Sistemi differenziali ordinari con condizioni lineari. ~Iemoria di ROBERTO CO~IT~ (a Catania),

Santo . - 8 i d a n n o teoremi di esistene~ delle so|u~ioni x(f~) per i problemi ai limi~i retativi ad u s sis~emc~ di eqtw~io~i diff~onei~li ordinarie

d~ld~ = ~(~, ~)z + ~(~, ~) Con condieioni l i~wr i

f dF(t)~(O = c.

INTRODUZIONE

Sia dato un s is tema di di tipo normale

~ , l d t = f,(t, ~ , . . . , ~ , )

ovvero, con le notazioni del calcolo delle matr ic i

essendo t u n a vaxiabile reale, ~ < t < ~, con - - ~o ~ ~ < ~<~ + ~ ed essendo

equazioni differenziali ordinar ie del 1 ° ordine,

(i = 1, 2, ..., n)

matrici r'eali. Suppos ta la fit, ~) def ini ta nello strato

( f~(t, ~ , . . . , ~,,) )

\ / , ( t , x~, . . . , x,,l

V tl c: ~ < t < ~ , t1~11= ~,1~,1~<+ ~

ed ivi soddisfacente ]e condi~ioni di Carath~odo~, cio~ continua rispetto ad x e misurabi le r ispetto a t, per sotu~ione di (1) in un intervallo chiuso A - IT, ~] C (~, ~) si intende, come di consueto, una x , - ~(0 (reale) assoluta- men te cont inua in A, ivi soddisfacente l ' equaz ione integrale

1

(2) ~t) = [ + t f(tl, ~(t~))dtl, [ = ~(T).

r

II problem~ di cui ci oocupiamo b quello della r / c~c~ di so[u~ioni ~(0

110 R. Cora's: Sis tcmi dif]erett.zia~i ordin .r i co~t condizioni liueo,ri

di (1) in u n date intervallo chiugo h -- [~., 8] C {~, ~) soddisfacent i a condizioni di tipo lineare e previsamente a condizioni della fo rma

/ dF(t}x(O = (C) a /

dove l ' integrale ~ di R i e m a n n - S t i e l t j e s e dove F{t), c sono assegnate matr ic i reali, la F(t} di ripe n X n ed a variazione l imi ta la in 5, la c di tipo n X 1 e costante :

(3) F ( t ) = . . . . . . , d r l t ) = . . . . . . , e =

Fnl(t) ... Fan(t) dFnx(t) ... dFnn(t) n

Lo schema di ragionamento di eui ci varremo per t rat tare il nostro problema 6 il seguente.

Ammett iamo ehe le soluzioni di (1) dipendano con continuitk dal date iniziale x(T)-~ ~ e che sia note esplicitamente questo legame

~(t) = ~(t, ~).

Sostituendo in (C) otterremo un sistema

(c') / dF(t)~(t, ~ = i J

,f

d i n equazioni in n ineognite, gli elementi ~ , ..., ~n~ di ~: ogni soluzione ~ di questo sistema ci d~ una soluzione ¢p(t, ~) del problema (S) (C}.

Sformnatamente solo in casi particolari i~ date di coaoscere la ~(t, ~); prat icamente cib aecade solo quando (S) ~ an s is tema lineare, nel qual case T ~ funzione lineare di ~ ed il sistema (C'} risulta pure lineare.

La via che noi seguiromo sar~ pertanto quella di assoggettare ad oppor- tune ipotesi la f(t, ~) di (S) in mode the, par raggiungendo una notevole generalitk, si f i es ta a conservare del case lineare quanto basta per dare an criterio di risolubilit~ del sistema ~,~'h~ simile a quello fornito dalla regola di

Per t rat tare il problema scriveremo pertanto il sistema (1) sotto forma (~ pseudolineare

(S) ~ - - A(t, x)x~ + a(t, x)

c o n

A f t , x ) = . . . . . . . , a( t , ~ ) = " ,

\and(t, x) . . . an,,(t, x l / \a,,(i , x}

R. CONTI: Sistemi df]]erenziali ordinar~ yon condizioni l~,neari 111

matr iei reali soddisfaeenti nello strato C le eondizioni di CARATKI~DORY. Imponendo ul ter iori ipotesi sui dati ,4, a, F, c del problema (S) (C) per-

ver remo a dare teoremi di esistenza (t¢or. 1; teor. 4 e n. 8) e teoremi di uniei th (teor. 2~ della soluzione. II r isul talo pr incipale ~ costi tuito dal teorema 4.

1. Un lemma.

Nel seguito ci occorrerSt di considera te sistemi di equazioni nel l ' inco- gni ta ~ del la forma

B(~) ~ = b(~

dove

(4) ~ - - • , B = . , b - -

~,i \ bax ... b , , ] ,i

sono matr ici reali e dove B = B(~), b = b(~) sono definite per ogni ~ reals. Vogliamo provare il seguente

LEM~fA. - Se i) B(~), b{~) sono fun~ioni continue di ~" ii) esisle per ogni l 'inversa B-I(~ della B, ed inoltre iii)b(E.), B-X(~)sono limitate ; allora il

sistema

(B) B(~) ~ -- (~)

ammette almeno una solu~ione. Tale solu~ione soddisfa la limita~ione

dove

(i "- 1, 2, ..., n)

= max (l bi,~ 1, I b• I ), d = inf I dot B(~){

Osserviamo anzitut to che in vir th di ii) ogni soluzione di (B)~ anche soluzione di

(B') ~ = B-X(~) b(~)

e vieeversa, cosicch~ baster~ provare che esiste a lmeno una soluzione di (B'); questa neeessar iamente soddisfa la (5) in virtil delle (6).

Osserviamo anehe che per iii) ~ d > 0, quindi detB{~):> 0 oppure det B(~) < O,

Detto B~k il complemento atgebrico di bo, in B eonsider iamo le n fun- zioni di

O~{~, .. . . , ~ , ) = det B(~)~,- Y~h Bk~(~l, ..., ~,)bh(~,, ..., ~,), ( i - - - I , 2, ..., n) l

112 R. CON'TI: Si,~temi di]fere~:ziali ordinar,i con eo~dizioni lineari

per le quali, se det B ( ~ ) ~ d si ha per le (6)

*°° ~ d 1

<_ - - n ! t)" + I N~ B ~ b , I <<- O, l

@,(~, , . . . , ~ -1 , n T ~. /d , ~+1, , ~,t) det B(~) ~,~ v'* d n I - - Bk~bk t

#t

n I b" - - j Y~I, Bk~b~ I > 0 i

e i segni <, > si invertono se detB(~)<---'--d. In virtfi di una nora propo- sizione (1) esiste almeno una soluzione del sistema (1)i--0, ( i - - 1 , 2, . . . , n) eiob del sistema (B').

Notiamo esplicitamente il seguente corollario di cui faremo subito una applicazione nel n. successive:

COROLLARI0. - Se B non dipende da ~ e b(~) ~ funz ione di ~ cont inua e l imi ta ia a l lora il s is tema

(B") B ~ ---- b(~l

ammet te almeno u n a soluzione quando i l s i s tema lineare omogeneo

B~ = 0 ,

(0 matrice nuUa di ripe n X 1) abbia soltanto la soluzione nul la .

2. I! problema (SL) (C).

a} In questo n. t rat teremo un case partieolare del problema (S)~Ct, ciob quello consistente nel l 'assoeiare le eondizioni (C) al sistema

(SL)

dove a~t, x) soddisfa nello matr iee

= A(Ox + a(t, x)

strato C le condizioni di (3ARA~H~ODORY e la

A{t) __ (at~ It} "" aln {t} I

\ a . , (t )... a,,,, (t)/

Q) Cfr. ad es. F. SEVERI- (~. SCORZA DRAGOI~I, Lezio~t i d i Anag i s i , Vol. 3 ° , (Bologna 1951), Cap. 3 °` § 1. Si veda aneho, per la bibliografia: G. SCORZA DRAGONI, S u ~ l ' e s i s t e n z a

d i s o l u ~ i o n i p e r u n s i s t e m a d i n equa t t ion i i~t n incog#ti~e, • A e t a Pont. A.cad. Sei. ,, 10 (1946), pp. 1"27.134.

R. CO~T~: Sistemi dqferenziaIi ordln, ari con condizionl llneari 113

misurabile in (a, ~). Inoltre per ogni intervallo A = [y, ~] C (a, ~) esiste una coppia di funzioni reali sommabili ttMt), va(t) tall che

(71 11 a(t)II = I/ Z I a,~(t)I' --< V.~(t), t ~ a C (~, 1~) i, k

t8) lla(t, w)ft-- I/E ta, lt, a¢) r < ' va(t), t ~ AC(~, It), acreale i

Sotto queste ipotesi esiste almeno una soluzione di (SL) in A in corri- spondenza a qualunque dato iniziale prefissato, vale a dire, comunque si fissi

esiste in A almeno una aclt) assolutamente continua, soddisfacente 121 t t

r

Y(t) indichiamo una matrice fondamentale del sistema lineare So con omogeneo

(Lo)

si verifica immediatamente sotto la forma

(io)

(11)

nell' incognita ~, con

(i2)

che ogni soluzione di (9) si pub rappresentare

t

x(l,) = Y (t)r-x(y)~ -5 f r(t)r-x(t,)a(t~, x(t,))dt~.

Sostituendo questa in (C) otteniamo il sistema t

I / Q(~)~--~-- dF(t) Y(or-~(t,)a(t,, ~(t~))dt~ Y

Q(A) -- / dF(t) Y(t) Z-~(7). Y

b) In aggiunta alle ipotesi poste in a) supponiamo ora che per ogni inter- vallo chiuso a C (~, ~) esista una funzione reale sommabile ::A(t) tale da aversi

(13) IIa(t, x')--a(t, w")ll ~'=a(t)H w'--~"ll , tE at(a, ~)

per ogni coppia di W, ~" reali.

(~) Cfr. ad es. E. J . Mo S H * ~ , Int~ftrafio, (Prineeton~ 1947), p. 8&2.

Annali di Matematica *$

114 R. CO:N~I: Si.qtemi differenziall ordinarl co~ condizioni lineari

(SL)

(C)

ammette atmeno una problema omogeneo

(Lo)

Dal la (9), tenuto conto di 17) e (13), avremo

II a¢(t) - - m"(t) [I <- II ~' - - ~" [I ÷ ] [~a(t,) + ~:a(t,)] l[ m'(t,) - - m"{t,)!l dr,

Y

e appl ieando la d i suguagl ianza di G~ONWALL (2) segue

(14) II ~'(t) - -"It)II-< II ~ ' -~" Iiexp (.; [~a(t,) + ~a(t,)]dt,) A

e, in par t ieolare , se ~' = ~" segue ~'(t) - - w"(t).

c) Siamo ora in grado di provare il

T~COREMA 1. - Se A(t), a{t, x,) soddisfano nello strato C le condizioni di CaratModory ed inottre le condizioni (7), (8), (13}, altora it proStema

x = A(t)x + a(t, ~,)

soluzione in A = [y, ~] quando l 'unica soluzione det

j. (co) dF(Oy(O = 0

Y

(0 matrice nulla di tipo n X 1) sia quella nulla I').

L 'es i s t enza de l la soluzione del p roblema (SL) (C) segue dal fatto ehe il cor r i spondente s is tema (11) r i en t ra t ra i s iatemi (B") del Corollario del n. 1.

Infa t t i essendo y - - 0 1' un iea soluzione del p rob lema (Lo) (Co) il s is tema l ineare omogeneo

n(a)~ = o

ha sol tanto la solnzione nulla , qu ind i esiste O-1(5). Ino l t re per la (14) e la (13) il 2 ° membro di (11) ~ funzione continua di ~; essa ~ anehe limitata. Infa t t i avendosi

t

Y(t)Y-l(z) = I + ]A( t , )Y( t , )Y- l ( ' : )d t , , ": <-- t; t, .: ~. A

(3) Oft. ad es. G. SAI~SONE-R. CONTI, Equa~iomi diffexe~az~ali non |i~a~ri~ • Monogr. Mat. del C. N. R. ,~ n ° 3, (l~oma~ 1957)~ p. 15.

(4) Nel n. 7 a) vedremo ehe l ' ipotesi (18) pub essere soppressa.

R. CONTI: Sistemi diyIerenziali ordinari con condizioni lineari 115

con I matr ice unittt di t ipo n X n, dalla (7), per la d isugaagl ianza di GRO:S'- wA~,L ~gue (11 Ill = V~)

(15) II r(,)r-~(~)II < V~ exp ( f ~(t,)d,,)) !

A 0 B e

~11 . ' . ~)Zn / V ' - - - . ° . °

la matr ice the ha per e lemento v~, la variazione in A di Fr~ si ha t

y y ,~ A

Per tan to il s is tema [11) ammet te almeno una soluzione ~ e sost i tuendo questa in (9) ot teniamo almeno una soluzione del problema (SL) (0).

d) Pe r quanto si /~ visto in b} due solnzioni dist inte x'(t), x"(t) di (SL) (0) possono proveni re soltanto da due dist inte soluzioni ~', ~" di (11). Pe r queste avremo

t

] dF(O I Y(t)r-'(t~)[a(t~' ~"(¢))-a(t~, z'(t~}}]dt~ g ~

~ , _ ~ , , = O-l(h) g

? $

e tenuto conto di {13), di (15} e poi di (14} segne t

II a6 ' ( t l ) oO"(l~l} lldt,

II ~ , _ ~,, il. $ ]

Da qui il

TEOREMA 2. - 8e otlre alle altre ipotesi del teorema 1 si ha anvhe

allora la solu¢ione di (SL) (C) trovata ~ uni~a.

(L)

3. Alcuni casi particolari del problema (SL) IO).

a) Supponiamo the il sistema (SL) sia addirittura lineare

= .4(t)z + a(t}

t16 R. CONTI: S i s t e m i differeazi(~li ordiaari co~ ¢~ondizio~i li~e(~ri

eosieeh~ A(t), a(t) sono matr iei rea l i -misurab i l i in (a, ~) e per esse valgono in ogni interval lo ehiuso ~ C (a, ~) r i spe t t ivamente la (71 e la

(8') II a( )II = U la,( )I a c $

con ~a(t), vMt) funzioni sommabil i in ~ - [T, ~]. I n questo ease il s is tema (11) diventa l ineare

quindi affinoh~ il problema (L) (C) ammetta soluaioni ~ necessario e sufficiente ~he la matric~

e la matrice ottenuta da questa orlandola con la colonna t

T T

abbiano uguale ¢aratteris~ioa (~).

b~ I s istemi delia forma

(SL) x, - - A(t[x + a(t, ~)

sono staff presi in esame da G. S ~ P x c c l ~ x (~) in connessione a eondizioni ai l imiti anehe non lineari e qa indi n o n rappresentabi t i nella forma (C). Tali condizioni sono del ripe • po l i loea le , vale a dire consistono nel l ' imporre alle soluzioni di (SL) di appoggiarsl ad assegnate varietk, in numero finite, giacenti uello strafe C. Qffando queste variet~ siano l ineari si hanno (~) con- dizioni del ripe

(17) Z~ V~x,(s~) -- c t

(~) Sui problemi del tipo (!~) (C) esist~ una letteratura piuttosto ampia. Ci limiteremo a rieord~re, anche per la bibliografia, i seguenti lavori: W. ~. ~VH¥~R~, Different~a~ ~ltW~fions ~ifIt ge#eral boundwry conditions, • Bull. Amer. Math. Soc. ,~ 48 (1942), 69~-70~t; G. &QUARO, SNll'i~tt~jr~eione di sis~emi di equa~ioni d i f for~ i~U ~insari ordinarie, • Mem. Ace. l~az. Lincei ,, (8) 1 (1948), 243.974; M. PgGsr, E q ~ i o n i diff~renziGll liseari e problcmi a| c o ~ o ~ o yon comdisioni i#tegt'aU, , Rend. Semin. Mat. Univ . . , Padova, 24 (1955), 245.9~0~. A~ B. NAISCIUL, t~robl~i f i t~ ioso l i l i n ~ , c DokL Akad. Nauk S . S . S . R . ,, 102 (1955), 21.~ (russo).

(6) G. ST~PACCmA, ~ ~ ~ c d ~ K ~ / o ~ d~ probb~i ~ ~ / ~ i p~r i s / s ~ i di ~ q ~ d i f f~r~ i~ l i ordi~r ie , Rieerche di Matem., 3 (1954), 70.9~.

(7) Lee. eit~ in (~), p. 86.

R. CONTI: Sistemi di]fereuziali ordiuari con vondizioni lineari 117

dove y <~ sl <~ s~ _<.... <_ s,, <:-- 8 e dove F, i~ una matr iee eostante di ripe n X n con element i tutt i null i salvo quelli della r iga i.ma. Le {17[ si ottengono, com'~ naturale , dalle (G) part ieolarizzando opp0r tunamente la mat r iee F(t) e possiamo per tanto appl icare il teorema 1 : il problema (SL) (17) ha soluzioni se y - - 0 ~ l' tmica soluzione di (Lo) tale ohe

Z, r i y (s~) = 0 t

c) Un problema (SL) (C) ehe non r ient ra tra quell i era eitati in b) b il seguente.

01tre alle ipotesi gi~ poste nel n. 2 supponiamo

cosiech~ lo strato G diventa era 1' intero spazio (t, z) e siano Air), a(t, x) di periodo T in t vale a dire sia

(18) A(t + T) = A(t), a(t + T, ~) = a(t, a:).

Rieerchiamo le soluzioni armoniche di (SL), ossia Ie soluzioni per iodiche con periodo T.

Poieh~ nelle nostre ipotesi le soluzioni di (SL) sono univooamente deter- minate in ogni intervallo [7, 8] dal date iniziale x(7 ) segue che il problema posto equivale a oeroare le soluzioni che soddisfano la

(19) ~:(T-4- T ) - a: ( ? ) - - 0 (0 matr ioe nul la di ripe n X 1)

relazione ohe si ot t iene da (O) ponendo 7 + T = ~ e prendendo F(7) = F(7 + T) = = I , F ( t ) = O per 7 < t < 7 + T.

Applicando il teorema 1 si ha ehe il sislema (SL) (18) ha almeno una soluzione armonica se (Lo) (18) non ha attre soluzioni armoniche oltre quelta nuUa (81.

4. La serie di matrici R(t, ~; ~).

a) Sia A(t, ~) una matr iee di CARAT~DORY (cio~ misurabi le in t e cont inua in a~) hello strafe

c : ll ll

e soddisfi la seguente eondizione, analoga alla (7): ad ogni intervallo ehiuso A - [T, 8] C (a, ~) si possa assoeiare una funzione sommabile ~ta(O tale che

(20) [] A(t. x)]i -- ~-Y~ a~k(t, '~)l 2 ~_ ~(t), tEA C (~, ~), x. reale

(s) Per it case di s(t, x) lineare in x cfr. ades lee. cit. in (s), p. 578.

118 R. Co~T~: ,~istemi dif]erenziali ordi~tari con condizioni li~eari

Pe r una tale matr ice poss iamo cos t ru i re se rv i rk pe r t ra t ta re il p r o b l e m a (S) IC t. Si ha il

una serie di matr ic i che ci

t t~- - i

f ... f A(tl , x) ... A(tk , ~)dt~ ... dtk t <--' q"

e la convorgenza asso lu ta ed un i fo rme r i spet to a t, z, w ~ p r o v a t a ; la (22) si ver i f iea [aoi lmente facendo il prodot to a l la CAUCHY del le due ser ie R(I, z; x~) R(z, s ; ~v), nel l ' ordine.

Se non vale la (23) po t remo per l' a s so lu ta eon t i au i tk d e l l ' i n t e g r a l e eli ~A(t) spezzare h = [?, ~] in un numero f ini te di par t i hr = It (r-l), t (r)] in mode che sia

¢.

J ~(t)dt <_,q < 1. 5r

Sappos to ad es. • < t se t ca~, .... t ~a' sono gli es t remi dei A~ ehe eadono ira x e t, z <_ t ~a~ < ... < t (a~ <~ t, e iaseuna delle ser ie R(t, t~a); x),..., R[t 'h~, "c ; ~) r i su l ta eonvergen te a s so lu t amen te ed u a i f o r m e m e n t e r i spe t to a x e ta le r i su l ta anehe il lore prodot to a l la GAUaHY (esegui to nell ' ordine), la eui somma R(t, ~; x). P e r un f issato • o t la R(t, ":; a~)~ u n i f o r m e m e n t e convergen te per rE It (~), t (a+~)] o per z ~ [ t ~- '~, t ~a)] e quindi essendo i A~ in numero f ini te essa

u n i f o r m e m e n t e eonvergen te per t ~ A e z ~ 5.

b) Da l la (21) per t - - " ~ - - s si ha

(24) R(s, s ; x) - , 1

Avremo al lora

L E ~ t A . - Se A{t, x) ~ nello strato C una matrice di Carathgodory e soddisfa la {20), la serle di matrici

t t tl c ' f~ f

! /

converge assolutamente ed uniformemente rispetto a t, ~, x~ per t E A, • E A, reale, essendo h - - [ % ~] un qualunque intervallo chiuso C (~, ~).

Inottre vale la relazione

(22~ R(t, ~; ~)R(% s; ~) - - R(t, s; x)

per qualunque "~ reale e per qualunque terna t, ~, s di punt i di A. S u p p o n i a m o p rovv i so r i amen te c h e l a (20)va lga con una t~A(t} per la qua le

(23) f ~a(t)dt <_.q < 1. J

A

R. CONTI: Sistemi differenziali ordiuari con condizioni l~near.i 119

e faeendo t - s nella (22)

(25} R(t, ":; x,)t~(% t; x)"-" I

ossia la R ammette la matr ice inversa R -~ e si ha

(26) R-'(t, ~: ; ~) -- R(x, t ; ~).

c) Se con Rk indichiamo la somma parziale k.ma di R abbiamo

t

R {t. •; = i + f A(t,, x)R._,(t,, :; w)dti,

e per k--* --{-c~ $

(27} R(t, ~; ~ = I + f A ( t t , x)R(t,, ~; ~)dt, ; t, " :EhC(~, ~}, ~ reale, , r

e per la disuguaglianza di G~ONWALZ segue

(28} [I R (t,'c ; x)!{ ~-- ¥ ; exp ( f ~a(t~)dt~); t, • E h C (a, ~), x reale. A

Derivando la (27) rispetto a t si ha quasi dappertutto .in h, sia ~ reale

d,Rtt, ~; x ) _ Air, ~) R (t, ~; x). (29) dt

qualunque

d) Se fissiamo % ad es. x - - ? , la R(t, y; ~) risulta funzione delle due variabili tE[y, ~], x rea le : per la (27) essa ~ assolutamente continua rispetto a t e come somma di una serie uni formemente convergente di funzioni di continue, la R(t, y ; x) ~ funzione continua di x.

Se F(t) ~ la matr ice a variazione limitata in h definita dalla (3 t abbiamo per note proprietk dell' integrale di S~I~.L~JES

y ; X} ---- -- Flt)d,R(t, y : ~) + F(t)R(t, y ; x) t= T

$ $

e quindi tenuto conto della (29) e della (24)

y; f dF(tiR(t, x ) - - - FffIA(t, x)R(t, x,)dt-{- F(~)R(~, ~} - F(?). Y; 7; • f ,f

Pertanto 1' integrale

f dFIORIt, Y; ~)

120 R. CONTI: Si.~tcmi differenzlali ordinari con condizioni lineari

fanzione continua della x ; essa ~ anche limitata avendosi per la (28)

-f h

dove V ha il significato detto nel n. 2 c).

e) Se a(t, 3)~ una matr ice di tipo n X 1

::) ay, x)= \a,,(i,

soddisfacente le eondizioni di CARATHI~ODOR~Z e la (8) nello strato C possiamo definire per t,~ E h C (~, 9) e per x reale la matr ice (di tipo n X 11

(30) o(t, f R(t, tl; z)a(tl, x~)dtl T

t he risulta assolutameute continua in t, continua in x e, in virtil di (8) e (28), l imitata da

(31) [[ p(t, • ; x),[ ~ Vn exp ( f ~t~(t,)dt,) f v,(t,)dt. g $

A A

Derivando la (30)rispetto a t, avendo presenti la (24), la (29} e la (30) stessa, si ha quasi ¢hppertutto in h

(31') dt~(t, "c; x) A(t, x,)p(t, ~; ~,)-~-a(t, x). dt

Segue con ragionamento analogo a quello fatto in d) ehe anche l ' in tegrale

'dF(t)oy, ~ ;~) Y

funzione eontiuua di x ; essa ~ anehe limitata poieh~ per la (30) si ha

,~ A A

f) So consideriamo lo spazio S delle matrici ~((u) di tipo n X 1 funzioni di u E A - - [ y , 8] assolutamente continue, con la distanza

d(x~(u), Z,(u)) " - max II x m ) - xJu) I t A

R. CONT,: Sisteml diyyerenzlali ordlnari con condlzioni lineari 121

abbiamo da quanto si ~ visto in d} ed in e) t h e gli integral i

[ dF(tm(t, Y ; x(~)), [ dF(t)~(~, r ; x(~))

(F(t) matr iee n X n a variazione l imi ta ta in h) sono funzioni cont inue e l imita te in S.

5. Forma delle soluzioni del sistema (S).

Proviamo adesso il

TEORE~A 3. - Se A(t, x), a(t, x~) sono nello strato

c: ~ < t < ~ , I [ x l l < + ~

matrici soddisfacenti le condizioni di Carathdodory e, rispettivamente la (20) e la (8), allora ogni soluzione ~[t) del sistema

si pub rappresentare in ogni intervallo h--[y, ~] C (a, ~ nella forma

(32) ~[t) = R(t, ~ ; x(u))x(~) + ~(t, ~ ; x(u))

essendo R e ~ definite rispettivamente dalla (21) e dalla (30). Sia y(t) una so!uzione in h de! s is tema • omogeneo~

(So) y = A(t, ~)Y

vale a dire sia y(t} una funzione (matrice n X 1) assolutamente cont inua in h ivi soddisfacente la

t y(t )-- y(y) + "/'A(tl, y(t~))y(tl)dtl.

Per iterazione avremo t tl

y(t) ~---~/('f)-~-f.4(~, ~/,tl))[y(,)-~ f A(t,, y(t,),~/(t.)dt.] d tx - - Y ? t t tl

---" Ix "~" f~4(tl, y(tl))dtl I y(,)-~ f f A(t:, y(tz))A(t2, y(ts))y(t,)dtldt,,

e, in generale, per k - - 2 , 3, ... t t tk--i

y(t) ----[I + / A f t , y(t~))dt~ +... + ]... f A(t~, y(t~),... A(t,, y(t,))dtl.., dt,] y(,)-i-

t tk + "]... ~] ~tt~, y(t,))... A(t,÷,, y[t,~,)ty(t,~,)dt, ... dr,÷,.

To "f

Annall dl Matematica x6

122 R. CON~I: Sis teml dl]~erenzlal4 ordi~ari con condlzioni lineari

Per k --* + c,o la matrice in [ ] a sinistra di y(?) tende verso R(t, ? ; x(u)) ; se y indica il massimo di llY(u) II per u E h - - [ % ~] si ha per la (20) the la norma ]l II del l ' in tegrale scritto per ultimo non sapera

e quindi tende a zero se

/ f \ k÷J

h

" ~a(tl)dtl < 1 .

So cib non ~, in virth della assoluta continuitfi dell ' integrale di ~(t) potremo dividere prel iminarmente a in un numero finito di intervalli parziali hr in ognuno dei quali sia

/ ~a(t~)dtl < 1.

Cosi avremo provato il teorema 3 nel caso del sistema (( omogeneo >> (So}. Detta ora x ( t ) u n a soluzione in h del sistcma {S) scriviamola sotto la

forma

(33) ~(t) = R(t, r; ~(u))x(t)

con X(t) funzione assolutamente cont inua in A. Se deriviamo rispetto a t tenendo conto della (29) avremo quasi dappertut to in h

~(t~ = A(t, ~(0)~(0 + R(t, ~,; x(,,))~(0

cosicch~ ~((t) dovr~t esser scelta in modo che sia

R(t, ~; x(u))~(O = a(t, x(O)

ovvero per la (26)

x(0 = ~(v, t; x~u))a(t, ~(0)

e da questa, integrando tra ? e t, segue

t

X(t) "- X(T) -}- f R(?, tl ; x(u))a(tl, ~{tl))dt~. Y

Sosti tuendo nella (33), tenuto eonto che per la (24) ~ X(Y) ---- x(y) ed avendo presenti le 122) e (30) segue la (32).

R. CONTI" Sistemi di]ferenziali ordinari con eondizioni lineari 123

6. Un teorema di esistenza per 11 problema (S) (C).

Dimostriamo adesso il seguente

TEOm~A 4. - Affinch$ il l~roblema

(s) ~ = A(~, ~)~ + a(t, ~ )

f ~

(c) ] d~(t)~(t) =

con A(t, x}, a{t, x) martini reali di tipo n X n ed n X 1 rispeltivamente soddisfa. centi hello strato

c: ~ < t < ~ , Ilxll < + ~

le condizioni di CA~A~m~ODORY e le

t e A = IV, ~] C {o~, ~), ~, reate

(ira{t}, va{t)funzioni somraabili in 5) e con F{t} matrice reale di tipo n X n a variazione l imitata in A e c matrice reale costante di tipo n X 1, ammet ta almeno una solu~ione in A ~ suffi~iente ehe detta R(t, ~ ; ~) la matrive definita daUa

(21)

sia

t t t~

ff R(t, ~; x , )= X + [ All,, x,)dt, + A(~,, ~)A(t,, ~)dl,dt,, + . . .

'°r t J ; *"1 > 0

al variare di w(u) nell' in~ieme deUe funzioni di u E A assolutamente continue.

i) Snpponiamo dapprima the le soluzioni di (S) in [$, 8] dipendano con continuit~ dal dato iniziale ~ = x(y) cosicch~ possiamo scrivere

con c~ simbolo di fanzione di ~ continua. Tenuto conto della (321 le solu~ioni di IS) si potranno scrivere

_~(t, ~; ~(u, ~))~ + p(t, ~; ~(u, ~))

124 R. CO~T~: Sis temi diffcre~,ziali ordiu¢wi co~,. condizio~d lineari

e sost i tuendo nel la (CJ (o) si ot t iene il s is tema

134) [ f dF(t)R(t, , ; ~(u, ~ ) ) l ~ - - c - - f d F ( t ) ~ ( t , r ; ~(u, ~), Y

di n equazioni neHe n incognite ~ , ..., ~,,, e lement i di ~. Questo s is tema ha, in virtil delle ipotesi fatte, tutt i i requisi t i del s is tema (B) del l emma del n. 1 . Infa t t i avendo presente la continuit~t di ~p(u, ~} e dei due integral i seritt i r ispet to a ~p (n. 4, D) segue che tall integrali sono funzioni cont inue e l imitate di ~, per ~ reale qualunque. L' ipotesi (D) serve a garant i re che anche

r isul ta l imitata. Appl icando il l emma del n. 1 segue I' esistenza di a lmeno una soluzione ~ di (34) e quindi quel la di a lmeno una soluzione del problema IS) (c) in ~ = [~, ~].

ii) So non si p resuppone la d ipendenza cont inua della soluzione dal dato iniziale ~ = ~r(y) potremo operare nel seguente modo.

Detto k un intero positivo dividiamo 1' intervalto A - - [ y , ~] in k part i uguali A~ = h', ~" + A/k], A~ = [~, + ~/k, ~, + 2A/k], . . . , A~ = [~ _ Alk ' ~].

Detta poi ~ un ~ arbi t rar ia matr ice ~n X 1 eostante, rcale, def iniamo la funv.ione ~'(1} nei seguente modo: in - - c ~ < t ~ ' ? sia ~ ' ( t l : ~, in A~ sia ~ ( t ) la soluzione del s is tema l ineare

0~(t) = .4(t, ~ (¢ - - A/~))o~) + a(~, z(t -- Alk))

corr ispondente al date iniziale 0~'(~ ,) - - ~ ; in A~ sia ~°"(t) la soluzione dello stesso s is tema t he per ¢ - ? ÷ A/k coincide con la precedente soluzione e cosi di seguito. Per tanto ~c~(t) r isul ta defini ta da ~ ( t ) - - ~ p e r - ~:~ < t -~ 'T e come la soluzione in A di

t f~

(35)

T T

Se poniamo

~(~, ~,; ~ , ( u - - a/k)) = ~ + I A(~,, ~ ' , ( ~ - - A/~))d~ + t t~ r

(36) + t J A(t~, o~°"(~ - - A[k))A(t,, ~"'(t - - A/k))dt~dt~ ÷ ... /

f .

p(t, ~ ; z(a'(u - - A,k)) = t R(t, t~ ; x(a'(U - - A/k))a(t~ , xa'(t~ - - A/k))dt~

(9) Cfr. con quanto si ~ detto nel l ' In t roduzione.

R. (',('.~u'~: S i~tc,~i dqfere,ziati ordi,~tri con co~dizioai li,eari i25

6 immediato verificare che | l a funzione

x(t) --- R(I, "f ; ~'a'(u - - A/k))~ 4- p(t, y ; ~'a'(u - - A/k))

6 soluzione di (35): basra in[atti derivare in t tenendo presenti la (29) e la (31') e poi integrare. Poich6 x (y ) - -~ segue the x.(t) coincide con la a~a)(t) definita prima, vale a dire abbiamo

(37j ~'A'(t) = / ? i f , "c ; x , " ( u - - a/k))~ 4- ~(t, ~, ; x, ' , (u - - a/k)).

D' altronde x ca' 6 per (35) funzione continua di ~ cosiceh6 con lo stesso ragionamento usato nella prima parte di questa dimostrazione arriviamo a scrivere il sistema

(38} [ fd_F(l)./~(l~ '(; ~ot)(~ ~ A/k~ ~)]~_..(~]"d_~(l)l~(t~ ~; ~0(/t)($~ , - ~/k~ ~)) Y Y

dove ~ a ) ( u - A/k, ~)sta per w~a)(u--A/k) e indica il legame di dipendenza continua da ~.

L ' i n s i eme delle soluzioni ~ di 138) di cui il lemma del n. 1 assicura 1' esistenza 6 chiuso e, per la (5 b limitato, quindi possiamo dare una legge the per ogni k intero ci permetta di scegliere una ben detdrminata soluzione che indicheremo con ~a~. Possiamo anche supporre che la successione I~ (a~ b limitata, sia convergente ve rso una certa ~*.

Se scriviamo (35) in corrispondenza di questa ~ca)~ 6 subito visto che, in virtfi delle (20), (8) le ~(a)(t) sono ugualmente limitate. Si ha infatti per la disuguaglianza di GRo)lw2truI~

(39) a A

e sup [[ ~c~)]1 6 finito, per la (5), come si 6 detto. k Le x~(t) sono anche ugualmente continue poich6 si ha per t ' < t", t 'E A

t "EA

II ~ '~"( f ' ) - m'~'~ t') II "~ f ~A(t~)II ~(~'(~1 N dr1 4- fvA(t,ldt,

e basra applicare la (39). Poss iamo dunque scegliere una successione ]~¢h~(t) l convergente in A

uni formemente e il l imite di questa, a~(tt, 6 soluzione del problema (Sb (Cb

126 R. CONTI: Si.~tcmi diffcrcnziali ordiuari con condizioui li~wari

vale a dire si ha in t t

.f

come b facile verificare.

't

-- c - - [dFlt}~lt, "r ; x(u})

?

0SSERVAZIONE.

Se poniamo 6

per il lemma del n. 1 si ha

Sostituendo nella (39} e passando al limite per k ~ ~ ~ si otffene la soluzione trovata la maggiorazione

(41) I1 (t} ll exp( f {tl}dtO[M + 1 A

con M definita dalla (40).

7. Aleune appileazioni dei teorema di esistenza.

L'ipotesi (D) appare tra quelle del teorema 4 come quella meno agevole a verificarsi. Si pub in ogni easo r idurre, almeno teoricamente, questa diffi. eolt~t osservando ehe poich~ lo spazio delle ~(u) assolutamente continue in A, con la metr iea consueta, ~ separabile, baster~ verif ieare la {D) sopra una base di tale spazio, ad es. nell ' insieme dei polinomi in u a coefficienti razionali.

Pifi interessante per le applicazioni ~ notate che in molti easi notevoli la (D)~b di verifica assai~semplice, come ora mostreremo con - qualche esempio.

a) So A(t, x) ~ A(t) non dipende da ~ allora neppure R (t, ~ ; ~) dipende da x e si r iduee alia << aerie matrizzante della A(t) ~, (:o)

t t tl

R(t, ~) = 1 + "]'A(t~)dtl + "] "] A(t~)Alt,)dt:dt~ d-.. . $

(t0} Cfr., pe r una A(~) continua, ad es. G. SA~SO~E, Equazioni dif feren~iali jnel campo ¢eale, ]Konogr. Mat. del C. 1~. R., pa r t e 1 a, (Bologna, 194~1), p. 79.

R. CONTI: Sistemi differenziali ordinari con condizioni ~ineari 127

e con le notazioni del n. 2 si ha

R(t, .:) = r(t ) Y-~(~).

P e r t a n t o la (D) d iven ta s emp l i eemen te

Idet f aF(t)r(t r-'(r) . o Y

e si rilrova ~a~, tiberato dall ' ipotesi (13), il teorema 1 (n. 2).

b) h n c h e so A(t, x,) dipende e f f e t t i vamen te da x la (D) pu6 r i su l ta re di ve r i f i ca assai sempl ice , come mos t ra l ' e s e m p i o segaente .

W. M. WHYBURN (~} ha eons idera to il p rob lema eos t i tu i to dal s i s t ema

[~ = A(t, z ) z -f. a(t, ~) (s) e dal le

(42) x~(s,) = o~ , (~ = 1, 9, . . . , n)

dove ~ ' ~ s ~ s 2 ~ . . . _ ~ s , ~ 8 ed ha provato t h e se A = [ % ~] ~ sufficiente- mente ristretto esiste almeno u n a soluzione di questo 19roblema.

Poss i amo r i t rovare ques to r i su l ta to come appl icaz ione del nos t ro t eo rema 4. De t ta F~ ta ma t r i ce n X n i cui e l ement i sono tut t i zero salvo que l lo di

posto i, i, ugua l e ad 1, le (42) si possono scr ivere

g

ossia, pe r la (32.) n

1 1

e baster~t impor re che sia n

inf I det ~.~ P~ R(s~, y ; x(u)) I > 0 t

al va r i a re di x{u) nell ' ins ieme del le x(u) as so lu t amen te con t inue in [% ~]. 0 r a se scr iv iamo R(t, T; ~ ) = (r~h(t)) si ha

/~,(,,) 0...0 \ ~, r, R(,, , , ; ~) = { ° ~''(') ''' °

\ o

(li) Cfr. W. M. WHYBURN, On the fundamental existence theorems for diffelontial systems, • Annals of ~Iath... (2) 30 (1028), 81.38. I1 risultato .qui rieordato (Theorem 2) ~ ottenuto con l'aggiunta deU'ipotesi (18) del testo e eli una analoga eondizione su A(t~ x): per5 queste ipotesi garantiscono anche l'unicit~ 'della soluzione e la sua dipendenza ebntinua~dai dati ,4, a~ si, c i (Cfr. W. M- WHYBURN, [Functional properties of the [solutions of differential systems, • Trans. Amer. Math. Soc. ,, 82 (1929), 502-508).

128 R. CONTI: SCstemi differenziali ordinari con co}~dizio~ti li~eari

e quindi f4

Ma dalla (21) risulta ehe r.{sd ~ della forma

$t .si t t

el aii(tl' ~ )d t l -~ / ('l[ail(~i, ~)al/(~2, ~)-~- . . . -~-ai , ( t l , x)a~,i(~2, x)]dtldt2 Jr... / T "~ Y

quindi, in virtfi delia (20), si ha che r(~(s~) si pub rendere in valore a~soluto prossimo atl' unitfi quanto si vuole, pur di prendere h sufficientemente ristrette, appunto come suppone W. hi. W ~ I J I ~ .

b) Come abbiamo mostrato in un lavoro apparso in questi ~ Annali )){~) molti dei problemi ai limiti con condizioni l ineari possono essere posti sotto la forma

x~ - " a~2(t, x)x2 + a~(t, ~,)

(43) . . . . . . . . . . . .

~,,_~ = a._~, .(~, z ) x . + a._~(~, ~)

~. = a.(~, z)

(44) ~ G,~(sa = c 1

dove y_~.sl~_ . . .< : ' s , ~--~ e dove le G~ sono opportune matrici n K n i cui elementi sono uguali a 0 o ad 1.

Poich~ le (44) si ottengono da (C) particolarizzando opportunamente la matriee F(t) mentre, ovviamente, il sistema (43) ~ del ripe (S), con

(45) A(t, ~ ) = I O a~°O .. .0 \

0 0 " a~ . . .O )

o o o ...o /

(t~) R. COATI, I problemi ai limiti lineari per i sistemi di equazioni diffe~'enziati ordi. narie. Teoremi di esistenma, • Annali di 3~at. pura ed appl. ,, (4)~k5 (1958), 155-182. I n questo lavoro ci siamo occupati unieamente deIl'esistenza di soluzioni; interessanti,risultati relativi alia dipendenza di tale soluzione dai dati dei problema sono stati ottenuti in seguito da W. M. ~rHYBURS (Differential systeme ~vith boundary cottd~tions at more than two points, Prom of 'the Conferenee on Diff. Eq. (Univ. of Maryland, 1955), 1.2l).

R. Co~Tz: Sistemi dil/erenz~all ordinarl con condi¢ioni l~neari 129

si vede facilmente ehe il teorema di esistenaa della memoria d ~ l i ¢ Annal i un caso particolare del teorema 4 attuale (xa}. La verifica b immediata non

appena si osservi c h e l a R{t, z; ~) associata alia matrice {45) ~ della forma

t t t] t,~ o • (/ ;-

1 t a ,d t , , ~ , . . . . . . a, ,_, , , , ( t , , ~elan_,,,,_,(t,, ~) ... a,,(t , ,_, , ~)dt, ... dtn_,

t t~

O 0 ... 1

La verifica della condizione (D) per questo tipo di problemi risulta in molti cast assai facile come il lettore pub riscontrare dai numerosi esempi dati nel lavoro in discorso.

8. Estensione dei teorema di eststenza.

II campo di applicabilit~ del teorema 4 pub essere esteso facendo ricorso ad artifici abituali in questo genere di questioni.

Ad es. coneideriamo il sistema

{s'} = B{t, x}z + b(t, x}

dove B(t, x}, b(t, o~) soddisfano nello strato

c= ~<t<~, I l x l l < + ~

le condizioni di CARATH~ODORY. Supponiamo the ad ogni intervaUo A = [y, ~] C (~, ~) si possano associate due funaioni Ms(t, u}, irA(t, Ul sommabili rispetto a t E A continue e crescenti rispetto ad u ~ 0 tali che sia

(66) I ll B(t, ~)II < U,(t , II ~ II) [] b (t, ~)t[ ~ 2Va(t, II ~ II)

(is) Des tdor iamo chiar i re espl ic i tamente .ohe la condizione (10) di p. 160 del l avoro citato, dove b d e t t o - , . . . p e r tut te le {Yt , . ' . , Yk) . . . ' , v a in tesa : . . . . per tut te le k -up le lyt(~) .... , yk(m)) di funzioni assolutamente cont inue in (% ~)... , .

Annali di Ma~matlca x7

130 R. CoNTI: Sistemi dif]erenziali ordinari con condizioni lineari

(47~

Se per un fissato u > 0 poniamo

A(t, x ) - i

I Bqt, ~)

II II blt, x)

a(t, ,x) -- b (t, ,~--~,,x)

per I I x l f ~ u

per I[wll > u

per [Ix I[_< u

per I I ~ l [ > u

le due~ matr ie i A(t, x,~, a(t, ~) soddisfano anch' esse in C le eondizioni di CARA- TH~ODORY ed inoltre per esse valgono la (20) con ~tA(t) ---- MA(t, U) e la (8~ con v~(t) --- hrA(t, U) r ispet t ivamente .

Poss iamo pereib def ini te R(t, ":; x), pit, ~; ~c) ed il numero M median |e la (40); per indicate ehe questo numero varia, in generale, con u, lo scriveremo M(u). I1 problema

(S) :c -- A(t, x)x -~ a(t, x)

(c) - ] dF(t) ~ (0 ffi

T

con A(t, ~c), a(t, w) defini te dalle {47) ammet te per il teorema 4 almeno una soluzione se vale l'ipotesi (D): questa soluzione soddisfa la d isuguagl ianza

,, x(t),, ~ exp ( f Ma,t, , u)dt, ) l M(u) + f Na(t, , u)dt, l A a

analoga alia (41). Pera l t ro se esisle un numero u per cui si abbia

exp(fM (t,, u)dt, )[M(u) + f u)dt, l ~_u A

la soluzione trovata ~ a ~ h e soluzione del problema (S'} qC), avendosi [! x(t} H ~ u.