Sezione 7 L'Universo Primordiale

Sezione 7

L’Universo Primordiale

Corso di Astrofisica Teorica

Cosmology Course

Prof. Alberto Franceschini

In parte basato su appunti di: Alice De Biasi e BrunettoMarco Ziosi

Indice

1 Il modello cosmologico standard 21.1 L’equazione di stato generalizzata per un fluido cosmico perfetto 21.2 La Singolarita Iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Generalizzazione della dinamica di Friedmann . . . . . 51.2.2 La Singolarita Iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Inevitabilita’ del Big Bang . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 L’Era di Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Cosmologia quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1 Cosmologia di stringa e di brana . . . . . . . . . . . . 181.4.2 Unificazione di gravita’ e meccanica quantistica nella

teoria delle superstringhe . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Gli Orizzonti Cosmologici e la Visibilita’ dell’Universo 212.1 Che cos’e’ un orizzonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Orizzonti in un Universo statico . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Orizzonti in un Universo in espansione . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1 La sfera di Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.2 Orizzonte delle particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.3 Universi senza orizzonte delle particelle . . . . . . . . . 282.3.4 Rappresentazioni nel tempo conforme . . . . . . . . . . 29

2.4 Rappresentazioni formali degli orizzonti cosmologici . . . . . . 30

3 Il modello cosmologico standard classico a Hot Big Bang :successi e problemi 373.1 Il modello a Big Bang Caldo. Equilibrio termodinamico pri-

mordiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Successi e problemi del Modello Standard Classico . . . . . . . 42

3.2.1 Il problema della piattezza cosmica . . . . . . . . . . . 43

1 INDICE

3.2.2 Il problema dell’orizzonte cosmologico . . . . . . . . . . 453.2.3 Il problema dei monopoli . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.4 Il problema della costante cosmologica . . . . . . . . . 47

3.3 Epilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Processi fisici nell’Universo primordiale. Transizioni di fase.Inflazione Cosmologica 494.1 Costituenti fondamentali della materia . . . . . . . . . . . . . 494.2 Le Interazioni Fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3 La Fisica delle Transizioni di Fase . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4 Transizioni di Fase Cosmologiche . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Soluzione inflazionaria ai problemi del modello standard . . . 63

4.5.1 Costanza del parametro di Hubble durante l’Inflazione 634.5.2 Soluzione al problema della Piattezza . . . . . . . . . . 644.5.3 Soluzione al problema dell’Orizzonte . . . . . . . . . . 654.5.4 Soluzione al problema dei Monopoli . . . . . . . . . . . 684.5.5 Origine dello spettro primordiale delle perturbazioni

scalari e tensoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5 Modelli Inflazionari 715.1 Tipologie di inflazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.1.1 Inflazione vecchia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.1.2 Inflazione nuova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.1.3 Modello Inflazionario Aperto . . . . . . . . . . . . . . . 725.1.4 Inflazione caotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.1.5 Inflazione stocastica, Principio Antropico, problema del

fine-tuning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.1.6 Altri modelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2 Successi e problemi dell’inflazione . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6 Appendix 7A: Fine tuning of the Universe (from Wikipedia) 77

Capitolo 1Il modello cosmologico standard

Affrontiamo in questa Sezione alcune questioni fondamentali riguardanti l’U-niverso primordiale. Esse riguardano, tra l’altro: alcuni dei molti processifisici in gioco, le nostre possibilita’ osservative delle prime fasi evolutive, ilimiti in generale delle nostre osservazioni come unico osservatore fondamen-tale, alcuni (clamorosi) successi del modello Standard classico di Big Bang ealcuni suoi problemi fondamentali. Discuteremo cosi’ brevemente il piu’ in-vocato modello (il modello inflazionario) in grado non solo di risolvere partedi queste incongruenze, ma anche di offrire vantaggi e nuove possibilita’ diinterpretazione di alcuni fatti fondamentali della cosmologia.

1.1 L’equazione di stato generalizzata per un

fluido cosmico perfetto

Dovendo discutere l’evoluzione cosmologica lungo una sequenza di ere carat-terizzate da una enorme varieta’ di processi e situazioni fisiche (si veda unoschema illustrativo sintetico in Figura 1.1), e’ utile realizzare una semplicegeneralizzazione dell’equazione di stato del fluido cosmico.

Un’approssimazione sufficientemente realistica in uso per la descrizionedell’Universo e’ quella di un fluido ideale perfetto. Se infatti il libero cam-mino medio tra le particelle collisionali e’ molto inferiore alla scala fisicadi interesse, allora le componenti dell’universo possono essere rappresentatecome un fluido. Inoltre il tensore energia-impulso, dovendo assumere unaforma compatibile con il Principio Cosmologico, deve ad esempio possedereuna pressione isotropa. Questo e’ uno degli argomenti per ritenere il fluidocosmico come perfetto.

3 Il modello cosmologico standard

Figura 1.1: Schema delle principali fasi evolutive dell’Universo dopo il BigBang.

1.1 L’equazione di stato generalizzata per un fluido cosmicoperfetto 4

Per completare la descrizione di tale fluido, abbiamo inoltre bisogno diuna specifica equazione di stato, che leghi p e ρ del fluido stesso.

Introduciamo una equazione di stato generalizzata che fornisca una ricettasemplice e concisa delle varie situazioni dinamiche che si possono presentarein varie diverse ere cosmologiche. Si tratta ovviamente di una approssimazio-ne, ma che risulta abbastanza realistica dal momento che il cammino liberomedio delle varie componenti e’ molto minore delle scale fisiche considerate.L’equazione di stato e’ cosi’ espressa dalla relazione

p = wρc2 (1.1)

in cui il parametro w, detto parametro di stato, e’ una costante con valoritipicamente compresi nell’intervallo 0 < w < 1 (detto intervallo di Zel’do-vich). Nelle varie ere cosmiche il parametro w potra’ assumere valori dif-ferenti a seconda delle situazioni fisiche che dominino la dinamica cosmica1.

Per esempio, un fluido non relativistico esercita una pressione che si puo’considerare trascurabile p = w (T ) ρc2 con w → 0. Cio’ ad es. si verifi-ca durante la Matter Dominated Era. Al contrario, un fluido di particellerelativistiche non degeneri in equilibrio termico ha una equazione di stato

p =1

3ρc2 (1.2)

Anche la velocita del suono 2

cs =

(∂p

∂ρ

)1/2

(1.3)

e’ ovviamente legata al parametro w: per w = 0 pure cs = 0, mentre perw = 1/3, il caso relativistico, otteniamo cs = c/

√3.

Con la nostra descrizione generalizzata delle condizioni fisiche del fluidocosmico, e considerando l’espansione dell’Universo come adiabatica, la ge-neralizzazione relativistica della legge di conservazione dell’energia (1a legge

1Il parametro w puo’ essere riferito all’intero fluido cosmico, nel caso in cui ad esempiouna sola componente lo domini (radiazione, energia), oppure ad una singola delle compo-nenti presenti ad un certo tempo cosmico. Questo e’ il caso ad esempio del tempo attuale,nel quale abbiamo due distinte componenti contribuenti alla dinamica, di materia (perla quale vale wm = 0) e di energia oscura (per la quale vale wm = −1 se interpretabilecome costante cosmologica). Nel caso del dato in asse Y riportato in Fig. 6.10.2, il suosignificato e’ appunto questo, non quello di rappresentare il parametro di stato per l’interouniverso attuale.

2Rimandiamo per una discussione piu’ approfondita della velocita’ del suono incosmologia al Cap. 3.3.1 della Sez. 6, CMBR.


della temodinamica) sara’:

dE = −pdV, c2d(ρa3) = −3pa2da; ρd(a3) + a3dρ = − p

c2da3 (1.4)

(ρ+ p/c2)da3 = −a3dρ (1.5)

L’equazione di stato (1.1) combinata con questa legge di conservazione danno

ρ(1 + w)da3 = −a3dρ; dρ/ρ = −(1 + w)da3/a3; (1.6)

ln(ρ) = −(1 + w)ln(a3); ρa3(1+w) = ρ0a3(1+w)0 = const = ρ0 (1.7)

da cui ricaviamo la classica relazione tra densita e fattore di scala norma-lizzato a(t) per materia e radiazione. La densita (di energia) nel caso dellaradiazione decresce piu rapidamente (espondente 4 invece di 3) perche, oltreche della variazione di volume, si deve tener conto anche della diminuzionedi energia delle particelle causata dal redshift.

Sulla base della Relativita’ Generale, il parametro di stato w non puo’assumere valori superiori all’unita’ in quanto cio’ comporterebbe cs > c, ossiauna violazione del principio di causalita’.

Il caso w = 0 rappresenta un fluido a pressione nulla (che chiameremo ununiverso di polvere) ma approssima bene qualunque fluido o gas non relati-vistico nell’ipotesi che mpc

2 ≫ kBT (si veda la discussione sulla velocita’ delsuono alle varie epoche cosmiche nella Sez.5, cap. 3.3.1), per cui la pressionee’ relativisticamente irrilevante. Il caso w < 0 invece corrisponderebbe aduna velocita del suono immaginaria.

Dovremo essere tuttavia aperti alla possibilita’ che il parametro w assumaanche valori negativi, come vedremo. Per semplicita assumiamo il caso di wcostante nel tempo durante una certa era cosmica. Ad esempio, un fluidocon w = −1 corrisponde alla situazione fisica della dominanza della costan-te cosmologica, la cui densita di energia non diminuisce con l’espansionedell’Universo, come si puo’ immediatamente dedurre da eq. 1.6.

1.2 La Singolarita Iniziale

1.2.1 Generalizzazione della dinamica di Friedmann

Modelli di Universo composti di un fluido che abbia equazione di stato conparametro compreso nell’ampio intervallo di valori −1

3< w < 1 godono della

proprieta’ di possedere un istante di tempo in cui a si annulla e la densita’,con tutti i parametri termodinamici, divergono. Questo istante prende il

1.2 La Singolarita Iniziale 6

nome di singolarita’ iniziale, o del Big Bang. Per mostrare quanto cio’ siainevitabile, riscriviamo l’equazione di Friedmann nella forma

(a)2 =8π

3Gρ (a)2 −

(kc2). (1.8)

La dipendenza dal valore del fattore di scala al tempo attuale a0 = a(t0)qui indicata puo’ essere omessa (a0 = 1) e questa sara’ la nostra scelta nelseguito. Ricordiamo la definizione di parametro di densita’ Ωm = ρ0

ρ0ccon

ρ0c =3H2

0

8πG, (1.9)

dove H0 = a0/a0. Introduciamo ora il parametro di densita’ generaliz-zato per un fluido con parametro di stato w

Ωw(z) =8πGρw(z)

3H(z)2, (1.10)

e ricordando che, da eq. (1.7),

ρw(z) = ρ0w(1 + z)3(1+w) = ρ0wa(t)−3(1+w), (1.11)

dove il suffisso 0 e’ riferito al tempo cosmico attuale. Utilizzando la 1.8, eintroducendo il parametro di densita’ generalizzato al tempo attuale:

Ω0w =ρ0wρ0c

(1.12)

otteniamo l’equazione di Friedmann generalizzata:

(a)2 = H20

[Ω0w a−(1+3w) + (1− Ω0w)

](1.13)

con 1− Ω0w ≡ Ω0k =3kc2

8πGρ0c, come discusso nella Sezione 0, o in alternativa:

H2(t) = H20 a

−2[Ω0w a−(1+3w) + (1− Ω0w)

](1.14)

dove H(t) = a/a e’ il parametro di Hubble a generico tempo t. Si supponeovviamente che ad un generico tempo t, per esempio il tempo cosmico attualet0, l’Universo sia in espansione, con a(t) > 0.

A sua volta, la prima equazione della dinamica, che include nel tensoremetrico termini di densita’ di massa-energia e di pressione, diviene

a(t) = −4π

3G

[

ρ+3p

c2

]

a(t) = −4π

3G(1 + 3w)ρ a(t) = (1.15)

= −4π

3Gρ0w(1 + 3w) a(t)−2−3w (1.16)


Figura 1.2: Concavita del parametro di espansione in funzione del tempo. Sivede come a t = 0 questo si annulli dando origine alla singolarita.


avendo utilizzato ancora le rel. 1.1 e 1.11.

Infine, stabiliamo le relazioni fondamentali tra tempo cosmico e fattoredi scala a(t) in modo generalizzato:

dt =da(t)

a(t)=da(t)/a

H(t)=d ln a(t)

H(a)=

a(t) d ln a(t)

H0 [Ω0w a−(1+3w) + (1− Ω0w)]1/2

(1.17)

1.2.2 La Singolarita Iniziale

Dall’equazione dinamica nella sua generalizzazione relativistica 1.16, consi-derato che per definizione il fattore di scala a(t) e’ positivo, si puo’ vedereche avremo a < 0 per ogni valore del tempo cosmico t se (ρ+ 3p/c2) > 0; inaltre parole, questo richiede (1 + 3w) > 0, ovvero w > −1/3, dal momentoche ρ > 0. Cio’ stabilisce che la funzione a(t) sia necessariamente concavaverso il basso. Si puo’ vedere quindi che a(t) deve annullarsi a qualche tempofinito t nel passato, che possiamo denominare come t = 0.

Poiche’ a(0) = 0, in questo punto la densita’ ρ diverge, come il parametrodi espansione di Hubble e tutte le altre variabili termodinamiche. Si puo’inoltre vedere che, poiche’ a(t) e’ una funzione concava, il tempo tra la sin-golarita’ e l’epoca t deve essere sempre inferiore al tempo caratteristico diespansione dell’Universo, τH = 1/H = a/a. La combinazione di eq. 1.14 e1.16 porta all’evoluzione di a(t) in Figura 1.2.

La singolarita’ del Big Bang e’ inevitabile quindi per tutti i modelli omo-genei ed isotropi che contengano un fluido con parametro di stato w > −1

3:

questi valori includono quindi l’intervallo fisico di Zel’dovich, in abbondanza.Modelli fisici d’Universo prevedono come inevitabile la Singolarita’ Iniziale.L’esistenza di una singolarita’ e’ quindi un risultato molto generale, basa-to sulle conoscenze fisiche attuali. Essa e’ invece evitabile, per esempio, inmodelli con costanti cosmologiche non nulle e con valori molto elevati (lacostante cosmologica misurata al tempo attuale ha un valore estremamen-te piccolo, vedi nella prossima Sez.), o in Universi dominati da materia conparametro di stato w < −1

3.

Si noti infine che l’espansione dell’Universo, descritta dal modello a BigBang, non e’ dovuta in nessun modo all’effetto della pressione, che agiscesempre a decelerare l’espansione, ma e’ il risultato delle condizioni inizialiche descrivono un Universo omogeneo e isotropo. Un altro tipo di condizionecompatibile con il Principio Cosmologico, quella a contrazione a < 0, conducead un collasso isotropico dell’Universo attraverso una singolarita’ che prendeil nome di Big Crunch.


1.2.3 Inevitabilita’ del Big Bang

Tutti i modelli cosmologici omogenei ed isotropi contenenti un fluido perfettocon equazione di stato:

p = wρc2 (1.18)

dove 0 ≤ w ≤ 1 e’ un parametro costante, possiedono una singolarita’ at = 0 dove la densita’ diverge e le distanze proprie tra due punti tendono azero. Tale singolarita’ prende il nome di Big Bang. La sua esistenza e’ unadiretta conseguenza di quattro assunzioni fondamentali (teorema di Penroseand Hawking):

1. il Principio Cosmologico;

2. le equazioni di campo della Relativita’ Generale di Einstein, in assen-za di una costante cosmologica di valore elevato (vedi eq. (1.22) nelseguito);

3. l’espansione dell’Universo (ossia (a/a)0 = H0 > 0)

4. la forma assunta per l’equazione di stato, ossia quella di un gas perfettocon parametro di stato con valori naturali, ossia 0 ≤ w ≤ 1, o persino−1/3 ≤ w ≤ 1.

Il Big Bang potrebbe essere interpretato come una estrapolazione dedottadalla teoria della Relativita’ Generale, in una situazione in cui tale teorianon e’ piu valida. E’ infatti necessario un nuovo insieme di leggi fisicheper descrivere il comportamento della materia in prossimita’ del Big Bang,quando densita’ e temperatura raggiungono temperature molto piu elavatedi quelle riproducibili in laboratorio e, soprattutto, dove effetti di naturaquantistica si manifestano a causa della ridotta scala cosmica.

In particolare, qualsiasi teoria sulla materia, deve tenere in considera-zione l’insorgere di effetti quantistici su scala cosmica, sotto tali condizioniestreme di densita’, temperatura e scala spaziale. Questa nuova teoria, chesi sostituisce nel regime delle alte energie alla relativita’ generale, prende ilnome di quantum gravity, anche se la strada per costruire attorno ad essa unformalismo soddisfacente si presenta ancora molto impervia.Potrebbe anche accadere che in una teoria completa della gravita’ quantisticala singolarita’ cosmologica del Big Bang fosse rimossa. In altre parole, l’esi-stenza potrebbe essere semplicemente frutto dell’incompletezza della teoriadella Relativita’ Generale.


In ogni modo appellarsi alla gravita’ quantistica potrebbe non essere l’u-nica strada per evitare la singolarita’ iniziale. Rimanendo all’interno dellateoria di Einstein, in via puramente teorica possiamo infatti evitare la singo-larita’ semplicemente ipotizzando, per l’Universo primordiale, un’equazionedi stato differente rispetto a quella di un fluido perfetto con p/ρ > −1

3.

Ancora in relazione all’equazione di Friedmann:

a = −4

3πG(

ρ+ 3p

c2

)

a, (1.19)

l’argomento fornito nella sezione precedente basato sulla concavita’ di a(t)potrebbe non essere piu valido, e quindi la singolarita’ evitata, in presenza diun fluido con w < −1

3. Un fluido di questo genere si dice violi la condizione

forte di conservazione dell’energia.Ci sono vari modi in cui tale condizione puo’ essere violata. Per esempio

descrivendo il contenuto dell’Universo come un fluido imperfetto, nel qua-le la viscosita’ e la conduttivita’ termica non siano trascurabili. Il tensoreenergia-impulso conterra’ quindi una dipendenza dal coefficiente di viscosita’di scorrimento η, da quello di viscosita’ di volume ζ e dalla conduttivita’termica χ. Il significato fisico dei primi due coefficienti puo’ essere compresoattraverso l’equazione del moto di Eulero per un fluido non relativistico contrascurabile auto-gravita’:

ρ

[∂v

∂t+ (v · ∇)v

]

= −∇p+ η∇2v+ (ζ +1

3η)∇(∇ · v). (1.20)

Si puo’ dimostare che nella metrica di Robertson-Walker i termini in η e χdevono essere nulli a causa del’omogeneita’ e dell’isotropia; non ci sono diconseguenza gradienti in pressione e temperatura. Il termine di viscosita’ divolume, pero’, non deve essere necessariamente uguale a zero: l’effetto sull’e-quazione di Friedmann e’ la sostituzione della pressione p con una pressione“ effettiva” p∗:

p → p∗ = p− 3ζa

a, (1.21)

e il tensore energia-impulso diventa

Tij = −(

p− 3ζa

a

)

gij +

(

p− 3ζa

a+ ρc2

)

UiUj . (1.22)

L’equazione 1.19 non cambia nella forma, ma la pressione p viene sostituitada quella effettiva p∗ = p−3ζ a

a. Generalmente, la viscosita’ di volume e’ tra-

scurabile nei fluidi non relativistici e in quelli ultra-relativistici. Essa non e’necessariamente piccola nel regime intermedio, ossai nel caso di una mistura


di fluido relativistico e non relativistico. Con un’espressione appropriata perζ (per esempio ζ = α∗ρ con α∗ = const > 0 o ζ = const > 0) si potrebbeformalmente ottenere una soluzione omogenea ed isotropa dell’equazione diEinstein, priva della singolarita’ iniziale.

Un’altra strada per evitare la singolarita’ del Big Bang e’ di porci in unUniverso con una costante cosmologica Λ non nulla e positiva. L’attualevalore di Λ e’ tuttavia molto piccolo e limitato osservativamente come segue:

|Λ| <(H0

c

)2

≃ 10−55cm−2. (1.23)

Gli effetti di tale costante cosmologica nei primi istanti dell’Universo devonoessere stati del tutto trascurabili, dato che la sua importanza dinamica crescecon il tempo. Un approccio piu realistico e’ di interpretare la costante co-smologica come una quantita’ legata alla densita’ di energia del vuoto di uncampo quantistico; questa potrebbe essere una quantita’ dinamica piu im-portante nel passato di quanto lo sia attualmente, che richiederebbe dunqueuna energia del vuoto variabile nel tempo, al contrario della previsione relati-vistica di una Λ costante. Nell’ipotesi avenzate dalle teorie inflazionarie, cheverranno analizzate in seguito, la dinamica dell’Universo primordiale e’ do-minata da un campo scalare di forze omogeneo ed isotropo, la cui evoluzionee’ governata dalla classica lagrangiana:

LΦ =1

2Φ2 − V (Φ), (1.24)

dove il primo termine e’ cinetico e il secondo e’ il potenziale effettivo. Uti-lizzando ora le unita’ naturali (c = ~ = 1), troviamo per il tensore energia-impulso:

Tin(Φ) = −pΦgij + (pΦ + ρΦc2)UiUj, (1.25)

dove la densita’ di energia ρΦc2 e la pressione pΦ, possono essere interpretate

come quantita’ effettive ed espresse come

ρΦc2 =

1

2Φ2 + V (Φ) (1.26)

pΦ =1

2Φ2 − V (Φ). (1.27)

In particolare, se il termine cinetico e’ trascurabile rispetto al termine delpotenziale, l’equazione di stato effettiva per il campo diventa:

pΦ ≃ −ρΦc2. (1.28)

1.3 L’Era di Planck 12

Il campo scalare puo’ quindi essere trattato come un fluido con un parametrodell’equazione di stato w < −1/3 (tale da violare la condizione di energiaforte) o con una costante cosmologica effettiva

Λ =8πG

c2ρΦ. (1.29)

La densita’ ρΦ e’ del tutto trascurabile attualmente, ma deve essere statoil fattore dinamico dominante in una certa fase dell’evoluzione dell’Universo.Inoltre deve aver rivestito un ruolo chiave nella fase inflazionaria.

Se la singolarita’ del Big Bang sia evitabile o meno rimane un proble-ma completamente aperto, come senza risposta rimane anche la domanda seabbia senso considerare eventi nell’Universo per t < 0. Tutte queste proble-matiche vengono raccolte sotto il nome di problema dell’origine dell’Universo,e rappresentano la piu grande lacuna della cosmologia moderna.

1.3 L’Era di Planck

Come gia’ detto precedentemente, la teoria della relativita’ generale deveessere modificata in situazioni in cui la densita’ tenda all’infinito, per tenerein considerazione gli effetti quantistici che in tali situazioni sorgono sullascala degli orizzonti cosmologici.

In mancanza di una teoria completa per la gravita’ quantistica, e’ difficilestabilire con precisione quando tali effetti quantistici diventino significativi.Tuttavia e’ possibile produrre una stima sulla scala temporale ed energeticain cui ci aspettiamo effetti di gravitazione quantistica abbastanza grandi damodificare i calcoli basati unicamente sulla teoria della relativita’ generale. Illimite di validita’ della teoria di Einstein nei modelli di Friedmann e’ fissatodal tempo di Planck che e’ dell’ordine di 10−43 secondi dopo il Big Bang,come discusso nel seguito.

• Il tempo di Planck tP e’ il tempo per cui le fluttuazioni quantistichepersistono sulla scala della lunghezza di Planck, lP ≃ ctP . Da questascala e’ possibile costruire una massa di Planck, mP ≃ ρP l

3P , dove

la densita’ di Planck e’ dell’ordine di ρP ≃ (Gt2P )−1 (dalle equazioni di

Friedman, ovvero considerando il tempo-scala di collasso che e’ eguale aquello dell’espansione). Partendo ora dal principio di indeterminazionedi Heisemberg:

∆E∆t ≃ ~ (1.30)


da questa si dimostra, per analisi dimensionale,

∆E∆t ≃ mP c2tP ≃ ρP (ctP )

3c2tP ≃ c5t4PGt2P

≃ ~, (1.31)

da cui

tP ≃(~G

c5

)1/2

≃ 10−43s. (1.32)

Altre quantita’ legate al tempo di Planck sono:

• la lunghezza di Planck

lP ≃ ctP ≃(G~

c3

)1/2

≃ 1.7× 10−33cm, (1.33)

che rappresenta l’ordine di grandezza dell’orizzonte cosmologico a t =tP ;

• la densita’ di Planck

ρP ≃ 1

Gt2P≃ c5

G2~≃ 4× 1093g cm−3; (1.34)

• la massa di Planck (ossia la massa all’interno dell’orizzonte a tP )

mP ≃ l3PρP ≃(~c

G

)1/2

≃ 2.5× 10−5g (1.35)

• la densita’ numerica effettiva a tP

nP ≃ ρPmP

≃ l−3P ≃

(c3

G~

)3/2

≃ 1098particelle cm−3; (1.36)

• l’energia di Planck

EP ≃ mP c2 ≃

(~c5

G

)1/2

≃ 1.2× 1019GeV; (1.37)

• la temperatura di Planck

TP ≃ EP

kB≃(~c5

G

)1/2

k−1B ≃ 1.4× 1032K. (1.38)

1.3 L’Era di Planck 14

La temperatura di Planck si puo’ trovare anche come

ρP c2 ≃ σT 4

P . (1.39)

dove σ e’ l’entropia adimensionale all’interno dell’orizzonte, che al tem-po di Planck assume il valore

σP ≃ ρP c2l3P

kBTP≃ 1, (1.40)

che rinforza la tesi che c’e’, in media, un’unica “particella” di massa diPlanck all’interno dell’orizzonte al tempo di Planck.

• il redshift di Planck: dalla temperatura di Planck, per confronto conT0, si ha:

zP ∼ TPT0

∼ 1032. (1.41)

E’ da notare che tutte le quantita’ legate al tempo di Planck, possonoessere derivate da un’analisi dimensionale delle costanti fondamentali dellafisica c, G, kB e ~.

Vediamo ancora riguardo al significato fisico del tempo tp.

• Definiamo il tempo di Compton per un corpo di massa m cometc = ~

mc2, questo equivale all’intervallo di tempo durante il quale si

puo’ violare la conservazione dell’energia di ∆E ∼ mc2, e la lunghezzadi Compton come lc = ctc = ~

mc. A queste scale vale la meccanica

quantistica.

• Il raggio di Schwarzshild dello stesso corpo e’ determinato da ls =2Gmc2

ed e’ il raggio che deve avere un corpo di massa m perche la suaenergia gravitazionale interna equivalga a quella della massa a riposo.Viene considerata l’energia cinetica per unita’ di massa c2/2 come sefosse un corpo non relativistico. Possiamo definire cosi’ il tempo diSchwarzshild come ts = ls/c =

2Gmc3

.

• Infine consideriamo anche il tempo di free-fall tff ∼ 1/√Gρ. Si nota

come per masse uguali alla massa di Planck il tempo di Compton, diSchwarzshild e di Planck siano uguali.


Oggetti di masse maggiori della massa di Planck sono detti macroscopici,lc < ls e tc < ts, e le correzioni quantistiche all’interazione gravitazionale traparti differenti del corpo sono trascurabili.

Viceversa, nel caso la massa sia minore si tratta di oggetti microscopici.Dal punto di vista cosmologico il tempo di Planck rappresenta il momento pri-ma del quale il tempo di espansione caratteristico τH ∼ t e’ tale per cui l’oriz-zonte cosmologico (∼ lp) contiene solo una particella con lc ≥ ls, e’ necessarioquindi tenere conto degli effetti quantistici sull’intera scala dell’Universo.

Interessante anche confrontare le quantita’ relative al tempo di Planckcon le proprieta’ termodinamiche dei buchi neri: un buco nero, per effettiquantistici, emette radiazione come un corpo nero, chiamata radiazione diHawking. L’energia tipica dei fotoni emessi e’ dell’ordine di ǫ ∼ kBT con Ttemperatura del buco nero data da

T =~c3

4πkBGM∼ 10−7

(M

M⊙

)−1

(1.42)

ed il tempo necessario ad un buco nero per evaporare e’ dell’ordine di

τ ∼ G2M3

~c4∼ 1010

(M

1015 g

)3

years (1.43)

Ecco che questo ci permette di verificare un’altra interessante proprieta’ deltempo di Planck: per un buco nero della massa di Planck, si vede che essoevaporerebbe in un tp emettendo particelle quantistiche di energia Ep.

In generale quindi effetti quantistici non trascurabili si verificano comun-que per fenomeni su scale spaziali dell’ordine di lp o temporali dell’ordine di tpanche dopo il tempo di Planck. Le fluttuazioni nella metrica sono dell’ordinedi

|∆gik/gik| ∼ lp/l ∼ tp/t (1.44)

dell’ordine dell’unita’ sulla scala dell’orizzonte al tempo di Planck.In definitiva l’universo a tempi primordiali potrebbe essersi comportato

come un insieme di buchi neri di massa pari alla massa di Planck in continuaevaporazione e ricollasso su scale temporali pari al tempo di Planck.

Ricordiamo inoltre che come una coppia formata da una particella e dallasua anti-particella, che venga creata ad esempio in un forte campo elettricoha una certa probabilita’ di diventare reale piuttosto che annichilire, se ilcampo elettrico, o altre forze - ad esempio quella gravitazionale - riescono aseparare sufficientemente le due cariche in un tempo abbastanza breve, conla creazione di massa che viene compensata da una corrispondente perdita dienergia del campo. Questo puo’ avvenire anche in caso di campi gravitazio-nali molto intensi e non uniformi o rapidamente variabili nel tempo. Queste

1.4 Cosmologia quantistica 16

condizioni potrebbero essersi verificate nei primi istanti di vita dell’universo,a maggior ragione in caso di espansione anisotropa. Di conseguenza qualcunoha suggerito che questo fenomeno abbia portato all’origine dell’alto valore dientropia nell’universo.

1.4 Cosmologia quantistica

Nei paragrafi precedenti si e’ evidenziata la necessita’ di considerare effet-ti quantistici sulla scala dell’orizzonte cosmologico nelle primissime fasi dievoluzione dell’universo. Non esiste pero’ ancora una teoria soddisfacenteche unisca relativita’ e quantistica, ovvero la Relativita’ Generale e il mo-dello standard delle particelle elementari e delle interazioni fondamentali.Cerchiamo di capire qual’e’ il punto della situazione.

In meccanica quantistica (QM) uno degli elementi centrali e’ la funzioned’onda ψ (x, t), la cui interpretazione non e’ sempre immediata, il moduloquadro pero’ rappresenta la probabilita’ di trovare la particella nella posizionex al tempo t. Una delle formulazioni piu utilizzate della QM coinvolge ilconcetto di somma sui cammini. In questa formulazione la probabilita’ peruna particella di trovarsi in (x, t) e’ data da un’integrale su tutti i possibilicammini che portano a quella posizione, pesato da una funzione dipendentedall’azione S (x, t) lungo il cammino. Ogni cammino poi sara’ a sua voltauna funzione x (t) per cui x e’ l’intersezione tra il particolare cammino e unasuperficie di tipo tempo. Si ha

ψ (x, t) ∝∫

dx′ dt′ exp [iS (x′, t′)] (1.45)

dove gli estremi di integrazione sono dati dalle condizioni iniziali e dagli (x, t)finali considerati. L’azione descrive le forze alle quali la particella e’ soggetta.

Questo metodo sembra l’approccio migliore alla cosmologia quantistica,ma per procedere e’ necessario fare alcune assunzioni:

• l’universo sia finito e chiuso, altrimenti gli integrali diventerebberoindefiniti

• l’azione rilevante per la gravita’ sia quella della relativita’ generale SE.

L’ultimo punto e’ un problema: non c’e’ modo di avere un’azione perlo spazio-tempo accoppiato alla materia che porti ad una teoria di campoquantistica soddisfacente dal punto di vista degli standard locali di rinorma-lizzabilita’. Non c’e’ ragione inoltre per cui SE debba mantenere la sua formaal crescere dell’energia.


E’ stato suggerito che la Lagrangiana della relativita’ generale potrebbeammettere termini di ordine superiore nello scalare di Ricci R, ad esempiouna lagrangiana del secondo ordine potrebbe essere

L = − R

16πG+ αR2 (1.46)

formalmente equivalente alla Lagrangiana della relativita’ generale con ag-giunto un campo scalare. Questa potrebbe portare all’inflazione ma violereb-be le condizioni necessarie all’esistenza di una singolarita’. Dal momento chenon c’e’ motivo per scegliere una Lagrangiana piuttosto che un’altra, varra’quella classica di Einstein.

Ora e’ necessario trovare un equivalente del cammino e si potrebbe sem-plificare ulteriormente pensando di avere a che fare con un universo vuoto,senza materia ne radiazione. Inoltre e’ forse piu appropriato cercare di de-terminare una funzione d’onda che descriva la configurazione dell’universoad un certo tempo. In relativita’ generale questa puo’ essere la geometriatridimensionale di un’ipersuperficie di tipo spazio.

Poniamo quindi che questa geometria sia descritta da una metrica tri-dimensionale hµν , la quantita’ corrispondente al cammino della meccanicaquantistica sarebbe allora la metrica quadridimensionale lorentziana gij (conµ, ν ∈ 1, 2, 3 e i, j ∈ 0, 1, 2, 3). In relativita’ generale l’azione dipendeesplicitamente dalla metrica gij, l’integrale dev’essere quindi costruito su unospazio di geometrie quadridimensionali ammesse.

Otteniamo

Ψ [hµν (x)] =

∫

dgij exp [iS (gij)] (1.47)

la funzione d’onda Ψ e’ definita sullo spazio di tutte le possibili geometrietridimensionali consistenti con le assunzioni iniziali (universo chiuso e topo-logia fissata). Per includere la materia e’ possibile tener conto del campodella materia φ in x. L’evoluzione della funzione d’onda in QM, inoltre, e’determinata dall’equazione di Shroedinger, la funzione d’onda dell’universosegue invece un’equazione simile chiamata di “Weeler-de Witt”.

Per procedere dobbiamo ora identificare il set di cammini sui quali inte-grare, ovvero determinare le condizioni iniziali. Le proposte avanzate sonomolte, tra le quali quella di Hawking che corrisponde in pratica all’assenza diuna creazione nel senso comune del termine e quella di Vilenkin che corrispon-de ad una specie di tunnel quantistico da uno stato di vuoto, identificandoquindi una creazione.


1.4.1 Cosmologia di stringa e di brana

Negli anni sono stati elaborati diversi approcci per il problema della gravita’quantistica, portando all’idea di differenti strutture per la teoria della gravi-ta’ quantistica. Una di queste riguarda la possibilita’ che le entita’ sulle qualioperare, le particelle, non siano puntiformi ma stringhe. Per alcuni questiapprocci potrebbero portare all’unificazione di tutte e quattro le forze. Leteorie di stringa possono essere considerate all’interno di una classe piu ge-nerale chiamata di “teorie M” la cui peculiarita’ comune e’ la necessita’ diessere definite in spazi con piu dimensioni delle quattro utilizzate in relativi-ta’ generale.

In queste teorie le costanti fondamentali apparterrebbero ad uno spaziodi dimensione maggiore e varierebbero all’interno del sottospazio quadridi-mensionale a noi familiare, non sarebbe quindi strano che i valori di questecostanti cambiassero nel tempo. Le dimensioni in piu sarebbero compattatea scale dell’ordine della lunghezza di Planck divenendo cosı non osservabili.

Un’altra idea e’ utilizzare le cosidette “brane”, nella cui teoria esisterebbealmeno una dimensione oltre alle quattro della relativita’ generale, ma didimensioni estese, per cui il mondo in cui viviamo, dominato dalle tre forzedella teoria dei campi, sarebbe immerso in uno spazio a dimansione maggiorein cui domina la gravita’. Il potenziale newtoniano diventerebbe

V (r) =GM1M2

r2

(

1 +1

r2k2

)

(1.48)

con k dell’ordine della scala di Planck e l’equazione di Friedmann verrebbemodificata in

(a

a

)2

=8πG

3

(

ρ+ρ2

2λ

)

(1.49)

con λ tensione della brana.Uno sviluppo di questa visione porterebbe a spiegare il Big Bang come lacollisione tra due brane e l’aspetto osservativo determinante per validare lateoria sarebbe la presenza di mini buchi neri (delle dimensioni massime di unasteroide) all’interno del sistema solare, originati nei primi istanti dell’uni-verso ma non evaporati per radiazione Hawking perche ospitati in dimensionimaggiori.


Figura 1.3: Rappresentazione artistica della collisione tra due brane comespiegazione del Big Bang.


1.4.2 Unificazione di gravita’ e meccanica quantisticanella teoria delle superstringhe

Attualmente, dopo molti decenni di sforzi in questo campo, la maggiore pro-messa per una unificazione finale della gravita’ secondo la Relativita’ Gene-rale, e della meccanica quantistica risiede nella teoria delle super-stringhe.Come anticipato, la teoria prevede che le particelle, a livello microscopico,possiedano una elevata dimensionalita’, ovvero varie dimensioni anziche’ nes-suna dimensione come nel caso delle semplici particelle puntiformi. In questoambito, diverse tipologie di particelle elementari corrisponderebbero a diversemodalita’ di vibrazione di queste corde annodate.

Nonostante sia riconosciuta come l’attuale piu’ grande sfida della fisicateorica e come la migliore prospettiva per realizzare una unificazione auto-consistente di tutte le interazioni fondamentali e di tutte le particelle, lateoria delle super-stringhe paga due enormi problemi. Il primo e’ la suaenorme complessita’ matematica. Il secondo, ancora peggiore, e’ che non e’in grado attualmente di fornire predizioni verificabili: la verifica sperimen-tale della teoria e’ al momento attuale impossibile con gli strumenti oggi adisposizione. Non e’ assolutamente chiaro, al momento, se vi potranno esserea breve sviluppi tecnologici e nuove idee in grado di fornire queste verifichesperimentali.

Detto cio’, rinunciamo ovviamente a discutere l’Universo prima del tempodi Planck, e limitiamoci a considerare gli sviluppi successivi.

Capitolo 2Gli Orizzonti Cosmologici e laVisibilita’ dell’Universo

Il nostro studio dell’Universo primordiale e delle prime fasi dell’espansionerichiede la definizione del concetto di orizzonte cosmologico, che riguarda lapropagazione dell’informazione nel cosmo.

L’Universo cui un osservatore fondamentale puo’ accedere ad ogni istan-te di tempo rappresenta solitamente solo una porzione minima dell’Univer-so nella sua interezza. Tale porzione d’Universo e’ il cosiddetto cono-lucedell’osservatore. Dal punto di vista osservativo il cono-luce si arresta allasuperficie di ultimo scattering a z=1080, in quanto oltre questo l’Universodiviene opaco e non direttamente osservabile. Tuttavia, come sappiamo, lasuperficie di ultimo scattering non rappresenta adeguatamente il limite dellenostre capacita’ investigative (possiamo ad es. inferire le proprieta’ fisiche adistanza molto superiore considerando i prodotti di fasi cosmiche piu’ antiche,ad esempio quelli della nucleosintesi primordiale). Occorrono quindi defini-zioni piu’ precise dei limiti informativi cui ogni osservatore fondamentale e’soggetto.

2.1 Che cos’e’ un orizzonte

Wolfang Rindler nel 1956 per la prima volta mise in evidenza che, quando sisepara cio’ che e’ osservabile da cio’ che non lo e’ in un Universo in espansionebisogna tenere in considerazione differenti aspetti e osservabili. Consideriamoinnanzitutto le linee d’Universo e gli eventi :

• gli eventi sono dei brevi accadimenti (ad esempio le esplosioni di su-pernova) che occupano un posto unico nello spazio e nel tempo; rappre-

2.1 Che cos’e’ un orizzonte 22

sentano in sostanza un punto nello spazio-tempo quadridimensionale;

• le linee Universo rappresentano gli oggetti, come le particelle e legalassie, che hanno una significativa durata temporale, occupano inogni istante un posto nello spazio e hanno un’estensione nel tempo (sonocioe’ delle stringhe di eventi). Ad esempio, l’ammasso della Chioma,ad una certa distanza comoving (∼160 Mpc), e’ rappresentato da unalinea d’universo. Linee d’Universo di osservatori fondamentali hannocostante posizione spaziale nel sistema comoving.

Da quanto appena detto e’ naturale concludere che esistono due tipi di-versi di orizzonti cosmologici: l’orizzonte delle linee Universo, anche dettodelle particelle, e l’orizzonte degli eventi.

Andiamo quindi a caratterizzare queste due limitazioni alla nostra possi-bilita’ di osservare l’universo :

• L’orizzonte delle particelle: e’ una superficie sferica, al centro dellaquale e’ posto un generico osservatore fondamentale. Essa divide, adun certo istante, l’interezza dello spazio in due regioni: quella inter-na contiene tutti gli oggetti (linee d’universo) con i quali l’osservatore,ovvero la sua linea d’universo, e’ entrato in contatto causale in qua-lunque istante del suo passato, mentre quella esterna contiene oggetticon cui mai e’ entrato in contatto causale. Tale orizzonte e’ quindiuna frontiera nello spazio che racchiude l’Universo osservato fino ad undeterminato istante.

• L’orizzonte degli eventi: per un determinato osservatore ad un certotempo, divide tutti gli eventi in due gruppi: quelli che saranno osser-vabili ad un qualunque tempo cosmologico futuro, da quelli che nonlo saranno mai. Ancora una volta e’ una superficie fisica centrata sul-l’osservatore che corrisponde alla massima distanza alla quale eventiche emettano radiazione nella nostra direzione oggi verranno visti danoi in un tempo infinito. Corrisponde quindi alla distanza che la lucepercorre da un dato tempo t fino a t = ∞.

• Il cono-luce: rappresenta la porzione d’Universo osservabile ad un cer-to istante da un determinato osservatore fondamentale (e’ la fotografiaquadri-dimensionale dell’Universo per un certo osservatore). Rappre-senta l’insieme degli eventi che hanno emesso radiazione osservabile adun certo istante per un osservatore. Il cono-luce puo’ estendersi teorica-mente indefinitamente, salvo che e’ limitato nella pratica alla superficiedi ultimo scattering per quanto riguarda i fotoni come messaggeri diinformazione.

23 Gli Orizzonti Cosmologici e la Visibilita’ dell’Universo

• Il raggio di Hubble: e’ il raggio della superficie sferica delle sorgentiche si allontanano da un osservatore alla velocita’ della luce.

Figura 2.1: Galassie all’interno e all’esterno del raggio di Hubble. Una galas-sia all’interno della sfera di Hubble si allontana da noi con velocita’ inferiorea quella della luce. Una galassia al di fuori della sfera di Hubble recede da noicon una velocita’ attualmente superiore a quella della luce. Il fatto che talegalassia sia osservabile o meno da noi dipende non solo dalla sua posizionerispetto alla sfera di Hubble, ma anche da come e’ evoluto il fattore di scalacosmico a(t) a partire dal Big Bang.

I vari orizzonti sono rappresentati nello schema in Figura 2.2. In sintesipossiamo dire che l’orizzonte degli eventi non ha un significato particolarmen-te pregnante in cosmologia (mentre ad esempio lo ha nel caso della metrica diSchwartschild nel separare l’universo contattabile da quello non-contattabilein presenza di un buco-nero). L’orizzonte delle particelle riguarda la storiapassata di tutte le connessioni causali che un qualunque osservatore fonda-

2.1 Che cos’e’ un orizzonte 24

Figura 2.2: Rappresentazione grafica di orizzonti e cono di luce per un os-servatore situato al tempo t0. L’asse Y rappresenta il tempo, l’asse X unacoordinata spaziale radiale. Nota che la linea-universo indicata, passando perl’origine ossia per la posizione dell’osservatore a t0, implica un moto peculiarenon nullo per questa sorgente rispetto all’osservatore stesso.


mentale ha avuto, mentre il raggio della sfera di Hubble racchiude l’universoosservabile sul cono-luce ad un certo istante di tempo per un osservatore. 1

2.2 Orizzonti in un Universo statico

Per prendere confidenza con il concetto di orizzonte e per comprendere idue tipi di orizzonte appena introdotti, consideriamo il caso semplificatodell’Universo statico, mentre un po’ piu’ complicata e’ la situazione relativaad un Universo in espansione, affrontata piu’ avanti.

Figura 2.3: Spazio tempo in un Universo statico con origine e formato da unadistribuzione uniforme di stelle. Consideriamo l’osservatore rappresentatodalla linea Universo O

.

Supponiamo quindi di considerare un Universo statico Minkowskiano conuna distribuzione uniforme di stelle. Supponiamo che le stelle abbiano bril-lato per 10 miliardi di anni e si siano accese simultaneamente. L’Universoquindi consiste di linee Universo corrispondenti a tali stelle luminose chepartono da questo inizio assunto ad hoc.

Scegliamo quindi una stella su cui collocare il nostro osservatore, asso-ciamo ad esso la corrispondente linea Universo, che chiamiamo O, di quellastella. L’osservatore, che ad un certo istante guardera’ nello spazio e indietronel tempo, vedra’ le stelle le cui linee orizzonte intersecano il suo cono di lucein un determinato istante della loro vita. Tutte le stelle hanno brillato per10 miliardi di anni, per il nostro osservatore sara’ quindi possibile vedere lestelle che si trovano fino a 10 miliardi di anni luce da lui. Le stelle a distanze

1Rimandiamo alla Sez. 7c ‘Orizzonti’ per ulteriori considerazioni sugli orizzonticosmologici.

2.3 Orizzonti in un Universo in espansione 26

maggiori invece, non saranno visibili perche’ l’osservatore sta guardando adun tempo antecedente alla loro esistenza.

L’orizzonte delle particelle quindi, separa in ogni istante le sorgenti lumi-nose osservabili da quelle non osservabili.

Aspettando un certo periodo di tempo, diciamo un miliardo di anni, eripetendo le osservazioni, il nostro osservatore potra’ spingere il suo sguardofino a oggetti che distano 11 miliardi di anni luce. L’orizzonte delle particellesi e’ allargato: risulta evidente che tale orizzonte si muove verso l’esternoalla velocita’ della luce, e benche’ l’Universo in cui ci si e’ posti sia statico,l’Universo osservabile aumenta la sua dimensione (figura 2.3).

Analizziamo ora il comportamento dell’orizzonte degli eventi, chiedendocise in un Universo statico vi siano eventi che non potranno mai essere vistida un osservatore posto sulla linea Universo O da noi considerata. Se talieventi esistono, dovremo essere in grado di dividere l’Universo in due partidistinte: una che contiene gli eventi osservabili ad un qualche tempo da O eun’altra che contiene tutti gli altri eventi, che non sono osservabili a nessuntempo. La superficie che separa le due parti sara’ quindi l’orizzonte deglieventi per l’osservatore O. Se le stelle brilleranno per sempre nel futuro siconclude immediatamente che tale orizzonte non esiste. Il cono di luce del-l’osservatore O, avanzera’ progressivamente nello spazio, fagocitando tutti ipunti dello spazio tempo in modo tale che tutti gli eventi, prima o dopo,si troveranno all’interno di esso e saranno quindi osservabili. In un Univer-so statico ed eterno quindi, tutte le linee d’universo sono osservabili in unqualche momento da tutti gli osservatori.

Consideriamo ora che questo Universo Minkowskiano abbia una fine, os-sia torni ad essere buio spegnendo nello stesso momento tutte le sue stelle:la totalita’ delle linee Universo ad esse associate, inclusa quella del nostro os-servatore, terminano. Chiaramente in questo caso l’Universo ha un orizzontedegli eventi, che e’ rappresentato dal cono di luce dell’osservatore O nell’ul-timo istante prima della morte delle stelle. Gli eventi che si trovano fuoridell’orizzonte degli eventi infatti, saranno per sempre preclusi all’osservatore.

2.3 Orizzonti in un Universo in espansione

2.3.1 La sfera di Hubble

In accordo alla legge velocita’-distanza di Hubble v = Hd, la velocita’ direcessione delle galassie aumenta con la distanza: puo’ quindi eguagliarequella della luce e cio’ accade al raggio di Hubble, definito come L = c/H.


Le galassie oltre questo raggio hanno velocita’ di recessione maggiore di quelladella luce.

La legge di Hubble e’ applicabile ovunque nello spazio e in qualsiasi istantedi tempo; essa ci dice quanto velocemente le galassie appaiono allontanarsinell’istante presente, a seguito della dilatazione dello spazio. Dobbiamo pero’ricordarci che la loro velocita’ di recessione era diversa nel momento in cuiesse hanno emesso la luce, rispetto al momento in cui noi la riceviamo.

Noi siamo quindi al centro di una sfera di Hubble di raggio uguale a L =c/H, all’interno della quale tutte le galassie al momento presente recedonocon velocita’ minore della luce.

Sappiamo pero’ che l’Universo osservato dalla mia linea d’Universo e’ limi-tato dall’orizzonte delle particelle. E’ necessario definire dove esso si collocarispetto alla sfera di Hubble, dato che i due limiti in generale non coincido-no. Per distinguere e comprendere meglio questi due limiti, consideriamo unagalassia al di fuori della sfera di Hubble che emette un raggio di luce nelladirezione del nostro osservatore, posto al centro della sfera stessa. Il raggiodi luce viaggia attraverso lo spazio alla velocita’ della luce, ma lo spazio nelquale si sta muovendo recede dall’osservatore con velocita’ superiore a c. Ilbordo della sfera di Hubble diventa cosı una specie di orizzonte: tutti i raggiemessi all’interno di esso raggiungono l’osservatore, mentre tutti i raggi al difuori della sfera si allontanano da lui; infine i raggi emessi proprio sul limi-te della sfera di Hubble non si muovono, essi viaggiano con velocita’ pari aquella con cui si espande lo spazio che stanno attraversando.

Nella trattazione appena svolta abbiamo tralasciato un particolare im-portante: l’osservatore vede le cose come esse erano nel passato, ma nonpuo’ vederle come esse sono ora a grande distanza. E’ vero che le galassie aldi fuori della sfera di Hubble si allontanano con velocita’ maggiore di quelladella luce, e che i raggi di luce inviati nella nostra direzione recedono, macio’ non significa che tutte le galassie esterne alla sfera di Hubble non sianonecessariamente mai state in contatto causale con la nostra linea d’Univer-so, o che addirittura non siano attualmente osservabili anche se all’esternodella sfera di Hubble. Dobbiamo infatti tener conto del fatto che il tasso diespansione non e’ costante. In un Universo decelerato, in cui la costante diHubble decresce con il tempo, il raggio di Hubble conseguentemente aumentae quindi la sfera comoving di Hubble si espande. I raggi di luce ad di fuoridel limite di Hubble, che si stanno muovendo nella direzione dell’osservatore,potrebbero quindi superare il bordo della sfera e trovarsi all’interno di essa,cosa che permette a questi raggi di raggiungere l’osservatore. Risulta eviden-te che la sfera di Hubble non coincide con il limite dell’Universo osservabile,ne’ ora ne’ nel passato.

2.3 Orizzonti in un Universo in espansione 28

2.3.2 Orizzonte delle particelle

L’orizzonte delle particelle, anche nel caso di un Universo in espansione,divide lo spazio in due regioni in ogni istante considerato. La prima, checirconda l’osservatore, contiene tutte le linee Universo che intersecano il conodi luce dello stesso; la seconda, esterna alla precedente, contiene tutte le lineeUniverso che non intersecano il cono di luce.La distanza dell’orizzonte delle particelle e’ misurata nello spazio attualedell’osservatore ed e’ la distanza di ricezione delle galassie di redshift infinito.

Consideriamo ora un istante successivo, quando l’Universo si e’ espansoulteriormente. Chiaramente il cono di luce dell’osservatore interseca piu lineeUniverso e di conseguenza l’orizzonte delle particelle si e’ allontanato (ossial’Universo osservabile si e’ espanso). Notiamo che l’Universo osservabile siespande piu velocemente dell’Universo attuale, cosı che l’orizzonte delle par-ticelle si allontana piu velocemente delle galassie. Infatti l’orizzonte delleparticelle supera le galassie alla velocita’ della luce.

2.3.3 Universi senza orizzonte delle particelle

Alcuni universi, per esempio quello di De Sitter e l’Universo stazionario, nonpossiedono un orizzonte delle particelle. Il cono di luce dell’osservatore inter-seca tutte le linee Universo e tutte le galassie sono visibili. Per spiegare comequesto sia possibile ci poniamo in uno spazio comovente, invece di quello ordi-nario. Tutti gli osservatori fondamentali hanno distanza comovente costantee in questo nuovo spazio-tempo tutte le linee Universo sono parallele. Il co-no luce dell’osservatore non procede in modo rettilineo, come nell’Universostatico, ma si apre e diverge.

In molti modelli d’universo, per esempio di tipo Friedmann, il cono diluce recede, raggiungendo l’inizio del tempo a una distanza comovente fini-ta e quindi esiste un orizzonte delle particelle in corrispondenza della lineaUniverso X. In altri modelli, per esempio quello di Milne (nel quale a(t) in-crementa ad un tasso costante), il cono di luce raggiunge l’inizio dei tempi auna distanza comovente infinita. Conseguentemente tali Universi non presen-tano un orizzonte delle particelle e l’Universo osservabile comprende l’interoUniverso attuale.

Figura 2.5 riporta gli andamenti del fattore di scala per vari tipi di uni-verso, come indicato. Figura 2.6 mostra gli andamenti dei raggi comovingdegli orizzonti in funzione del fattore di scala e del tempo.


2.3.4 Rappresentazioni nel tempo conforme

La relazione tra i vari tipi di orizzonte puo’ risultare semplificata dall’utilizzodel tempo conforme. Si definisce come tale una coordinata temporale datada dτ = dt/a(t), con ovvio significato dei termini. In funzione di questotempo conforme, i vari orizzonti sono riportati in Figura 2.4, per un modellostandard d’universo con Ωm = 0.3 e ΩΛ = 0.7. La definizione del tempoimplica che gli andamenti dei raggi comoving degli orizzonti sono linearicon τ . Alcune proprieta’ degli orizzonti sono indicate, ad es. che il cono-luce di un osservatore al Big Bang coincide con l’orizzonte delle particelle altempo d’osservazione, oppure che l’orizzonte delle particelle al tempo infinitocoincide con l’orizzonte degli eventi al Big Bang.

03/06/2011 A. Franceschini Orizzonti Cosmologici 6

Tempo "conforme": ( )

dt

R t ! "

Event horizon [t=0] =

Particle horizon [t=#]

Light-cone [t=0] = Particle horizon [t=t0]

Figura 2.4: Schema riassuntivo del significato degli orizzonti e del cono lucein una rappresentazione a tempo conforme.

2.4 Rappresentazioni formali degli orizzonti cosmologici 30

2.4 Rappresentazioni formali degli orizzonti

cosmologici

Consideriamo ora un generico osservatore all’origine di un sistema di coor-dinate (spaziali). Partiamo innanzitutto dalla definizione di distanza radialecomoving, semplicemente utilizzando la Robertson-Walker (eq. [0.1] Sez. 0).Il differenziale di questa e’ dato da:

dl = dr/(1− kr2)1/2.

mentre il differenziale di distanza propria sara’, analogamente:

dl = cdt = a(t)dr/(1− kr2)1/2,

Il differenziale di distanza comoving, integrato tra due valori diversi dia(t), mi da’ la cosiddetta distanza radiale comoving tra due osservatori postia due epoche distinte:

rH (t) =

∫ t2

t1

c dt′

a (t′),

e analogamente per la quantita’ in unita’ proprie. Pertanto, in generale,questa relazione ci fornisce il raggio della sfera contenente l’insieme dei puntidai quali un osservatore fondamentale puo’ aver ricevuto un segnale luminosoemesso entro un certo intervallo di tempo t = t2−t1, con i quali cioe’ sia statoin connessione causale in questo intervallo di tempo passato. In coordinateproprie (o fisiche):

RH (t) = a (t)

∫ t2

t1

c dt′

a (t′)

Se questo integrale risulta finito, tutti i punti contenuti sono venuti in contat-to causale dal tempo t2 in poi con l’osservatore fondamentale posto al tempot1.

Se si prende t1 = 0, e’ possibile che per t → 0 l’integrale diverga acausa dell’annullarsi del fattore di scala a(t) a denominatore. In questo casol’osservatore potrebbe aver ricevuto luce dall’intero universo in un istantedi tempo nel passato, ed e’ quindi venuto in contatto causale con tutte lelinee d’universo. Nel caso contrario di un valore finito, invece, l’integraleviene chiamato orizzonte delle particelle di un osservatore al tempo t2(orizzonte proprio in questo caso). L’orizzonte proprio delle particelle dunquee’ definito come

RH (t) = a (t)

∫ t2

0

c dt′

a (t′)(2.1)


Come vedremo nel seguito, questo vale ad esempio RH (t) = 3ct per universidi polvere e RH (t) = 2ct per universi di radiazione.

In modo del tutto analogo e’ definito l’orizzonte proprio degli eventi,semplicemente cambiando i limiti di integrazione:

RE (t) = a (t)

∫∞

t

c dt′

a (t′)(2.2)

Definiamo inoltre la sfera di Hubble, il cui raggio e’ la distanza dal-l’osservatore alla quale un oggetto si muove, a causa dell’espansione, allavelocita’ della luce rispetto all’osservatore stesso. Dalla legge di Hubble, po-nendo la velocita’ di recessione v = H(t)d = c, otteniamo il raggio propriodella sfera di Hubble:

Rc =c

H(t)= c

a

a(2.3)

che e’ risolvibile utilizzando le espressioni perH(t) in eq. 1.14. Analogamenteper il raggio di Hubble comovente:

rc =c

H(t)a(t)= c

1

a. (2.4)

Ovviamente, sebbene assumano valori simili entro piccoli fattori, l’oriz-zonte delle particelle e la sfera di Hubble hanno un significato sostanzialmentediverso. E’ possibile infatti che un oggetto sia all’interno dell’orizzonte delleparticelle di un osservatore, e addirittura si collochi sul cono-luce, pur essendoall’esterno della sua sfera di Hubble. Inoltre un oggetto incluso nell’orizzontedelle particelle di un osservatore vi resta per sempre, mentre e’ possibile cheentri ed esca dalla sua sfera di Hubble.

Ora procediamo ad una valutazione dell’esistenza e finitezza dell’orizzontedelle particelle. Partiamo con utilizzare la 1.14:

H2(t) = H20a

−2[Ω0wa

−(1+3w) + (1− Ω0w)]

per definire il differenziale del tempo:

dt =1

H0

da1

[Ω0wa−(1+3w) + (1− Ω0w)]1/2(2.5)

Il fattore dt/a(t) della 2.1 si puo’ quindi scrivere

dt

a(t)=

da

H0a

1

[Ω0w a−(1+3w) + (1− Ω0w)]1/2(2.6)


e

RH(t) =c

H0

a(t)

∫ a(t)

0

da

a

1

[Ω0w a−(1+3w) + (1− Ω0w)]1/2. (2.7)

Per t sufficientemente piccolo, diviene trascurabile il termine (1− Ω0w) ∼ 0,cosi’

RH(t) =c

H0

a(t)

∫ a(t)

0

da

aΩ1/20w a−(1+3w)/2

= (2.8)

=c

H0Ω1/20w

a(t)

∫

da a(3w−1)/2 ≃ c

H0

2

Ω1/20w (3w + 1)

a(t)(3w+3)/2 (2.9)

che e’ una quantita’ finita e che va a zero con il fattore di scala a(t) che tendea zero, almeno per valori di w nell’intervallo di Zeldovich.

Ora e’ utile scrivere una versione generalizzata della relazione tra fattoredi scala e tempo, che coivolga il parametro di stato fisico w. Riferiamotale generalizzazione ad epoche comprese tra il tempo di Planck (un temposufficientemente vicino al Big Bang) ed un istante sufficientemente lontanonel passato tale che (1− Ω0w) risulti trascurabile nella 2.5 rispetto al primoaddendo a denominatore. Dalla 2.5, separando le variabili e integrando,abbiamo:

a(1+3w)/2da = H0Ω1/20w dt

2a(3+3w)/2

3 + 3w= H0Ω

1/20w t =⇒ a(t) ∝ t

2

3+3w

e, confrontando i valori riferiti ad es. al tempo di Planck tP e ad un tempogenerico t, avremo quindi

a(t) = aP

(t

tP

)2/(3+3w)

(2.10)

dove aP = a(t = tP ) e’ il fattore di scala corrispondente al tempo di Planck.Ad es., nella Radiation Dominated Era questo porta direttamente alla bennota R(t) ∝ (t)1/2, mentre nella Matter Dominated Era sara’ R(t) ∝ (t)2/3.Inserendo la relazione 2.10 in eq. 2.9, abbiamo per l’orizzonte proprio delleparticelle

RH(t) ≃c

H0

2

Ω1/20w (3w + 1)

a(3w+3)/2P

(t

tP

)

, (2.11)

dal momento che i due esponenti della a(t) e della RH si elidono. Trattia-mo ora ulteriormente questa, esprimendo H0 come il differenziale temporalelogaritmico della 2.10

H0 = (a/a)t=t0 =2

3 + 3w(t−1)t0 =

2

3 + 3wt−10


di modo che, moltiplicando e dividendo per tP , invertendo la 2.10, con a(t0) =1, si ha

1

H0tP=

3 + 3w

2

t0tP

=3(1 + w)

2a−(3+3w)/2P .

Utilizzando questa in 2.11, si ottiene infine

RH(t) =3ct

Ω1/20w

1 + w

(1 + 3w). (2.12)

E’ questa la relazione fondamentale che cercavamo. Essa esprime vari im-portanti risultati. Per prima cosa, interessanti casi speciali di questa sonoRH = 3ct/Ω

1/20w ≈ 3ct per il caso di un modello d’universo matter-dominated

(w = 0) e RH = 2ct per un universo radiation-dominated (w = 1/3). Si notiquindi che l’orizzonte delle particelle e’ sempre piu’ grande, anche se di poco,della sfera di Hubble, da 2 a circa 3 volte:

RH(t) = (2÷ 3) Rc = (2÷ 3)c

H(t). (2.13)

Le due quantita’ risultano comunque confrontabili, e il raggio Rc e’ usual-mente utilizzato al posto di RH .

Altra conclusione molto importante che possiamo derivare immediata-mente dalla eq. 2.12 e’ che la stessa condizione generale dell’esistenzadi una singolarita’ (w > −1/3) implica pure l’esistenza di un oriz-zonte delle particelle. Arretrando quindi nel tempo verso il Big Bang,sia il raggio della sfera di Hubble sia l’orizzonte delle particelle tendono azero assieme al fattore di scala a(t), se il modello d’universo ammette unasingolarita’. L’orizzonte delle particelle e’ cosi’ sempre una quantita’ finita(non diverge) per qualunque valore del tempo cosmico.

Various graphical representations of some fundamental quantities, likethe scaling of the scale factor a(t) on time, the (particle and event) horizons,the Hubble sphere radius, and the light-cone radius for observers at differenttime, both in our past and in the future, are reported in Figs. 2.5, 2.6, and2.7.



Vari modelli d'universo utilizzatiVari modelli d'universo utilizzati

M =0.3, !=0.7

(modello standard)

M =0.9999, !=0.0001

(piatto con !

piccolo)

M =1, !=0

(Einst.-de Sitter)

M =0.1, !=0

(aperto)a(t) t2/3

Figura 2.5: Andamenti del fattore di scala a(t) in funzione del tempo cosmi-co per vari modelli d’Universo, indicati in figura. Si noti l’espansione espo-nenziale che si verifica quando va a dominare il termine di energia oscuraΛ.


Figura 2.6: Rappresentazione delle coordinate radiali comoving dei vari oriz-zonti e del cono luce, in ascissa. In ordinata queste distanza radiali sonoriportate in funzione del fattore di scala (asse a SX) e del tempo cosmico (as-se a DX). Il tutto relativo ad un universo standard con costante cosmologica,Ωm = 0.3 e ΩΛ = 0.7. Si noti come l’orizzonte delle particelle arresti la suaespansione nel momento in cui va a dominare la costante Λ.



La situazione cambia invece drasticamente ponendo a zero !

! Anche

con un universo aperto, l'O. Particelle non converge con t, e l'O.

Eventi sparisce !

Part. Horiz.

divergent

with t

Event Horiz.

no more

existent!

Hubble Sphere

Figura 2.7: Come nella figura 2.6, per un modello d’universo aperto conΩm = 0.3 e ΩΛ = 0.

Capitolo 3Il modello cosmologico standardclassico a Hot Big Bang : successi eproblemi

Abbiamo sinora raccolto una mole di informazioni sulla struttura e l’evolu-zione dell’Universo durante la maggior parte del tempo di Hubble. Possiamodire di conoscere in modo diretto la sua storia evolutiva dopo la ricombina-zione con buon dettaglio. Anche quanto e’ accaduto tra la ricombinazione ela prima frazione di secondo dal Big Bang e’ fortemente vincolato da dati piu’indiretti, ad esempio riguardanti il processo della nucleo-sintesi primordiale.

Sulla base di tutte le informazioni e i dati sin qui raccolti, e considerandoaltamente probabile una origine nel tempo per l’Universo (o quanto menouna fase con proprieta’ fisiche profondamente diverse dalle attuali a partiredalle quali esso si e’ evoluto sino alla configurazione attuale), possiamo oraprocedere ad una breve disamina delle principali fasi evolutive dal Big Bangal primo secondo. Come illustrato sinteticamente nella Fig. 1.1, quantoivi accaduto non e’ assolutamente commensurabile con il brevissimo tempotrascorso: l’evoluzione cosmologica, dal punto di vista degli avvenimenti eprocessi fisici coinvolti, segue un andamento logaritmico con il tempo, e le43 decadi che separano il Big Bang dal primo secondo non sono molto menosignificative di quanto accaduto nel seguito (da un punto di vista fisico).

Verificheremo in questa Sezione se il modello standard classico del BigBang sia in qualche modo auto-consistente, ovvero se esso produca alcuneinconsistenze fondamentali che ne richiedano una profonda revisione.

3.1 Il modello a Big Bang Caldo. Equilibrio termodinamicoprimordiale 38

3.1 Il modello a Big Bang Caldo. Equilibrio

termodinamico primordiale

Il nome che viene comunemente dato al modello cosmologico standard e’ BigBang Caldo: un universo omogeneo e isotropo la cui evoluzione e’ governatadalle equazioni di Friedmann ottenute dalla relativita’ generale (con o senzacostante cosmologica). In questo modello la temperatura dell’universo cresceal diminuire del tempo e le abbondanze osservate sono assai bene spiegatedalla nucleosintesi cosmologica, un residuo di fasi ad alta temperatura. L’ag-gettivo “caldo” deriva dall’assumere che la componente radiativa dominante,la CMB, sia di origine cosmologica. Se la nucleosintesi e’ la corretta spie-gazione per le abbondanze degli elementi leggeri osservati, infatti, l’universodeve aver attraversato una fase durante la quale la temperatura era maggioredi 1012 K.

Nel modello del Big Bang Caldo quindi la temperatura cresce avvicinan-dosi al tempo di Planck come

T (t) ∝ Tpa (tp)

a (t)(3.1)

Andando indietro nella storia dell’universo il contenuto dell’universo puo’essere considerato un gas perfetto ultrarelativistico di particelle non degeneri(cioe’ con potenziale chimico µ = 0) in equilibrio termico, la cui distribuzionedi equilibrio cambia a seconda che la specie considerata sia fermionica obosonica. La densita’ totale di energia e’ data da

ρ (T ) c2 =

(∑

B

giB +7

8

∑

F

giF

)

σrT4

2= g∗ (T )

σrT4

2(3.2)

dove B e F indicano bosoni e fermioni con i rispettivi pesi statistici giB e giFe il termine g∗ viene chiamato numero effettivo di gradi di liberta’.In realta’ all’espressione precedente sarebbe necessario aggiungere la densi-ta’ di energia delle particelle che non sono piu in equilibrio termico con laradiazione, che pero’ e’ trascurabile. La separazione media delle particelle e’

d ∼ [g∗ (t)nB]−1/3 ∼ ~c

kBT(3.3)

in pratica coincidente con la lunghezza d’onda termica delle particelle, similealla lunghezza di Planck; inoltre se la temperatura tende alla temperatura diPlanck la sezione d’urto tende a

σa ∼ α2

(~c

kBT

)2

(3.4)

39Il modello cosmologico standard classico a Hot Big Bang :

successi e problemi

con α ∼ 1/50.Il tempo caratteristico di collisione diventa

τcoll ∼1

nσac∼ ~

g∗ (T )α2kBT≪ τH (3.5)

con τH tempo caratteristico di espansione, questo giustifica l’assumere la con-dizione di equilibrio termico, le particelle inoltre si comportano come un gasperfetto.

Possiamo ottenere il fondamentale risultato di eq. 3.5 in un modo eu-ristico semplice con le seguenti considerazioni. Il tempo-scala dinamicodell’universo, ovvero il tempo-scala dell’espansione, nel caso dominato dallaradiazione e’ dato da:

τdyn ∼ 1

(Gρ)1/2, ρ ∝ a−4 (3.6)

da cuiτdyn ∼ a2 ∼ τexp (3.7)

Invece il tempo-scala d’interazione tra particelle su un background di altreparticelle e’:

τint ∼ (nσc)−1 ∝ n−1 ∝ a3 (3.8)

quindi per a→ 0 t→ 0τintτexp

∼ a (3.9)

Siccome sappiamo che τint << τexp alla ricombinazione (dallo sta-to di termalizzazione indicato dall spettro di corpo nero dellaCMB), possiamo concludere che questa stessa condizione di equi-librio termodinamico e termalizzazione valga a qualunque tempoantecedente, sino al Big Bang.

In passato materia e radiazione sono state accoppiate, ovvero il temposcala di interazione tra le due specie era molto minore del tempocaratteristico di espansione dell’universo e quindi in equilibrio termi-co. Durante questa fase, a causa del diverso andamento per la densita’, sie’ passati da un periodo in cui la densita’ di energia dominante era dovutaalla radiazione ad una fase di dominio della materia. Il passaggio, chiamatoequivalenza, e’ un tempo scala importante nella storia dell’universo. Ri-cordando che la temperatura della radiazione, prima del disaccoppiamentodalla materia, seguiva

ρr ∝ T 4 ∝ (1 + z)4 (3.10)

3.1 Il modello a Big Bang Caldo. Equilibrio termodinamicoprimordiale 40

L’equivalenza avviene quando questa equivale a

ρm = ρ0m (1 + z)3 = ρr = ρ0r (1 + z)4 or zeq ≃ 3330 (3.11)

L’espansione dell’universo ha poi portato le specie presenti a raffreddarsiprogressivamente secondo le relazioni (3.14) e (3.16). Come conseguenza siha il disaccoppiamento della radiazione dalla materia a T ∼ 3000 K per ilcrollo della sezione d’urto di Thomson. In seguito la densita’ della radiazionesi e’ evoluta come

ρr = ρ0r (1 + z)4 (3.12)

Attualmente quindi materia e radiazione sono disaccoppiate, di conseguenzale loro temperature evolvono separatamente e in modo differente.Assumiamo per la materia un gas di solo idrogeno in espansione adiabaticaper il quale

d

[(

ρmc2 +

3

2ρm

kbTmmp

)

a3]

= −ρmkbTmmp

da3 (3.13)

con ρma3 costante per la conservazione della massa, si trova quindi

Tm = T0m

(a0a

)2

= T0m (1 + z)2 (3.14)

Per un gas di fotoni usiamo invece la relazione temperatura-densita’ del corponero

ρrc2 = σrT

4r (3.15)

da cuiTr = T0r

a0a

= T0r (1 + z) (3.16)

Un parametro fondamentale riguardante il Big Bang Caldo e’ il rapportotra numero di fotoni e numero di barioni al tempo attuale, definito da

η =n0,γ

n0,b

∼ 3.75× 107(Ω0,bh

2)−1

(3.17)

Se non vi e’ stata creazione o distruzione di fotoni in modo molto signifi-cativo durante la maggior parte del tempo di Hubble, questo rapporto si e’mantenuto invariato, e molto grande, dell’ordine di un miliardo di fotoni perogni barione.

Questo numero e’ anche importante perche’ ad alte temperature, superioria 1013 K barioni e anti-barioni erano in equilibrio tra loro e con la componentefotonica (nelle condizioni di equilibrio termodinamico sopra menzionate). Vi


successi e problemi

era una continua creazione di barioni-antibarioni e loro annichilazione. Acirca 1013 K si e’ verificata l’annichilazione dei barioni e degli anti-barioni.Poiche’ nell’Universo locale non si osserva praticamente la presenza di anti-barioni, evidentemente si deve essere creata una leggerissima asimmetria tranumero di particelle e antiparticelle, a favore delle prime, che ha fatto si’ chenon tutte si annichilissero tra loro, ma rimanesse una piccola contaminazionedi barioni, che poi ha portato ad un valore di ΩB diverso da zero. Dalla misuradi η, l’asimmetria e’ di una parte su 109.

La situazione fisica relativamente alla descrizione delle prime fasi evolutivedell’Universo e’ comunque assai complessa. Vi sono una varieta’ di compo-nenti fisiche interconnesse tra loro, e tutte legate dalla Relativita’ Generalealla metrica gravitazionale, come schematizzato in Figura 3.1.

Figura 3.1: Schema illustrante le varie componenti fisiche e loro inter-relazioniche occorre considerare trattando le prime fasi evolutive dell’Universo.

3.2 Successi e problemi del Modello Standard Classico 42

3.2 Successi e problemi del Modello Standard

Classico

Riprendiamo rapidamente quanto detto prima per valutare i successi e i limitidel Modello Standard Classico d’Universo, intendendo per questo il modelloa Big Bang caldo che emerse dalla scoperta della radiazione CMB, ricco dun-que di fotoni sempre piu’ energetici man mano ci si avvicina al Big Bang..Questo assume che le leggi della fisica valide oggi fossero valide anche nel-l’universo primordiale (inclusa anche la “nuova fisica” di cui si parlera’ inseguito) e che la gravita’ sia descritta dalla Relativita’ Generale, inclusa unacostante cosmologica Λ di valore pero’ molto basso e del tutto ininfluentenelle fasi antiche dell’evoluzione. Inoltre e’ valido il Principio Cosmologico ele condizioni iniziali sono:

• Alta temperatura nelle fasi iniziali, T > 1 GeV a 10−6 secondi dopo ilBig Bang, e addirittura T > 1019 GeV al tempo di Planck tP ;

• contenuto dell’universo in equilibrio termico (vedi precedente Cap. 3.1);

• un’asimmetria barionica consistente con il valore osservato (vedi Cap.3.1);

• Ω (ti) ∼ 1;

• uno spettro di fluttuazioni di densita’ iniziali che ha dato origine allastruttura su grande scala che vediamo al tempo attuale.

I (grandi) successi raggiunti sono:

• la CMB viene naturalmente spiegata, con tutte le sue proprieta’ osser-vate (spettro, anisotropie, polarizzazione, ecc.) come cio’ che resta diuna fase iniziale molto calda

• le predizioni sulle abbondanze date dalla nucleosintesi cosmologica, inaccordo con le osservazioni, inclusa l’abbondanza del Deuterio primor-diale, in perfetto accordo con misure indipendenti di ΩB

• viene fornita la base per capire la formazione delle galassie e delle al-tre strutture, tramite un modello (del Clustering Gerarchico a seguitodi instabilita’ gravitazionale in presenza di materia oscura fredda e diuna costante cosmologica Λ importante solo negli ultimi miliardi di an-ni) che e’ in grado di spiegare la Struttura su Grande Scala e la suaevoluzione.


successi e problemi

Rimangono pero’ problemi non risolti e domande fondamentali sullastruttura generale dell’Universo la cui risposta non e’ ancora stata trovata:

• l’evoluzione dell’universo al tempo di Planck e prima

• il problema dell’orizzonte cosmologico

• il problema della piattezza

• il problema dei monopoli magnetici

• il problema della bariosintesi, ovvero dell’origine dell’asimmetria barioni-antibarioni

• l’apparentemente eccessiva omogeneita’ e isotropia dell’Universo, checostituiscono la base del Principio Cosmologico, e le cui cause sono datrovare e motivare

• la natura della materia oscura

• l’origine dello spettro primordiale di fluttuazioni di densita’

Nel seguito di questo capitolo illustreremo brevemente la natura di questiproblemi e successivamente discuteremo loro soluzioni nel capitoli seguentidi questa Sezione.

3.2.1 Il problema della piattezza cosmica

Si tratta del piu’ serio problema del modello standard dell’Universo basatosulla dinamica di Friedmann. Ad esso e’ collegato anche quello dell’originefisica del Principio Cosmologico (pure discusso nel prossimo Cap.). In ununiverso di Friedmann (con o senza costante cosmologica non fa differenzaperche’ essa e’ una quantita’ trascurabilmente piccola a z > 1), riprendendoeq. 1.14:

H2(z) = H20a

−2[Ω0wa

−(1+3w) + (1− Ω0w)]

e utilizzando ancora la definizione del parametro di densita’ generalizzato1.10

Ωw(z) =8πGρw(z)

3H(z)2,

si ottiene

Ωw(z) =8πGρw(z)

3H20

a2[Ω0wa

−(1+3w) + (1− Ω0w)]−1

(3.18)


con ρw(z) = ρ0w(1 + z)3(1+w) (vedi la eq. 1.11). Sostituendo, e poiche’a = 1/(1 + z), si ottiene

Ωw(z) =Ω0w(1 + z)1+3w

Ω0w(1 + z)1+3w + 1− Ω0w

(3.19)

che si puo’ porre nella forma piu’ utile

Ωw(z)−1 − 1 =

1− Ω0w

Ω0w(1 + z)1+3w=

Ω−10w − 1

(1 + z)1+3w(3.20)

Equazione 3.20 costituisce un enorme problema per il modello standard: sal-vo che Ω0w non sia oggi enormemente lontano dall’unita’, il parametro didensita’ ad epoche prossime al tempo di Planck deve essere stato straordi-nariamente vicino a 1: se facciamo riferimento ad esempio all’epoca cosmicacorrispondente al redshift di Planck, z ∼ 1032, il fine-tuning iniziale deveessere stato di una parte su 1032 (il parametro di densita’ diverso da 1 solooltre la 32ma cifra decimale)!

Gia’ dalla 3.20 si vede che questa conclusione potrebbe essere solo supe-rata ammettendo una fase nel quale il fluido cosmico sia temporaneamentecaratterizzato da un valore molto negativo del parametro di stato w.

La cosa puo’ anche essere considerata da un altro punto di vista. Durantela dominazione della radiazione (ρ ∝ T 4) non ci sono scale importanti se non

la scala di Planck tP ∼(G~

c5

)1/2. Ragionevolmente percio’ ci si puo’ aspettare

che un universo chiuso abbia un tempo in cui raggiunge la massima espan-sione per poi ricollassare, e che questo tempo sia dell’ordine del tempo diPlanck. Similmente, per un universo aperto ci si aspetterebbe che il terminedi curvatura dominasse su quello gravitazionale su tempi scala nuovamenteparagonabili al tempo di Planck; in altre parole, che tutte le particelle co-stituenti l’Universo si siano espanse a distanza praticamente infinita l’unarispetto all’altra in un tempo infinitesimo, oppure che collassino, sempre inun tempo infinitesimo, in un super buco-nero.

L’universo invece si stima sia sopravvissuto circa 1010 yrs ∼ 1060tP , percui il termine cinetico deve differire da quello gravitazionale nella Equazionedi Friedmann (che esprime la conservazione dell’energia) di una quantita’piccolissima, in altre parole la densita’ al tempo di Planck doveva esserestraordinariamente vicina a quella critica:

Ω (tP ) ∼ 1 + (Ω0 − 1) 10−60 (3.21)

Questo e’ un’ altra visuale dalla quale considerare il fondamentale pro-blema del fine-tuning iniziale. D’altra parte l’universo non e’ esattamente


successi e problemi

descritto dalla metrica di Robertson-Walker poiche non e’ esattamente omo-geneo e isotropo, risulta difficile quindi capire perche’, globalmente, dovrebbeavere esattamente la densita’ critica durante le prime fasi espansive.

3.2.2 Il problema dell’orizzonte cosmologico

Come si e’ visto, qualunque universo di Friedmann con equazione di stato p =wρc2 con w ≥ −1/3, che comprende quindi un amplissimo intervallo di valorie di situazioni fisiche, ha un orizzonte cosmologico delle particelle. Questoorizzonte stabilisce la porzione di spazio sferico attorno ad un qualunqueosservatore che include eventi con i quali l’osservatore e’ stato in contattocausale dal Big Bang al momento considerato. Si tratta quindi non deglieventi con cui l’osservatore e’ in contatto in quel momento (che corrispondonoinvece al cono-luce), ma di tutti quelli con cui ha scambiato informazione inun qualunque istante passato.

La presenza dell’orizzonte delle particelle e il Principio Cosmologico ri-sultano pero’ in fondamentale conflitto tra loro, almeno apparentemente:regioni ora sufficientemente lontane per non essere mai state in connessionecausale tra loro risultano essere caratterizzate da una forte correlazione fisi-ca, ovvero gli stessi valori dei parametri termodinamici: si osserva cioe’ cheil Principio Cosmologico e’ verificato anche tra tali regioni apparentementemai fisicamente connesse.

Il problema risulta particolarmente acuto in considerazione dell’isotropiaosservata della CMB, che implica straordinaria omogeneita’ e isotropia per ilfluido cosmico alla superficie di ultimo scattering, gia’ quindi all’epoca dellaricombinazione.

Se assumiamo zls ∼ 1000 ≫ 1, allora possiamo considerare il raggio diHubble a quell’epoca scalandolo dall’epoca attuale:

Rc(zls) ∼ ct0/zls. (3.22)

con zls ≃ 1080. Il raggio proprio corrispondente all’orizzonte delle particellealla ricombinazione, invece, e’ immediatamente calcolabile dalla eq. 2.9:

RH(zls) ≃2c

H0 Ω1/20w (3w + 1)

(1 + zls)−(3w+3)/2 (3.23)

Avremo dunque per w ≈ 0:

RH (zls) . 2ct0z−3/2ls ≤ 2Rc(zls)z

−1/2ls ≤ 10−1Rc(zls), (3.24)

avendo usato eq. 3.22, e risultati analoghi si ottengono se w e’ compresonell’intervallo di Zeldovich (0-1). Percio’ l’Universo alla superficie di ultimo


scattering risulta da osservazioni della CMB omogeneo e isotropo su unascala almeno dieci volte piu grande di quella dell’orizzonte. In particolare, ilsegno di eguale nella 3.24 si applica quando w = 0, valore che si applica nellaMatter Dominated Era. Considerando la distanza di diametro angolare a zls(si veda Sez. 6, eq. 3.116-118), dA ∼ 13 Mpc, mentre da eq. 3.107 Sez. 6RH ∼ 500 Kpc otteniamo per la scala angolare corrispondente all’orizzontedelle particelle alla superfice di ultimo scattering a zls:

θH =RH

dA(zls)≃ 1.8o Ω1/2

m .

Questo calcolo implica che su scale angolari piu’ grandi di 1 grado la CMBnon possa essere isotropa, al contario di quanto osservato. La teoria classicadel Big Bang non puo’ spiegare l’elevato grado di isotropia angolare dellaCMB osservato.

3.2.3 Il problema dei monopoli

Ogni Grand Unified Theory (GUT), per la quale l’elettromagnetismoe’ contenuto in una teoria di gauge che implichi una rottura spontanea disimmetria, ha una naturale spiegazione per la quantizzazione della caricaelettrica. La stessa teoria purtroppo pero’ prevede anche la creazione didifetti del campo di Higgs, che costituiscono nuove componenti introdottedalla fisica delle particelle elementari. Il campo di Higgs e’ stato recentementeverificato da recenti esperimenti con il Large Hardon Collider al CERN.

Questi difetti possono avere dimensioni nulle, costituendo i cosiddettimonopoli, entita’ unidimensionali (stringhe), ovvero bidimensiona-li (domain walls) o tridimensionali (textures). Il tipo di difetto creatodipende dalla simmetria che viene rotta.

I monopoli hanno carica magnetica gn = ngD = n~c2e

= 68.5e, massamM ∼ 103mHiggs ∼ 1016 GeV ∼ 10−8 g e raggio rM ∼ ~

mHiggs∼ 10−28 cm.

Dal punto di vista cosmologico monopoli e domain walls costituiscono unproblema. La densita’ numerica di monopoli si stima sia dell’ordine di quelladei barioni, quindi

n0M > 10−10n0γ ∼ n0b (3.25)

implicando quindi un valore enormemente elevato per il parametro di densita’contribuito dai monopoli ΩM > mM

mpΩb ∼ 1016, dato che la massa di ogni tale

particella sarebbe enormemente superiore a quella di un protone.


successi e problemi

3.2.4 Il problema della costante cosmologica

In presenza di costante cosmologica le equazioni di Friedmann diventano

a2 =8

3πG (ρ+ ρΛ) a

2 −Kc2 (3.26)

a = −4

3πG(

ρ+ 3p

c2− 2ρΛ

)

a (3.27)

da cui, a partire dai limiti osservativi su q0 e Ω0 si trovano i seguenti limitiai valori della costante:

|ρΛ| < 10−48 GeV (3.28)

|Λ| < 10−55 cm−2 (3.29)

mΛ < 10−32 eV ≪ mγ (3.30)

valori pertanto innaturalmente piccoli.Le quantita’ ρΛ e pΛ possono essere interpretate come la densita’ e la

pressione del vuoto come stato fondamentale di un sistema quantistico: ρΛ =ρv ∼ V (φ, T ) , pΛ = pv = −ρvc2 dove V (φ, T ) e’ il potenziale effettivo, ana-logo all’energia libera nella trattazione classica, la cui variazione determinala rottura spontanea della simmetria. Il valore di aspettazione del campo φ e’l’equivalente del parametro d’ordine nel caso termodinamico. La dipendenzatemporale della costante cosmologica inoltre e’ data dalla sua dipendenzadalla temperatura e su questo si basa il modello inflazionario.

Le teorie di gauge predicono

ρv ∼m4

~3c3+ const (3.31)

con m scala di massa-energia a cui avviene la transizione di fase. Per ognirottura di fase della simmetria, si veda al proposito la Sezione dedicata alletransizioni di fase al Cap. 4 seguente, si ha una diminuzione

∆ρv ∝m4

~3c3≈ 1060 GeV4, 1012 GeV4, 108 GeV4 e 10−4 GeV4

rispettivamente per GUT, supersimmetria, transizione elettrodebole e perQCD. Si ha

ρv (tP ) = ρv (t0) +∑

i

∆ρv (mi) ∼∑

i

∆ρv (mi)(1 + 10−108

)(3.32)

ovvero un problema di estremo fine tuning.

3.3 Epilogo 48

3.3 Epilogo

In questo Cap. 3 abbiamo dapprima riassunto alcuni degli aspetti fonda-mentali del Modello Standard Classico d’Universo, con alcuni dei suoi gran-di successi. In seguito abbiamo elencato e investigato alcuni dei numerosiproblemi lasciati aperti da questo modello standard.

I prossimi capitoli saranno dedicati ad uno studio delle prime fasi espansi-ve dell’Universo, e dei processi fisici cola’ occorsi, che ci aiuteranno a risolve-re molte, se non tutte, le inconsistenze e le limitazioni del modello Standardclassico, modificandolo in quello che oggi e’ riconosciuto semplicemente comeil Modello Standard.

Capitolo 4Processi fisici nell’Universoprimordiale. Transizioni di fase.Inflazione Cosmologica

Le analisi condotte nel Capitolo 3 ci hanno condotto a individuare vari pro-blemi cosmologici relativi al modello standard del Big Bang, ad esempio ilproblema dell’orizzonte. Questo, abbiamo visto, non e’ l’unico problema nelquale incorre il modello standard di Universo. Discutiamo in questo Capitolocome una soluzione comune di essi possa trovarsi nel concetto di inflazio-ne cosmologica, ossia nell’ammettere una brevissima fase di espansioneaccelerata dell’Universo.

Analizzeremo pertanto i vari processi fisici durante le primissime fasiespansive, discutendo in particolare i processi delle transizioni di fase, chestanno alla base della teoria dell’Infazione Cosmologica. Quest’ultima infat-ti trova ispirazione e giustificazione in alcune teorie fisiche delle interazionifondamentali.

Nel prossimo Capitolo tratteremo brevemente i vari tipi di modelli infla-zionari che sono stati adottati a partire dal 1981, anno in cui Guth per primointrodusse il concetto di inflazione cosmologica.

4.1 Costituenti fondamentali della materia

L’evoluzione delle prime fasi del Big Bang caldo dipendono essenzialmentedalla fisica delle particelle elementari, dalle loro interazioni fondamentali edalle teorie che le descrivono.Dato che ci muoviamo nell’ambito delle particelle fondamentali, puo’ esse-

4.1 Costituenti fondamentali della materia 50

re utile riassumere brevemente i tipi di particelle con cui avremo a che fa-re nella trattazione successiva. In questo ambito sono possibili tre diverseclassificazioni:

• in base alla loro funzione;

• in base alla loro massa;

• in base alla loro struttura;

Un quadro completo e sintetico delle particelle attualmente conosciute e’quindi fornito da quanto segue.

1. CLASSIFICAZIONE DELLE PARTICELLE IN BASE ALLAFUNZIONE

• PARTICELLE CHE COMPONGONO LA MATERIA: FERMIO-NI, particelle puntiformi di spin semintero per cui vale il princi-pio di esclusione di Pauli. Tutti i fermioni hanno carica debolee possono essere divisi in due gruppi a seconda della sensibilita’all’interazione forte:

a. LEPTONI: non sentono l’interazione forte. Ne esistono di 6tipi, 3 carichi (e−, µ−, τ−) e 3 neutri (νe, νµ, ντ ).

b. QUARKS: sentono l’interazione forte (possiedono la carica dicolore) e presentano tutti carica elettrica frazionaria. Esistono6 tipi di quark, ciascuno con un proprio sapore, li elenchiamodal piu leggero al piu pesante: u (up), d (down), s (stran-ge), c (charm), b (bottom), t (top). Ciascun quark possedereun’ulterire caratteristica che prende il nome di colore.

• PARTICELLE CHE MEDIANO LE INTERAZIONI: BOSONI,particelle di spin intero che non soddisfano il principio di Pauli.

2. CLASSIFICAZIONE DELLE PARTICELLE IN BASE ALLAMASSA

• BARIONI: sono le particelle piu pesanti, possiedono spin semin-tero e numero barionico;

• MESONI: sono le particelle di massa intermedia e spin interouguale a zero (particelle scalari);

• LEPTONI: sono le particelle piu leggere, si possono considerarepuntiformi e possiedono spin semintero.

51Processi fisici nell’Universo primordiale. Transizioni di fase.

Inflazione Cosmologica

Figura 4.1: Schema delle interazioni fondamentali e le loro particelle me-diatrici. L’intensita’ delle forze sono normalizzate a quella dell’interazionenucleare forte.

4.2 Le Interazioni Fondamentali 52

3. CLASSIFICAZIONE DELLE PARTICELLE IN BASE ALLASTRUTTURA

• ADRONI: (sono i barioni piu i mesoni) particelle non puntiformiche sono composti da una struttura di quarks;

• LEPTONI: particelle puntiformi prive di una struttura interna diquarks.

4.2 Le Interazioni Fondamentali

Possiamo ora procedere ad analizzare le interazioni fondamentali che, comee’ ben noto, sono quattro:

• elettromagnetica;

• nucleare debole;

• nucleare forte;

• gravitazionale.

Di queste le prime tre possono essere descritte in modo soddisfacente,in termini quantistici, tramite scambi di particelle bosoniche, che giocano ilruolo di mediatori delle forze. Anche per la gravita’ e’ stato ipotizzata lapresenza di un bosone mediatore, ma la teoria quantistica in questo caso nonha raggiunto un grado di formalizzazione paragonabile a quello delle altre treinterazioni, come abbiamo gia’ accennato. Analizziamo ora separatamente lequattro interazioni fondamentali:

• Interazione elettromagnetica: descritta classicamente delle equa-zioni di Maxwell e in regime quantistico della elettrodinamica quanti-stica (QED, Quantum Electro-Dynamics). Le forze elettromagnetichesono mediate dai fotoni, bosoni privi di massa di conseguenza a lun-go range (in linea teorica infinito, ma bisogna considerare gli effetti dischermaggio della carica). La costante di accoppiamento di questa in-terazione, ossia la quantita’ che misura l’intensita’ dell’interazione, e’data da

gQED =e2

~c≃ 1

137. (4.1)

Dal punto di vista della teoria dei gruppi la Lagrangiana che descrivel’interazione elettromagnetica e’ invariante sotto il gruppo delle trasfo-mazioni di gauge denotato come U(1) (per trasformazione di gauge si



intendono trasformazioni di simmetria locale, cioe’ dipendenti unica-mente dalla posizione spazio-temporale).

• Interazione nucleare debole: tale interazione coinvolge tutte le par-ticelle, ma generalmente e’ di maggior interesse quando coinvolge i lep-toni. Le interzioni deboli sono a corto raggio poiche’ i bosoni media-tori (chiamati W+, W− e Z0) sono molto massivi (mW = 80 Gev emZ = 90 Gev). L’interazione debole puo’ essere descritta dalla teoriasviluppata nel 1970 da Glashow, Salam eWeinberg, secondo la quale l’e-lettromagnetismo e l’interazione debole rappresentano i diversi aspettidi una singola forza (che prende il nome di forza elettrodebole), che perenergie superiori a EEW = 102 GeV, e’ descritta da una lagrangianache e’ invariante sotto il gruppo di trasformazioni di gauge denomi-nato come SU(2) × U(1). A energie dell’ordine di EEW i leptoni nonhanno massa e l’interazione elettrodebole e’ mediata da quattro bosonivettori privi di massa (W1, W2, W3, B), chiamati bosoni vettori inter-medi (intermediate vector bosons) con una costante di accoppiamentodell’ordine di gQED. Ad energie inferiori a EEW la simmetria data dalgruppo di trsformazioni SU(2)×U(1) e’ rotta spontaneamente; la con-seguenza di cio’ e’ che i leptoni (ad eccezione forse del neutrino) e itre bosoni acquistano massa (W+, W− e Z0 possono essere interpretaticome un “miscuglio” di stati quantistici che corrispondono a W1, W2,W3 e B). Dopo tale rottura spontanea, l’unica simmetria che rimanee’ quella rispetto al gruppo U(1) relativa all’elettromagnetismo.

• Interazione nucleare forte: coinvolge tutte le particelle che van-no sotto il nome di adroni. Tutti gli stati adronici sono descritti daun punto di vista teorico dalla cromodinamica quantistica (QuantumChromo-Dynamics, QCD), che ha uno sviluppo simile alla teoria elet-trodebole. L’interazione forte e’ responsabile del legame dei quarks tradi loro. Come gia’ visto esistono diversi tipi di quarks che si distinguo-no l’uno dall’altro attraverso una caratteristica che prende il nome dicolore. Il ruolo di bosoni nell’interazione forte e’ ricoperto dai gluoni,una famiglia di bosoni privi di massa. Malgrado i gluoni siano privi dimassa, l’interazione forte e’ a cortissimo raggio (∼ 10−5 cm), tale com-portamento e’ dovuto al fatto che tali bosoni, a differenza dei fotoni,possono intergire tra di loro ed e’ proprio tale interazione che limita ilrange della forze nucleare forte. I gluoni inoltre, non trasportano caricaelettrica, ma bensı una carica di colore, legata ad un’altra caratteristicapropria dei quark che e’ appunto il colore. Ad energie che superano i

4.2 Le Interazioni Fondamentali 54

200 − 300 MeV, gli adroni non sono piu legati tra di loro e si ottieneun plasma di gluoni e quark.La simmetria che caratterizza l’interazione forte prende il nome diSU(3) ed e’ quantificata tramite l’introduzione di un nuovo numeroquantico che prende il nome di Isospin, che permette di classificare gliadroni (mesoni e barioni) sulla base dell’indipendenza dell’interazioneforte dalla carica elettrica delle particelle.Il successo dell’unificazione elettrodebole (che presenta comunque delleincongruenze al suo interno) ha spinto molti autori alla ricerca dellarealizzazione dell’unificazione dell’interzione forte e di quella elettro-debole. Tali tentativi vanno sotto il nome di GUTs (Grand UnifiedTheories), ma non hanno, al momento attuale, ancora ottenuto risul-tati sperimentali apprezzabili a causa delle enormi energie in gioco. Intali teorie altri bosoni supermassivi (∼ 1015 GeV) sono i mediatori dellaforza unificata. Tra le altre cose tali teorie predicono il decadimentodel protone, che presenta una vita media di circa 1032 − 1033 anni. Laversione piu semplice di una GUT e’ rappresentato dal gruppo di sim-metria SU(5) che subisce una rottura spontanea a energie EGUT ≃ 1015

GeV, cosı che SU(5) → SU(3) × SU(2) × U(1). La possibile rotturadi simmetria e’ conseguenza di una transizione di fase del primo ordinee forma la base della prima versione della teoria inflazionaria di Guthdel 1981, che vedremo nei prossimi paragrafi.

• Interazione gravitazionale: e’ descritta classicamente dalla teoriadella Relativita’ Generale. Il bosone che media tale forza prende il no-me di gravitone. Tale bosone dovrebbe avere massa nulla, dato il rangeinfinito dell’interzione gravitazionale, e spin pari a 2 (a differenza ditutti gli altri bosoni mediatori che presentano spin uguale a 1) a causadell’assenza di cariche gravitazionali diverse, dovuto cioe’ al fatto chela forza gravitazionale e’ solo attrattiva. Il gravitone non e’ stato fi-no ad ora osservato e, malgrado la spinta verso la costruzione di unateoria quantistica della gravita’, forse non sara’ mai possibile, data lapeculiarita’ del comportamento di tale forza, trattare la gravita’ conun formalismo analogo alle precedenti. Malgrado queste difficolta’ si e’cercato di arrivare all’unificazione delle 4 forze fondamentali, citiamosolo per completezza la teoria delle superstrighe come l’ idea piu signi-ficativa e promettente in questo campo. La costruzione di una teoriadel tutto (TOE) rimane pero’ una questione lontana dall’essere risolta.



4.3 La Fisica delle Transizioni di Fase

In alcuni sistemi a molte particelle e’ possibile riscontrare processi che coivol-gono la scomparsa di stati disordinati caratterizzati da una elevatasimmetria, a favore della comparsa di stati ordinati con un minorgrado di simmetria. Questi passaggi tra ordine e disordine, prendono ilnome di transizioni di fase, durante le quali alcune quantita’ macroscopiche,chiamate parametri di ordine, crescono a partire dal loro valore originariopari a zero nello stato disordinato iniziale. Uno degli esempi classici di talitransizioni e’ rappresentato dal ferromagnetismo: per temperature T > TC(la temperatura di Curie) la fase stabile e’ quella disordinata con una ma-gnetizzazione netta M = 0 (la quantita’ M = 0 in questo caso rappresentail nostro parametro d’ordine); a T < TC invece appare uno stato di ma-gnetizzazione diverso da zero, la cui direzione dominate rompe la simmetriarotazionale presente nello stato disordinato a T > TC .

L’abbassamento del grado di simmetria del sistema ha luogo attraversol’Hamiltoniano che descrive la sua evoluzione mantenendo lo stesso grado disimmetria anche dopo la transizione di fase. Per esempio, l’equazione ma-croscopica della teoria del ferromagnetismo non predilige nessuna direzioneo posizione spaziale in particolare. Lo stato ordinato che emerge dalla tran-sizione di stato descritta precendentemente, ha un grado di simmetria che e’minore di quello dell’equazione che governa il sistema. Si puo’ infatti mo-strare che le soluzioni corrispondenti allo stato ordinato, formano un insiemedi soluzioni degeneri (con la stessa energia), che ha lo stesso grado di simme-tria dell’Hamiltoniano. Ossia, ritornando all’esempio del ferromagnetismo,lo stato ordinato del sistema puo’ assumere, in teoria, una direzione qual-siasi per la magnetizzazione. Tenendo in considerazione tutte le possibilita’per M, riotteniamo lo stato isotropico ed omogeneo iniziale. Una qualsiasipiccola fluttuazione del campo magnetico seleziona una particolare soluzionedi questo set degenere e il sistema finisce nello stato corrispondente a ta-le fluttuazione. Ripetendo la transizione di fase con fluattuazioni casuali sipotra’ riprodurre casualmente tutti gli stati finali. E’ un po’ come il casodi una particella libera, descritta nella meccanica Newtoniana dall’equazionedel moto v = 0, che possiede sia la simmetria rotazionale che traslazionale.Le soluzioni r = r0 + v0t con r0 e v0 arbitrari, formano un set che rispetta lasimmetria dell’equazione originaria. Ma se prendo r0 e v0 ad un determina-to istante di tempo, se le faccio per esempio diventare le condizioni inizialidel problema, seleziono un soluzione particolare del set, che non presenta lostesso grado si simmetria dell’equazione del moto.

Una transizione con rottura di simmetria, durante la quale il parametrod’ordine generico Φ cresce in maniera significativa, puo’ essere causato da

4.3 La Fisica delle Transizioni di Fase 56

un’influenza esterna di sufficiente intensita’, in questo caso si parla di processia rottura di simmetria indotta, per distinguerli da quelli di rottura spontaneadi simmetria. La rottura spontanea di simmetria viene da un graduale cam-biamento del parametro da parte del sistema stesso. Per descrivere questoprocesso e’ utile richiamare il concetto di energia libera di un sistema

F = U − TS

dove U e’ l’energia interna, T la temperatura e S l’entropia. Ricordiamoanche che la condizione per l’esistenza di uno stato di equilibrio di un si-stema e’ che F abbia un minimo. L’energia libera coincide con l’energiainterna solo per T = 0. Per temperature maggiori, qualunque sia la formadi U , un incremento di entropia generalmente conduce ad una descrescitadell’energia libera F . Per sistemi in cui ci siano transizioni di fase, F e’ unafunzione del parametro d’ordine Φ. Dato che Φ deve rispettare la simme-tria dell’Hamiltoniano del sistema, esso deve essere esprimibile in modo darimanere invariante rispetto alle trasformazioni che lasciano invariato l’Ha-miltoniano stesso. Sotto certe condizioni F deve avere un minimo a Φ = 0(stato disordinato), mentre in altre deve avere in minimo con Φ 6= 0 (statoordinato).

Consideriamo ora il caso piu semplice. Se l’Hamiltoniano presenta unasimmetria per riflessione che e’ rotta dalla comparsa del parametro d’ordineΦ o, equivalentemente in questo caso, −Φ, l’energia libera deve essere unafunzione solo di Φ2 (assumiamo Φ come variabile scalare e reale). Se Φ none’ troppo grande possiamo sviluppare F in serie di potenze

F (Φ) ≃ F0 + αΦ2 + βΦ4, (4.2)

dove i coefficienti α e β dipendono dai parametri del sistema, come peresempio la temperatura.

Per α > 0 e β > 0 abbiamo una curva di tipo 1 nella figura 4.2, mentreper α < 0 e β > 0 abbiamo una curva di tipo 2.

La curva 1 corrisponde allo stato disordinato: il sistema e’ nel minimoper Φ = 0. La curva 2 invece, ha due minimi per Φm = ±(−α/2β)1/2 e unmassimo a Φ = 0, quest’ultimo rappresenta lo uno stato disordinato insta-bile, mentre i due minimi corrispondono a stati ordinati con la medesimaprobabilita’: qualsiasi perturbazione esterna che rende uno dei due minimileggermente piu profondo, puo’ spingere il sistema verso l’uno o l’altro sta-to, facendo in modo che il sistema evolva in uno piuttosto che nell’altro; inquesto modo si ottiene la rottura spontanea di simmetria. Se c’e’ solo unparametro che descrive il sistema, diciamo la temperatura, il coefficiente α e’



Figura 4.2: Transizione di fase del secondo ordineEnergia libera F di un sistema che subisce una rottura spontanea di simmetriatramite una transizione di fase del secondo ordine nel parametro d’ordineΦ. Il minimo della curva 1, corrispondente a una temperatura T > TC ,rappresenta lo stato di equilibrio disordinato; la transizione avviene a T = TC ;uno dei due minimi della curva 2, corrispondente a T < TC , rappresenta lostato di equilibrio ordinato che compare dopo la transizione

scrivibile come α = a(T − TC) (dove TC ora indica una temperatura criticagenerica), con a > 0 ci troviamo nella situazione rappresentata dalla curva2 per T < TC . Mentre T cresce andando verso TC , il parametro d’ordinedecresce lentamente ed e’ zero a TC . Questo tipo di transizione, come il suoinverso, e’ detto transizione di fase del secondo ordine: il parametro d’ordinecompare o scompare gradualmente e la differenza ∆F tra T > TC e T < TCa T ≃ Tc e’ infinitesima.Esistono anche transizioni di fase del primo ordine, nelle quali a T ≃ TCil parametro d’ordine appare o scompare rapidamente e la differenza ∆F e’finita. Tale differenza e’ detta calore latente della transizione di fase. Si puootterene tale tipo di transizione se, per esempio, si inserisce un termine ag-giuntivo γ(Φ2)3/2, con γ > 0 nel lato destro dell’equazione 4.2. Ci troviamoora del caso rappresentato in figura 4.2: F acquista due nuovi minimi chediventano uguali o minori di F (0) = F0 per T ≤ TC .

In una transizione del primo ordine, quando T cambia da una situazionerappresentata dalla curva 1 a quella rappresentata dalla curva 3 in figura4.2, interviene il fenomeno del supercooling : il sistema rimane nello stato

4.4 Transizioni di Fase Cosmologiche 58

disordinato detto di falso vuoto, rappresentato da Φ = 0 anche per T <TC (stato A), ossia in uno stato metastabile di equilibrio. Ad un ulterioredecrescere di T , o ad una possibile perturbazione del sistema da parte di unafluttuazione interna od esterna, il sistema evolve rapidamente nello stato divero vuoto (stato B), che energeticamente stabile, liberando calore latente nelprocesso. Il sistema, ancora nello stato ordinato, e’ riscaldato nuovamentefino ad una temperatura dell’oridine di TC dal rilascio di tale calore latente,questo fenomeno prende il nome di reheating.

4.4 Transizioni di Fase Cosmologiche

Il modello di rottura spontanea di simmetria e’ stato largamente applicatoper spiegare il comportamento delle interazioni tra le particelle nei paragrafiprecendenti. Poiche’ transizioni di fase di questo tipo ci si aspetta si veri-fichino nell’Universo primordiale, gli stadi iniziali del Big Bang sono spessodescritti come l’era delle transizioni di fase . In questo contesto si e’ so-liti identificare il parametro d’ordine Φ con il valore di un qualche camposcalare quantistico, uno tra i piu noti e’ il campo scalare di Higgs, mentrel’energia libera F puo’ essere legata al potenziale effettivo V (Φ) che descrivel’interazione di tale campo.

Il periodo di tempo che va dal tempo di Planck tP ≃ 10−43 s, che corri-sponde ad una temperatura TP ≃ 1019 GeV, fino al momento in cui i quarksvengono confinati all’interno degli adroni a T ≃ 200− 300 MeV, puo’ esserediviso in vari intervalli legati alla transizione di fase che caratterizza ciascunodi essi.

1. TP ≃ 1019 GeV > T > TGUT ≃ 1015 GeV (tP ≃ 10−43 s e tGUT ≃10−37 s). In questo periodo gli effetti quantistici della gravita’ diven-tano trascurabili e le particelle sono tenute in equilibrio termico perT < 1016 GeV per mezzo delle interazioni descritte dalle GUT. Qual-siasi eccesso di barioni o antibarioni ci si aspetta sia rimosso a questealte energie; a T ≃ 1015 GeV l’Universo si trova in uno stato di simme-tria barionica, cioe’ il numero di quarks e di antiquarks coincidono. E’inoltre possibile che gli effetti di viscosita’ previsti alle scale delle GUTpossano condurre alla reintroduzione di un livello di disomogeneita’ del-l’Universo in questo periodo. A temperature pari a TGUT ≃ 1015GeV,corrispondenti ad un tempo t ≃ 10−37 s, possiamo considerare la piusemplice GUT di simmetria SU(5).

2. T ≃ 1015 GeV (tGUT ≃ 10−37 s). A T ≃ 1015 GeV si ha la rotturaspontanea della simmetria S(5) in S(3) × SU(2) × U(1). Il risultato



Figura 4.3: La nostra regione di universo prima e dopo l’inflazione.

della transizione di fase a TGUT e’ la formazione del monopolo magne-tico: tale formazione (che non e’ pero’ osservata) rappresenta uno deiproblemi del modello standard del Big Bang e che verra’ risolto dal-l’introduzione dell’inflazione, che e’ solitamente assunto che intervegaa questa epoca. Una GUT che unifichi l’interazione forte con quellaelettrodebole, mette adroni e leptoni sullo stesso piano e permette cosıdei processi che non consevano il numero barionico B (la violazione delnumero barionico non e’ permessa ne’ in QCD, ne’ nella teoria elettro-debole). E’ quindi ipotizzabile che processi avvenuti a TGUT , possanoaver creato una asimmetria tra barioni e antibarioni che e’ attualmenteosservabile attraverso il rapporto non nullo, tra numero di barioni equello di fotoni nb/nγ . Al fine di creare un eccesso di barioni da unasituazione inizialmente simmetrica, a T > 1015 GeV, deve essere inter-venuto un processo di sintesi barionica , che per avvenire necessitadi:

• processi che violano la conservazione del numero barionico B;

• violazione di C e di CP (dove C e’ la coniugazione di carica eP e’ la parita’, violazioni di tali simmetrie sono osservate nelleinterazioni elettrodeboli), d’altra parte, per ogni processo che violala conservazione del numero barionico, deve essercene un altro


con lo stesso tasso di accadimento per gli anti-barioni che cosı necancelli l’effetto netto;

• i processi che violano la consevazione di B devono avvenire al difuori dell’equilibrio poiche’ un teorema della meccanica statisticamostra che una distribuzione all’equilibrio con B = 0 rimane talesenza curarsi del fatto che B, C e CP siano state violate o meno.Tale teorema mostra che la distribuzione di equilibrio non puo’ es-sere modificata dalle collisioni anche se l’invarianza per inversionetemporale e’ violata.

Sembra che le condizioni elencate sopra siano valide a T ≃ 1015 GeV, oa temperature leggermente piu basse a seconda della teoria GUT utiliz-zata. Tuttavia la questione della sintesi barionica rimane estremanentecomplessa, le ipotesi piu ragionevoli sono giunte a stimare che l’asim-metria barioni-antibarioni sia dell’ordine di 10−8−10−13, intervallo cheinclude in effetti anche il valore osservato: le incertezze derivano nonsolo dalla scelta della teoria GUT adottata, ma anche dai parametriliberi o malamente determinati presenti nelle varie teorie. Inoltre sel’universo era inizialmente simmetrico rispetto ai leptoni, le reazionicon violazione del numero barionico avrebbero potuto dare origine adun eccesso di leptoni rispetto agli antileptoni, questo perche’ le GUTunificano quarks e leptoni: questa e’ una delle motivazioni per cui siassume il potenzile chimico dei leptoni molto vicino allo zero all’iniziodella nucleosintesi. Inoltre il valore dell’asimmetria barionica prodot-to dalle GUT dipende solo da parametri microfisici, cio’ significa che,anche se l’Universo e’ non omogeneo, il valore dell’asimmetria deveessere lo stesso in ciascuna regione.

3. TGUT (1015 GeV) > T > TEW (100 GeV) (tGUT ≃ 10−37 s e tEW ≃10−11 s). Quando la temperatura cade sotto i 1015 GeV, l’unificazionetra interazione forte ed elettrodebole non puo’ continuare a sussiste-re. I bosoni supermassicci che mediavano la forza unificata sparisconorapidamente attraverso annichilazioni e processi di decadimento. Nelmomento della rottura di simmetria il parametro d’ordine Φ puo’ assu-mere un differente segno o direzione nella regione spaziale circostante:e’ possibile in questo modo creare posti dove Φ cambia rapidamentecon la posizione spaziale. Queste regioni singolari, in cui Φ e’ discon-tinuo, hanno una struttura che dipende fortemente dal tipo di simme-tria che viene rotta. Il periodo temporale in discussione e’ quello tratGUT ≃ 10−37 s e tEW ≃ 10−11 s, che in termini logaritmici risulta esse-re piuttosto lungo. E’ probabile che la transizione di fase sia avvenuta



proprio all’interno di questo intervallo di tempo, che non e’ ancora statocompletamente compreso. Esso corrisponde ad un intervallo energeti-co per le particelle di 102 − 1015 GeV; all’interno del quadro teoricocostruito dalla simmetria SU(5), non sono previste delle particelle conmassa compresa all’interno di tale range che e’ stato, di conseguenza,denominato il “grande deserto”. Rimagono quindi molte questioni irri-solte relativamente a questa particolarissima era dell’Universo. Ad ognimodo, verso la fine di questo periodo si puo’ tranquillamente affermareche l’Universo era, in buona approssimazione, riempito da un gas idealedi leptoni ed antileptoni, dai quattro bosoni vettori, da quarks e anti-quarks e gluoni. Alla fine di questo periodo la dimensione dell’orizzontecosmologico e’ di circa di un centimetro e contiene ≃ 1019 particelle.

E’ comunque durante o in prossimita’ di questa fase espansiva (moltolunga, come si vede, in senso logaritmico) che si ritiene sia avvenuto ilprocesso dell’ inflazione cosmologica, come dettagliato piu’ sotto eillustrata in Fig. 4.4.

4. TEW (100 GeV) > T > TQH ≃ 0.3 GeV (tQH ≃ 10−5 sec). A T ≃102 GeV avviene la rottura spontanea della simmetria SU(2) × U(1),attraverso una transizione di fase che e’ probabilmente del primo or-dine ma anche piuttosto debole. Tutti i leptoni acquisiscono massaattraverso tale rottura mentre i bosoni vettori intermedi danno origineai bosoni massivi W+, W− e Z0. I bosoni massivi scompaiono rapida-mente attraverso decadimenti e annichilazioni quando la temperaturascende al di sotto del 90 GeV. Per temperature TQH ≃ 300 MeV, ci tro-viamo nella transizione di stato finale nel quadro previsto dalla teoriadella QCD: l’interazione forte diventa infatti molto intensa e produce ilconfinamento dei quarks all’interno degli adroni e subito dopo cominciala brevissima era adronica. Al raggiungimento di TQH e del corrispon-dente tempo cosmologico tQH ≃ 10−5 s, l’orizzonte cosmologico misuracirca 1 kilometro.

5. L’era adronica (TQH − TLept), molto breve su un asse logaritmo deitempi, alla fine della quale inizia la (lunga) fase leptonica discussa nellaSez. 5.


Figura 4.4: Rappresentazione grafica di una evoluzione standard dell’universoprimordiale (sopra), e di una evoluzione che include una fase di espansioneinflazionaria.



4.5 Soluzione inflazionaria ai problemi del mo-

dello standard

La soluzione ai paradossi cosmologici appena enunciati e’ stata proposta perla prima volta daGuth (1981), che per primo introdusse il concetto di inflazio-ne cosmologica, ossia una fase di espansione accelerata esponenzialmente, cir-coscritta ad un brevissimo intervallo temporale molto prossimo al Big Bang,attraverso la quale e’ possibile ricondurre a comprensione alcuni paradossidel modello standard discussi nel Cap.3.

Analizziamo ora come la soluzione inflazionaria risolva elegantementemolti dei problemi sopra citati. Discuteremo nel seguito, con qualche ul-teriore dettaglio nel Cap. 5, alcune giustificazioni fisiche al fenomeno infla-zionario.

Ipotizziamo quindi una evoluzione del parametro di scala a(t) dato da:

a(t) =

ai

(tti

)1/2

t < ti [w = 1/3]

aieHi(t−ti) ti < t < tf [w < −1/3]

af

(ttf

)1/2

tf < t [w = 1/3]

(4.3)

avendo definito af = aieHi(tf−ti) = aie

N dove N = Hi(tf − ti) e’ dettonumero di e-foldings dell’inflazione. I parametri ti e tf sono i tempi inizia-le e finale della fase inflattiva. La relazione 4.3 implica che il parametrodi Hubble H(t) = a/a all’inizio e alla fine della fase inflazionaria assumaapprossimativamente valori eguali, essendo in entrambi i casi a(t) ∝ t1/2

appropriato per la fase Radiation Dominated.

4.5.1 Costanza del parametro di Hubble durante l’In-flazione

Possiamo innanzitutto verificare che il parametro di Hubble non cambia si-gnificativamente tra immediatamente prima e immediatamente dopo l’infla-zione, H(t) ≈ cost. Dalla definizione di H si ha:

H =a

a=

dlna(t)

dt. (4.4)

Proviamo dunque a imporre la costanza di H(t):

H(t) =dlna(t)

dt= cost = C (4.5)

4.5 Soluzione inflazionaria ai problemi del modello standard 64

integrando

∫ af

ai

da

a= C

∫ tf

ti

dt

lnaf − lnai = C(tf − ti)afai

= eC(tf−ti)

(4.6)

quindi otteniamoafai

= eC(tf−ti) (4.7)

ossia H e’ costante se si assume un andamento esponenziale del fattore discala durante l’inflazione, che e’ proprio il caso considerato.

4.5.2 Soluzione al problema della Piattezza

Consideriamo l’equazione di Friedmann senza il termine della costante co-smologica (che ha scarsa influenza nell’evoluzione passata dell’Universo)

(a

a

)2

= H2 =8π

3Gρ− kc2

a2(4.8)

Definiamo poi il parametro di densita’ :

Ω =ρ

ρcritica=

8πGρ

3H2. (4.9)

Dalle eq. 2.3 e 2.13, il raggio di Hubble comovente, che come abbiamo vistofornisce un’ottima rappresentazione dell’orizzonte delle particelle (vedi ad es.Figs. 2.6 e 2.7) sara’ 1:

rc(t) =c

a=

c

aH(4.10)

ricordando che la ρcritica e’ la densita’ che compete ad un Universo di k = 0.Come gia’ detto, attualmente Ω ≈ 1, ossia ci troviamo in un Universo piattoquasi euclideo che ha come valore della curvatura k = 0, che rappresentapero’ una soluzione a misura nulla, dato che Universi aperti (k < −1) o chiusi(k > 1) presentano infinite possibilita’ per il valore di k, e dovrebbero esseredi conseguenza piu probabili. Se pero’ assumiamo l’andamento del fattore di

1Nota bene: utilizziamo qui la notazione minuscola rH(t) e rc(t) per rappresentarel’orizzonte e sfera di Hubble comovente, e l’usuale maiuscola RH o Rc per le quantita’proprie, come nelle definizioni nel Cap. 3.



Figura 4.5: Soluzione inflazionaria al problema della piattezza.

scala precedentemente enunciato, dalle equazioni cosmologiche, dividendo idue membri di 4.8 per H2 e utilizzando la 4.9 e 4.10, otteniamo:

1 =8πGρ

3H2− kr2c ⇒ 1− Ω(t) = −kr2c (t) (4.11)

Quindi tra l’inizio e la fine dell’inflazione si ha

1− Ω(tf )

1− Ω(ti)=

(rc(tf )

rc(ti)

)2

≃ H2(ti)a2(ti)

H2(tf )a2(tf )≃ a2(ti)

a2(tf )≈ e−2N = 10−0.86N (4.12)

dal momento che, per quanto discusso nella 4.5.1, H(ti) ≈ H(tf ). La rela-zione 4.12 per N sufficientemente grandi tende a 0, che implica che possiamorendere Ω(tf ) arbitrariamente vicino all’unita’. Poiche’, dalla equazione 3.20,[1 − Ω(tp)]/[1 − Ω(t0)] ∼ 10−32, 40-50 ordini di grandezza nell’espansione dia(t) sono necessari durante la fase inflazionaria, ovvero un numero di e-foldingdi N ≈ 60−100 e’ richiesto. Questo risolve quindi il problema della piattezza.

4.5.3 Soluzione al problema dell’Orizzonte

In relazione al problema dell’orizzonte discusso nel Capitolo precedente, cal-coliamo ora l’orizzonte proprio delle particelle all’inizio e alla fine dell’infla-zione. Per t = ti, dalla definizione in eq. 2.9 si ha

RH(ti) = a(ti)

∫ ti

0

cdt′

ai(t′/ti)1/2= 2c

√ti

∫ ti

0

d(√t) = 2cti; (4.13)


mentre a t = tf

RH(tf ) = ca(tf )

∫ tf

0

dt′

a(t′)= caie

N

(∫ ti

0

dt

ai(t/ti)1/2+

∫ tf

ti

dt

aiexp[Hi(t− ti)]

)

= ceN(

2ti −1

Hi

∫ tf

ti

e−Hi(t−ti)d[−Hi(t− ti)]

)

= eNc

2ti −1

Hi

e−Hi(tf−ti)

︸︷︷︸

exp(−N)→0

−e−Hi(ti−ti)

≈ ceN(2ti +H−1i )

(4.14)

Facendone il rapporto troviamo

RH(tf )

RH(ti)=eNc(2ti +H−1

i )

2cti= eN

(

1 +1

2tiHi

)

≈ eN . (4.15)

La distanza propria massima a cui due particelle possono aver interagitodopo l’inflazione e’ quindi 100.43N volte quella prima dell’inflazione: se N e’sufficientemente grande la distanza e’ enorme e puo’ quindi spiegare le attualiproprieta’ dell’Universo e il Principio Cosmologico, come dovuti ad una faseprecedente l’inflazione nella quale e’ stata termalizzata una certa porzioned’universo, su una scala spaziale che poi e’ stata ampificata dall’inflazione.L’andamento dell’orizzonte proprio in funzione del tempo cosmico e’ illustratoin Fig. 4.6, ove si vede l’enorme crescita tra il tempo iniziale e quello finaledell’inflazione, ti e tf . Un osservatore a t0, proiettando indietro nel tempol’andamento apparente che consegue l’espansione cosmica, prevederebbe unvalore dell’orizzonte proprio (linea continua verticale) molto inferiore a quelloche e’ il valore reale (linea verticale a puntini) in conseguenza della crescitainflazionaria.

Questo risultato in termini dell’orizzonte proprio delle particelle e’ per-fettamente in accordo con quanto possiamo ottenere riguardo quanto accadeall’orizzonte comoving. In questo caso il rapporto tra fine e inizio inflazionediventa

rH(tf )

rH(ti)=RH(tf )

RH(ti)

aiaf

≃ eN−N ≃ 1 (4.16)

ovvero l’orizzonte comovente rimane invariato, come illustrato nella Fig. 4.6,e in accordo con l’andamento costante dell’orizzonte comoving in presenza diuna espansione esponenziale illustrato in Fig. 2.6.

Per verificare che l’Inflazione risolva completamente anche il problema del-l’orizzonte alla ricombinazione, ragioniamo nel seguente modo. L’orizzonte



Figura 4.6: Soluzione inflazionaria al problema dell’orizzonte. Nella par-te superiore in termini delle dimensioni comoventi, in quella inferiore delledimensioni proprie.


proprio alla ricombinazione e’, dunque, da (2.4) con accettabile approssima-zione:

RH(zls) ≈ ctrec

con trec ≃ 0.4 Myr ≃ 0.4 106 × 3 107 sec ∼ 1013 sec, mentre l’orizzonteproprio alla fine dell’inflazione e’

RH(tf ) ≈ eNctf

con ti ≈ 10−37 sec. Avremo dunque la condizione (assai conservativa perche’non considera l’aumento dell’orizzonte a t > tf )

eNctf > ctrec, eN >trectf.

Infine

eN >trectf, 0.43N > log

(trectf

)

> 50

ovvero un fattore di inflazione pari a 50 ordini di grandezza risolve comple-tamente anche il problema dell’orizzonte. Per N ≈ 100, dunque, si risolvonosia i problemi della piattezza che quelli dell’orizzonte e l’inflazione dura untempo tf − ti = N/Hi ≈ 10−34s se Hi = 1036s−1.

4.5.4 Soluzione al problema dei Monopoli

Rimane da verificare come l’inflazione possa spiegare l’assenza dell’attesoelevato numero e densita’ in massa di monopoli. Ricordando che la densita’energetica di monopoli va come ǫ = E/a3(t) e dunque il rapporto

ǫM(tf )

ǫM(ti)=a3(ti)

a3(tf )= e−3N = 10−1.26N (4.17)

che per N ≈ 100 porge ǫM ≈ 1012Mpc−3 alla fine dell’inflazione. All’epo-ca attuale cio’ implicherebbe ǫM ≈ 10−49Mpc−3, cioe’ una densita’ numeri-ca estremamente bassa di nM ≈ 10−61 monopoli/Mpc3 e ben difficilmenterilevabile, in accordo con le osservazioni.

4.5.5 Origine dello spettro primordiale delle perturba-zioni scalari e tensoriali

L’inflazione sembrerebbe di per se’ rimandare ad una ipotetica, e difficilmenteverificabile, fase inflazionaria primordiale la soluzione dei vari problemi dellacosmologia. Sembrerebbe pertanto una soluzione piuttosto ad-hoc.



Nella realta’, ci si e’ recentemente resi conto che la teoria inflazionariasembra essere in grado di predire con elevata precisione e in modo relativa-mente semplice e diretto l’origine dello spettro primario delle perturbazio-ni, da cui successivamente la struttura su grande scala e le varie strutturecosmiche si sono formate in modo evolutivo, in eccellente accordo con leosservazioni.

Il modello sull’origine dello spettro primordiale delle perturbazioni nel-l’ambito del processo inflazionario si sviluppa lungo le seguenti linee. Attra-verso l’enorme espansione del fattore di scala cosmico, scale che precedente-mente l’inflazione erano microscopiche sono state portate dalla stessa su scalenon solo macroscopiche ma addirittura cosmologiche (ricordiamo l’espansio-ne di circa un fattore 1040). Sappiamo anche dalla meccanica quantisticache un mezzo supposto omogeneo e uniforme e’ soggetto a fluttuazioni di ti-po appunto quantistico, essendo soggetto al principio di indeterminazione diHeisemberg (eq. [1.30]). Queste microscopiche fluttuazioni sono cosi’ portatesu scale cosmologiche dall’inflazione.

Questo schema puo’ essere sviluppato in modo formale e rigoroso, adesempio facendo riferimento alla teoria dell’oscillatore armonico quantistico,ottenendo come risultato uno spettro molto simile a quello a legge di potenzadi Harrison-Zeldovich (P (k) ∝ kn) con n = 1. 2 Rimandiamo per i dettaglidi questo risultato alla Sezione 7bEarlyUniverse.pdf e a quanto discusso nellaSez. 8.

Allo stesso tempo, assieme alle fluttuazioni del campo scalare di densita’,l’inflazione ha generato un campo di perturbazioni tensoriali cheproducono onde gravitazionali, in grado di generare effetti di pola-rizzazione lineare di tipo B nei fotoni della CMB. L’identificazione diquesta componente di polarizzazione fornirebbe un test osservativo decisivoper la teoria inflazionaria.

4.6 Conclusioni

La teoria cosmologica inflazionaria, e i processi di fisica delle particelle ele-mentari che ne sono alla base, ci conducono cosi’ ad una nuova visione delleorigini dell’Universo e ad un nuovo “modello standard rivisto”, i cui successisi possono cosi’ riassumere:

• la fisica precedente rimane valida, con o senza costante cosmologica

2In detail, the model predicts that there is a slight deviation of n from unity, that is avalue slightly lower than 1. Again this is indeed confirmed by observation, see the resultsfrom the WMAP experiment in Sect. 3.5 Figure 3.8, where we got n ≃ 0.96± 0.14.

4.6 Conclusioni 70

• il Principio Cosmologico viene giustificato

• vengono spiegate le condizioni iniziali e risolti i problemi della piattezzae dell’orizzonte

• viene qualitativamente spiegata dalla nuova fisica l’asimmetria bario-nica

• viene risolto il problema della possibile creazione di monopoli

• rimangono tutti i risultati e i vantaggi del modello standard

• ci sono candidati non barionici per la materia oscura

• si ottiene una miglior spiegazione della formazione delle strutture graziealla materia oscura formata da particelle prodotte durante le primissimefasi espansive

• si ottiene un modello fisico per l’origine dello spettro primordiale delleperturbazioni

• si ottiene un modello fisico per l’origine delle perturbazioni di tipotensoriale che inducono un campo di onde gravitazionali la cui tracciapotrebbe essere verificata nelle proprieta’ di polarizzazione di tipo Bnella CMB (vedi Cap. 7 dell Sez. 6).

Rimangono (ovviamente) purtuttavia non soluti alcuni problemi, princi-palmente legati:

• al (bassissimo) valore della costante cosmologica attualmente misuratao della densita’ di energia oscura

• a quale relazione ci possa essere tra questa fase attuale ad espansioneaccelerata e l’inflazione primordiale stessa

• al perche’ densita’ di materia oscura e di energia oscura siano cosi’simili tra loro al tempo attuale (Ωm ≃ ΩΛ entro un fattore 2), cosa chesembra ancora richiedere un elevato grado di fine-tuning.

Queste rimangono ancora al momento questioni non risolte della cosmo-logia fisica, assieme, ovviamente, a quella della fase cosmologica precedenteil tempo di Planck.

Capitolo 5Modelli Inflazionari

5.1 Tipologie di inflazione

5.1.1 Inflazione vecchia

Questo tipo di inflazione prevede un campo scalare che subisce una transi-zione del primo ordine con formazione di bolle di accrescimento in relazioneal campo scalare di Higgs della teoria super-unificata GUT. Queste bollepero’ sarebbero troppo piccole per essere identificate con il nostro universoosservabile e verrebbero allontanate dall’espansione troppo velocemente perfondersi, con il risultato di dare un universo caotico. L’inflazione di Guth dicui si e’ parlato in precedenza era di questo tipo ed e’ stata abbandonata,infatti, in favore di modelli che portassero ad un universo come lo si osservaora e non caotico come questa teoria prevederebbe.

5.1.2 Inflazione nuova

In questo caso il campo scalare da’ una transizione del secondo ordine (ve-dere 4.4) con la formazione di due minimi degeneri a partire da uno solonell’originale. In questo tipo di transizione non c’e’ barriera di potenziale evengono creati domini coerenti estesi.

Questo tipo di inflazione ha pero’ grossi problemi di fine-tuning, il poten-ziale nell’origine dev’essere sufficientemente piatto per produrre un’inflazionesufficiente ed evitare fluttuazioni eccessive a causa del campo quantistico.Un’altro problema e’ che il campo scalare φ e’ assunto essere in equilibriotermico con gli altri campi di materia prima dell’inizio dell’inflazione e questoimplica un forte accoppiamento con gli altri campi: la costante di accoppia-mento provocherebbe correzioni che violerebbero le condizioni precedenti per

5.1 Tipologie di inflazione 72

cui sembra improbabile che si riesca ad ottenere l’equilibrio termico in modoautoconsistente prima che l’inflazione inizi con le condizioni necessarie perchel’inflazione avvenga.

5.1.3 Modello Inflazionario Aperto

Negli anni ’90, quando si e’ iniziato a realizzare che non erano imminentievidenze sperimentali riguardo la densita’ critica dell’universo, i teorici del-l’inflazione abbandonarono le motivazioni originali e svilupparono versioni diinflazione che portassero a universi omogenei ma curvi, compito non facile inquanto l’inflazione tende a stirare la curvatura appiattendo l’universo.

L’inflazione aperta si basa su un effetto tunnel quantistico da uno statodi falso vuoto metastabile seguito immediatamente da una seconda fase diinflazione. L’effetto tunnel crea delle bolle all’interno delle quali l’universosembra aperto. Sebbene in alternativa sia possibile creare un modello in-flazionario che produca Ω0 ∼ 0.2, questo modello risulta piu complicato edalquanto piu’ esotico rispetto a modelli spazialmente piatti.

Ora, grazie alle osservazioni sul CMB, abbiamo dimostrato che l’universoe’ effettivamente piatto anche non possedendo la densita’ critica, grazie allapresenza della ΩΛ, per cui l’interesse riguardo un modello di inflazione apertasi e’ completamente spento.

5.1.4 Inflazione caotica

E’ stata elaborata da Linde ed e’ basata su un campo scalare ma non richiedeuna transizione di fase. L’idea alla base e’ che qualunque sia la forma delpotenziale, in zona di universo in cui φ sia grande, uniforme e statico, questoautomaticamente porterebbe all’inflazione.

Consideriamo il potenziale

V (φ) =1

2m2φ2 (5.1)

con m parametro arbitrario che descrive la massa del campo. Se a t = ti ilcampo φ = φi e’ uniforme su scale H−1 (ti) e φ2

i ≪ V (φi) l’equazione delmoto diventa

φ+ 3Hφ+m2φ = 0 (5.2)

ovvero, in approssimazione slow-rolling,

3Hφ ∼ −m2φ (5.3)

Dal momento che H ∝ V 1/2 ∝ φ risolvendo l’equazione si vede che per elimi-nare il problema della piattezza e dell’orizzonte e’ necessario che φ > 3mp.

73 Modelli Inflazionari

Nell’inflazione caotica si assume che φ, poco dopo il tempo di Planck, vari inmodo arbitrario da punto a punto. Nel momento in cui una regione soddisfile condizioni precedenti, essa potrebbe essere soggetta ad inflazione ed even-tualmente inglobare il nostro universo osservabile. Il risultato e’ una regionemolto omogenea e piatta localmente, immersa in un universo molto curvo edisomogeneo.

φ, il campo scalare (diversamente dagli altri modelli, senza ricorrere alleGUT) genera l’inflazione al tempo di Planck.

5.1.5 Inflazione stocastica, Principio Antropico, pro-blema del fine-tuning

E’ l’estensione del modello dell’inflazione caotica, a volte viene chiamatainflazione eterna e tiene conto delle fluttuazioni quantistiche durante l’e-voluzione di φ. Cio’ che risulta quindi e’ un universo (in realta’ quello cheviene chiamato il Multi-verso) che, ad ogni tempo e in una regione spazialeo nell’altra, subisce una fase inflazionaria.

Il Multi-verso risulta cosi’ subire un continuo processo di “sezionamento”in cui nuovi mini-universi si espandono a produrre regioni localmente omo-genee e piatte in un background caotico. Questa visione integra un Big Bangsulla scala dei mini-universi con un’idea che globalmente ricorda l’universostazionario.

In ognuno di questi mini-universi i valori delle costanti fondamentali del-la fisica e le proprieta’ delle interazioni fondamentali sarebbero diversi. Se-guendo il concetto chiamato Principio Antropico, noi ci troveremmo perdefinizione nell’Universo, all’interno del Multiverso, nel quale le costanti fon-damentali della fisica assumono quei valori, altamente improbabili, ma con-sistenti con lo sviluppo della vita sui richiesti tempi scala di vari miliardidi anni. ’inflazione (stocastica o meno), con il Multiverso che ne e’ associa-to naturalmente, potrebbe spiegare cosi’ i valori particolarissimi e l’estremofine-tuning delle costanti della fisica, ricorrendo al Principio Antropico. Siveda discussione sull’argomento in Appendice 7A.

5.1.6 Altri modelli

In generale quindi l’inflazione si puo’ ottenere innanzitutto modificando lalagrangiana classica e creando un modello equivalente a gravita’ combinatacon un campo scalare. Quest’ultimo porta all’inflazione come se fosse uncampo reale. E’ anche possibile sviluppare un’inflazione a legge di potenza(extended inflation) con la teoria di Brans-Dicke.

5.2 Successi e problemi dell’inflazione 74

Altri modelli di inflazione sono creati a partire da teorie che prevedono unnumero di dimensioni maggiore di quello richiesto dalla relativita’ generale,dimensioni che, compresse sulla scala di Planck, porterebbero all’espansio-ne delle tre dimensioni spaziali. Queste idee stanno alla base delle teoriechiamate “di Kaluza-Klein”. Sono anche stati ideati modelli con piu di uncampo scalare, con gravita’ modificata e un campo scalare, su potenziali piucomplicati o GUT supersimmetriche, su supergravita’ e cosı via.

5.2 Successi e problemi dell’inflazione

L’inflazione insomma risolve il problema dell’orizzonte, della piattezza e deimonopoli e altri difetti topologici. In alcuni modelli pero’ la scelta dei pa-rametri e’ strettamente legata all’intensita’ delle fluttuazioni di densita’ edelle onde gravitazionali e questo crea nuovamente problemi di fine-tuningfisicamente non giustificabili.

Una grossa difficolta’ comune a tutti i modelli inflazionari e’ comun-que trovare test osservativi decisivi, per il momento ci sono osservazioniche potrebbero essere in accordo, ma non sono decisive perche anche altrimeccanismi porterebbero agli stessi risultati.

Un modo per testare il modello inflazionario e’ quello di misurare la po-larizzazione di tipo B nella CMB come traccia di un campo di onde gra-vitazionali primordiale originato dall’inflazione. E’ quanto potrebbe essereverificato in futuro (i risultati dell’esperimento antartico BICEPS2 non sonostati confermati).

In ogni caso, la corretta predizione dello spettro primordiale di potenzaP (k) osservato e’ gia’ una importante e fondamentale verifica della validita’dello schema inflazionario.

Come accennato, la teoria inflazionaria e il concetto di Multiverso che lee’ naturalmente associato, offrono una possibile, anche se non dimostrata,via d’uscita per giustificare e trovare una sorte di soluzione, al problemadell’estremo fine-tuning delle costanti della fisica necessario nper spiegare lavita. Non c’e’ bisogno di aggiungere che si tratta di temi fortemente dibattutisia dalla scienza, che dalla filosofia. Una interessante rassegna sull’argomentoe’ riportata in Appendice 7a.

75

Modelli

Inflazio

nari

Figura 5.1: Rappresentazioni grafiche delle ere cosmologiche e delle transizioni di fase che le hanno caratterizzate.

Bibliografia

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[5] Linde A.D., A new inflationary universe scenario: A possible solutionof the horizon, flatness, homogeneity, isotropy and primordial monopoleproblems, Physics Letters B, 108, 389, 393, Feb 1982

[6] Linde A.D., Inflationary Cosmology, Lect. Notes Phys. 738, 1-54, 2008

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[9] Linde A.D., Hybrid inflation, Physics Letters D, 49, 748-754, Jan 1994

[10] Linde, A.D, Particle Physics and Inflationary Cosmology, ArXiv HighEnergy Physics - Theory e-prints, Mar 2005

Capitolo 6Appendix 7A: Fine tuning of theUniverse (from Wikipedia)

The fine-tuned Universe is the proposition that the conditions that allow lifein the Universe can occur only when certain universal dimensionless physicalconstants lie within a very narrow range, so that if any of several funda-mental constants were only slightly different, the Universe would be unlikelyto be conducive to the establishment and development of matter, astrono-mical structures, elemental diversity, or life as it is understood. The possi-ble explanations for fine-tuning are discussed among philosophers, scientists,theologians, and proponents and detractors of creationism. The fine-tunedUniverse concept is closely related to, but is not exactly synonymous wi-th, the anthropic principle, which is often used as an explanation of theobservations.

History

In 1913, the chemist Lawrence Joseph Henderson (18781942) wrote TheFitness of the Environment, one of the first books to explore concepts of finetuning in the Universe. Henderson discusses the importance of water andthe environment with respect to living things, pointing out that life dependsentirely on the very specific environmental conditions on Earth, especiallywith regard to the prevalence and properties of water.[5]

In 1961, the physicist Robert H. Dicke claimed that certain forces inphysics, such as gravity and electromagnetism, must be perfectly fine-tunedfor life to exist anywhere in the Universe.[6][7] Fred Hoyle also argued fora fine-tuned Universe in his 1984 book Intelligent Universe. He comparesthe chance of obtaining even a single functioning protein by chance combina-tion of amino acids to a star system full of blind men solving Rubik’s Cubesimultaneously.

78

John Gribbin and Martin Rees wrote a detailed history and defence of thefine-tuning argument in their book Cosmic Coincidences (1989). Accordingto Gribbin and Rees, The conditions in our Universe really do seem to beuniquely suitable for life forms like ourselves, and perhaps even for any formof organic complexity. But the question remains - is the Universe tailor-madefor man?

PremiseThe premise of the fine-tuned Universe assertion is that a small change

in several of the dimensionless physical constants would make the Universeradically different. As Stephen Hawking has noted, The laws of science, aswe know them at present, contain many fundamental numbers, like the sizeof the electric charge of the electron and the ratio of the masses of the protonand the electron. ... The remarkable fact is that the values of these numbersseem to have been very finely adjusted to make possible the development oflife.[4]

If, for example, the strong nuclear force were 2% stronger than it is (forexample, if the coupling constant representing its strength were 2% larger),while the other constants were left unchanged, diprotons would be stable;according to physicist Paul Davies, hydrogen would fuse into them insteadof deuterium and helium.[9] This would drastically alter the physics of stars,and presumably preclude the existence of life similar to what we observe onEarth. The existence of the diproton would short-circuit the slow fusion ofhydrogen into deuterium. Hydrogen would fuse so easily that it is likely thatall of the Universe’s hydrogen would be consumed in the first few minutesafter the Big Bang.[9] This diproton argument is disputed by other physicists,who calculate that as long as the increase in strength is less than 50%, stellarfusion could occur despite the existence of stable diprotons.[10]

The precise formulation of the idea is made difficult by the fact thatphysicists do not yet know how many independent physical constants thereare. The current standard model of particle physics has 25 freely adjusta-ble parameters with an additional parameter, the cosmological constant, forgravitation. However, because the standard model is not mathematicallyself-consistent under certain conditions (e.g., at very high energies, at whichboth quantum mechanics and general relativity are relevant), physicists be-lieve that it is underlaid by some other theory, such as a grand unified theory,string theory, or loop quantum gravity. In some candidate theories, the actualnumber of independent physical constants may be as small as one. For exam-ple, the cosmological constant may be a fundamental constant, but attemptshave also been made to calculate it from other constants, and according tothe author of one such calculation, the small value of the cosmological con-stant is telling us that a remarkably precise and totally unexpected relation

79 Appendix 7A: Fine tuning of the Universe (from Wikipedia)

exists among all the parameters of the Standard Model of particle physics,the bare cosmological constant and unknown physics.

ExamplesMartin Rees formulates the fine-tuning of the Universe in terms of the

following six dimensionless physical constants.N, the ratio of the strength of electromagnetism to the strength of gravity

for a pair of protons, is approximately 1036. According to Rees, if it weresignificantly smaller, only a small and short-lived universe could exist.[12]

Epsilon (e), a measure of the nuclear efficiency of fusion from hydrogento helium, is 0.007: when four nucleons fuse into helium, 0.007 (0.7%) oftheir mass is converted to energy. The value of e is in part determined bythe strength of the strong nuclear force.[13] If e were 0.006, only hydrogencould exist, and complex chemistry would be impossible. According to Rees,if it were above 0.008, no hydrogen would exist, as all the hydrogen wouldhave been fused shortly after the big bang. Other physicists disagree, calcu-lating that substantial hydrogen remains as long as the strong force couplingconstant increases by less than about 50%.

Omega (O), commonly known as the density parameter, is the relativeimportance of gravity and expansion energy in the Universe. It is the ratio ofthe mass density of the Universe to the critical density and is approximately1. If gravity were too strong compared with dark energy and the initialmetric expansion, the universe would have collapsed before life could haveevolved. On the other side, if gravity were too weak, no stars would haveformed.[12][14]

Lambda, commonly known as the cosmological constant, describes theratio of the density of dark energy to the critical energy density of the uni-verse, given certain reasonable assumptions such as positing that dark energydensity is a constant. In terms of Planck units, and as a natural dimension-less value, the cosmological constant, ?, is on the order of 10-122.[15] This isso small that it has no significant effect on cosmic structures that are smal-ler than a billion light-years across. If the cosmological constant were notextremely small, stars and other astronomical structures would not be ableto form.[12]

Q, the ratio of the gravitational energy required to pull a large galaxyapart to the energy equivalent of its mass, is around 10-5. If it is too small,no stars can form. If it is too large, no stars can survive because the universeis too violent, according to Rees.

D, the number of spatial dimensions in spacetime, is 3. Rees claims thatlife could not exist if there were 2 or 4 dimensions of spacetime nor if anyother than 1 time dimension existed in spacetime.

Carbon and oxygen

80

An older example is the Hoyle state, the third-lowest energy state of thecarbon-12 nucleus, with an energy of 7.656 MeV above the ground level. Ac-cording to one calculation, if the state’s energy were lower than 7.3 or greaterthan 7.9 MeV, insufficient carbon would exist to support life; furthermore, toexplain the universe’s abundance of carbon, the Hoyle state must be furthertuned to a value between 7.596 and 7.716 MeV. A similar calculation, focu-sing on the underlying fundamental constants that give rise to various energylevels, concludes that the strong force must be tuned to a precision of at least0.5%, and the electromagnetic force to a precision of at least 4%, to preventeither carbon production or oxygen production from dropping significantly.

Disputes regarding the existence and extent of fine-tuningPhysicist Paul Davies has asserted that There is now broad agreement

among physicists and cosmologists that the universe is in several respects’fine-tuned’ for life. However, he continues, the conclusion is not so muchthat the universe is fine-tuned for life; rather it is fine-tuned for the buildingblocks and environments that life requires. He also states that ’anthropic’reasoning fails to distinguish between minimally biophilic universes, in whichlife is permitted, but only marginally possible, and optimally biophilic univer-ses, in which life flourishes because abiogenesis occurs frequently.[17] Amongscientists who find the evidence persuasive, a variety of explanations havebeen proposed, such as the anthropic principle along with multiple univer-ses. George F. R. Ellis states that no possible astronomical observations canever see those other universes. The arguments are indirect at best. And evenif the multiverse exists, it leaves the deep mysteries of nature unexplained.[18]

Regarding recently discovered dark energy and its implication on the co-smological constant, Leonard Susskind says The great mystery is not whythere is dark energy. The great mystery is why there is so little of it [10-122]... The fact that we are just on the knife edge of existence, [that] if darkenergy were very much bigger we wouldnt be here, that’s the mystery. Aslightly larger quantity of dark energy, or a slightly larger value of the co-smological constant would have caused space to expand rapidly enough thatgalaxies would not form.[19] Despite this, Susskind does not necessarily seethe universe as being fine-tuned, suggesting that some parts of the megaversein which we live might just, by chance, be suitable for the emergence of life,while other parts might not be.[20]

Steven Weinberg rejects the argument about the fine-tuning of the car-bon cycle, arguing that the fine-tuning of the constants of nature here doesnot seem so fine. He acknowledges that he currently has no explanation(apart from a multiverse) for the smallness of the cosmological constant, butcautions that It is still too early to tell whether there is some fundamen-tal principle that can explain why the cosmological constant must be this

81 Appendix 7A: Fine tuning of the Universe (from Wikipedia)

small.[21][22]Physicist Victor Stenger objected to the fine-tuning, and especially to

theist use of fine-tuning arguments. His numerous criticisms included whathe called the wholly unwarranted assumption that only carbon-based life ispossible.[23] In turn, the astrophysicist Luke Barnes has criticised much ofStenger’s work.[24]

The validity of fine tuning examples is sometimes questioned on thegrounds that such reasoning is subjective anthropomorphism applied to na-tural physical constants. Critics also suggest that the fine-tuned Universeassertion and the anthropic principle are essentially tautologies.[25]

The fine-tuned Universe argument has also been criticized as an argumentby lack of imagination, as it assumes no other forms of life, sometimes referredto as carbon chauvinism. Conceptually, alternative biochemistry or otherforms of life are possible.[26] Regarding this, Stenger argued: We have noreason to believe that our kind of carbon-based life is all that is possible.Furthermore, modern cosmology theorises that multiple universes may existwith different constants and laws of physics. So, it is not surprising that welive in the one suited for us. The Universe is not fine-tuned to life; life isfine-tuned to the Universe.[27]

In addition, critics argue that humans are adapted to the Universe th-rough the process of evolution, rather than the Universe being adapted tohumans (see puddle thinking, below). They also see it as an example of thelogical flaw of hubris or anthropocentrism in its assertion that humans arethe purpose of the Universe.

The MultiverseThe Multiverse hypothesis proposes the existence of many universes with

different physical constants, some of which are hospitable to intelligent life(see multiverse: anthropic principle). Because we are intelligent beings, weare, by definition, in a hospitable universe.

This idea has led to considerable research into the anthropic principleand has been of particular interest to particle physicists, because theories ofeverything do apparently generate large numbers of universes in which thephysical constants vary widely. As yet, there is no evidence for the existenceof a multiverse, but some versions of the theory do make predictions thatsome researchers studying M-theory and gravity leaks hope to see some evi-dence of soon.[31] Some multiverse theories are not falsifiable, thus scientistsmay be reluctant to call any multiverse theory scientific. UNC-Chapel Hillprofessor Laura Mersini-Houghton claims that the WMAP cold spot mayprovide testable empirical evidence for a parallel universe,[32] although thisclaim was recently refuted as the WMAP cold spot was found to be nothingmore than a statistical artifact.[33] Variants on this approach include Lee

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Smolin’s notion of cosmological natural selection, the Ekpyrotic universe,and the Bubble universe theory.

Critics of the multiverse-related explanations argue that there is no evi-dence that other universes exist.

Philosophical argumentsAs with theistic evolution, some individual scientists, theologians, and

philosophers as well as certain religious groups argue that providence orcreation are responsible for fine-tuning.

Philosopher Alvin Plantinga argues that random chance, applied to asingle and sole universe, only raises the question as to why this universecould be so lucky as to have precise conditions that support life at least atsome place (the Earth) and time (within millions of years of the present).

One reaction to these apparent enormous coincidences is to see them assubstantiating the theistic claim that the Universe has been created by apersonal God and as offering the material for a properly restrained theisticargumenthence the fine-tuning argument. It’s as if there are a large numberof dials that have to be tuned to within extremely narrow limits for life tobe possible in our Universe. It is extremely unlikely that this should happenby chance, but much more likely that this should happen, if there is such aperson as God.

This fine-tuning of the Universe is cited[40] by philosopher and Christianapologist William Lane Craig as an evidence for the existence of God or someform of intelligence capable of manipulating (or designing) the basic physicsthat governs the Universe. Craig argues, however, that the postulate of adivine Designer does not settle for us the religious question.

Philosopher and theologian Richard Swinburne reaches the design con-clusion using Bayesian probability.[41][page needed]

Theologian Alister McGrath has pointed out that the fine-tuning of car-bon is even responsible for natures ability to tune itself to any degree.

[The entire biological] evolutionary process depends upon the unusual che-mistry of carbon, which allows it to bond to itself, as well as other elements,creating highly complex molecules that are stable over prevailing terrestrialtemperatures, and are capable of conveying genetic information (especial-ly DNA). [] Whereas it might be argued that nature creates its own fine-tuning, this can only be done if the primordial constituents of the universeare such that an evolutionary process can be initiated. The unique chemi-stry of carbon is the ultimate foundation of the capacity of nature to tuneitself.[42][43]

Theoretical physicist John Polkinghorne has stated: Anthropic fine tu-ning is too remarkable to be dismissed as just a happy accident.

Sezione 7 L'Universo Primordiale

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