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Sistemi binari e accrescimento

A. Marconi Introduzione all’Astrofisica 2015/2016

Le Stelle BinarieFinora abbiamo considerato le stelle come oggetti luminosi e isolati;

le stelle sono alimentate da reazioni di fusione nucleare

non interagiscono con il mezzo circostante o con altre stelle.

In realtà sappiamo che oltre il 50% delle stelle sono in sistemi binari o multipli (è proprio nelle binarie che possiamo misurare la massa delle stelle).

Nei sistemi binari avvengono due cose:

l’evoluzione delle due stelle del sistema binario è diversa da quella delle stelle singole con la stessa massa a causa degli scambi di massa;

negli stadi finali in cui una delle due stelle è diventata un oggetto compatto (nana bianca, stella di neutroni, buco nero) si assiste alla formazione di sorgenti alimentate non da reazioni nucleari ma da accrescimento di materia.

La fisica dell’accrescimento è molto complessa e si applica alle stelle di pre-sequenza principale, alle binarie interagenti, ai nuclei galattici attivi e, forse, ad alcuni tipi di supernovae e GRB.

2


Le Stelle BinarieIn una binaria, le coppie di stelle con periodo orbitale inferiore a ~10 giorni sono in orbite

circolari

allineate (gli assi di rotazione delle due stelle e l’asse del piano orbitale sono tra loro paralleli)

sincronizzate (ogni stella ha un periodo di rotazione pari al periodo di rivoluzione attorno all’altra stella per cui ogni stella vede sempre la stessa “faccia” dell’altra).

Queste caratteristiche dipendono dall’esistenza di Forze Mareali che agiscono sull’una e sull’altra stella a piccole distanze.

Le forze mareali non sono altro che un effetto dell’attrazione gravitazionale su corpi che non si possono considerare puntiformi.

3


La forza gravitazionale che la stella 1 esercita su un elemento di massa m sulla sua superficie, a distanza Δr dal centro, è

Ma m è soggetto all’attrazione di M2.La forza mareale è la differenza tra la forza gravitazionale su m e quella che si avrebbe se m fosse al centro di M1. Questa forza esiste solo se la stella 1 non si può considerare puntiforme. Se Δr << r, il modulo della forza mareale è

Le Forze Mareali

4

Ftide =

��GM2m

r2� GM2m

r2 +�r2 � 2r�r cos �

�� ⇥2GM2�r

r3| cos �|

Fgrav =GM1m

�r2

Ftide

Fgrav=

2M2

M1

✓�r

r

◆3

| cos �|

r

ΔrM2

M1

m

θ

per cui il rapporto tra le due forze è


Limite di RocheLa stella 1 può essere distrutta dall’interazione con 2 se Ftide è superiore alla forza gravitazionale ovvero, dato cos𝜃 = 1, per

da cui la distruzione per effetti mareali di 1 si ha quando 1 è più vicina a 2 di

questo è noto come limite di Roche. Qual è la distanza minima a cui può arrivare il Sole vicino ad un buco nero supermassivo (MBH ~108 M⊙, come quelli al centro delle galassie → vedi più avanti) senza essere distrutto? Dall’espressione sopra il Sole è distrutto se la sua distanza dal buco nero è inferiore a

5

2GM2�r

r3>

GM1

�r2

r < R�

✓2⇥ 108 M�

M�

◆1/3

= 584R�

r < �r

✓2M2

M1

◆1/3


Le Forze MarealiLa presenza delle forze mareali induce delle distorsioni alla simmetria sferica delle stelle e tali distorsioni aumentano al crescere di Δr/r.

Fino a che le stelle non sono legate marealmente (tidally locked, ovvero orbite sincronizzate e circolarizzate), viene persa continuamente energia per attrito;

se le orbite sono ellittiche variano r e cosθ e quindi varia la forza mareale su una dato elemento di massa;

le distorsioni si devono muovere rispetto al resto della stella causando attrito viscoso e quindi perdita di energia;

solo quando si ha il tidal locking tutto appare stazionario nel riferimento corotante del CM ed il sistema raggiunge lo stato di energia minima.

Questo fenomeno avviene anche nel sistema Terra-Luna-Sole;

il tidal locking (parziale) è il motivo per cui la Luna mostra sempre la stessa faccia alla Terra.

Questo sistema è però più complesso per la presenza del Sole.

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Distorsioni Mareali

Deformazione indotta dalle forze mareali


Il problema dei tre corpiConsideriamo adesso le due stelle binarie e mettiamoci nel sistema corotante del centro di massa in cui l’asse X è quello che unisce le due stelle.Il sistema del centro di massa ruota con velocità angolare data dalla terza legge di Keplero (a è la distanza tra le masse)

8

⌦2 =

✓P

2⇡

◆2

=G(M1 +M2)

a3

M1 M2

mr1

r2r

𝜃

a

a2a1 x

y


Il problema dei tre corpiNel sistema di riferimento del CM (non inerziale) il potenziale efficace a cui è soggetta la massa test m è

dove l’ultimo termine è il potenziale fittizio che descrive la forza centrifuga in un sistema non inerziale. Il vettore di Omega ha modulo 𝛺 e direzione perpendicolare al piano dell’orbita verso della rotazione antioraria. Questo potenziale ha delle superfici equipotenziali particolari.

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�(r) = � GM1

[r2 + a21 � 2a1r cos(⇡ � ✓)]1/2� GM2

[r2 + a22 � 2a2r cos ✓]1/2�1

2

(

~⌦⇥~r)2


Primo punto di Lagrange

Lobi di Roche

L1

Esiste una particolare superficie equipotenziale le cui sezioni con piani passanti per la congiungente le due stelle sono delle “figure a 8”:si intersecano nel primo punto di Lagrange (L1, in generale non è il centro di massa) ed i due lobi dell’8 sono detti “Lobi di Roche”;in L1 le forze gravitazionali e centrifuga si annullano, pertanto è un punto di equilibrio, ma instabile (è una sella del potenziale). Il gas di una stella che raggiunge L1 può passare all’altra stella, ovvero cadere nella buca di potenziale.In ogni stella le superfici di densità costante sono parallele alle superfici equipotenziali; pertanto seuna stella cresce in raggio (es. diventa gigante) assumerà la forma di una goccia, fino a riempire il suo lobo di Roche.

Le Superfici Equipotenziali

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I Lobi di RocheLa superficie in figura

rappresenta il potenziale in funzione della posizione su un

piano passante per le due stelle nel

sistema di riferimento corotante.

Posizione X Posizione Y

Pote

nzia

le

Rappresentazione 3D del potenziale di Roche per due stelle con rapporto di massa 2:1.


Le Stelle BinariePer accennare all’evoluzione nei sistemi binari partiamo da un paradosso apparente:alcune binarie sono costituite da una stella massiccia di sequenza principale ed una compagna meno massiccia ma più evoluta.Siccome i sistemi binari dovrebbero essere costituiti da stelle della stessa età, questa è una chiara contraddizione, almeno in apparenza.Questa apparente contraddizione si spiega col fatto che, durante l’evoluzione, la stella più massiccia diventa gigante, riempie il suo lobo di Roche e perde gran parte della sua massa a vantaggio della stella meno massiccia, come mostrato in figura.Alla fine le binarie si riconducono sempre ad essere costituite da:una stella gigante che riempie il suo lobo di Roche ed una compagna più evoluta.A seconda della compagna si hanno fenomeni diversi:

nana bianca → variabili cataclismiche, Novae, Supernovae tipo Iastella di neutroni o buco nero → binarie X.

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Evoluzione di un sistema binarioEsempio: stella di 5 M⊙ (B) con compagna di 1 M⊙ (A).

B diventa una gigante rossa, riempiendo il suo Lobo di Roche. A riceve

massa da B.

B evolve più rapidamente di A (è più massiccia).

A si accresce a spese di B che diventa sempre

meno massiccia.

La stella A è diventata un stella massiccia di sequenza principale con una compagna

gigante di piccola massa più evoluta (vecchia), un’apparente contraddizione!

La stella A diventa una gigante e perde ora massa

verso B che ormai è diventata una nana bianca.

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Eeff = �GMm

R+

L2

2mR2

Il gas di una stella che raggiunge il punto L1 può accrescere sull’altra stella.Visto da un sistema di riferimento inerziale, il materiale in accrescimento ha momento angolare L con la stessa direzione di quello J del sistema.Perciò non raggiungerà direttamente l’altra stella ma vi orbiterà attorno.Le particelle di gas si disporranno in orbite coplanari (piano perpendicolare a L), e formeranno un disco in rotazione circolare (disco di accrescimento).

Il disco si forma con asse di rotazione parallelo a L, momento angolare del gas in accrescimento, a causa della componente parallela della forza gravitazionale.La rotazione su orbite circolari avviene in seguito all’interazione viscosa tra i vari elementi di gas che portano ad una ridistribuzione dell’energia: ogni elemento di gas si collocherà così nello stato di energia potenziale efficace minima che corrisponde all’orbita circolare.

I Dischi di Accrescimento

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�L Fcent

Fgrav

M

m


dL = �dEtot

dt=

1

2

GM

r

dm

dt� 1

2

GM

(r + dr)

dm

dt' 1

2GMm

dr

r2

I Dischi di AccrescimentoIn seguito all’interazione viscosa, le particelle rilasciano energia gravitazionale e si muovono su orbite circolari con raggi progressivamente più piccoli fino a raggiungere la superficie della stella (o l’orizzonte degli eventi del buco nero).Il risultato finale è che un disco di accrescimento irraggia convertendo in radiazione parte dell’energia gravitazionale del materiale in accrescimento.Consideriamo un elemento di massa dm nel disco di accrescimento che passa da r+dr a r;per il teorema del viriale (Etot = - Eth = 1/2 Egrav) la sua variazione di energia totale è

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dEtot < 0 ed è proprio pari all’inverso dell’energia che deve essere irraggiata. Pertanto la luminosità è

dEtot

=E(r)� E(r + dr)

=Eth

(r + dr)� Eth

(r) =1

2E

grav

(r)� 1

2E

grav

(r + dr)


I Dischi di AccrescimentoLa luminosità totale irraggiata dal disco è perciò

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L =

Zr

out

r

in

dL =1

2GMm

✓� 1

rout

+1

rin

◆' 1

2

GMm

rin

per rout >> rin condizione che si verifica quasi sempre; si noti anche che, nel caso stazionario, il tasso di accrescimento deve essere costante su tutto il disco, altrimenti si avrebbe accumulo di massa in qualche parte del disco.Quell’espressione non esprime altro che la conservazione dell’energia; la fonte primaria di energia è quella gravitazionale;a parità degli altri fattori, L cresce al decrescere di rin: più compatto è l’oggetto, maggiore è la quantità di energia gravitazionale che riesco a estrarre.Qualsiasi sia il processo di produzione dell’energia posso scrivere L in funzione del tasso di massa che viene processato e dell’efficienza di conversione di materia in energia (ε), ovvero

L = �dm

dtc2 = �mc2


Efficienza dell’accrescimentoNel caso del disco di accrescimento si ha quindi

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� =12GMmrin

mc2=

1

2

GM

c2rin

Supponiamo che l’oggetto su cui si accresce sia una stella di neutroni con rns ' 10 kmM ' 1.4M�

ricordiamo che rns ' 2.5 rSch = 2.5⇥ 2GM

c2

ovvero � =1

2

GM

c2rin=

1

2

GM

c2 2.5 2GMc2

=1

10

cioè si ha un efficienza del 10% per accrescimento su un oggetto compatto come una stella di neutroni.Si ricordi come l’efficienza delle reazioni di fusione nucleare è ~0.007 = 0.7%;pertanto l’accrescimento su oggetti compatti è molto più efficiente per produrre energia delle reazioni di fusione nucleare.


La Temperatura del discoAbbiamo ottenuto la luminosità irraggiata localmente dal disco (ovvero dall’anello tra r e r+dr); supponiamo che l’anello sia all’equilibrio termodinamico ed irraggi come un corpo nero dalle facce superiore e inferiore:

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dL =1

2GMm

dr

r2= 2⇥ (2�rdr)⇥ ⇥T (r)4

dove T(r) è la temperatura del disco al raggio r. Pertanto

T (r) =

✓GMm

8�⇥

◆1/4

r�3/4

ovvero il disco è più caldo all’interno, e proprio dall’interno emerge gran parte della sua luminosità.Lo spettro emesso dal disco sarà una sovrapposizione di corpi neri, con il più caldo a temperatura T(rin). Questa temperatura definisce anche il taglio in frequenza dello spettro del disco.

log ν

F(ν)

log ν [Hz]

⇠ ⌫2e�h�

kT (rin)


T (rin) =

✓GMm

8�⇥

◆1/4

r�3/4in = 5⇥ 104 K

⇣ rin109 cm

⌘�3/4

L ' 1

2

GMm

rin' 4⇥ 1033 erg s�1 ' L�

Variabili CataclismicheNelle variabili cataclismiche l’oggetto compatto è una nana bianca

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M ' 1M� R ' 104 km

m ⇠ 10�9 M� yr�1con accrescimento tipico

il disco di accrescimento è più luminoso della nana bianca!La temperatura massima del disco è

più calda della temperatura superficiale di una stella O!

Queste temperature producono emissione nell’UV

kT = h� ' 4.3 eV � =hc

kT' 2880A


Variabili Cataclismiche & NovaeIl nome “Variabili Cataclismiche” deriva dal fatto che l’emissione (L) non è costate come nelle stelle ma varia molto a seguito della variazione diper turbolenze ed instabilità nel disco.Una classe particolare di VC sono le Novae caratterizzate da improvvisi aumenti di L che durano circa 1 mese.Ogni 104-105 yr il materiale che si accumula sulla superficie della nana bianca raggiunge le condizioni per l’accensione di H+H; questo avviene in ambiente degenere per cui si ha un “flash” nella produzione di energia come nel caso delle supernovae I;questo flash avviene sulla superficie della stella e non la distrugge.Tuttavia a seguito dell’accrescimento la nana bianca può raggiungere una massa superiore alla massa di Chandrasekar con conseguente esplosione di supernova di tipo I e distruzione della stella.

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Nova Cygni 1975

Dopo la diminuzione di L

"Nova" = stella nuova

m


Binarie XQuando il compagno è una stella di neutroni (o un BH)

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m ⇠ 10�9 M� yr�1con accrescimento tipico

M ' 1.4M� R ' 10 km ' 2.5⇥ 2GM

c2

L ' 1

2

GMm

rin' 1

10mc2 ' 5.7⇥ 1036 erg s�1 ' 1.5⇥ 103 L�

inoltre la temperatura massima del disco è adesso

T (rin) = 107 K⇣ rin10 km

⌘�3/4

per tale temperatura kT~ 1 keV ovvero si ha emissione principalmente nei raggi X (da cui il nome Binarie X).Cygnus X-1 è la prima binaria X scoperta negli anni ’70 da Riccardo Giacconi (Premio Nobel nel 2005); l’oggetto compatto risulta vare una massa di circa 10 M⊙ per cui non può trattarsi di una stella di neutroni (la cui massa limite è~3-4 M⊙); è pertanto la prima evidenza dell’esistenza di un buco nero.

Ricostruzione di una binaria X


Il limite di EddingtonEsiste un limite al tasso di accrescimento che vale per tutti i sistemi, binarie X a BH supermassivi inclusi.Questo limite è dovuto al fatto che la luminosità prodotta dall’accrescimento eserciti una “pressione di radiazione” sul materiale stesso in accrescimento.Se la conseguente forza radiativa diviene più grande dell’attrazione gravitazionale del buco nero, il materiale in accrescimento viene spazzato via e l’accrescimento stesso si ferma.Il disco di accrescimento, soprattutto nelle regioni più interne, è ionizzato, ovvero esiste una plasma costituito prevalentemente da protoni ed elettroni liberi (il gas è costituito prevalentemente di H).Il materiale in accrescimento è irraggiato con un flusso di fotoni (prodotto dal disco di accrescimento stesso) pari a

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nph =L�

4⇥r2 h�

con Lν luminosità per unità di banda del disco di accrescimento.


Il limite di EddingtonGli elettroni liberi hanno sezione d’urto Thomson σT per interazione con la radiazione (vedi lezione sull’opacità nelle strutture stellari), per cui il numero di fotoni intercettati da un elettrone nell’unità di tempo sarà

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dN

dt= nph⇤T =

L�⇤T

4⇥r2 h�

Ciascun fotone ha quantità di moto p = hν/c per cui l’impulso trasmesso dai fotoni all’elettrone è

dP⌫ =h�

c

dN

dtdt

ovvero, la forza radiativa diretta lungo la direzione radiale uscente (con il BH al centro) è

f� =dP�

dt=

h�

c

L�⇤T

4⇥r2 h�=

L�⇤T

4⇥r2 c


Il limite di EddingtonQuesto è il contributo dovuto ai fotoni di frequenza ν; la forza totale sull’elettrone si otterrà integrando su ν ovvero

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Frad =L⇥T

4�r2 cla stessa forza repulsiva agisce ovviamente sui protoni ma è molto minore poiché la sezione d’urto dipende da m-2, massa delle particelle.I protoni sono soggetti alla forza gravitazionale del BH che è molto maggiore rispetto agli elettroni.Nel plasma ionizzato protoni ed elettroni liberi sono comunque legati dall’attrazione elettrostatica che si oppone a separazioni di carica;il plasma ionizzato sarà dunque soggetto ad una forza gravitazionale attrattiva che agisce sui protoni e ad una forza radiativa repulsiva che agisce sugli elettroni;l’accrescimento si può avere quando la forza gravitazionale su un protone è superiore alla forza radiativa sull’elettrone

GMBHmp

r2� L⇥T

4�r2 cFgrav,p � Frad,e


Il limite di EddingtonInfine si ha

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L LEddington

=4�Gm

p

c

⇥T

MBH = 3.3⇥ 104 L�

✓MBH

M�

◆

ovvero la luminosità massima per accrescimento su un BH di massa solare è ~33000 luminosità solari!

Poichè la luminosità per accrescimento è si ha:L =1

2

GMm

rinL

LEdd=

m

mEdd 1 mEdd =

8⇡ cmp

�Trin

mEdd =8⇡ cmp

�Trin = 3.0⇥ 10�5 M� yr�1

⇣ rin104 km

⌘

Per una variabile cataclismica (nana bianca): M ' 1M� R ' 104 kmLEdd = 3.3⇥ 104 L� mEdd = 3.0⇥ 10�5 M� yr�1

Per una binaria X (stella neutroni): M ' 1.4M� R ' 10 kmLEdd = 4.6⇥ 104 L� mEdd = 3.0⇥ 10�8 M� yr�1


Massa massima di una stellaLEdd è la luminosità limite per cui una massa sferica M che emette radiazione è legata gravitazionalmente, per cui anche per una stella si deve avere

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L? LEdd =4⇡Gmpc

�TM? = 3.3⇥ 104L�

✓M?

M�

◆

Ma le stelle di massa superiore alla massa solare, seguono una relazione massa luminosità

L? = L�

✓M?

M�

◆3

per cui, sostituendo nell’espressione precedente, si ottiene✓M?

M�

◆3

3.3⇥ 104✓M?

M�

◆

ovvero, la massa massima di una stella è M? 182M�

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