Salvatore Ventre DAEIMI, Università degli Studi di Cassino Associaz.EURATOM/ENEA/CREATE

ET2010, Napoli 11 giugno 2010

S. Ventre, Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici

Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici

Salvatore VentreDAEIMI, Università degli Studi di Cassino

Associaz.EURATOM/ENEA/CREATE

con il contributo di

Y. Liu, M. Furno Palumbo, R. Palmaccio, G. Rubinacci, F. Villone



Sommario

• Introduzione • Il codice CarMa• Metodo Veloce/Parallelo• Risultati• Conclusioni e prospettive



Introduzione

Instabilità nei dispositivi fusionistici

• Plasmi fusionistici descritti da equazioni MHD • Modi instabili di plasma con costanti di tempo microsecondi• Le correnti indotte sulle strutture passive dalle perturbazioni di plasma hanno un effetto stabilizzante• A causa della resistività finita, le eddy currents decadono modo ancora instabile ma con costanti di tempo millisecondi: Resistive Wall Modes (RWM) • E’ possibile controllo attivo per stabilizzare il modo• E’ necessaria un’analisi dettagliata della struttura conduttrice 3D con solutori nel limite magneto-quasi-statico richiesta una grossa capacità computazionale



Si introduce una superficie S:• all’interno di S equazioni MHD• su S appropriate condizioni di raccordo• fuori di S modello delle Eddy Currents:

Il codice CarMa

Approccio modellistico

plasma

S Resistive wall

Formulazione integrale in cui la densità di corrente J è l’incognita Si sposa con la geometria tipica dei dispositivi fusionistici con alti rapporti vuoto/pieno (solo i conduttori devono essere discretizzati) Conduttori 3D di forma arbitraria (e.g. no thin-shell approximation) Trattamento automatico di geometrie con topologia complessa Possibile anisotropia resistiva Inclusione nel modello degli elettrodi di alimentazione



VFUI

LIR dt

d

dt

d

Tensioni di alimentazione

c cV V

jiji dVdVL '

'

)'()(

40

, rr

rNrN

cVjiji dVR NN ,

jS

iji dSF nN ˆ,

k

kkk

kk II NJNTJ=T

Termine dovuto al plasma

IQSU

Il codice CarMa

Formulazione numerica



k

Tk

kTk

kkkII

II,ILILR 1

01**

0

0, : valori di tentativo 1I kQSLL*

VBIKI

dt

dSistema nella forma stato-vettore

Il codice CarMa

Procedura iterativa per la determinazione di autovalori e autovettori instabili

Risolto usando metodo iterativo



NIA Assemblare,Immagazzinare,Risolvere un sistema (reale o complesso) denso

(# Unknows ~ 200k )

METODO ITERATIVO

IARisolvere efficacemente

NIA Valutare efficacemente il prodotto

• tempo per costruire ogni termine di A• memoria necessaria a immagazzinare ogni termine di A• tempo necessario per fare il prodotto di ogni termine di A

*0 LRA

PRESTAZIONI DIPENDONO DA

Il codice CarMa

Il “bottleneck” computazionale



Impatto numerico dei singolo termini

TERMINE Assembly Time

Memory Required

Computation Time

R LOW LOW LOW

SQ HIGH LOW LOW

Il codice CarMa

L HIGH HIGH HIGH



Metodo Veloce

Il problema non è scalabile efficacemente solo utilizzando il parallelo

Matrice piena

O(N2)MemoriaInversione (metodo diretto) O(N3)

Inversione (metodo iterativo precondizionato)

O(N2)

Ts(N)=O(N2)Tempo seriale di inversione

Tempo parallelo di inversione Usando p processori (ideale)

Tp(N)=O(N2/p)

Ts(Ns)= Tp(Np) pNN sp



Termine L

IMPROVEMENTS

SPARSIFICAZIONE(compressione)

PARALLELOnew

OBIETTIVO Integrare in maniera efficiente metodo di compressione in una implementazione parallela

Metodo Veloce

Memory balancing: la memoria locale necessaria per contenere il termine deve essere equidistribuita tra i processori

Fattori determinanti le prestazioni



Metodo Veloce

Introduzione di una griglia multilivello che include tutta mesh Decomposizione in parte vicina e lontana

Calcolo e compressione della parte lontana, ottenuta secondo una tolleranza assegnata (precisione)

Calcolo esatto della parte vicina

Sparsificazione di L (con complessità quasi lineare)



Introduzione Griglia Multilivello

Metodo Veloce



nearfar LLL Calcolata senza errori

Nfar

i

ibibfar

1

2,1LL

.

Matrice di interazione locale tra due box lontane ib1 e ib2

Basso rango

2,1L ibib

# totale di interazioni lontaneapprossimata

Nfar

Decomposizione in parte vicina e lontana

Metodo Veloce



Siano me and m (ne and n) rispettivamente il numero degli elementi e delle incognite in ib1 (in ib2).

Compressione QR approssimata della matrice di interazione

2,1L ibib≈ Q R m×n

m×r

r×n

EFFICIENTE (m+n) × r << m×n.

Si osservi che Memory Required e ComputationTime sono uguali a (m+n) × r

r rango che dipende dalla errore richiesto (Modified Gram-Schmidt QR)

Metodo Veloce



Implementazione Parallela di LFAR

2,1L ibibee nm * Costo assemblaggio della matrice di interazione locale

Nfar

i

Nfar

iiitot CnmC

11

*Costo Totale assemblaggio

Assembly balancing Distribuire il carico di in maniera equilibrata su p processori

2,1L ibib

Metodo Veloce



Prestazioni dell’algoritmo sub-ottimo

Problema con complessità esponenziale risolto usando algoritmo sub-ottimo

end

Ki

CCC

CK

Nfarifor

pkC

descendentCsortedC

Si

kk

k

k

k

isi

min

min

)(

min

,..,1

,..,1,0

),(

Int2Proc

In uscita Int2proc(i) fornisce il processore a cui compete l’interazione i

Algoritmo di distribuzione dei carichi

kC Costo di assemblaggio del k-simo processore

Metodo Veloce

0 10 20 30 400

2

4

6

8

10x 10

8

Processor #

Ck



Sono automaticamente verificati se la dimensione del problema è sufficientemente grande (problemi di interesse per il parallelo)

Memory /Computation balancing di Lfar

Memory/Computation balancing ottenuti automaticamente

Non c’è bisogno di ulteriori comunicazioni

Metodo Veloce

0 5 10 15 20 25 30 350

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

7

Processor #

Dim

ensi

one

di

Lfar



Metodo iterativo: standard gmres

Dettagli Implementativi

Come precondizionatore usiamo MUMPS (http://mumps.enseeiht.fr )(free parallel solver for large sparse matrix)

MUMPS supporta l’assemblaggio parallelo Non sono necessarie ulteriori

• riallocazioni • comunicazioni

codice è in standard fortran 90 libreria parallela è MPI (http://www.open-mpi.org/)Macchina target Altix System (http://www.bsc.es/index.php) (Shared Memory Machine)In futuro il codice girerà anche su SCOPE (http://www.scope.unina.it/default.aspx) (Grid Computing )

Metodo Veloce

near

*0 LRP

In cui per near

*L si intende*L valutato sulla sparsità di

nearL

Precondizionatore



# Nodi 329276# Elementi 173304# Incognite 206401

Occupazione necessaria per allocare la matrice completa

298GB

(Metodo fast/parallel) Occupazione reale 25GB distribuita in maniera uniforme tra 32 processori (circa 780 MB per ogni processore)

Risultati

Studio dei RWM in ITER 1/2

La mesh usata copre 360° in direzione toroidale!



Distribuzione di corrente associata al modo instabile includendo i blanket modules (schermi neutronici)

Risultati

Studio dei RWM in ITER 2/2

Studiati numerosi equilibri di plasma con diverse assunzioni sul livello di dettaglio delle strutture conduttrici



• Utilizzando il metodo veloce e la sua parallelizzazione è possibile studiare strutture di interesse fusionistico la cui una complessità computazione non è altrimenti affrontabile dai codici attualmente disponibili:

dettagliata descrizione della geometria inclusione di loop di controllo riproduzione di risultati sperimentali

•Attività futura: estensione del metodo (sparsificazione + parallelizzazione) ad altri problemi elettromagnetici descritti da una simile formulazione integrale (e.g. materiali magnetici)

Conclusioni e prospettive



Grazie per l’attenzione ……

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