1

Sistemi di numerazione e tecniche di calcolo

nell’antichità

Livia GiacardiLiceo Classico Alfieri – Marzo 2006

Il contare fu con ogni probabilità uno dei primi processi “matematici” che l'uomo sviluppò.

Alle origini del contare pare ci sia stata la capacità di distinguere uno da molti che poi si evolve nel distinguere uno, due, molti(traccia di questo passaggio rimane nel duale usato accanto al singolare e al plurale in varie lingue antiche).

Gli studi antropologici sulle tribù primitive attuali confermano questa ipotesi:

Indigeni della Tasmania: mara = 1, pue = 2, lô-we = un poco, kate = molto Tribù dello stretto di Torres: urapun =1, okosa = 2, okosa-urapun = 3, okosa-okosa = 4, … ras = moltiKamilaroi (Australia), Botocudos (Terra del Fuoco), Pigmei (Africa), ...

2

Uno dei primi e fondamentali insiemi a cui gli uomini fecero riferimento fu quello delle dita di una mano con cui si contava fino a cinque, poi di due mani con cui si arrivava fino a dieci, e in alcuni casi anche quello delle dita dei piedi per raggiungere ilventi.

Calcolo digitale in Egitto, 2600 a. C

Leonardo Pisano, Liber Abaci, 1202

Più avanti, per conservare l'informazione, si usarono tacche su ossa o segni su pietre. Uno dei piùantichi reperti che ci sono rimasti ècostituito da un osso con cinquantacinque tacche, trovato nel 1937 a Dolni Vestonice(Cecoslovacchia centrale), che risale a 30.000 anni fa.

In questo reperto sembrano dunque essere presenti i due concetti fondamentali: ♦ la corrispondenza biunivoca tra la rappresentazione usata (insieme delle tacche) e l'insieme di oggetti da contare ♦ e il concetto di base per un sistema di numerazione.

35.000-20.000 a.C

Le cinquantacinque tacche sono disposte a gruppi di cinque.La venticinquesima tacca è lunga il doppio delle altre.

3

La necessità di superare le difficoltà insite in una pratica numerica basata sulla corrispondenza biunivoca fra tacca e oggettocondusse gli uomini all’uso di una scala di simboli il 1° dei quali rappresenti un solo oggetto (unità semplice), il 2° rappresenti un determinato numero b (per es. 10) di unitàsemplici (unità del 1° ordine), il 3° rappresenti b unità del 1°ordine (per es. 10×10=100), ecc.

b si dice base del sistema di numerazione

Le basi più usate fin dall’antichità sono la base 5 e la base 10 collegate con l’abitudine di contare con le mani, ma furono utilizzate anche altre basi, quali per esempio la base 20, la base 60, la base 2.

Sistemi di numerazione additivi Sistemi di numerazione posizionali

Sistema di numerazione additivo (e varianti)i numeri sono scritti giustapponendo simboli

e di questi simboli si somma il valore

Sistema di numerazione posizionaleIl valore del simbolo dipende dalla posizione che occupa

Il sistema di numerazione romano è additivo-sottrattivoI V X L C D M1 5 10 50 100 500 1000

Es. XXXVII → 10+10+5+1+1= 37IX → 10-1= 9

Il nostro sistema di numerazione è decimale posizionale0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Es. 1111 = 1×1000 + 1×100 + 1×10 + 1

= 1×103 + 1×102 + 1×10 + 1×100

scrittura polinomiale del numero

4

Quale fra le seguenti scritture polinomiali è uguale a12×102 + 103×10 + 14?

1) 2×104 + 2×103 + 4×102 + 4×101 + 0×100

2) 1×103 + 1×102 + 6×101 + 4×100

3) 2×103 + 2×102 + 4×101 + 4×100

Esercizio

(10+2)×102 + (102 +3)×10 + 10 + 4103 + 2×102 + 103 +3 ×10 + 10 + 42×103 + 2×102 + 4×101 + 4×100

Domanda

Che effetto produce nel nostro sistema di numerazione mettere uno zero in posizione finale?

I quipu degli Incas (XV sec.)

Il quipu = nodo consisteva in una cordicella a cui erano annodate altre cordicelle multicolori legate a intervalli regolari da differenti tipi di nodi.Sistema di numerazione decimale posizionale.Erano utilizzati per inventari, archivi,censimenti.

5

Gli esagrammi di Fu-hi e la base 2I Ching o Libro delle variazioni (300 a.C.)

Dalla combinazione dei due segni possiamo formare 8 trigrammi (cova) e disponendo due trigrammi uno sull’altro si costruiscono 64 esagrammi. Questi esagrammi furono messi poi in relazione con la teoria delle due forze Yin (l’oscurità, la femminilità), e Yang (la luce, la mascolinità), i due principi posti all’origine dell’universo.

Il filosofo e matematico G. W. Leibnizinterpretò (1703) gli esagrammi di Fu-hi come la scrittura dei primi 64 numeri naturali in forma binaria e indagòle “mirabili proprietà della diadica”

0 1

5=1×22+0×21+1×20

1 0 1

45 244 22 21 22 11 2

0 10 5 21 4 2 2

1 2 10

Scrivi in notazione binaria i seguenti esagrammi diFu-hi e converti in base 10

1×25 + 0×24 + 1×23 + 1×22 + 0×21 + 1×20

1 0 1 1 0 132 + 8 + 4 +1 = 45

1×25 + 1×24 + 1×23 + 1×22 + 1×21 + 1×20

1 1 1 1 1 132 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63

22 222 11 20 10 5 2

1 4 2 21 2 1

0 101102

1011012

6

Perché si procede così?“Scriviamo” 22 in base 2 usando l’abaco

1passo

3passo

2passo

Perché si procede così?“Scriviamo” 22 in base 2 usando l’abaco

1 0 1 1 0

4passo

5passo

7

1011+110

Esercizi di aritmetica binaria

1011 -110

1011 ×110

10001 101

Ricordare che1+1 = 10

00001011

1011

1000010

La moltiplicazione binaria èmolto semplice perché gli unici

numeri per cui si moltiplica sono 0 e 1

I Maya, uno dei popoli più evoluti dell’America precolombiana (III-X sec.), usavano un sistema di numerazione in base 20.

La notazione era posizionale: utilizzavano un puntino • per l’unità, una barretta orizzontale per le cinquine, e il simboloper lo zero.

I Maya e la base 20

Un sistema di numerazione in base20 procede secondo lesuccessive potenze di 20

1, 20, 202, 203, 204, …

8

Invece di procedere per potenze successive di 20, si procedeva così:1, 20, 18×20, 18 ×202, 18 ×203, …Questo fa sì che lo zero maya non poteva avere il ruolo di operatore.

In una numerazione in base 20 senza anomalie, l’aggiunta di uno zero finale moltiplica il numero per 20, cioè ha funzione di operatore:

Es. 1220 1×20 + 2 = 2212020 1×202 + 2×20 + 0 = 440

Nella numerazione Maya1220M 1×20 + 2 = 22 12020M 1× (18×20) + 2×20 + 0 = 400

9

L’anno per i Maya consisteva di 18 mesi di 20 giorniciascuno, più 5 giorni “vuoti” considerati infausti.

Codice di Dresda, XII sec.

Pagina 24 del Codice di Dresda

10

Bibliografia essenziale

Buffa G., 1986, Fra numeri e dita, Bologna ZanichelliBoyer C., 1980, Storia della matematica, Mondadori, Milano, Cap. 1Ifrah G., 1984, Storia universale dei numeri, Mondadori, Milano

Sistema di numerazione e tecniche di calcolo

nell’antico Egitto

11

“Salute a te o Nilo che sei uscito dalla terrache sei venuto a far vivere l’Egitto!Occulto di natura, oscuro di giorno, lodato dai suoi seguaci;È lui che irriga i campi, che è creato da RA per far vivere tutto il bestiame …”Inno al Nilo

Fonti per la matematica egizia

I testi matematici egizi di epoca pre-greca finora conosciuti sono sette e appartengono all'arco di tempo che va dal 2000 al 1600 a.C. e sono scritti in ieratico, la scrittura corsiva egizia:

Papiro Rhind (circa 1650 a.C.), Eisenlohr 1877, Peet 1923, A. Chace 1927Rotolo di Cuoio ( circa 1650 a.C.), Glanville 1927Papiro di Mosca ( circa 1850 a.C.), Struve 1930Papiro di Berlino ( circa 1800 a.C.), Schack-Schackenburg 1900Papiro di Kahun ( circa 1850 a.C.), Griffith 1898Papiro Reisner ( circa 1880 a.C.), Simpson 1963-69e due tavolette di legno risalenti al 2000 a. C., 1901, 1906

Lo studio di questi testi ebbe inizio oltre un secolo fa dopo che fu decifrata, ad opera di J.F. Champollion (1790-1832), la scrittura egizia.

12

La stele di Rosetta fu scoperta nel 1799 da un ufficiale del Genio francese P. F. Bouchard; presentava inciso un decreto di Tolomeo V scritto in geroglifico, demotico e greco.

L’inglese T. Young si cimentò nella decifrazione senza ottenere risultati definitivi.

Ci riuscirà Champollion che, fin dall’età di 14 anni, aveva cominciato a interessarsi di geroglifici e aveva studiato in poco tempo oltre al latino e al greco anche l’ebraico, il siriaco, il caldeo e il copto.

La stele di Rosetta

486 parole greche per1419 geroglifici

“Mi dedico interamente al copto… Voglio conoscere l’egiziano come il mio francese… traduco in copto tutto ciò che mi passa per la testa, parlo copto da solo… Dopo di ciò mi dedicherò ai papiri” (1807)

Lo storico greco Erodoto (V sec. a.C.) fa risalire l'origine della geometria agli Egizi. La molla che li spinse a sviluppare certe conoscenze geometriche fu la necessità di misurare i campi dopo le periodiche inondazioni del Nilo.

Rimangono molte testimonianze di viaggi in Egitto e in Mesopotamia da parte dei matematici e filosofi greci (Talete, Pitagora, Democrito, Platone, Eudosso, …)

per imparare la geometria

13

Cappella dello scriba Maia, Torino nel Museo Egizio, 1400 a. C.

A. Speiser (1956) ha dimostrato che negli

ornamenti delle tombe egizie si trovano tutti i 17 tipi possibili

di tassellazione del piano

14

Caratteri della matematica egizia♦ I problemi sono generalmente pratici, connessi con l'ingegneria edile, con la distribuzione di vettovaglie tra soldati e operai,con l'attività agricola o sono problemi di tipo amministrativo relativi a contratti, elargizioni, corresponsione di paghe, censimenti, tassazione e bilanci.♦ le soluzioni sono ricette di calcolonon c’è simbolismo, non ci sono formulenon ci sono spiegazioni dei procedimenti, né dimostrazioni♦ non c’è suddivisione fra aritmetica, algebra, geometria♦ livello prescientifico♦ manuali scolastici Casa dei rotoli di papiro biblioteche, archivi

insegnamento di livello elementarescrivere e contare

Case della vita insegnamento superiorespecializzazione

Lettera dello scriba Hori ad Amenemope

“Deve essere costruita una rampa di 730 cubiti, larga 55, consistente di 120 corsi di mattoni, alta 60 cubiti alla sommità, 30 alla metà, mentre l'inclinazione è di 15 cubiti. Viene richiesta la quantità di mattoni necessari per essa”.

“Devi vuotare il magazzino che è pieno di sabbia fatto sotto l'obelisco: misura 30 per 20 cubiti in pianta e conta 100 scomparti larghi 44 e alti 50 cubiti. Calcola quanti uomini possono vuotarlo in 6 ore”.

“Ti trovi in Siria con un corpo di spedizione di 5000 uomini. Ti sono portate provvigioni inferiori al fabbisogno regolare di razioni giornaliere di pane, carne e birra. Ripartiscile in proporzione a quanto è dovuto ad ognuno”.

15

Sistema di numerazione e tecniche di calcolo nell’aritmetica egizia

Papiro Rhind (1800, 1650 a.C.)“Regole per scrutare la natura e per conoscere tutto ciò che esiste, ogni mistero, ogni segreto … Fu lo scriba Ahmose a scrivere questa copia”

Sistema di numerazione decimale additivo senza lo zero

1 10 100 1000 10.000 100.000 1.000.000

406

6705

5.080.030

16

11.110

121.200

46

I numeri nei bassorilievi

2500 a. C.

Il passaggio dalla scrittura geroglifica a quella ieratica (circa 2400 a.C.) portò spesso a raggruppare in un unico segno i simboli ripetuti producendo così un aumento del numero dei simboli numerici.

17

24) (Rhind 819

61) e 38 (Rhindfigura segno, ty.t enerica unitaria g frazione

parti due le rwy

81

412

32

21

++=

=><

>=<

L'insieme numerico su cui operano gli Egizi è l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero cui vanno aggiunte tutte le frazioni del

tipo 1/n con n intero positivo e la frazione particolare 2/3.

1/n < r > = parte

Cubito reale, circa 1550 a.C.

n

Come eseguire le addizioni

162 + 43

205

18

La moltiplicazione e la divisione

Il metodo di calcolo è basato su raddoppiamenti successivie si fonda sul fatto che ogni numero naturale diverso da 0 si può esprimere in uno ed un solo modo come somma di potenze distinte di 2 con esponente intero ≥ 0.

(Rhind, 32)

12×12= 22×12 + 23×12 = 48 + 96 = 144

24×37 =

23×12 =

1 372 744 148

16 5928 296

24 888

1 2310 230

2 46

12 276

Esercizi

19

“ouah-tep em 80 er gemet 1120”“opera a cominciare da 80 fino a ottenere 1120”

Per dividere 1120 per 80 occorre dunque cercare per qualenumero occorre moltiplicare 80 per ottenere 1120

1 332 664 1328 26416 528

25 825

Esercizio

825 : 33 =

825 = 33×1 + 33×8 + 33×16= 33×20 + 33 ×23 +33×24

20

Non sempre nella divisione si può ottenere il dividendo come somma di multipli del divisore, per

cui si ricorre ai sottomultipli

si incomincia a dividere per 2 dal momento in cui la somma dei dividendi parziali supera 19

16 : 3 = 1 +4 + 1/3 (Rhind, 25)

1 32 64 122/3 21/3 1

1+4+1/3

La successione dei moltiplicatori non è fissa e l’abilitàdello scriba sta nel trovare la successione migliore

21

Tavola 2: n (Rhind recto)con dispari da n=5 a n=101

Tavola (Rhind 61 e 61b)

“Per calcolare: 2/3 di una frazione unitaria (ty.t gbt). Se ti viene chiesto quanto vale due terzi di 1/5 tu devi

raddoppiarlo [il denominatore] e prendere sei volte di esso [del denominatore] cioè : 2/3 di 1/5. Si procede allo stesso

modo per qualunque frazione unitaria”

nn 61

21

32 + = n

1

22

Il Metodo degli ausiliari rossi Il Metodo degli ausiliari rossi ((RhindRhind,, 37)37)

Aggiungi:

7281

15761

9641

18321

36161

8721

81

41

21 Totale+++++++

In sostanza lo scriba riduce allo stesso denominatore le ultime cinque frazioni:

181

81

41

21

57672

81

41

21

5761

5769

57618

57636

5768

81

41

21 =+++=+++=+++++++

Quelli che per noi sono i numeratori delle cinque frazioni ridotte a denominatore comune 576 sono scritti in rosso, ciascuno sotto lafrazione corrispondente; la loro somma 72 è di 576. sommato alle tre frazioni rimanenti dà l’unità. 8

181

Il metodo degli ausiliari rossi consente di ovviare all’assenza del concetto generale di frazione.

L’occhio di Horus“Questo è l’occhio di HorusAfferralo in modo che tu sia vittorioso”(Testi delle Piramidi)

23

alle sei parti dell’occhio di Horus corrispondono frazioni di hekat unità di misura per i cereali

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32 + 1/64 = 63/64

<udjat> = intero

Bibliografia essenzialeAAVV, 1987, L’alba dei numeri, Bari, DedaloAAVV, 1997, La scuola nell’antivo Egitto, Torino, Museo EgizioBuffa G., 1986, Fra numeri e dita, Bologna, ZanichelliCurto S., L’antico Egitto, Torino, UTETGiacardi L., S. Roero, La matematica delle civiltà arcaiche (Egitto,

Mesopotamia, Grecia), Stampatori, Torino, 1979, Cap. 2Giacardi L., La matematica dell'antico Egitto, Atti del Convegno

Il pensiero matematico nella ricerca storica italianaAncona 26-28 marzo 1992, Quaderni di "InnovazioneScuola" 13, Ancona, 1993, pp. 21-49

Boyer C., 1980, Storia della matematica, Mondadori, Milano, Cap. 2Kline M., 1991, Storia del pensiero matematico, Torino, Einaudi, Cap. 2

Chace A. e altri The Rhind Mathematical Papyrus, 2 voll., Oberlin Ohio, 1927-29

I testi