Seminario 30 settembre 2015 - Ordine Ingegneri Cosenza

30 settembre 2015 - Sala Convegni Ordine Ingegneri della Provincia di Cosenza30 settembre 2015 - Sala Convegni Ordine Ingegneri della Provincia di Cosenza

IL METODO FEM COME STRUMENTO IL METODO FEM COME STRUMENTO DI RICERCA E SVILUPPO DI NUOVI PRODOTTIDI RICERCA E SVILUPPO DI NUOVI PRODOTTI


1. Concetti fondamentali.1. Concetti fondamentali.


L'idea base del Metodo degli Elementi Finiti è quella di trovare la soluzione ad un problema complicato sostituendolo con uno più semplice.

Dal momento che il problema reale viene sostituito da uno più semplice, all'atto della sua risoluzione, è scontato che si riuscirà a trovare una soluzione approssimata piuttosto che esatta.

Gli strumenti matematici a disposizione, però, non sono sufficienti a determinare la soluzione esatta della maggior parte dei problemi pratici...a volte neanche a trovare la soluzione approssimata!

La scelta di ricorrere all'utilizzo del metodo FEM viene quindi perseguita quando non c'è alcun altro metodo a disposizione per determinare la soluzione approssimata di un problema.


Il miglioramento ed il grado di approssimazione della soluzione sarà possibile incrementando le risorse di calcolo a disposizione, sia in termini software che hardware.

Nel Metodo degli Elementi Finiti, il dominio della soluzione viene considerato come costituito da diversi sottodomini interconnessi, chiamati appunto Elementi Finiti.

Come primo esempio si consideri l'immagine successiva.


Nella macchina utensile mostrata nell'immagine precedente, è estremamente difficile determinare la soluzione esatta in termini di campo delle tensioni e degli spostamenti nelle condizioni operative (ad es. durante una lavorazione di taglio o asportazione di truciolo). La struttura viene quindi approssimata come mostrato, considerata come composta da diversi elementi (mesh).

In ciascuno degli elementi finiti, viene ipotizzata una conveniente soluzione approssimata e vengono quindi ricavate le condizioni di equilibrio globale della struttura.

Nella pagine successive vengono proposte altri esempi di mesh, ovvero di discretizzazione del componente (o insieme di componenti) in più elementi finiti.

La fase di meshing e di pre processing di un problema FEM richiede un'attenta fase di preparazione, che verrà esaminata ed approfondita negli eventi successivi in via di programmazione.


2. Background Storico2. Background Storico


Sebbene la terminologia “Metodo degli Elementi Finiti” o Finite Element Method (abbreviato FEM), sia di recente introduzione, il concetto può essere tranquillamente retrodatato di diversi secoli.

Qual è stato il primo problema, nella storia, risolto con il Metodo degli Elementi Finiti?


Il primo problema della storia è stato quello di determinare il perimetro L di un cerchio di diametro d (Archimede, 250 a. C.). Dal momento che:

L = pd

ciò equivale a valutare numericamente p. Si consideri la seguente costruzione geometrica nella slide successiva:


Si è iscritto un poligono regolare di n lati, con n = 8 in un cerchio di diametro d =2r.I lati del poligono costituiscono gli elementi finiti ed i vertici i nodi. Si può estrarre un elemento a caso, ad esempio quello che collega i nodi 4 e 5 e ciò costituisce un'istanza del generico elemento finito che connette l'i-esimo nodo al j-esimo nodo. La lunghezza L

ij del generico elemento sarà pari a L

ij = 2r sin (p/n).

Poichè gli elementi hanno tutti la stessa lunghezza, il valore approssimato del perimetro del cerchio L

n sarà pari a L

n = nLij.

Quindi l'approssimazione pn del valore di p sarà pari a Ln/d = n sin (p/n).

Il valore prossimo a quello esatto di p (ovvero 3.141592653589793) si ottiene per n = 256 (3.141513801144301)


L'esempio precedente presenta i seguenti concetti fondamentali del metodo:

1)Il cerchio (oggetto matematico sorgente) sostituito dall'approssimazione discreta dei poligoni (mesh lineare o 1D);

2)I lati ed i vertici rinominati rispettivamente come elementi e nodi;3)Il generico elemento può essere definito come il segmento che unisce i nodi i e

j, indipendentemente dal cerchio originale;4)La lunghezza caratteristica dell'elemento può essere calcolata in maniera

indipendente dagli altri (definizione locale nel metodo);5)La grandezza da approssimare, ovvero il perimetro del cerchio, viene infine

calcolata ricollegando gli n elementi e sommando le lunghezze (fasi di assemblaggio e soluzione nel metodo). Tale metodo è valido per qualsiasi altra curva.

6)Nell'esempio mancano comunque altre entità fondamentali del metodo: il concetto di gradi di libertà, di coordinate locali/globali, di funzioni di forma, ecc.

7)L'esempio mostra comunque la natura fondamentale del metodo: sostituire un oggetto matematico con un altro.


Di seguito vengono proposte le tappe storiche principali del Metodo degli Elementi Finiti:

1851 Per trovare l'equazione differenziale di una superficie di area minima delimitata da una data curva chiusa, Schellbach suddivise la superficie in diversi triangoli ed utilizzò un'espressione alle differenze finite per trovare la superficie totale suddivisa. Nell'attuale metodo, un'equazione differenziale viene risolta sostituendola con un sistema di equazioni algebriche.

Inizi del 1900 Il comportamento dei telai strutturali, composti da diverse travi disposte secondo un pattern regolare, viene approssimato da quello di un corpo elastico isotropo.

1943 Richard Courant (Lublinitz, 1888 – New Rochelle NY,1972) presenta un metodo per determinare la rigidità torsionale di un albero cavo dividendo la sezione trasversale in diversi triangoli ed utilizzando una legge di variazione lineare della funzione della tensione su ciascun triangolo, in termini dei valori assunti dalla funzione stessa nei punti nodali. Tale lavoro viene considerato come la formulazione originale dell'attuale metodo degli elementi finiti.


Metà degli anni '50 Gli ingegneri dell'industria aeronautica sviluppano congiuntamente dei metodi approssimati per la previsione delle tensioni indotte nelle ali degli aerei.

1956 Turner (Boeing), Clough, Martin e Topp presentano un metodo per modellare la superficie alare utilizzando triangoli a tre nodi, fornendo un contributo chiave allo sviluppo del Metodo degli Elementi Finiti.Argyris e Kelsey presentano diverse pubblicazioni sulle manipolazione delle matrici, che contengono molti riferimenti al metodo per la soluzione di problemi di analisi strutturale.

1960 Clough conia ufficialmente il termine “elemento finito”. Il metodo fu riconosciuto come una forma del classico metodo di Rayleigh – Ritz, il ben noto metodo per la determinazione degli autovalori e degli autovettori.


Una volta definite le basi matematiche del metodo, le successive formulazioni dei vari elementi finiti per le diverse tipologie di problema e la popolarità del metodo stesso iniziarono a crescere esponenzialmente.

Lo sviluppo e la diffusione dei computer, inoltre, hanno fornito i mezzi per l'esecuzione dei volumi di calcolo previsti dal metodo, rendendo lo stesso di pratico utilizzo.

Inoltre lo sviluppo del calcolo ad alte prestazioni ha contribuito fortemente all'estensione delle applicazioni del metodo, dando origine a settori specifici come quello della Fluidodinamica Computazionale (CFD).


3. Applicabilità generale del 3. Applicabilità generale del metodo FEMmetodo FEM


Sebbene il Metodo degli Elementi Finiti venga utilizzato principalmente nell'ambito della meccanica strutturale, esso viene applicato con successo per risolvere diversi altri tipi di problemi ingegneristici, come la trasmissione del calore, la fluidodinamica, i moti di filtrazione e l'elettromagnetismo.

Il metodo ha inoltre fornito, ai matematici, uno strumento per la risoluzione di complessi problemi al contorno e per quella di problemi di altra tipologia.

L'applicabilità generale del Metodo degli Elementi Finiti può essere apprezzata osservando le forti similitudini che esistono tra diversi tipi di problemi ingegneristici.

Si consideri il prospetto della slide successiva.


Trasmissione del calore monodimensionale: caso di sorgente termica nulla

e sistema in regime stazionario (equazione di

Laplace).

Moto dei fluidi monodimensionale:

caso di fluido non viscoso.

Trave soggetta a carico assiale:

caso di carico applicato costante.

Il tipico approccio all'apprendimento dell'utilizzo del metodo consiste nell'evidenziare come l'utilizzo di un metodo di risoluzione per uno qualsiasi dei problemi su elencati può essere utilizzato per risolvere gli altri.

E' evidente quindi come la genericità della teoria alla base del Metodo degli Elementi Finiti consente la sua applicabilità ad un'ampia varietà di problemi al contorno in ambito ingegneristico.

Si ricorda che un problema al contorno è quel problema in cui la soluzione viene ricercata nel dominio (o regione di un solido) soggetto a condizioni al contorno imposte sulla variabili dipendenti o sulle loro derivate.


Si consideri quindi la seguente classificazione dei problemi al contorno sulla base dell'applicabilità del metodo:

Problemi di equilibrio. Problemi agli autovalori. Problemi di propagazione o di transitorio.

In tale tipo di problema, viene ricercata la distribuzione degli spostamenti o delle tensioni in regime stazionario (nel caso di

problema di meccanica dei solidi), la distribuzione delle

temperature o dei flussi termici (nel caso di problema di trasmissione del calore), la

distribuzione delle pressioni o della velocità (nel caso di

problema di meccanica dei fluidi).

In questo tipo di problema, il tempo non appare in maniera esplicita. Sono da considerarsi

come un'estensione dei problemi di equilibrio, nei quali

i valori critici di alcuni parametri devono essere

determinati, in aggiunta alle corrispondenti configurazioni

in regime stazionario. Si determinano le frequenze

naturali o i carichi di punta e le deformate (nel caso di

problema di meccanica dei solidi o strutturale), la stabilità dei flussi laminari (nel caso di

problema di meccanica dei fluidi), le caratteristiche di

risonanza (nel caso di problemi dei circuiti elettrici).

Sono problemi dipendenti dal tempo. Questi problemi

insorgono, ad esempio, in tutti quei casi in cui si deve

determinare la risposta di un corpo soggetto a forze variabili

nel tempo (nel caso di problema di meccanica dei

solidi) e nel caso di raffreddamenti o

riscaldamenti improvvisi (nel caso di problema di

trasmissione del calore).


Si ricorda che un numero reale o complesso λ viene detto autovalore della matrice A se esiste un vettore X non nullo, che chiameremo autovettore, per il quale si ha che:

A X = λ X.

In generale la soluzione di un problema è legata alla determinazione di autovalori ed autovettori ogniqualvolta il problema stesso assume una forma omogenea per la quale l'esistenza di una soluzione non banale viene a dipendere da un solo parametro. L'individuazione della soluzione in forma non banale è possibile solo dopo aver stabilito il valore di detto parametro per il quale si annulla il determinante della matrice:

(A − λ I)

Questo sarà l'autovalore del nostro problema e la soluzione non banale è data dall'autovettore ad esso associato.Ad esempio, nei problemi di analisi modale gli autovalori del problema sono i quadrati delle pulsazioni proprie mentre gli autovettori ricavati in questo modo definiscono una trasformazione delle coordinate libere del problema, gli spostamenti fisici (in coordinate generalizzate), ovvero le ampiezze dei modi, che sono indipendenti tra loro.


4. Applicazioni ingegneristiche4. Applicazioni ingegneristiche del metodo FEMdel metodo FEM


Considerando la classificazione dei problemi al contorno sulla base dell'applicabilità del Metodo degli Elementi Finiti, vista in precedenza, si vanno ora ad esaminare le applicazioni specifiche per ciascuna delle tre categorie considerate.


Area di studio Problemi di equilibrio Problemi agli autovalori Problemi di transitorio

Strutture per l'ingegneria civile. Analisi statica di travature, telai, lastre piane, tetti a guscio, muri di

taglio, ponti e strutture in cemento armato precompresso.

Frequenze naturali e modi di vibrazione della struttura; stabilità

delle strutture.

Propagazione ondulatoria delle tensione; risposta delle strutture

ai carichi aperiodici.

Strutture dei velivoli. Analisi statica delle ali degli aerei, delle fusoliere , delle derive, dei razzi, dei veicoli spaziali e delle

strutture missilistiche.

Frequenze naturali, vibrazioni e stabilità del velivolo, del razzo, del veicolo spaziale e delle strutture

missilistiche.

Risposta delle strutture dei velivoli a carichi random; risposta dinamica del velivolo e dei veicoli spaziali ai

carichi aperiodici.

Trasmissione del calore. Distribuzione delle temperature nei solidi e nei fluidi in regime

stazionario.

Flusso termico transitorio negli ugelli dei razzi, nei motori a

combustione interna, nelle palette delle turbine, nelle derive e nelle

strutture edilizie.

Geomeccanica. Analisi degli scavi, dei muri di sostegno, delle cavità sotterranee, degli strati rocciosi e dei problemi

di interazione suolo – struttura; analisi tensionale dei terreni, delle

dighe, dei terrapieni e delle fondazioni dei macchinari.

Frequenze naturali e modi vibrazionali dei bacini artificiali e problemi di interazione suolo –

struttura.

Problemi di interazione suolo – struttura dipendenti dal tempo;

infiltrazioni nei suoli e nelle rocce; propagazione delle onde di

tensione nei suoli e nelle rocce.

Ingegneria idraulica; idrodinamica. Analisi dei flussi potenziali, flussi a superficie libera, flusso allo strato

limite, flusso viscoso, problemi aerodinamici transonici; analisi di

strutture idrauliche e dighe.

Frequenze e modi di vibrazione naturali di bacini poco profondi, laghi e porti; traboccamento di liquidi in contenitori flessibili e

rigidi.

Analisi di flussi di fluido non stazionari e problemi di

propagazione di onde; infiltrazioni transitorie in falde acquifere e mezzi porosi; dinamica dei gas

rarefatti; flussi magneto-idrodinamici.


Area di studio Problemi di equilibrio Problemi agli autovalori Problemi di transitorio

Ingegneria nucleare. Analisi dei recipienti in pressione e delle strutture di contenimento

nucleari; distribuzione delle temperature in regime stazionario

nei componenti dei reattori.

Frequenze naturali e stabilità delle strutture di contenimento;

distribuzione del flusso dei neutroni.

Risposta delle strutture di contenimento dei reattori ai

carichi dinamici; distribuzione delle temperature in regime non stazionario nei componenti del

reattore; analisi termica e viscoelastica (creep) delle

strutture del reattore.

Ingegneria biomedica Analisi tensionale dei bulbi oculari, delle ossa e dei denti;

capacità di resistenza ai carichi di impianti e sistemi protesici;

meccanica delle valvole cardiache.

Analisi di impatto sul cranio; dinamica delle strutture

anatomiche.

Progettazione meccanica Problemi di concentrazione delle tensioni; analisi tensionale dei

recipienti in pressione, dei pistoni, dei materiali compositi, dei

collegamenti e degli ingranaggi.

Frequenze naturali e stabilità dei collegamenti, degli ingranaggi e

delle macchine utensili.

Problemi di meccanica della frattura nel caso di carichi

dinamici.

Macchine elettriche ed elettromagnetismo

Analisi in regime stazionario di macchine sincrone e ad induzione,

correnti parassite, perdite di potenza nel nucleo delle

macchine elettriche per isteresi magnetica, magnetostatica.

Comportamento in regime transitorio di dispositivi

elettromeccanici come motori ed attuatori, magnetodinamica.


5. Codici FEM commerciali 5. Codici FEM commerciali ed Open Source.ed Open Source.


Viene quindi proposta una rassegna essenziale dei codici commerciali ed open source per l'analisi FEM.

In particolare, per i codici commerciali, si fa riferimento esclusivamente alle versioni originali degli stessi, trascurando di proposito il riferimento a sotto-versioni ed opzioni commerciali.

Per quanto riguarda i codici open source, si omettono di proposito tutte quelle soluzioni consistenti in librerie di sviluppo per la programmazione di nuovi codici FEM, che esulano dal contesto in oggetto.


Principali codici FEM commerciali

Data inizio sviluppo Autori

Abaqus 1978 Dr. David Hibbitt, Dr. Bengt Karlsson

and Dr. Paul Sorensen

ADINA 1974 Dr. Klaus-Jürgen Bathe

ANSYS 1970 Dr. John A. Swanson

NASTRAN 1964 NASA

Principali codici FEM open source

Data inizio sviluppo Autori

CalculiX 1998 Guido Dhondt, Klaus Wittig

Code_ASter 2001 EDF

Elmer 1995 Tekes (agenzia di sviluppo finlandese per la

tecnologia e l'innovazione) e CSC – IT Center for

Science

OpenFOAM 2004 OpenCFD Ltd


6. Passi fondamentali nella 6. Passi fondamentali nella risoluzione di un problema risoluzione di un problema

di analisi FEM.di analisi FEM.


Finora abbiamo visto come, nel Metodo degli Elementi Finiti, o il solido, o il liquido, o il gas viene rappresentato come un assemblato di porzioni di solido, chiamate elementi finiti.

Questi elementi vengono considerati interconnessi in punti specifici, chiamati nodi o punti nodali.

I nodi di solito giacciono sui contorni dell'elemento, dove gli elementi adiacenti vengono considerati connessi. Dal momento che la variazione reale delle variabili di campo (ad es. spostamento, tensione, temperatura, pressione o velocità) all'interno del continuo non è nota, si ipotizza che la variazione delle variabili di campo all'interno di un elemento finito può essere approssimato da una funzione semplice.

Queste funzioni di approssimazione (chiamate anche modelli di interpolazione) sono definite in termini dei valori che le variabili di campo assumono nei nodi.


Quindi, risolvendo le equazioni agli elementi finiti, che sono generalmente nella forma di equazioni matriciali, verranno calcolati i valori della variabile di campo.

Una volta noti questi valori, le funzioni di approssimazione definiscono la variabile di campo per tutto l'assemblaggio degli elementi.

La risoluzione di un generico problema di meccanica dei continui, tramite il Metodo degli Elementi Finiti, segue sempre un preciso procedimento per step successivi.

Tale procedimento viene di seguito riportato.


Step 1 Suddivisione della struttura in elementi finiti.

La struttura (o la parte di essa oggetto dell'analisi) viene suddivisa in elementi finiti. La modellazione della struttura viene quindi realizzata una volta scelti numero, tipo dimensione e disposizione degli elementi finiti.

Step 2 Scegliere un modello di spostamenti o di interpolazione appropriato.

Dal momento che la soluzione degli spostamenti di una struttura complessa, soggetta ad un determinato carico, non può essere determinata con esattezza, si ipotizza una soluzione adattabile all'interno di un elemento per approssimare la soluzione incognita. La soluzione ipotizzata deve essere semplice dal punto di vista computazionale, ma deve soddisfare alcuni requisiti di convergenza. Generalmente, la soluzione o il modello di interpolazione viene presa in forma polinomiale.

Step 3 Ricavare le matrici di rigidezza degli elementi ed i vettori dei carichi.

Dato il modello degli spostamenti ipotizzato, queste grandezze vengono ricavate utilizzando o un apposito principio variazionale, o un approccio ai residui pesati (come il metodo di Galerkin) o delle condizioni di equilibrio.

Step 4 Assemblare le equazioni degli elementi per ottenere le equazioni complessive di equilibrio.

Step 5 Risolvere rispetto agli spostamenti nodali incogniti.

Step 6 Calcolare le deformazioni e le tensioni per ciascun elemento.

In quest'ultimo step si può fare uso delle equazioni della meccanica dei solidi o della meccanica strutturale.


Sulla base di quanto finora esposto, è evidente come l'introduzione del Metodo degli elementi Finiti nella fase di ricerca e sviluppo di nuovi prodotti (avvenuta su una più ampia scala agli inizi degli anni '90), sia stata fondamentale per la sostituzione dei prototipi fisici da sottoporre a testing con i molto meno onerosi modelli matematici, detti anche prototipi virtuali.

La fase di testing così rivista, consistente nella simulazione numerica del nuovo componente nelle condizioni operative critiche, costituisce ora uno step fondamentale, non solo nella fase di R&D ma anche nella preparazione di tutti gli elaborati tecnici per le procedure di approvazione, previsti dalle direttive di prodotto CE in vigore.


“L’evidenza sperimentale non può stabilire l’esistenza matematica, né tanto meno la ricerca matematica dell’esistenza può essere liquidata dal fisico come

rigore privo di utilità. Solamente una prova di esistenza matematica può garantire che la descrizione matematica di un fenomeno fisico abbia

significato.“

Richard Courant (Lublinitz, 1888 – New Rochelle NY,1972)


Grazie per l'attenzione!

Seminario 30 settembre 2015 - Ordine Ingegneri Cosenza

Engineering

Transcript of Seminario 30 settembre 2015 - Ordine Ingegneri Cosenza