Simulazione del palleggio di una pallina

da ping pong

Giulio Lapini

Si vuole implementare un modello SIMULINK di una pallina da ping

pong che viene palleggiata tramite una racchetta per farle così compiere

una traiettoria desiderata

Analisi del problema

Fv

mg

v

La pallina presenta le seguenti caratteristiche:

• massa m=2,7 g

• raggio r=20 mm

• momento di inerzia baricentrico IG=2mr2/3 = 72*10-8 kgm2

La pallina è soggetta alle seguenti forze:

• forza peso mg diretta verso il basso

• forza di resistenza dell’aria (attrito viscoso) Fv=-6πηrv,

sempre opposta al moto della pallina, dove η è il

coefficiente di viscosità, che per l’aria è pari a 17,1*10-6 Pa s

Modellazione dell’urto

βvyky

L’impatto con la racchetta è stato implementato mediante

un modello molla-smorzatore, elementi caratterizzati dalle

seguenti costanti (ipotizzate molto elevate per rendere l’urto

praticamente istantaneo):

• costante elastica della molla k=20000 N/m

• costante dello smorzatore β=20 Ns/m

Dinamica lungo l’asse delle x

Lungo l’asse delle x la pallina è soggetta

solamente alla resistenza dell’aria, che si

oppone al moto della stessa, e alla

propria forza di inerzia.Quindi lungo tale direzione la

pallina ha dinamica regolata dalla

seguente equazione:

6 xx

rva

m

vFv

max

Dinamica lungo l’asse delle y

6 yy

rva g

m

may

v

mg

Fv

Lungo l’asse delle y la pallina è soggetta

alla resistenza dell’aria, che si oppone al

moto della stessa, alla forza peso,

diretta verso il basso, e alla propria

forza di inerzia.Quindi lungo tale direzione la

pallina ha dinamica regolata dalla

seguente equazione:

Dinamica della rotazione

Fv

GI La palla è inoltre caratterizzata da un

moto rotatorio attorno al proprio centro,

definito dalla velocità angolare ω, cui si

oppone anche in questo caso la resistenza dell’aria.

La dinamica della rotazione è stata

modellata con la seguente relazione:

in cui k è una costante positiva

k

Dinamica dell’urto

βvy ky

ma

mg

F

GI

L’urto con la racchetta andrà a modificare, pressoché

istantaneamente, le tre velocità caratterizzanti il

moto della pallina, in particolare:

• la forza di attrito F andrà a diminuire

sia la componente orizzontale della

velocità della pallina, sia la sua velocità

angolare• la forza dovuta all’azione

congiunta della molla e dello smorzatore agiranno in modo da invertire

(al netto di qualche perdita) la

componente verticale della velocità della

pallina

Il “controllore” racchetta

x1 x2

h

Si suppone di usare la racchetta per far

rimbalzare la pallina fra i due punti x1 e x2

ad un’altezza massima h dal piano della

racchetta (supposta muoversi lungo l’asse

delle x ad un’altezza costanze pari a 0).

Per soddisfare tali richieste si dovrà

imporre dopo ogni urto che la velocità

della pallina sia in componenti pari a:

( )

2 2

2

ix

y

g x xv

gh

v gh

Simulazione in SIMULINK

Dinamica lungo l’asse delle x

urto con la

racchetta

velocità imposta

dalla racchetta

resistenza dell’aria

Dinamica lungo l’asse delle y

urto con la

racchetta

resistenza dell’aria

velocità imposta

dalla racchetta

Dinamica della rotazioneurto con

la racchetta

resistenza dell’aria

Il “controllore” racchetta

rete sequenziale che sceglie il prossimo punto di rimbalzo

componenti della velocitàimposta dalla racchetta

SimulazioneSi vuole che la pallina rimbalzi tra i punti -1 e 4 ad un’altezza massima di 1.3 m