Sistemi non lineari Definizione e caratteristiche

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Un sistema è non lineare se almeno una delle sue equazioni è di grado superiore al primo. In particolare:

• in un sistema di secondo grado tutte le equazioni sono di primo grado tranne una che è di secondo;

• in un sistema di terzo grado tutte le equazioni sono di primo grado tranne una che è di terzo;

Per risolvere un sistema non lineare si applicano i principi di sostituzione e di riduzione.

Principio di sostituzione. Se in un sistema si sostituisce ad una incognita la sua espressione ricavata da un’altra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

Principio di riduzione. Se in un sistema si sommano membro a membro le sue equazioni (tutte o solo alcune) e si sostituisce l’equazione ottenuta ad una di esse, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

Sistemi non lineari Sistemi di due equazioni

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Se nel sistema è presente un’equazione di primo grado, conviene ricavare l’espressione di una delle incognite da tale equazione e sostituire poi nell’altra.

ESEMPIO

Si tratta di un sistema di terzo grado. Ricaviamo una delle incognite dall’equazione di primo grado, ad esempio la y, e sostituiamo il valore ottenuto nell’altra.

05928747

22 xxxxxy

09283347

23 xxxxy

continua

22 592847

xxyxxy 1° grado

2° grado

Sistemi non lineari Sistemi di due equazioni

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4x2 37x 9 x 1 0

Il polinomio di terzo grado al primo membro della seconda equazione può essere scomposto in fattori mediante la regola di Ruffini, tenendo presente che è P(−1) = 0

Le sue soluzioni sono

1 , 1

4 , 9.

continua

4 −33 -28

−4 37

9

−9

04

−1

−37 9

Sistemi non lineari Sistemi di due equazioni

4

Risostituendo i valori trovati nell’espressione di y otteniamo le tre coppie soluzioni del sistema

Quindi

2 ,9 ;

427 ,

41 ; 8 ,1S

29

427

41

81

yx

y

x

yx

Sistemi non lineari Sistemi di più equazioni

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Per risolvere un sistema con più di due equazioni si procede in modo analogo cercando di ricavare le variabili dalle equazioni di primo grado se ci sono.

ESEMPIO

021234

05

zyxzyxxzxyx

Svolgiamo i calcoli

yxz

yxyx

xyxxyx

2

12234

052

I passo: ricaviamo z dalla terza equazione e sostituiamola nelle altre due:

yxzyx

yxxxy

212

0242

continua

Le sostituzioni si eseguono una alla volta.

Sistemi non lineari

6

Svolgiamo i calcoli

II passo: ricaviamo y dalla seconda equazione e sostituiamola nella prima:

yxzxy

xxxxx

212

0122412 2

yxzxyxx

212

022

Risolviamo la prima equazione:

2 1 02 1 022

xxxxxx

Sostituendo i valori di x e poi di y nelle altre equazioni del sistema troviamo le due terne di soluzioni:

731

zyx

832

zyx

Sistemi di più equazioni

Sistemi non lineari Sistemi simmetrici

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Si dice simmetrico un sistema di due equazioni nelle due incognite x e y che rimane invariato se x si scambia con y.Se un sistema simmetrico ammette come soluzione la coppia (a, b), allora ammette anche la coppia (b, a).

pxysyx

dove s e p sono numeri reali.

Un sistema simmetrico di secondo grado è sempre riconducibile alla forma

Questo sistema è il modello algebrico di un problema che abbiamo già affrontato nel capitolo relativo alle equazioni di secondo grado: trovare due numeri x e y conoscendo la loro somma s ed il loro prodotto p.

Sistemi non lineari Sistemi simmetrici

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Risoluzione di un sistema simmetrico

1. Applicando il metodo di sostituzione

2. Utilizzando l’equazione di secondo grado associata

t2 st p 0

Sistemi non lineari Sistemi simmetrici

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ESEMPIO (metodo 1)

54

xyyx

Ricava x dalla prima equazione

e sostituisci

54

4yyyx

Calcola

0544

2 yyyx

15

yx

5

1yx∨

L’equazione di secondo grado ha soluzioni −1 e 5

Sistemi non lineari Sistemi simmetrici

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ESEMPIO (metodo 2)

152

xyyx Risolvere il sistema significa trovare le coppie di numeri che

hanno somma −2 e prodotto −15.

Impostiamo allora l’equazione ausiliaria

t2 2t 15 0

le cui soluzioni sono

t 3

t 5∨

Allora le soluzioni del sistema sono le coppie ordinate (x, y) tali che

5

3yx

3

5yx

S 3, 5 ; 5, 3 cioè

Sistemi non lineari Sistemi simmetrici

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Se il sistema simmetrico è di grado superiore al secondo ci si deve ricondurre alla forma canonica del sistema simmetrico di secondo grado.

Per far questo può essere utile ricordare le seguenti uguaglianze:

x2 y 2 x y 2 2xy

x3 y 3 x y 3 3x2y 3xy 2 x y 3

3xy x y

Sistemi non lineari Sistemi simmetrici

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ESEMPIO

6

7233

yxyx Il sistema è simmetrico di terzo grado. Per risolverlo dobbiamo

usare la seconda delle uguaglianze ricordate e scriverlo in questo modo:

67233

yxyxxyyx

Sostituendo −6 al posto di x + y nella prima equazione, otteniamo il sistema

6

72636 3

yx

xy

67218216

yxxy

86

xyyx

continua

Sistemi non lineari Sistemi simmetrici

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Risolviamo l’equazione associata

t2 6t 8 0

t 4 t 2

Le soluzioni reali del sistema sono le coppie ordinate (x, y) tali che

24

yx

42

yx

∨

cioè

S 4, 2 ; 2, 4