Sezioni normali reciproche– Di norma su superfici regolari si misurano le distanze lungo le

“sezioni normali”, ovvero linee tracciate lungo il piano passante per i due punti di cui si vuole misurare la distanza e contenente la normale al punto di osservazione

– Su un ellissoide la sezione normale dipende da chi guarda, ci sono quindi due sezioni normali, dette sezioni normali reciproche

– Due misure di distanza? No, semplicemente la distanza non viene misurata lungo una sezione normale

– Occorre un modo diverso, e più generale, di misurare la distanza

– Lo stesso problema si presenta per gli azimut

Geodetica– Geodetica: curva sulla superficie tale che per ogni suo punto la

normale principale alla curva coincide alla normale principale della superfici

Tangenza di secondoordine (derivate prime e seconde) con la curva nel punto P

Piano contenente tuttele normali alla tangentein P

– Piano: rette

– Sfera: cerchi massimi

– Cilindro: eliche

Geodetiche– Per le superfici di rotazione, si può

dimostrare che una geodetica rispetta il teorema di Clairaut (cond. nec. ma non suff.):

r sin=C– Possono esistere infinite geodetiche

che congiungono due punti

– Una di queste è il percorso minimo, ovvero quello che definisce la distanza fra i due punti

Geometria ellissoidica– Da un punto di vista strettamente matematico angoli e

distanze sull'ellissoide devono essere calcolati usando archi di geodetiche minimizzanti

– I meridiani e l'equatore sono geodetiche

– Tutti gli altri paralleli no!

– Sull'ellissoide in generale non sono curve periodiche

A

B

d

ne

n p

Lossodromia● Le geodetiche sono curve complesse, poiché l'azimut in

ogni loro punto cambia (costantemente)

● Per quanto siano percorsi minimi sono troppo complessi per essere seguiti in navigazione marittima

● La lossodromia al contrario è una curva ad azimut costante (taglia tutti i meridiani secondo lo stesso azimut): è una curva facile da seguire, anche se non minimizzate

● A seconda della rappresentazione scelta può sembrare più corta di una geodetica (attenzione alle deformazioni, quindi)

Il problema della rappresentazione● Supponiamo di disporre di dati già rilevati, espressi in un

sistema di riferimento geodetico fissato.

● Le coordinate piane fanno riferimento all'ellissoide, non è possibile rappresentarle sul piano senza deformazioni: la superficie dell'ellissoide è a doppia curvatura, non è applicabile al piano (a differenza di cono e cilindro, per esempio)

Equazioni della rappresentazione– Si fa uso di una coppia di trasformazioni dette equazioni di

rappresentazione per passare dalle coordinate geografiche alle coordinate piane (espresse di norma in metri):

x= f ,y=g ,

– Caratteristiche richieste:● Continue e derivabili al primo ordine● A un sol valore e invertibili● Con deformazioni limitate per l'area di interesse

– Deformano distanze, angoli e aree, ma si può fare in modo che le deformazioni siano limitate per uno di questi aspetti e per una particolare porzione di superficie terrestre

– Esempio banale: x = , y = (non proiettata)

Rappresentazioni● Le rappresentazioni si suddividono in:

– Rappresentazioni analitiche: sono note le equazioni della rappresentazione, e sono l'unico modo per esprimere la trasformazione

– Proiezioni: trasformazioni ottenute proiettando da un centro prospettico i punti della superficie su una superficie sviluppabile, ovvero un piano, un cilindro, un cono, tangente o secante alla superficie ellissoidica in prossimità dei punti che si vogliono rappresentare. Si distinguono ulteriormente in:

● Prospettiche: fanno uso di un piano● Per sviluppo: fanno uno di una superficie applicabile al

piano– Le deformazioni sono in genere tanto più grandi quanto più

ci si allontana dal punto di tangenza

Proiezioni prospettiche● In funzione della posizione del centro di proiezione:

– Gnomonica o centrografica (al centro dell'ellissoide)

– Stereografica (sul punto opposto a quello di tangenza)

– Scenografica (fuori dalla superficie)

– Ortografica (all'infinito)

GNOMONICA ORTOGRAFICASTEREOGRAFICA

Proiezioni prospettiche

Piano secante– Si può effettuare una proiezione tangente o secante

– La proiezione secante consente, in alcuni casi, di contenere maggiormente le deformazioni. Equivale ad applicare un fattore di riduzione dopo aver effettuato la proiezione con il piano tangente.

– Caso di stereografica polare e centrografica: vengono contratte le dimensioni entro il parallelo di secanza (parallelo standard) e vengono espanse al di fuori.

– Ortografica: comprime sempre le distanze

CENTROGRAFICAORTOGRAFICA

Esempi

Esempi● Gnomonica: ha la proprietà di trasformare le geodetiche

in linee rette (geodetica = great circle)

OBLIQUA

Proiezioni per sviluppo● Possono usare un cono o un cilindro, tangente o secante,

variamente orientato rispetto all'asse di rotazione terrestre

● Le deformazioni sono limitate in prossimità del punto di tangenza, anche in questo caso si può fare uso di una superficie secante

Proiezioni per sviluppo– Esempio di proiezione cilindrica normale (o diretta), in questa

figura il cilindro non è tangente, ma di norma il cilindro è tangente o secante

– Proiezione di Mercatore: cilindrica normale con cilindro tangente. Una lossodromica è una linea retta

Da Mosca a Kansas City lungo una lossodromica e lungouna geodetica sulla proiezione diMercatore

Proiezioni per sviluppo● Nel caso delle proiezioni normali, il parallelo di tangenza

viene detto parallelo standard. Se il cono interseca l'ellissoide, si avranno due paralleli standard

Deformazioni– Le deformazioni sono in genere contenute nei pressi della zona di

tangenza/secanza della superficie sviluppabile

– Prendendo come riferimento una determinata scala di rappresentazione, ci sono punti in cui la deformazione introdotta non può essere notata, altri in cui è talmente elevata da pregiudicare:

● La misura● L'accettabilità della carta come rappresentazione del mondo

– Per ovviare a questo problema si può fare uso dello stesso tipo di rappresentazione, ma di diversi paralleli e meridiani di riferimento per diverse zone del mondo: si crea un sistema cartografico policentrico

– Un sistema policentrico è l'unica scelta per mappare ampie zone del mondo, ma anche per mappare piccole zone a grande scala

Scala ed errore di graficismo– Scala: rapporto fra la lunghezza di un elemento lineare sul piano

della carta e quella del corrispondente elemento oggettivo misurato sulla superficie di riferimento.

– La scala contiene in se la deformazione! Allora scala = scala(P, a)

– Errore di graficismo: massimo errore effettuato nel tracciamento di una linea sulla carta, convenzionalmente fissato in 0.2 mm sul piano della carta.

Si può fare in modo che la deformazione lineare massima sia inferiore all'errore di graficismo:

Fissata la scala, riducendo l'area rappresenta-ta

Fissata l'area da rappresentare, riducendo la scala

Se questo non basta, occorre cambiare parallelo/meridiano o il tipo di rappresentazio-ne, o accettare la presenza degli errori e indica-re più scale per la carta

EG in metri reali a varie scale

1:x EG1000 0,2

10000 250000 10

100000 20500000 100

1000000 2005000000 1000

Valutare le deformazioni– Modulo di deformazione lineare: rapporto fra

l'elemento infinitesimo di curva sul piano della rappresentazione e il corrispondente elemento sulla superficie oggettiva (l'ellissoide)

– Modulo di deformazione superficiale: rapporto fra un'area infinitesima sul piano della rappresentazione il corrispondente elemento areale sulla superficie oggettiva

– Deformazione angolare: differenza fra l'angolo sul piano della rappresentazione e l'angolo sulla superficie oggettiva (misurato un il meridiano e un arco di geodetica)

– In linea generale le suddette deformazioni variano per punto e per angolo, m = m(P, a), M=M(P, a)

m=dsr

dse

M=dr

de

='−

'

Nota: gli elementi sul piano della rappresentazione sono proiettati ma non ridotti secondo un dato fattore di scala

Classificazione rappresentazioni– Rappresentazioni conformi (isogoniche):

● def: la deformazione lineare dipende dal punto ma non dall'angolo (m = m(P), M=M(P))

● Di conseguenza, la deformazione angolare è nulla● Preservano la forma degli oggetti● Usate per carte generali e per la navigazione

– Rappresentazioni equivalenti: ● def: le aree vengono preservate (M=1)● Usate per scopi catastali (l'area è importante a scopo fiscale e commerciale) e

per le carte dell'intero pianeta (per avere una rappresentazione corretta delle dimensioni di stati e continenti)

– Rappresentazioni equidistanti:● Mantengono il modulo di deformazione pari a 1 in specifiche direzioni (ad

esempio lungo un parallelo o lungo i meridiani)

– Rappresentazioni afilattiche:● def: sia le aree che gli angoli vengono deformati, ma si cerca un compromesso

– Conforme + equivalente? Impossibile!

Ellisse di Tissot– L'ellisse indicatrice di Tissot è un modo grafico per mostrare

come vengono deformate lunghezze, angoli e aree

0 A A'

MM'

– Il cerchio oggettivo (infinitesimo) viene trasformato dalle equazioni di rappresentazione nell'ellisse soggettiva

– Una trasformazione conforme trasforma il cerchio oggettivo in un cerchio soggettivo di diversa area (supponendo che il cerchio oggettivo sia di dimensione infinitesima)

– Una trasformazione equivalente trasforma il cerchio oggettivo in una ellisse soggettiva di uguale area

Ellisse di Tissot

CILINDRICA DIRETTA (MERCATORE)

CILINDRICA OBLIQUA

ORTODROMICA

HAMMER

Sistemi di coordinate planari– La proiezione sul piano consente di utilizzare un sistema di

coordinate cartesiano bidimensionale

– Gli assi del sistema di riferimento sono di norma il meridiano di riferimento e il parallelo standard (proiezioni per sviluppo e al di fuori delle zone polari)

– Nel caso di superficie secante, si usa il parallelo/mediano centrale

– I valori in metri, misurati sulla superficie piana (piano della rappresentazione) possono essere negativi e/o possono essere molto grandi

– Per risolvere l'uno o l'altro problema di adottano le false origini (ovvero, si trasla la posizione dell'origine in modo da ottenere numeri positivi e/o numeri piccoli)

– Le distanze misurate sul sistema di coordinate planari saranno corrette solo per aree piccole e con bassa deformazione, coerentemente con la scala e l'errore di graficismo della carta.

– Per misurare distanze e angoli si preferiranno rappresentazioni conformi

Sistemi di coord. planari

TRASFORMATA DELMERIDIANODI RIFERIMENTO

TRASFORMATA DELPARALLELO DIRIFERIMENTO

ASCISSA, X, EST (Easting)

OR

DIN

ATA

, Y,

NO

RD

(N

ort

hin

g)

Falsa

origi

ne

AREA DIINTERESSE

Sanson-Flamsteed– Rappresentazione equivalente

con equazioni piuttosto semplici

– Simile ad una conica. Usata per il primo disegno della Carta d'Italia 1:100.000 alla fine dell'800.

– Si richiede che le trasformate dei paralleli siano rette parallele al parallelo di base e che la deformazione lineare sia unitaria lungo tutto il meridiano di base (asse delle x!)

– Le deformazioni introdotte sono accettabilialla scala 1:100.000 con quadrilateri ellissoidici di 30' di long. per 20' di latitudine.

– Occorrevano 277 fogli al 100.000 per coprire tutta l'Italia, i fogli non potevano essere affiancati (a lato). Sistema fortemente policentrico e poco funzionale.

Mercatore– Strettamente derivata da una proiezione con sviluppo cilindrico

diretto e cilindro tangente all'equatore, ma con la condizione di rendere la rappresentazione conforme (la versione puramente geometrica non lo è).

– Proiezioni dei meridiani rettilinee, parallele ed equidistanti

– Proiezioni dei paralleli parallele a distanze crescenti man mano che ci si allontana dall'equatore

– I poli non rientrano in carta

– Una lossodromia viene trasformata in una linea retta

– Utilizzabile soltanto a basse latitudini

Stereografica polare– Conforme

– Usata per la navigazione ad alta latitudine

– Le geodetiche sono molto vicine ad essere linee rette (lo sono esattamente solo nella proiezione gnomonica)

– Il modulo di deformazione lineare va da 1 al polo fino a 2 sull'equatore

– I meridiani sono segmenti retti uscenti dal polo

– I paralleli sono circonferenze a distanza crescente.

Gauss– Proiezione cilindrica trasversa con cilindro tangente o secante

– Conforme

– Utilizzata per i due più importanti sistemi cartografici italiani: il Gauss-Boaga e l'UTM.

– Modulo di deformazione proporzionale al quadrato della longitudine: adatta solo per aree limitate, da luogo a sistemi policentrici

– Il meridiano a 90° dal meridiano centrale viene proiettato all'infinito

Conforme conica di Lambert– Proiezione conforme a uno o due paralleli standard (di tangenza

se uno, di secanza se due)

– Viene utilizzata in molti stati a media latitudine (Stati Uniti, Francia, Spagna, Beglio)

– Viene usata anche dall'IGM per le carte a piccola scala dell'Italia (1:500.000, 1:1.250.000)

– Le deformazioni sono nulle sui paralleli standard, e aumentano a mano a mano che ci si allontana da essi

Cassini - Soldner– Afilattica, usata per il sistema catastale italiano (che ora si stanno

uniformando al sistema Gauss-Boaga)

– Simile ad una cilindrica trasversa

– X e Y sono le lunghezze degli archi di geodetica di un sistema di coordinate curvilineo con origine fissata O

– X è la lunghezza dell'arco di geodetica checongiunge P con la sua proiezione normale normale P' sul meridiano di rif.

– Y è la lunghezza OP' sul meridianodi riferimento

– E' equidistante sul meridiano di riferimento e sulle proiezioninormali a tale meridiano

Confronto fra rappresentazioni

Confronto fra rappresentazioni

Il sistema UTM-UPS– Coppia di rappresentazioni per rappresentare tutta la superficie

del pianeta

– UTM: Universal Transvers Mercator

– UPS: Universal Polar Stereographic

– Suddiviso in fusi e fasce identificati danumeri e lettere

– Un incrocio fuso-fasciaviene detto zona

– Ogni zona è ulteriormente suddivisa in riquadrida 100 Km di lato

FUSIFASCE

ZONA

UTM– Mercatore trasversa conforme (Gauss)

– False origini: ● Emisfero nord: N = y, E = x + 500.000● Emisfero sud: N = y + 10.000.000, E = x + 500.000

– Policentrica: cilindro secante riferito al meridiano centrale di ogni fuso con fattore di riduzione 0.9996

– 60 fusi da 6° di longitudine numerati a partire dall'antimeridiano di Greenwich

– 20 fasce da 8° di latitudine

– Italia -> fusi 32 e 33 (penisola salentina nel 34), fasce S e T

– Ogni riquadro da 100 Km di lato è individuato da una coppia di lettere univoca all'interno della zona

– Coordinate espresse in modo peculiare: FUSO - FASCIA – RIQUADRO – XDR – YDR (XDR: x in decametri all'interno del riquadro da 100 Km)

UTM

– 32 T PQ 8526 2891

● Fuso 32● Fascia T● Riquadro PQ● Coord X in decametri

nel riquadro● Coord Y in decametri

nel riquadro

● Coordinate della facoltà di ingegneria di Bologna!

Sistema Gauss Boaga– Derivazione dal sistema UTM per eliminare alcuni difetti del

sistema UTM:● Taglia l'Italia in due parti con cartografie non affiancabili● Il taglio è in prossimità di Roma● Non copre tutta l'Italia

– Adatto alla produzione di cartografia 1:25.000

– Due fusi, EST e OVEST, con meridiani centrali a 9° e 15°

– Il fuso EST Include la penisola salentina

– I due fusi si dividono su Monte Mario, non a 12° di longitudine

– Fattore di scala 0.9996

– Zona di sovrapposizione di 30' rappresentata secondo entrambe i fusi

– False origini: ● Fuso EST: E = x + 1.500.000● Fuso OVEST: E = x + 2.520.000

Gauss - Boaga