo caso:

E (ln Rann0,2 ) =1

2[E (ln R0,1) + E (ln R1,2)] = E (ln R)

2(ln Rann0,2 ) = 2[

1

2(ln R0,1 + ln R1,2)] =

1

4[22(ln R)] =

1

22(ln R).

I Quindi, la media del rendimento annualizzato non varia al variaredellorizzonte, ma la varianza del rendimento annualizzatodiminuisce quando lorizzonte aumenta.

I Ma ... che importa che la varianza del rendimento annualizzatodiminuisca? Come investitore dovresti essere interessato alrendimento totale!

Outline



Massimizzazione

Algebra lineare

Stocks


Notazione

I Dobbiamo distinguere bond con diverse scadenze (maturity).

I Denotero la maturity con un indice tra parentesi: peresempio, P (4) e il prezzo di un 4-year zero-coupon bond.

I Nota: uno zero coupon e un bond che non paga coupons, masolo il valore facciale a scadenza.

I Tutti i log sono log naturali (i.e., base e).

Valore atteso

I Iniziamo ignorando lincertezza: tutti i flussi di cassa futurisono noti (no default risk) e tutti i tassi di interesse futurisono noti.

I Un qualsiasi bond rappresenta un diritto su una sequenza diflussi di monetari: {CF1, CF2, . . . , CFN}.

I Possiamo scrivere il suo valore come:

P =N

j=1

CFjR0R1 . . . Rj1

,

dove R0 e il tasso di interesse da 0 a 1, etc.

Valore attesoI Problemi con questa formula: dove prendiamo il tasso di

interesse Rj?I Supponi di conoscere i tassi di interesse che le banche

applicheranno e che i tassi per prendere e dare a prestito sianogli stessi, allora questi sono i tassi da utilizzare (perarbitraggio). Tuttavia, questa situazione accade purtropposolo nei libri di testo!

I Piu comunemente, potrai utilizzare il prezzo di mercato dizero-coupon bonds. Questi dovrebbero essere uguali a:

P (N) =1

R0R1 . . . RN1.

I In questo caso, possiamo applicare questi prezzi alla formulaper un bond generico con flusso di cassa CFj :

P =N

j=1

P (j)CFj .

Valore atteso

I Nota che la formula

P =N

j=1

P (j)CFj ,

afferma che ogni bond puo essere replicato attraverso unacombinazione (o portfolio) di zero-coupon bonds.

I Nota anche che possiamo fare inferenza sui prezzi degli zero apartire dai prezzi dei coupon bonds (se, per esempio, nonabbiamo il prezzo di mercato degli zero), e quindi possiamoutilizzare il prezzo di questi zero per prezzare altri couponbonds.

Yield

DefinitionLo yield (to maturity, or YTM) e definito come il tasso di interessecostante, e fittizio, annuale che giustifica il prezzo di mercato di unbond, sotto lipotesi che il bond non possa andare in default.

Yield

I Nota che la definizione di yield della slide precedente eleggermente diversa - ma sostanzialmente uguale - rispetto aquella che forse ricordi (per esempio, la YTM e il tassocostante che eguaglia il prezzo di un bond al valore presentescontato dei suoi flussi di cassa).

I In maniera piu formale, lo yield di uno zero coupon bond e ilnumero Y (N) che soddisfa:

P (N) =1

[Y (N)]N.

I Quindi:

Y (N) =1

[P (N)]1/N; ln Y (N) = 1

Nln P (N).

Yield

I In generale, lo yield di un qualsiasi flusso di pagamenti e quelvalore costante Y che soddisfa:

P =N

j=1

CFjY j

.

I In pratica, dovrai cercare numericamente quel valore Y cherisolve lequazione dati i flussi di cassa e il prezzo.

I Fino a che tutti i flussi di cassa sono positivi, questaoperazione e abbastanza semplice utilizzando un computer.

I Per riepilogare, lo yield e una maniera conveniente perquotare il prezzo di un bond.

Forward rate

DefinitionIl forward rate e il tasso di interesse che puoi fissare oggi perprendere o dare a prestito denaro a partire dal periodo N, darestituire al periodo N + 1.

Forward rate

I A partire dal prezzo di zero-coupon bonds, possiamo trovare ilprezzo implicito dei tassi futuri, o tassi forward.

I Ricorda che:

P (N) =1

R0R1 . . . RN1.

I Allora:

RN =P (N)

P (N+1).

I Per quale ragione questo e un tasso forward? La maniera piusemplice per capirlo e iniziare con il sintetizzare un contrattoforward utilizzando un insieme di zero coupon bonds (vedislide successiva).

Forward rate

I Supponi di avere comprato 1 N-period zero e contestualmentedi avere venduto una quantita x di N + 1-period zero couponbonds.

I Quali sono i flussi di cassa per ogni periodo?

Forward rate

Buy N-period zero Sell x N+1-period zeros Net cash flow

Today 0 P(N) +xP(N+1) xP(N+1) P(N)Time N 1 1Time N+1 x x

Forward rate

I Ora non devi che scegliere la quantita x in modo che il flussonetto iniziale sia pari a 0:

x =P (N)

P (N+1).

I Quindi, non paghi o ricevi niente oggi, ricevi 1 al tempo N epaghi P (N)/P (N+1) al tempo N+1. Hai appena sintetizzatoun contratto firmato oggi per un prestito da N a N+1, ovveroun forward contract!

I Per riepilogare:

FN = Forward rate N N + 1 =P (N)

P (N+1),

e:ln FN = ln P

(N) ln P (N+1).

Forward rate

I Quando sono utili i forward rates?I Esempi:

1. Stai pianificando un investimento che richiede di prendere aprestito nel futuro e vuoi fissare oggi il tasso di interesse.

2. Pensi di sapere in che direzione andranno i tassi di interesse evuoi speculare.

Holding period returns

I Supponi ora di comprare al tempo t un N-period bond per poivenderlo dopo un periodo, quando la maturity sara N-1.

I Il tuo rendimento e pari a:

HPR(N)t+1 =

P(N1)t+1

P(N)t

,

e:ln HPR

(N)t+1 = ln P

(N1)t+1 ln P

(N)t .

I Attenzione alla notazione: utilizziamo lindice t + 1 perquesto rendimento (da t a t + 1) in quanto e realizzato altempo t + 1.

Yield curve

DefinitionLa yield curve (o curva dei tassi a termine) e un grafico degliyields di zero coupon bonds come funzione della loro maturity.

Yield curve senza incertezza

I Supponi ora di sapere in che direzione stanno andando i tassidi interesse (o gli yields futuri su 1-period bonds). Allora laformula del valore attuale e:

P(N)0 = (

1

R0

1

R1. . .

1

RN1) = (

1

Y(1)0

1

Y(1)1

. . .1

Y(1)N1

).

I Ricorda la definizione di yield:

P (N) =1

[Y (N)]N.

I Quindi:Y

(N)0 = (Y

(1)0 Y

(1)1 . . . Y

(1)N1)

1N ,

che e equivalente al dire che lo yield su un N-period zero epari alla media geometrica dei tassi di interesse futuri.

Yield curve senza incertezza

I Se non ti piace la media geometrica, e preferisci qualcosa dipiu compatto, prendi i logs dellultima equazione della slideprecedente:

ln Y(N)0 =

1

N(ln Y

(1)0 + ln Y

(1)1 + . . . + ln Y

(1)N1),

o, il log yield su un N-period zero e pari alla media aritmeticadei tassi di interesse futuri.

I Interpretazione:I La parte a destra delluguale della formula rappresenta una

maniera di portare un dollaro da oggi a N periodi da oggi,facendo roll-over di 1-period bonds.

I La parte a sinistra delluguale esprime una maniera alternativadi portare un dollaro da oggi a N periodi da oggi, macomprando un N-period zero coupon bond (a lungo termine).

I Senza incertezza, per arbitraggio, queste due strategie devonorestituire lo stesso rendimento.

Yield curve con incertezza

I Come cambiano le cose se non conosciamo i tassi futuri?

I Se gli investitori sono abbastanza neutrali rispetto al rischio,allora acquisteranno N-period zeros o faranno roll-over di1-period bonds a seconda di quale delle due strategiepromette una migliore performance in media.

I Nota che laffermazione di cui sopra non si basa unacondizione di arbitraggio pura, dal momento che non ci sonoprofitti sicuri da potere fare.

I Possiamo poi aggiungere un fattore che catturi il risk premium(premio al rischio) in modo da assorbire eventuali errori.


DefinitionIl N-period yield e la media degli yield periodali futuri attesi, conlaggiunta possibile di un risk-premium.


I In maniera piu formale:

Y(N)0 = E0[(Y

(1)0 Y

(1)1 . . . Y

(1)N1)

1N ] + risk premium,

o:

ln Y(N)0 =

1

NE0(ln Y

(1)0 + ln Y

(1)1 + . . .+ ln Y

(1)N1)+ risk premium.

I Nota che le espressioni di cui sopra sono tautologie a menoche non caratterizziamo il risk-premium.

I Prova a ricordare la expectation hypothesis: il risk-premiumnon e in genere presente quindi e una buonaapprossimazione quando il premio al rischio e piccolo e nonvaria molto nel tempo.

I Modelli piu avanzati della term-structure cercano proprio diquantificare la dimensione e i movimenti del termine checattura il premio al rischio.

Forward yield curve

I Supponi ora che avevamo ragione e conoscevamocorrettamente i tassi di interesse futuri.

I In questo caso, per arbitraggio deve essere vero che:

F (N) = RN,N+1,

o che il forward rate e pari al tasso spot futuro.

Forward yield curve

I Nota come il fatto che il forward rate sia pari al tasso spot futuroimplica la yield curve.

I Inizia con il prendere in esame il forward rate nel periodoimmediatamente successivo a quello odierno: F (1) = R1,2.

I Sostituisci il forward rate nella formula per il forward rate:

P(1)

P(2)= R1,2.

I Utilizza R0,1 = 1/P (1) e Y (2) = 1/

P (2):

[Y (2)]2 = R0,1R1,2 Y (2) = [R0R1]1/2.

I Con incertezza, aggiungi il risk premium: forward rate = expectedfuture spot rate + risk premium.

Holding period return yield curve

I Considera ora due strategie per portare del denaro da oggi adomani:

1. mantieni un N-period zero coupon bond per un periodo,vendilo come N-1-period zero coupon bond.

2. mantieni un 1-period zero coupon bond per un periodo.

I Se gli investitori (o i bond traders) sono neutrali rispetto al rischio,ci attendiamo che il rendimento di queste due strategie sia lo stesso,eccetto per un piccolo premio al rischio.

I In maniera formale:

E0(HPR(N)t+1) = E0(HPR

(M)t+1 ) + risk premium.

Holding period return yield curve

I Anche il risultato che gli HPR attesi per bond con diverse scadenzesono gli stessi implica la yield curve.

I Per comprendere questa affermazione, considera il caso senzaincertezza:

HPR(2)1 = HPR

(1)1

P(1)1

P(2)0

=1

P(1)t

[Y(2)0 ]

2

Y(1)1

= Y(1)0

Y(2)0 = [Y

(1)0 Y

(1)1 ]

1/2.

Duration

I Ora sappiamo come trovare il valore di un bond.

I Come varia questo valore quando il tasso di interesse varia?

I La duration e la risposta a questa domanda: e la misuraprincipale di sensibilit del prezzo di un bond a movimenti neltasso di interesse.

Duration

I La duration misura la sensitivita dei prezzi (P) agli yields (Y). Inmaniera formale:

D = % Change in P% Change in Y

= YP

dP

dY= d ln P

d ln Y.

I A partire dalla definizione di cui sopra, e molto facile trovare laduration per uno zero-coupon bond:

P (N) =1

Y N

YP

dP

dY=

Y

PN

1

Y N+1= N.

I Quindi, per gli zeros: duration = maturity.

Duration

I Per coupon bonds, ricorda che P = Nj=1CFjY j

.

I Applica la formula per la duration:

YP

dP

dY=

Y

P

N

j=1

jCFj

Y j+1=

1

P

N

j=1

jCFj

Y j=

N

j=1

jCFj/Y j

Nj=1 CFj/Y j.

I Questo e lo stesso che dire:

Duration = cash flows

duration of cash flows value of cash flowtotal value

.

Duration

La duration per ogni bond = media ponderata delle durations deiflussi di cassa individuali.

Duration

I Nota come la duration di un coupon bond e inferiore alla maturity.

I La modified duration e la variazione percentuale per un puntopercentuale di variazione nello yield, al posto che una variazione paria un percento nello yield:

M-duration % in P in Y

= 1P

dP

dY=

1

Y(Y

P

dP

dY) =

1

Yduration.

Immunizzazione

I Come possiamo costruire un portafoglio in modo che non siasensibile a variazione dei tassi di interesse?

1. Dedicated portfolio: per ogni flusso di cassa di attivita opassivita compra o vendi uno zero-coupon bondcorrispondente. Nota come questa strategia sia in generecostosa in quanto richiede molti acquisti e vendite.

2. Duration matching: modifica due attivit o passivit in modoche 1) il valore attuale degli attivi = valore attuale dellepassivita e 2) la duration degli attivi = la duration dellepassivita. In questo caso la posizione totale sara insensibile(immunizzata) rispetto a variazioni nel tasso di interesse.

Notazione e definizione di rendimentiProbabilita' e statisticaProbabilita'StatisticaRegressioniSerie storiche

MassimizzazioneAlgebra lineareStocksFixed income (bonds)NotazioneValore attesoYieldForward ratesHolding period returnsYield curveDurationImmunizzazione

Slides AM Nozioni Finanziarie

Documents

Transcript of Slides AM Nozioni Finanziarie