Rudi Mathematici 113 - giu 2008

7/21/2019 Rudi Mathematici 113 - giu 2008

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Rudi Mathematici

Rivista fondata nellaltro millennio

Numero 113 Giugno 2008 Anno Decimo


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Numero 113 Giugno 2008

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1. Rappresentazioni e Decimali...................... ..................................................................... ............. 3

2. Problemi................. ..................................................................... ................................................. 12

2.1 Senza titolo, per protesta .................................................................... .................................... 122.2 Cessato Allarme................................................................................ ...................................... 13

3. Bungee Jumpers ................................................................ .......................................................... 13

4. Era Una Notte Buia e Tempestosa............................................................................ ................. 14

4.1 I Rompicapo del Doktor Morb ................................................................... ............................ 14

5. Soluzioni e Note .................................................................. ......................................................... 16

5.1 [110] ........................................................ ........................................................... .................... 175.1.1 Peggio di Doc............. ............................................................... ....................................... 17

5.2 [111] ........................................................ ........................................................... .................... 24

5.2.1 Ritorno al Luogo da Cui..................... ................................................................ .............. 245.3 [112] ........................................................ ........................................................... .................... 29

5.3.1 Tra origami e tipografia.................................................................................................... 295.3.2 Allarme rosso ................................................................. .................................................. 32

6. Quick & Dirty.................................................. ....................................................................... ..... 53

7. Pagina 46............................................. ............................................................... .......................... 54

8. Paraphernalia Mathematica ................................................................... ................................... 55

8.1 Sarchiaponi (simmetrici) sostanzialmente simpatici............................................................... 55

Rudi MathematiciRivista fondata nellaltro millennio daRudy dAlembert(A.d.S., G.C., B.S)

[email protected] Rezierovic Silverbrahms(Doc)

[email protected] Riddle(Treccia)

[email protected]

www.rudimathematici.comRM 112 ha diffuso 1830 copie e il 01/06/2008 per eravamo in 9420 pagine. Tutto quanto pubblicato dalla rivista soggetto al diritto dautore e in base a tale diritto concediamo ilpermesso di libera pubblicazione e ridistribuzione alle condizioni indicate alla pagina diraut.htmldelsito. In particolare, tutto quanto pubblicato sulla rivista scritto compiendo ogni ragionevole sforzo perdare le informazioni corrette; tuttavia queste informazioni non vengono fornite con alcuna garanzia legale equindi la loro ripubblicazione da parte vostra sotto la vostra responsabilit. La pubblicazione delleinformazioni da parte vostra costituisce accettazione di questa condizione.

Tagliare una spugna non facile; se poi non la vostra, ma trattasi della Spugna diMonger, la cosa pu diventare decisamente complicata. Ed Pegg Jr. ci ha provato,usando piani diversi; vedete un paio di risultati in copertina.


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1. Rappresentazioni e Decimalirappresentre= b. lat. *RE-AD-PRAESENTARE dal class. lat.

composto dalla part. RE, che vale di nuovoe PRAESENS accusat.PRAESENTEM presente(v.q.voce), interposta la particella AD a.

Prop. Render presenti cose passate e lontane: quindi Esporre in

qualsiasi modo dinnanzi agli occhi del corpo o della mente figure o

fatt. Mostrare in s la figura di altri; Tenere le veci di altri in

assemblee, convegni, in commerci e simili.

(da www.etimo.it Vocabolario Etimologico Pianigiani)

... che, nel giro di pochi anni,

tutte le grandi costanti della fisica saranno

approssimativamente stimate,

e che lunica occupazione che rimarr

agli uomini di scienza sar quella di arricchire

queste misure di qualche decimale...[JCM, in forte contrasto con questa visionee nel tentativo di controbatterla.

Scientific Papers 2,224, 1871]

Il mondo una mia rappresentazione: ecco una verit valida per ogni essere

vivente e pensante, bench l'uomo soltanto possa averne coscienza astratta e

riflessa. E quando l'uomo abbia di fatto tale coscienza, lo spirito filosofico

entrato in lui. Allora, egli sa con certezza di non conoscere n il sole n la terra,

ma soltanto un occhio che vede un sole, e una mano che sente il contatto d'una

terra; egli sa che il mondo circostante non esiste se non come rappresentazione,

cio sempre e soltanto in relazione con un altro essere, con il percipiente, con lui

medesimo.

Le righe con le quali inizia questo articolo (fatta eccezione per le usuali citazioni in alto adestra, che sono sempre presenti nei compleanni annunciandone i contenuti senzaenunciarli, e che quindi non possono essere considerate vere e proprie righe darticolo)rappresentano lincipit di una delle maggiori opere della filosofia occidentale: Die Welt alsWille und Vorstellung, ovvero Il Mondo come Volont e Rappresentazione, di ArthurSchopenhauer. Lungi dal volere (e potere) analizzare i contenuti della maggiore opera delfilosofo di Danzica1, ci limitiamo a notare come il titolo sia, oltre che programmatico,anche dotato di una fortissima capacit evocativa. Lo si incontra in genere al liceo, e poi difficile dimenticarselo anche se, per quanto sia opera importantissima nel novero della

filosofia tedesca, non le si riconosce certo la stessa influenza del Discorso sul Metodo diCartesio, o delle tre Critiche kantiane. Eppure il titolo rimane ben impresso nellemeningi degli studenti; probabile che la causa stia soprattutto nella bellezza romantica

1Una volta o laltra qualche anima buona dovrebbe prendersi il compito di scrivere un libro sulle mutazioni deinomi delle citt da una lingua allaltra. Forse solo labitudine a farci sembrare naturali gli accoppiamentiLondra-London o Parigi- Paris, ma garantito che alcune citt di lingue meno familiari lasciano davvero distucco. Se, anche senza documentarsi in anticipo, probabile che si riesca a riconoscere in Kln la nobileColonia, altrettanto possibile superare in autostrada Mainz senza accorgersi di aver appena abbandonato lacelebre e antica Magonza. Leipzig una Lipsia poco meno difficile da risolvere, ma solo gli esperti riescono ariconoscere a prima vista Danzica, quando superano il cartello stradale con su scritto Gdask. Certo questodipende anche dal fatto che Gdask polacco e non pi tedesco (in teutonico la citt suonerebbe pisemplicemente Danzig), ma se il cartello fosse scritto in casciubo, Gdusk, ogni speranza di riconoscimento

sarebbe perduta, per i poveri parlatori di linguaggi neolatini. (No, non possiamo metterci a parlare del casciubo,adesso: ci vorrebbe una nota a pi di pagina dentro una nota a pi di pagina, e simili annidamenti e perversioniricorsive sono troppo anche per una rivista di matematica ricreativa poco seria e filoricorsiva come questa).


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delle parole che lo compongono tre termini assoluti e decisi, familiari e allo stessotempo insolitamente correlati Mondo, Volont, Rappresentazione. Anche la Critica dellaRagion Pura di Kant orbita attorno a tre parole, ma sono tutte e tre forti e dure, esembrano quasi voler spaventare il lettore: Critica, che quando sostantivo come in

questo caso termine ancor pi lugubre di quanto lo sia nella forma, gi greve, diaggettivo; Ragione, che parola bellissima e nobile, illuministica, umana e consolatrice,ma che richiama indubbiamente alla seriet, alla forma perfetta, al rigore analitico(specialmente quando accoppiata alla precedente Critica, che ovviamente dichiarasubito di voler guerreggiare con lei a colpi di noumeni e appercezioni trascendentali), einfine Pura, aggettivo spietato quanto altri mai, che rimuove dallindagine ogni residuasperanza di leggerezza, di levit: fare una critica della ragione potrebbe ancora lasciarsperare in una qualche allegria, magari in una lieve ironia come nellElogio della Follia di Erasmo da Rotterdam; ma lapposizione di quellaggettivo assolutistico toglie ognisperanza in tal senso. Varcate la copertina di questo libro sembra annunciare il titolo e preparate lintelletto a scalate ardue e senza sosta2. A sua unica e parziale discolpa, variconosciuto che anche la consorella Critica della Ragion Pratica, pur avendo lultimoaggettivo cambiato e assai edulcorato, non fa immaginare neanchessa una lettura facile erassicurante.

Invece, la tripletta di Schopenhauer si modulasu tre pilastri ben diversi. Il Mondo, parolauniversale e amica, forse il primo concettodavvero generale che riescono a comprendereanche i bambini piccolissimi. La Volont, chepossiede dentro di s il fascino irrazionale deglieroi; la pi romantica delle doti, e ancora oggii film e i romanzi tendono ad osannarla; tra unosportivo dotatissimo e uno meno forte, maanimato da forza di volont e solenne

abnegazione, il pubblico sceglier semprequestultimo, e tra il genio che non fa fatica nelcomprendere le cose pi difficili e il giovane checi riesce solo a prezzo di sovrumani sforzi divolont e di sacrificio, non c dubbio alcuno suchi si guadagner la simpatia delluditorio. Ecos via... come se la volont stessa non fosseanchessa una dote naturale al pari delle altre,quasi come se fosse nobilitata da qualcosa dipi schiettamente umano, rispetto alle altredoti.

Ma, anche se accompagnata da una

concorrenza tanto temibile, la parola Rappresentazione quella che maggiormenteaderisce ai banchi di memoria di chi legge. Una rappresentazione sembra o forse pigiusto dire sembrava, prima di Schopenhauer essere sempre e comunque qualcosa diqualit inferiore alla cosa in s: un conto una rosa, tuttaltro la rappresentazione dellarosa. Eppure, non sappiamo bene se per una reiterata violenza nei confronti della nostralingua o per qualche ardita connessione con lidealismo tedesco, si trova spesso su libri e

2 O voi che siete in piccioletta barca,desiderosi d'ascoltar, seguiti

dietro al mio legno che cantando varca,

tornate a riveder li vostri liti:

non vi mettete in pelago, ch forse,

perdendo me, rimarreste smarriti.

Anche Dante cercava di spaventare le menti minute, prime di lanciarsi in virtuosissimi intellettuali, maquantomeno lo faceva in endecasillabi, e solo dopo un gran bel numero di pagine ( linizio del Canto II delParadiso, quindi il settantanovesimo dei cento canti che compongono la Commedia)

1Arthur Schopenhauer (molto giovane).


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giornali il verbo rappresentare usato come sinonimo del verbo essere. Se non siete deltutto convinti, potete verificare subito la vostra abitudine (o il vostro senso delloscandalo) di fronte a questa selvaggia sostituzione verbale: se siete ormai fatalmenteabituati a sentir dire che la tal cosa rappresenta questo o quello anche quando si

intende solo dire che la tal cosa questo o quello, allora probabile che non abbiatenotato, allinizio di questo pezzo, che abbiamo proditoriamente scritto Le righe ()rappresentano lincipit di una delle maggiori opere. Se invece avete letto la fraseavvertendo un leggero senso di fastidio, probabile che la definitiva assimilazione dellarealt alla sua rappresentazione non sia del tutto consolidata, nella vostra mente. Equesto un bene, con buona pace di Schopenhauer.

Come sempre, tornare al significato originale delle parole pu essere daiuto. Letimologiadi rappresentare ragionevolmente evidente, per chi ha la fortuna di parlare la linguache la maggiore erede del latino: viene da re-ad-presentare, un verbo e due prefissi, eognuna delle tre parti ha un ruolo fondamentale. Presentare vuol dire rendere presente;re- il prefisso iterativo, quindi palesa che la presentazione in oggetto non inedita, mariproposta; e infine -ad- introduce un complimento di termine, ponendo in evidenza che

quel rendere nuovamente presente azione esplicitamente destinata a qualcuno: cinsomma la presunzione di un pubblico. In conclusione, la rappresentazione latto ragionevolmente complesso di far rivivere al presente una storia, unazione a beneficiodi qualcuno. In questi termini, la rappresentazione teatrale senza dubbio il miglioresempio del significato della parola: un gruppo di persone (la compagnia teatrale) siingegna e si adopera per riprodurre e far rivivere una storia ad un altro gruppo dipersone (il pubblico in sala). In maniera meno efficace ma comunque comprensibile, unambasciatore in grado di rappresentare unintera nazione: con la sua stessa personafisica rende presente la sua patria al governo della nazione ospite durante gli incontridiplomatici. E cos via, in un lento progredire di significati, attraverso i rappresentantilegalidelle societ, fino ai rappresentantipi immediati e diretti, i commessi viaggiatori,che rendono presente la loro ditta (solitamente una fabbrica di spazzole, nellimmaginario

collettivo), di porta in porta, al pubblico delle casalinghe.La rappresentazionedel mondodi Schopenhauer meno immediata, ma in fondo leggibilesecondo la stessa chiave: se la messa in scena del Giulio Cesare di Shakespeare puessere vista come la ri-presentazionedi un evento reale (lassassinio di Cesare e quel chene segu) fatta secondo i dettami del genio inglese e per mezzo di una squadra diprofessionisti (gli attori e i tecnici del Globe, ad esempio), il mondo secondo il filosofotedesco non altro che la ri-presentazione di qualcosa fatta a nostro beneficio da quelgrande regista che la nostra mente. La differenza (e difficolt) maggiore nel parallelocon il Giulio Cesare di Shakespeare sta nel fatto che Giulio Cesare lo immaginiamoinnanzitutto come uomo reale, esistito, e dotato di unesistenza indipendente dallarappresentazione del Globe, mentre ci che il nostro cervello ci rappresentacome mondonon altrettanto conosciuto ed evidente. Volendo appellarci al significato della parola

rappresentazione, verrebbe insomma da chiedersi Se il mondo come rappresentazione una nuova presentazione di qualcosa, qual la presentazione originale? Qual ilqualcosa, insomma?. Solo che fare una domanda del genere espone almeno a due rischimacroscopici: la prima nascosta nelle pieghe della linguistica: tutti i discorsi fatti sulsignificato di Rappresentazione magari non valgono una cicca se applicati alla parolaoriginale tedesca Vorstellung, delletimologia della quale confessiamo di non avereneanche la pi pallida idea. Il secondo rischio, ben maggiore, che tutto questo arditodissertare filosofico mostri tutte le sue debolezze agli esperti di filosofia, e nel contempoannoi mortalmente gli appassionati di matematica ricreativa, che solitamente sidivertono molto di pi a discutere di verit (con la minuscola) con le trib dei Bugiardi edei Veritieri che a parlare delle grandi Verit (con la maiuscola) provenienti dallaDialettica.

Per gli appassionati di matematica probabilmente si saranno interrogati talvolta sullanatura dei numeri, accorgendosi in breve che gli interrogativi dei filosofi acquistano


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rapidamente significato, se riconvertiti nellindagine della quintessenza numerica. Avoler fare i disfattisti, si potrebbero definire i matematici come coloro che si occupano dientit intangibili, infinite in diversi ordini di infinitezza, non chiaramente definite, didiversa natura e in ultima analisi inconoscibili3. Il numero sembra inizialmente solo una

sorta di attributo, una propriet di alcuni gruppi di oggetti (tre mucche, sette colline,dodici teste del mostro), ma poi assume identit indipendente: frazionaria, irrazionale,trascendente, complessa immaginaria, surreale4. Sempre pronto ad andare allinfinito, ein infiniti di diverso ordine e grado, numerabili o non numerabili. Nessuna mucca ha pigrecozampe, ma pi greco come numero esiste, eccome. Ed esiste anche a prescindere daicerchi disegnati sulla sabbia5.

Purtroppo, la ricerca di cosa non siano i numeri aiuta poco nellimpresa maggiore, quellacio di cercare di capire cosa siano. Anche se il numero 3 appare ben descritto dal suocarattere stampato in questa pagina, questo non significa che sia maneggevole e chiaro.Anche scrivendo pi estesamente la parola tre arriviamo ad una facile descrizione delnumero, e scegliere tra luna e laltra sembra essere solo questione di gusti. In realtquesto vale solo per chi parla italiano: a fior di matematici nati fuori dalla nostra

penisola i segni grafici corrispondenti alla parola trenon dicono un accidenti. Se questeprecisazioni possono sembrare solo ingenui sofismi, pensate allora al numerocorrispondente ai segni grafici 1/3. Qui la cosa gi pi complessa, perch il numerodescritto meno familiare. Innanzitutto, quei tre caratteri rappresentano un numero ouna formula? Dicono o non dicono la stessa identica cosa di un terzoe di 0,33333?

Siamo in genere abituati a trattare i numeri e le loro rappresentazionisenza soffermarcitroppo sulle implicazioni (e sulle limitazioni) che queste comportano. Possiamo convenireche la frase un terzo altro non sia che la denominazione, in lingua italiana,dellespressione 1/3. Ma questultima un numero o no? Uno studente delle medie (eprobabilmente anche dei primi anni delle superiori) tende di solito a risolvereulteriormente lespressione, perch la presenza del simbolo di divisione suggerisce lapresenza di unoperazione, e quindi la necessit di operare ancora, appunto; e si sentir

in genere pi soddisfatto se potr pestare i tasti sulla calcolatrice e scrivere infine ilnumero in forma decimale. Del resto, i classici esercizi nei quali occorre risolvere lungheespressioni algebriche altro non sono che successive semplificazioni di oggetti checomunque rimangono sempre uguali a s stessi, dal punto di vista ontologico. Scrivere6x7+8 esattamente la stessa cosa che scrivere 50, abitudine e maneggevolezza a parte,nel senso che entrambe le grafie rimandano al medesimo oggetto. Ci non di meno, se davvero la maneggevolezza a contare, allora quantomeno comprensibile che 1/3 siapreferibile a 0,3, vista la scarsa maneggevolezza che in questo caso ha larappresentazione decimale: anche perch bisogna ricordare che i puntini di sospensione6 fanno parte integrante del numero in questione, ma non mai molto chiaro comeapplicare le normali regole di calcolo (addizione, moltiplicazione, divisione) ai queipuntini sfuggenti.

Il punto che i numeri, in maniera forse ancora pi evidente del mondodi Schopenhauer,sono cose diverse dalle loro rappresentazioni, anche se noi siamo abituati ad usare quasi

3 La matematica pu essere definita la materia in cui noi non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando n sequello che stiamo dicendo vero (Bertrand Russell).

4Solo ad elencare i nomi delle varie classi numeriche, si mostra la sublime evanescenza degli oggetti. NeancheTolkien avrebbe avuto il coraggio di mettere in fila, in qualche suo libro, gli aggettivi che rimandano a questanota.

5Pensare a pi grecocome numero indissolubilmente legato al rapporto tra circonferenza e diametro del cerchio un po come pensare a 4 come indissolubilmente legato alle zampe delle mucche. Nessuno pu negare che pigreco sia il rapporto tra circonferenza e diametro del cerchio, ma ben lungi dallessere solo quello. Ancheperch altrimenti a voler essere obiettivi definire come rapporto(ratio) quello che il numero irrazionaleper

eccellenza (a pari merito con radice di 2), sarebbe una bella contraddizione.6 o la sopralineatura della cifra ripetuta allinfinito, nel caso che abbiate voglia di usare eqeditor o simili.


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esclusivamente questultime. In una certa misura, tre mucche, la parola tre, il simbolo 3,lespressione 9o un disegno come questo rincorrono sempre lo stesso concetto, perraggiungerlo sempre soltanto in parte; questa limitazione propria del rappresentaresenza essere, e in questo senso i numeri sono splendidi soggetti per gli estimatori della

filosofia di Schopenhauer. solo la familiarit, a far preferire una forma di rappresentazione numerica piuttostoche unaltra? Probabilmente ci sono molti altri fattori che contano: la maneggevolezza, lapraticit, luso. Se ci abituiamo a scrivere 87 invece che LXXXVII, guadagneremo invelocit nei calcoli. Se abbiamo a che fare con grandi quantit misurate in piccole unit dimisura, un po di esercizio con la notazione esponenziale ci far un gran bene. Madovrebbe rimanere sempre ben chiaro che il simbolo duna cosa non mai la cosa in s.Forse per questo che sono stati proprio i matematici i primi a cercare di svincolarsi dalcalcolo numerico, concentrandosi soprattutto sulle propriet: mentre i fisici e gliingegneri devono sempre stare attenti in modo particolare al danzare delle cifre nei lorostrumenti. vero che in questo caso specifico i numeri non sono pi quelle entitsfuggenti che sono inseguite con difficolt dalle definizioni filosofiche, quanto piuttostoonesti registratori di misure, che sono una cosa ben diversa; ma ci sono stati momenti,nella storia, in cui i trionfi della matematica e della fisica, alleate e invincibili,sembravano promettere una comprensione totale, assoluta e matematica di ogni aspettodella natura, e in quei momenti numero e misura rischiavano di confondersi. Era unperiodo desaltazione sublime, per gli scienziati, e la paura maggiore che molti di essipaventavano era proprio la fine della ricerca, lesaurirsi dei misteri. Una volta tolto ognimistero al mondo, tramite la scienza ovunque trionfante, cosa altro era possibile fare, peruno scienziato?Questo periodo doro per la matematica e la fisica si ebbe verso la fine dellOttocento: lascienza fondata da Galileo su basi matematiche e lanciata da Newton verso sconvolgentie inaspettate conoscenze, aveva collezionato in due secoli un novero incredibile discoperte. Le leggi dei cieli, degli astri, gi da tempo sono state riconosciute come le stesseche muovono i corpi sulla Terra: la gravitazione universale di Newton si evoluta nei

grandi costrutti della meccanica analitica, dove ogni aspetto della dinamica sembraessere matematicamente controllato. Le altre grandi branche della fisica vengono domatee ricondotte pian piano alla precisione analitica: i gas hanno una loro teoria cinetica, ilmagnetismo sta per rivelare ogni suo segreto, come lelettricit, lottica, latermodinamica. Come se ci fosse la regia di un grande sceneggiatore positivista, in pochianni i lavori degli scienziati del Settecento e dellOttocento sembra coagularsi e dare tuttiinsieme i suoi frutti: gli strumenti matematici della meccanica possono essere usati per lostudio dei gas e di diversi aspetti termodinamici, riunendo cos fenomeni che sembranomolto diversi tra loro: ma soprattutto la superba unificazione di elettricit, magnetismo eottica in una sola famiglia di fenomeni fisici fa credere agli scienziati che ogni aspettodella natura sia conoscibile. Come si diceva a quel tempo, ai fisici delle nuove generazionisarebbe toccato solo lingrato compito di arricchire le misure di qualche decimale.

Era una visione trionfale, e un po triste al tempo stesso. Si immaginava luniverso comeregolato da alcune costanti universali, coniugate da alcune leggi fondamentali, fisse einamovibili nel tempo e nello spazio. Gli scienziati di fine Ottocento avevano gicompreso tutti i principi fondamentali, e non restava altro che affinare le misure: unnumero certo immaginato in rappresentazione decimale conteneva i segreti dellanatura, e un lento e noioso spogliarello lo avrebbe rivelato, anno dopo anno, secolo doposecolo, con sempre maggiore precisione. Ma senza nessuna novit concettuale o teorica.Chi avrebbe mai scelto di fare ancora il fisico, in questo scenario? Chi si sarebbe dedicatoad anni di studi faticosi, solo per affinare la conoscenza delluniverso di qualche decimale,senza nessuna scoperta reale? Per fortuna dei fisici e della fisica, questidea della ricercadei decimali doveva dimostrarsi clamorosamente sbagliata. Anzi, fu proprio quellaricerca, quel tentativo di ricondurre piccole anomalie nel grande oceano della teoriaclassica a mettere in crisi tutta la fisica ottocentesca. Una certa difficolt nel rilevare

letere, certo dovuta alla scarsa precisione degli strumenti, avrebbe aperto le porte allaRelativit ristretta. Una lieve anomalia nel moto del perielio di Mercurio


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probabilmente a causa di misure affrettate, che sarebbero andate a posto non appenaqualcuno si sarebbe preso cura dei giusti decimali si sarebbe risolta solo con laRelativit Generale. Uno strano comportamento nel grafico della radiazione da corponero, unanomalia teorica dovuta probabilmente ad un errore seminato da qualche parte,

avrebbe aperto la porta a Planck e alla devastazione quantistica.Quel momento di massima gloria era molto vicino ad una serie di rivoluzioni di portatastorica, vaste quanto tutta la fisica allora nota e destinate a durare per secoli. Tantorumorosa fu la caduta delle convinzioni della fisica classica che i nomi dei grandirivoluzionari (Einstein, Planck, Bohr, e altri) sono noti anche ai non addetti ai lavori,mentre meno noto il nome di chi aveva compiuto lopera non meno importante, nonmeno clamorosa di riunire tutta la conoscenza della sua epoca in poche equazioni. Equesto anche se fu proprio questuomo il maggior avversario dellidea che alla fisica, dopola sua opera, non restasse altro che ricercare decimali.

James Clerk Maxwell nacqueil 18 Giugno 1831 nellacapitale di Scozia, Edimburgo,e dagli scozzesi tuttoraconsiderato come il figlio piimportante e rappresentativodella loro patria. Vienedescritto come bambinocurioso e attratto dameccanismi (serrature, porte,chiavi) fin da quando nonaveva ancora compiuto i treanni. I suoi genitori eranomolto religiosi, e trasmisero laloro fede a James, per il qualefu un elemento portante

durante tutta la sua vita7.Perse la madre quando eraancora molto piccolo, appenaotto anni, e questo cambi unpo i piani che i genitoriavevano in merito alla suaeducazione: lidea iniziale erainfatti quella di educarlo incasa fino ai tredici anni, perpoi entrare direttamente

allUniversit di Edimburgo, ma nel 1841 entr alla Edinburgh Academy8. Qui conobbequello che rimase per sempre il suo miglior amico, collaboratore e collega, Peter G. Tait,

che a quel tempo era anche lui un saggio decenne; ci nonostante, frequentava la classeinferiore a quella di Maxwell.

7Sembra che quando arriv a Cambridge si inform subito sugli orari delle funzioni religiose. Venuto a sapereche ce ne era una alle sei di mattina, rimugin un po per poi concludere S, penso di riuscire a restare svegliofino a quellora.

8Se pu suonare strana lidea che un ragazzo di 13 anni possa entrare allUniversit, bene rammentare che leuniversit dellinizio Ottocento non erano esattamente le stesse istituzioni di oggi. Daltro canto, pu suonarealtrettanto strano (anzi forse di pi) sentirsi dire che, non potendo entrare in una universit perch troppo

giovane (nel 1841 Maxwell ha appena dieci anni), il nostro entra allora in una Accademia. Il fatto che laEdinburgh Academy una scuola indipendente scozzese, con classi di ogni ordine e grado, anche se, in viaesemplificativa, si pu immaginare come un liceo-ginnasio. Fondata nel 1822, esiste ancora.

2James Clerk Maxwell.


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Non ancor quindicenne, nel 1846, Maxwell scrisse unamemoria sugli ovali9. Vi introduceva una generalizzazionedella definizione di ellisse, e prendeva in considerazioneanche figure con pi di due fuochi. Per quanto non del tutto

nuova (anche se Maxwell non lo sapeva, alcune partitrattata erano state affrontate da Cartesio) era stupefacente,per un ragazzo di quattordici anni: venne letta alla RoyalSociety di Edimburgo. A sedici anni, infine, entr davveroallUniversit: aveva sempre vicino lamico Tait, e segu icorsi di logica e di quella che ancora veniva chiamatafilosofia naturale. Seppur distinguendosi sopra ogni altroallievo, lasci lUniversit di Edimburgo per trasferirsi alTrinity College di Cambridge. Qui divenne discepolo ecollaboratore di William Thomson, ovvero Lord Kelvin, eottenne la laurea (in matematica) nel 1854; rest aCambridge, come insegnante, fino al 1856; successivamentesuo padre si ammal, e Maxwell prov a riavvicinarsi allamadrepatria scozzese per stargli vicino e amministrare lepropriet di famiglia. Suo padre mor pochissimi giorniprima che James venisse a sapere di aver finalmenteottenuto una cattedra ad Aberdeen.

Nel 1858, Maxwell sispos con Katherine Mary Dewar, figlia del presidedella sua universit: il suocero per non potevacerto essere accusato di nepotismo: quando, pochianni dopo, la sua universit di fuse con unaltra equalche professore dovette essere licenziato, aJames tocc cercarsi un nuovo lavoro, visto che eratra i professori giovani che venivano sacrificati incasi come questo. Ma Maxwell era nel frattempodiventato unautorit scientifica: aveva gi scrittodue pubblicazioni fondamentali sulle linee di forzadi Faraday nel 1855, aveva vinto il Premio Adams

con una memoria sulla stabilit degli anelli di Saturno10nel 1957, aveva pubblicato unostudio fondamentale sulla natura dei colori realizzando come effetto collaterale alla suasperimentazione anche la prima fotografia a colori della storia11. Era abbastanza sicurodi ottenere la cattedra di fisica dellUniversit della sua citt natale, quando invece avincerla fu proprio il suo vecchio amico Tait. Sembra che Maxwell non vinse la cattedraperch ritenuto non troppo abile nellinsegnamento ad allievi ancora privi di basi, e forsequesto poteva essere vero, anche se ci sono testimonianze di una sua elevata capacit diesposizione verso uditori non digiuni di fisica.

Cos, nel 1860 James Clerk Maxwell giunse al Kings College di Londra, dove visse glianni pi produttivi della sua carriera, per quanto la sua carriera fosse gi sensazionale.Qui riusc a completare la sua grandiosa opera di unificazione tra lelettricit, ilmagnetismo e, soprattutto, lottica. Nel 1862 ebbe la prova sperimentale che la velocit dipropagazione delle onde elettromagnetiche era sostanzialmente pari alla velocit dellaluce, arrivando a dire che difficile evitare la conclusione che la luce consista nelle

9 On the description of oval curves, and those having a plurality of foci, letta il 6 Aprile 1846.

10 Maxwell aveva affrontato il problema gi da studente sedicenne, insieme a Tait: lo riprese e lo risolse,mostrando per primo che la stabilit degli anelli poteva sussistere solo se questi erano composti da moltissimepiccole particelle solide.

11Fedele alla tradizione e alla sua patria, per soggetto della foto, ottenuta con il sistema dei tre filtri di colorediverso, us un tartan scozzeze.

3Gli ovali di Maxwell

4Gli anelli di Saturno


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oscillazioni trasversali del medesimo mezzo che la causa dei fenomeni

elettromagnetici.

Qualche anno dopo, nel 1873, tutto il corpus dellateoria fisica pi importante dei suoi tempi fu da lui

riassunta in solo quattro, fondamentali equazioni: leEquazioni di Maxwell., indissolubilmente legate alsuo nome. Ma questo non significa che tra il 1862 e il1873 egli non abbia fatto altro che sistemare la teoriadellelettromagnetismo (anche se ogni fisico sarebbedisposto a dedicare volentieri tre o quattro vite, inuna impresa del genere); nel frattempo Maxwellscrisse la sua Teoria Cinetica dei Gas, tra laltrointroducendo per la prima volta il concetto digrandezza statistica, in un periodo in cui la certezza del determinismo trionfava su tutti ifronti; sintetizz in altre quattro relazioni fondamentali 12il comportamento dei potenzialitermodinamici, e verso la fine della sua carriera risistem il Cavendish Laboratory di

Cambridge.Ritornava in Scozia, nella tenuta di Glenlair che erasempre stato il suo vero rifugio, ogni volta che poteva.Nel Maggio del 1879 vi torn per trascorrevi lestate: sialui che la moglie non erano in buone condizioni di salute.Dopo lestate si decise a tornare nuovamente aCambridge, ma le sue condizioni non erano affattomigliorate. Aveva un cancro allo stomaco: mornellautunno di quello stesso anno, il 5 Novembre. Avevaappena quarantotto anni.

James Clerk Maxwell, fisico matematico scozzese. In merito alle sue origini geografiche,non c davvero molto da aggiungere: i sondaggi che si tengono in Scozia come nel restodel mondo mostrano che per i suoi compatrioti non c nessuno scozzese pi nobile eimportante di lui. Nessun politico, statista, artista, regge il passo di Maxwell nel tenerealta la bandiera con la croce di SantAndrea. Come fisico, semplicemente uno dei pigrandi mai esistiti: forse meno noto al grande pubblico di Einstein, forse oscurato nellafama dal grande cugino inglese, Newton, forse senza laura del padre fondatore, Galileo:ma senza dubbio nella medesima loro categoria, quella dei grandissimi; verosimile che,richiesti di indicare i maggiori cinque fisici della storia, gli addetti ai lavori ponganoquasi tutti James Clerk Maxwell in quel numero ristrettissimo. il coronatore dellafisica classica, e forse in questa sua forza suprema risiede anche la sua debolezza diimmagine: per quanto la visione sia riduttiva, la fisica classica spesso narrata come incontrasto, in guerra con la fisica moderna, ma questo semplicemente non vero. Ed proprio grazie al lavoro di Maxwell che la visione generale della fisica ebbe modo di

riconoscere i suoi limiti. Non un caso che, tra i maggiori estimatori di Maxwell ci fosseroproprio i padri della fisica moderna, da Einstein fino a Feynman.

Come matematico, riusc in unopera che non sappiamo ancora se potr mai essereripetuta con pari dirompenza. Tre edifici mastodontici, grondanti di centinaia, forse

12 Croce e delizia dei corsi di termodinamica, riassumono sinteticamente i comportamenti di grandezze pi omeno familiari come pressione, volume, temperatura, entropia (P, V, T, S) e di grandezze decisamente piesotiche, come lenergia libera di Hemholtz, lentalpia, lenergia libera di Gibbs e lenergia interna (H, F, G,U).Un celebre artificio mnemonico per ricostruire le quattro relazioni di Maxwell della termodinamica in base alleotto variabili che vi concorrono consiste nel notare la somiglianza formale delle espressioni, mettere in circoloantiorario le iniziale della frase Good Physicists Have Studied Under Very Fine Teachers e ricostruire leespressioni facendo attenzioni ai segni. Difficile da spiegare per bene senza un disegno, ma per una nota a pi di

pagina non il caso di dire di pi. Anche perch altrimenti le note finiscono con divorare il testo stesso: adesempio sarebbe un vero peccato non ricordare da qualche parte che Maxwell si firmava talvolta col rapportodifferenziale dp/dt, poich in termodinamica vale la relazione dp/dt=JCM, e JCM erano le sue iniziali.

5Le famose equazioni di Maxwell

6Le relazioni fondamentalisulla teoria dei gas


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migliaia di effetti fisici fondamentali e diversi, furono da lui coagulati in quattroequazioni alle derivate parziali. I contemporanei devono probabilmente essere rimastisenza parole, increduli, nel vedere una sintesi tanto potente ed efficace: ed era unasintesi essenzialmente matematica. Una volta afferm che

Si pu dire che i numeri governano lintero mondo della quantit, e le quattroregole dellaritmetica possono considerarsi lequipaggiamento completo del

matematico13

Non sappiamo se tale equipaggiamento completo sia davvero sufficiente, per le personenormali. certo che quel che riusc a farci lui, con quel semplice equipaggiamento, haancora oggi dellincredibile.

13 La citazione bella nella sua semplicit, che mostra la profonda e diretta relazione che JCM vedeva tra

matematica, numeri, quantit e misura. Proprio per questo, preferiamo riportarla anche in lingua originale,visto che non ci fidiamo abbastanza delle nostre traduzioni: The numbers may be said to rule the whole world ofquantity, and the four rules of arithmetic may be regarded as the complete equipment of the mathematician.


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2. ProblemiRudy

dAlembertAlice Ridde

Piotr R.

Silverbrahms

Senza titolo, perprotesta

Cessato allarme

2.1 Senza titolo, per protestail che, considerato che scritto al posto del titolo, lo trasforma in un titolo.

Riteniamo abbiate tutti presente il concetto di Barzelletta sui Carabinieri. Aprescindere dal fatto che il miglior narratore di barzellette di questo tipo che Rudy abbiamai conosciuto era Maresciallo della Benemerita, la cosa non mai stata molto simpaticaallArma. Ma non questo il problema.

Il problema sorge quando dovete raccontare a qualcuno non italiano una barzelletta sui

Carabinieri: a meno di premesse chilometriche che rovinano comunque lo spirito dellabarzelletta, farebbe comodo una tabellina di equivalenza per lintero globo terrestre. Lanostra limitata esperienza nel ramo (un prozio di Rudy era giustappunto MaresciallodellArma, non quello sopra, un altro) ci permette di stabilire alcune corrispondenze; sevolete contribuire, liberissimi di farlo:

In Italia i personaggi sono Carabinieri. Presso i Carabinieri viene utilizzata la Polizia14. In Svizzera si ride di altri cantoni, i Bernesi degli Zurighesi e viceversa. In Inghilterra se la prendono con gli Irlandesi15. In Spagna si inseriscono i Portoghesi. In Portogallo ridono sugli Spagnoli16. Negli Stati Uniti tocca ai Polacchi.

E qui c il problema, quello vero. Infatti dagli USA ci hanno spiegato un gioco con lecarte non esattamente geniale (non serve neanche sapere il valore delle carte), e noi

14 Alcune barzellette sono per irreversibili: La Polizia vuole scrivere sulle nuove auto INDICE. Perch?Perch hanno visto che gli americani sopra le loro hanno scritto POLICE.

15A un irlandese hanno regalato degli sci dacqua, e da allora non lha pi visto nessuno. Sta ancora cercandoun lago in discesa.

16Per gli amanti della Teoria dei Grafi: vorremmo attrarre la vostra attenzione su questa (a quanto ci risultarara) relazione commutativa.


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supponiamo che il nome di Solitario Polacco nasca da questa caratteristica. Quindi, cirifiutiamo di titolare. Cominciamo con la versione semplice.

Prendete sei carte, e mettetele in una pila unica. Dividete quindi questa pila in tante pilequante volete, con ogni pila contenente un numero arbitrario di carte. Quindi, prendete

una carta da ogni pila e piazzate le carte recuperate in questo modo in una nuova pila, afianco delle altre. Ricominciate prendendo di nuovo una carta da ogni pila (inclusa quellanuova) e avanti cos, sin quando la (k+1)-esima operazione vi d un risultato identico allak-esima.

Siamo daccordo, non un gran ch, come gioco. Appunto per questo non gli diamo unnome.

Quello che ci chiediamo, per, : esiste un maggiorante al valore di 6k ? O, se preferite,

riesce sempre il solitario con sei carte? E, in caso positivo, al massimo quanti giri devofare? Se vi pare semplice, potreste provare a calcolare 15k (con quindici carte), oppure

cercare di capire quanto valga in genere nk con n carte iniziali, o se esistano dei valori di

n per cui knon sia definito.

Noi labbiamo trovato piuttosto complesso, almeno il caso generale. Come si diceAuguri in polacco?

2.2 Cessato AllarmeCon lavanzare della Primavera, si riducono le attivit inerenti le pulizie omonime; colche, i Validi Assistenti possono finalmente tornare a giocare giochi giocabili.

Purtroppo (per voi: Rudy si ritrova con un mucchio di roba da fare), con lavanzare dellaPrimavera aumentano anche le gite fuori porta; il che significa che i suddetti VAdLdRMsono costretti a trovare giochi decisamente lunghi ma che richiedano scarse attrezzature,in quanto devono essere praticabili nel sedile dietro della macchina.

Ora, tornando a Rudy, lui sempre stato un entusiasta giocatore di Ramino; nonsappiamo quanto vi sia noto il gioco, quindi ci limitiamo a dire che somiglia alla ScalaQuaranta (chiusura in mano, ammessi resti di Asso, Due e Tre, presa dallinizio, nessunobbligo di minimo per scendere. Se servono altri dettagli chiedete; velocissimo e moltocarino). Comunque, siccome in famiglia sono preferiti altri giochi di carte con lo stessodoppio mazzo, raro che ci si muova senza un pacco di 108 (due da cinquantadue pi iquattro jolly) carte; e i Nostri Validi Assistenti hanno improvvisato un interessante giocosul sedile dietro, dovendo far passare il tempo con mooooltacalma.

Tanto per cominciare hanno tolto i Jolly e separato i due mazzi; quindi, ciascuno si preso un mazzo da cinquantadue e lo ha accuratamente mescolato. Dopodich, hannocominciato a tirare una carta a testa, con laccordo che se allo stesso tiro fossero uscite

due carte uguali (in seme e valore) avrebbe vinto Fred e il gioco sarebbe finito. Se invece,a fine mazzo, non si fosse registrata nessuna vincita da parte di Fred, avrebbe vintoAlberto.

Contato che il viaggio lungo (e quindi hanno giocato un mucchio di partite), secondo voi,come andata a finire?

3. Bungee JumpersProvate che, se m e n sono numeri naturali qualsiasi, nessuna delle seguenti sequenzepu essere un intero:

1.n

M 1

3

1

2

1+++= K ;


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14

2.mnnn

N+

+++

+= 1

1

11K ;

3.

12

1

5

1

3

1

++++=

nK K

.

Il consiglio di non prendere sottogamba la prima: complicata quanto la seconda,

e la terza solo un po pi complicata. Ma la regola generale ve la ricavate voi

La soluzione, a Pagina 46

4. Era Una Notte Buia e TempestosaCi sembra quasi di sentirvi: ci prendete in giro perch questa rubrica, dichiarata comesuddita della pi fluida e imprevedibile diacronicit, invece noiosamente einfallibilmente presente in rivista gi da un trimestre. Beh, frenate le lingue, omalelingue: i libri da recensire che avevamo pronti in canna sono terminati, adesso, e a

meno non succeda qualcosa dimprevisto, RM di Luglio uscir privo di questa EUNBET.In quel caso, naturalmente, dovrete sentirvi in colpa per non scrivere abbastanza,tradurre abbastanza, sceneggiare abbastanza, insomma per non propagare abbastanzamatematica. Vergogna.

4.1 I Rompicapo del Doktor MorbNellOttobre 2005, sul numero 133 di DEV,nota rivista di informatica e non solo,comparve una recensione di RM. Era unarecensione davvero molto lusinghiera, anzi,probabilmente il termine lusinghiera ancorariduttivo. Oltre a ci era anche la prima

recensione di RM ad apparire su una rivistacartacea (a parte la citazione nelle InternetYellow Pages), e vedere il nome RudiMathematici stampato su una paginaacquistabile in edicola ci fece sentire moltoimportanti. Lautore di quella recensione eraLuigi Morelli, che su DEV scrive da sempre, eche da molti anni si fregia dellincontestabiletitolo di RMer di lunga data.

Nel creare questa rubrica di recensioni, noi diRM ci siamo dichiarati fin dallinizio del tuttoimmuni dal vizio dellimparzialit; del resto,

proponendoci di recensire solo opere di lettoridi RM dichiarammo anche, sia in via implicitasia in via esplicita, che le recensioni che nesarebbero risultate sarebbero state originatesoprattutto dallaffetto, pi che dalla critica

obiettiva. E questo ci consente di poter vedere questa recensione de I Rompicapo delDoktor Morbanche come una (ancora parziale) forma tardiva di ringraziamento.

Questo per non significa che parlare di questo suo libro di giochi matematici sia loscioglimento forzato di un obbligo, un piacere da rendere, una tassa da pagare: tuttaltro.Anzi, per molti versi limbarazzo che si pu provare nel recensirlo sta tutto nel fatto chesi tratta di un vero testo di problemi di matematica ricreativa, e quindi perdinci diautentica concorrenza diretta nei nostri confronti. Uscito ormai cinque anni orsono (chi

ha mai detto che avremmo recensito solo novit? Se giudichiamo un difetto limparzialit,figuratevi in che conto potremo mai tenere la tempestivit) questo libro infatti la


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raccolta di 36 articoli basati su dei problemi di matematica ricreativa. Luigi Morelli haraccolto i pezzi da lui scritti per la sua rubrica sulla rivista DEV (e visto che 36 un belmultiplo di 12, ci aspettiamo che siano raccolti i primi tre anni della rubrica, ma non nesiamo sicuri), e lantologia che ne risulta un libello che segue tutti i canoni dellopera

classica del gioco in matematica: un personaggio intelligente e intrigante (il Doktor Morb,appunto) viene creato apposta per proporre e risolvere i quesiti; un ambientesufficientemente vasto e strano gli viene creato attorno per poter ospitare tutti imarchingegni e i personaggi necessari alla sceneggiature dei problemi, e, sopra ogni cosa,si applica la capacit di narrare un problema matematico trasformandolo in un raccontobreve. Sar che un gioco a cui abbiamo giocato spesso, e quindi ci sentiamo un pochiamati a difendere lideale corporazione degli scrittori di cose di matematica ricreativa,ma vi assicuriamo che non cosa facile, questa: in un vecchio articolo di RM chiamavamoquesta attivit dematematizzazione, perch il contrario dellazione che fanno i solutoriche, tramite la matematizzazione, riescono a ricondurre i termini narrativi dun quiz aidati matematici necessario per risolverlo. E non attivit banale: per questo troviamointrigante la maniera in cui Luigi riuscito a riunire sotto ununica sceneggiatura difondo 36 quesiti.

Poi, a dire il vero, non tutti i trentasei capitoli sono quesiti da risolvere: in qualche caso, solo la particolare curiosit di qualche aspetto della scienza a dei numeri ad essereraccontato; del resto, molti dei problemi presentati sono dei veri classici, e ci aspettiamoche molti dei lettori di RM li conoscano gi. Per il libro potrebbe essere destinato nonsolo agli affamati divoratori di problemi di matematica ricreativa, ma anche e soprattuttoa chi si avvicina per le prime volte al fascino della ricreazione matematica. Per questi,riscoprire dei classici cosa buona, anzi necessaria, visto che come in ogni attivitumana, dagli scacchi al rock and roll, conoscere gli standard fondamentale. E perquesti, avere una storia senza quesito, o un quesito risolto subito dopo lesposizione,piuttosto che rinviato in una apposita sezione a fondo libro, probabilmente meglio, picolloquiale e meno carico di tensione, da stress della domanda.

Come capita troppo spesso nelledizione dei testi di matematica, alcuni problemi nellacorrezione delle bozze non hanno trovato soluzione: gli esponenti sono numeri solo un popi piccoli e posti solo un po pi in alto delle basi, e capita spesso che gli editor non liriconoscano come tali. successo anche qui, e stavolta potrebbe esserci una sfida nellasfida a riconoscere quando questincidente (di bozze e di percorso) capitato. Siamo certiche la cosa non sia stata voluta n dallautore n dagli editori, ma se li lascia sopire ilsenso dello scandalo purista (senza contare che abbiamo incontrato di ben peggio nelletraduzioni italiane di case editrici autorevolissime di libri di Ian Stewart, DavidFoster Wallace, David Wells e molti altri ancora) e si prova a vedere la cosa come ungioco nel gioco, il rischio che si corre quello di divertirsi.

TitoloI Rompicapo del Doktor MorbSottotitolo Giochi matematici per menti ironiche

Autore Luigi MorelliEditore Gruppo Editoriale Infomedia

Data di Pubblicazione 2003Prezzo 7,50 Euro

ISBN 8881500132Pagine 80


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5. Soluzioni e NoteSe avete gi sbirciato lindice sapete che le soluzioni sono massicce anche questa volta,per cui cercheremo in questa parte di non dilungarci, anche se c qualcosa da dire che ha

unimportanza esagerata. Eccoci.Il Premio Peano stato assegnato anche questanno. Visto che abbiamo avuto modo didocumentarci, possiamo passarvi lalbo doro di uno dei pochissimi, forse lunico premiomatematico italiano a livello internazionale.

A.Doxiadis Zio Petros e la Congettura di Goldbach (Bompiani)

Gabriele Lolli La crisalide e la farfalla (Bollati Boringhieri)

Alan ConnesTriangolo di Pensieri (Bollati Boringhieri)

P.G. Odifreddi

C'era una volta un paradosso. Storia di

illusioni e verit. (Einaudi)

Il gene della matematica (Longanesi)

Il linguaggio della matematica (Bollati Boringhieri)

(Rizzoli)

(Rizzoli)

VI 2005 Peter Pesic La prova di Abel (Bollati Boringhieri)

VII 2006 Ian StewartCom' bella la Matematica - Lettere a

una giovane amica(Bollati Boringhieri)

VIII 2007 Donal O'SheaLa congettura di Poincar. La storia di

un enigma matematico e del genio

misterioso che lo ha risolto

(Rizzoli)

Premio Peano

La sezione aureaMario Livio

Marcus Du Satoy

L'enigma dei Numeri Primi - L'ipotesi di

Riemann, l'ultimo grande mistero della

matematica

2000

2002 Keith Devlin

I

III

IV

V

2003

2004

2001II

Dal 2006 per incoraggiare giovani autori, magari giovani del mestiere e piccole caseeditrici, viene premiato con una segnalazione speciale un autore che, pur non essendo undivulgatore noto e di fama internazionale, abbia scritto un libro di lettura di matematica

in grado di suscitare interesse e curiosit in un pubblico pi vasto e che meriti di veniresegnalato con questo premio. La segnalazione pu eventualmente essere attribuita anchea una piccola casa editrice che pubblichi unopera interessante di un giovane autore. Beh,ecco lalbo doro anche per questo premio:

Premio Peano per Giovani Autori e Piccole case editrici

VII 2006 Luisa GirelliNoi e i numeri. Talvolta li amiamo, pi

spesso li detestiamo. Perch?(Il Mulino)

VIII 2007Rodolfo Clerico

e Piero Fabbri

Rudi Simmetrie CS_libri


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Qui non c nessun understatement piemontese, come direbbe il Capo, no, siamo proprionoi, quelli che hanno vinto il Premio Speciale per i Giovani Autori e le Piccole CaseEditrici, anche se giovani non siamo e dobbiamo tutto alla CS libri.

In occasione di questo evento vi invitiamo ancora una volta a visitare il sito della

Mathesis piemontese (www.subalpinamathesis.unito.it/) e quello dei nostri editori(www.arpnet.it/cs/coopstudi.htm) e vi ricordiamo che il libro ancora in vendita ( gistato ristampato!).

Poi ringraziamo tutti quelli che ci hanno fatto gli auguri per il nostro nuovo lavoro(ebbene s, il Direttore di Le Scienze non si ancora accorto dellerrore e non ci ha ancoralicenziato...), e vi annunciamo lapertura ufficiale del nostro blog:

http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/

E adesso basta, che siamo tutti rossi per lemozione.

5.1 [110]5.1.1 Peggio di DocQuesto problema continua ad avere ripercussioni, dopo la sfida dello scorso numero delCapo. Il primo intervento, quello di FrancoZ, unerrata corrige:

Non c bisogno di aspettare sino al 2216; a meno che non salti fuori che in qualchebranca della matematica sia 96 x 6 = 666 (anzich 576) il risultato corretto quellodel Cid!

Stavolta non posso accampare scuse, vabb che i calcoli di questo tipo li faccio suipizzini evitando calcolatrici o telefonini, ma un errore sulla tabellina del 6 veramente imperdonabile.

Noi a FrancoZ siamo disposti a perdonare tutto, anche perch abbiamo scoperto che

appartiene allAssociazione Italiana Tecnici Birraie ci ha invitato a visitare la pi grandefabbrica di birra in quel di Aosta...

Comunque, dato che almeno in due avevano ottenuto lo stesso risultato, il Capo si stavaprepararando ad accettarlo come utile e finale, ma la versione del Panurgo, arrivata apuntate e di grosso spessore non poteva essere ignorata. La riportiamo qui di seguito.

Visto che ho trovato il tempo di mettere tutto in bella copia, voglio provarmi anchioa valutare il peso (pardon, la massa) di questo bicchiere.

Innanzi tutto, voglio chiarire che non ho nulla contro le approssimazioni maunapprossimazione, per essere tale, non dovrebbe avere grande influenza sulrisultato e, soprattutto, non dovrebbe contraddire le informazioni dateesplicitamente e implicitamente.

Naturalmente mi riferisco allimpossibilit di trascurare lo spessore del bicchiereed vero che lintroduzione dello spessore complica parecchio le cose. Infatti, iltesto afferma esplicitamente (sia pur in nota) che il diametro indicato quellointerno ma nulla dice su come devono essere prese le quote per laltezza delbicchiere e per il livello dellacqua: ciascuna delle due quote pu essere presarispetto allinterno del bicchiere o rispetto allesterno e vi sono quindi (vedi Figura1) quattro diverse possibilit.


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Figura 1 delPanurgo: i diversi modi di fare le quote a) quote esterne, b) livello del liquido

esterno, altezza del bicchiere interna, c) liquido interno, bicchiere esterno e d) quote interne;

le pareti del bicchiere sono indicate in bianco, il fondo in rosso mentre il liquido indicato

in grigio.Data la simmetria cilindrica del sistema sufficiente una sola coordinata perindicarne la posizione del baricentro: scegliamo un riferimento cartesiano con ilpiano xz coincidente con il piano del tavolo e lasse y coincidente con lasse delbicchiere. Il baricentro del sistema ha coordinata

V V L LS

V L

m y m yy

m m

+=

+

dove i pedici V e L stanno rispettivamente per vetro e liquido. Introduciamo quila prima approssimazione considerando per lacqua una densit pari a 1 kg dm 3dimodo che la massa del liquido risulta numericamente uguale al suo volume

( )2 LL L 2

L

r h sm V

r h

= =

dove la prima espressione si riferisce alla quota presa esternamente, la secondaalla quota presa internamente. Esprimiamo anche la coordinata del baricentro infunzione dellaltezza della colonna di liquido, hL

L L

L

L L

2 2

2

2 2

h s h ss

yh h s

s

+ +

= = + +

sempre con la convenzione suddetta (primo, esterno; secondo, interno); col che,

posto per comodit 22k r= , abbiamo

( )( )

( )

2 2

V V L

V L

S2

V V L L

V L

2

2

2

m y k h s

m k h sy

m y k h sh

m kh

+

+ =

+ +

+

Per trovare il minimo deriviamo rispetto a hL


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( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

L V L V V L

S2

L V L V V L L

2 2 2

2 2 2 2

kh m k h s k m y k h sy

k h s m kh k m y k h sh

+ +

+ + + +

ottenendo le equazioni di secondo grado

( ) ( )

( )

2 2

L V L V V

2

L V L V V

2 0

0

kh m ks h m y ks

kh m h m y s

+ =

+ =

di cui prendiamo la radice positiva e la uguagliamo al corrispondente livellodellacqua (noto)

( ) ( ) ( )

( )

2 2

V V V V

L,0

2V V V V

L,0

2 2 4

2

4

2

m ks m ks k m y ksh

k

m m km y sh s

k

+ +

=

+ + = +

Risolviamo queste equazioni in funzione di mV e, tenuto conto dei valori dati,r= 20 mm, hV= 120 mm e hL,0= 45 mm, otteniamo la massa del bicchiere infunzione del baricentro del bicchiere stesso e dello spessore del vetro

( )

( )

( )

( )

2

V

V 2

V

400 45

2 45

400 45

2 45 2

s

ym

s

y s

=

+

+

Per inciso, poich ho scelto di indicare le lunghezze in millimetri, le masserisulteranno in milligrammi. Poniamo adesso attenzione al baricentro del bicchierela cui coordinata

F F P PV

F P

m y m yy

m m

+=

+

con i pedici F e P che indicano rispettivamente fondo e pareti. Ovviamente, se nonconosciamo la massa del bicchiere tanto meno conosceremo la massa di fondo epareti separatamente ma se assumiamo che oltre allo spessore del vetro sia

uniforme anche la sua densit abbiamo cheF F P P

V

V

V y V yy

V

+=

conV F P

V V V= + . Volumi e coordinate dei baricentri valgono

( )

( ) ( )

V

V2

F F P P

VV

2 2

2 2

2

hs r s hs

V r s y V yh ss r s h s

+

= = = = ++ +

e


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20

( )

( ) ( )

( )

( )

2

V

V 22

V

40 130 32

5200 1602

s ss r r s hV

s s ss r r s h s

++ + = =

+ + + + +

e le due coordinate del baricentro del bicchiere sono

( )

( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

V

2

V

2 3V 22

V2

2

V

2 7200 185

2 2 130 3

576000 24400 28022 5200 160

2 2

r s r s h s

r r s h sy

s s sr s r s h ss s

r r s h s

+ + + + + + = = + + ++ + +

+ + + + +

Combinando queste con le due masse del bicchiere otteniamo le masse del bicchierein funzione dello spessore del vetro

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2

2

V 2 22 2

2 3 2 3

4 45 130 3 100 45 130 327 3 225 35

400 45 5200 160 400 45 5200 160

108000 10000 190 3 36000 3600 150

s s s ss s s

ms s s s s s

s s s s s s

+ + ++

= + + + + +

+ + +

(la prima colonna contiene le espressioni per il livello del liquido quotatoallesterno, la seconda quelle per il livello quotato allinterno). Provare per credere,per s= 0 si ottiene una massa in grammi pari a 39 (cfr. RM 111 5.2.3 p. 26).

A questo punto, Doc potrebbe tagliare la testa al toro misurando lo spessore delvetro ma noi che lo ignoriamo come possiamo trarci dimpaccio? Per esempio,facendo uso dellinformazione da lui gentilmente fornita che questi bicchieri glisembrano pi leggeri degli altri e che probabilmente il cristallo un po menocristallo di quelli vecchi.

Ecco cosa non va nel trascurare lo spessore del bicchiere: non il fatto che si ottengauna densit infinita (un buon modello pu anche avere degli aspetti non realistici)ma che tale risultato in contrasto con quanto indicato implicitamente tra i datidel problemae cio che il bicchiere fatto di un cristallo scarso di piombo e qui utile ricordare che la densit del vetro comune, espressa in kg dm 3, sta tra 2,4 e2,8, laddove quella dei vetri al piombo sta fra 3 e 4 [CRC Handbook of Physics andChemistry, 84 Ed., 2003-2004]. Ci precipitiamo quindi a calcolare le densit del

nostro vetro (in funzione di s)( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

2 2

2

VV 2 2

V

2 3 2 3

45 5 45

10 27 6 225 35

400 45 400 45

108000 10000 190 3 36000 3600 150

s s

s s s s smd

V s s

s s s s s s s s

+

+ = =

+

+ + +

La densit deve essere positiva: le prime due espressioni sono formate di terminipositivi e si verifica facilmente che 5s< (un intervallo di valori ragionevole per

bicchieri di buona qualit) condizione sufficiente perch anche le seconde duerisultino positive. La Figura 2 illustra landamento delle densit in funzione di s


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Figura 2 delPanurgo: landamento delle densit confrontato con la densitdei diversi tipi di vetro

Come si vede, le due espressioni in cui il livello del liquido quotato rispettoallinterno del bicchiere corrispondo a vetri con una densit troppo elevata quindipossiamo restringere il campo alle altre due. Vogliamo ora esprimere lo spessoredel vetro in funzione della densit

( )

( )

( )

( )

2

V

2

V2 3

45

10 27

400 45

108000 10000 190

sd

s s

sd

s s s s

=

+

=

+ + +

Il primo caso semplice e, con pochi passaggi di facile algebra, si ottiene

2

V V V

45

9 16 3 1s

d d d=

+ + +

Con questa espressione, per valori della densit compresi tra 2 e 4 si hanno deivalori di spessore del vetro ragionevolissimi, compresi tra 1,5 mm e 3 mm.

La seconda espressione unequazione di quarto grado e la questione si fa spinosa:

proviamo a fare qualche utile approssimazione osservando che per 1 3s< < itermini di terzo e di quarto grado sono trascurabili, cio che

2 3108000 10000 190 108000 10000s s s s+ + + + , e otteniamo

2

V V V

45

9 31 3 1s

d d d=

+ + +

Con questa espressione si ottengono valori di spessore del vetro confrontabili conquelli ottenuti con lespressione precedente.

Prima di andare a sostituire i valori dello spessore nelle espressioni della massa delvetro facciamo le opportune approssimazioni anche per la seconda espressione della

massa del vetro: oltre allapprossimazione precedente, abbiamo anche25200 160 5200 160s s s+ + + , e quindi


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22

( ) ( ) ( ) ( )2 22

2 3

400 45 5200 160 4 45 260 8

108000 10000 190 54 5

s s s s s

s s s s

+ + +

+ + + +

Nota bene che questa approssimazione migliore della precedente in quanto lavariazione del denominatore va nello stesso verso di quella del denominatore.

Effettuata finalmente la sostituzione, sempre omettendo i pochi passaggi di facilealgebra (que viva siempre Mathematica!) e dopo una divisione per 1000 perriportare il peso in grammi, otteniamo

( )( )

( )

( )

2

V V V V

2 2

V V V V V

V2

V V V V

2 2

V V V V V

9 53 78 26 9 16

1 22 18 2 3 1 9 16

18 31 39 13 9 31

1 37 18 2 3 1 9 31

d d d d

d d d d d m

d d d d

d d d d d

+ + +

+ + + + +=

+ + + + + + + +

Ed ecco landamento della massa in funzione della densit

Figura 3 delPanurgo: landamento delle masse in funzione della densit.

Anche se siamo quasi in fondo, ora che abbiamo la dipendenza della massa dalladensit, dobbiamo affrontare il problema di rendere quantitativa la generica

informazione densit di un cristallo che sembra essere scarso di piombo e inquesto ci viene in aiuto la teoria della probabilit.

Anzich scegliere arbitrariamente un valore di densit definiamo una distribuzioneche rappresenti il nostro (vago) stato di conoscenza: per prima cosa, il fatto che sitratti di un cristallo povero ci porta a considerare possibili le densit compresetra 2,8 (massimo del vetro comune) e 3 (minimo del vetro al piombo); in secundis, ilfatto che sia un po meno cristallo rende meno plausibili densit elevate, salvorestando che si tratta sempre di un cristallo ci che rende implausibili anche ledensit basse. Dobbiamo perci utilizzare una distribuzione limitata allintervallo2,4-4, che concentri la massa della probabilit intorno o poco sotto a 3: a tale scopoutile una distribuzione Beta


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( ) ( )

( ) ( ) ( )

11; , 1B x x x

+

=

con la trasformata

V 2,4

4 2, 4

dx

=

che mappa la nostra variabile nellintervallo [0,1]. Questa distribuzione ha unmassimo per

x

=

+

ed tanto pi stretta quanto pi elevato il valore dei parametri. Una buonascelta pu essere 10 = e 50 3 = che ha il massimo per

V 3d = e concentra la

massa della probabilit tra 2,7 e 3,3. Per trovare la distribuzione della massa sisfrutta il fatto che le funzioni che legano la massa alla densit sono trasformazioniuno a uno e quindi, e dato che lelemento infinitesimo di massa di

probabilit delle due distribuzioni deve essere uguale, cio

( ) ( )V V V V| |p m I dm p d I d d=

abbiamo

( ) ( )V VV

1| |p m I p d I

m=

Per calcolare le derivate delle masse ci affidiamo ancora una volta al buon Wolframma il risultato ve lo risparmio: ecco, invece, le distribuzioni della densit e dellemasse

Figura 4 delPanurgo: distribuzione della densit e relative distribuzioni

delle masse del bicchiere.

Calcoliamo media e scarto tipo della massa risolvendo gli integrali


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( )( )

( )( )

( )V

V

V4 V

V V

V2,4

2,4 50Beta ;10,

1,6 3m

m

dm d

m d dmm d

=

e

( )( )

( )( )

( )V

V

2 V4 V

2

V V

V2,4

2,4 50Beta ;10,

1,6 3m

m

dm d

m d dmm d

=

(cosa che facciamo per via numerica): la varianza vale

( ) ( ) 22 2

V Vs m d m d=

Possiamo quindi riassumere la nostra soluzione del problema come

V 108,3 1,2m = se il livello dellacqua quotato rispetto allesterno del bicchieree V 100,8 1,4m = se la quota fatta rispetto allinterno.

No, non abbiamo verificato nemmeno una formula, e no, non corrisponde al valore trovatoda Cide FrancoZ. Ma non siamo preoccupati.

5.2 [111]5.2.1 Ritorno al Luogo da CuiEbbene s, a volte le sfide di espansione lanciate da un solutore sono colte da un altrosolutore: il caso di Trekker, che ha colto al balzo il suggerimento di Cid:

Mettendo assieme la piscina di BR1 e la domanda di Cid su come estendere ilcalcolo della massima area agli n-agoni mi venuto in mente che forse potremmofar risolvere lenigma alla natura.

Se immaginassimo di distendere i lati/griglia su un laghetto ghiacciato liscio, chenon ci sia alcun attrito (interno ed esterno) che si oppone al movimento dei lati eipotizzassimo che le griglie sul fondo fossero in grado di contenere acqua (perfetta)in modo stagno , beh, versando dellacqua dentro ad un qualsiasi degli n-agoni, se vero che la natura cerca un equilibrio a minima energia potenziale, congetturoche ln-agono si aggiusta da solo in modo che il livello dellacqua sia minimo equindi larea sia massima. Ma siccome viviamo nel mondo reale vediamo seriusciamo a trovare almeno una soluzione approssimata al problema, semplificandoin particolare il montaggio del recinto.

Proviamo che qualsiasi n-agono con lati dati che ha area massima inscrivibile in

una opportuna circonferenza.

Sappiamo che questo vero per il quadrilatero. Proviamo che vero anche per ilpentagono e poi per induzione lo estendiamo agli n-agoni.

Sia ABCDE il pentagono di lati dati e di area massima (pentagono che sappiamoessere convesso, perch altrimenti, ribaltando i lati che formano un angolomaggiore dellangolo piatto attorno alla diagonale esterna opposta troveremmo unpentagono di area maggiore). Tracciamo la diagonale AD dividendo il pentagononel quadrilatero ABCD e nel triangolo ADE. Se il pentagono di area massimaallora lo anche il quadrilatero ABCD perch se non lo fosse saremmo in grado distirare questo quadrilatero, tenendo immobile il lato AD, aumentandone larea e

di conseguenza il pentagono non sarebbe di area massima, contro lipotesi. Ilquadrilatero ABCD di area massima sappiamo che inscrivibile in una


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circonferenza che passa necessariamente per i punti A, B, C e D.Tracciamo ora la diagonale BE e ripetendo il ragionamento espresso soprapossiamo dedurre che il quadrilatero (di massima area) BCDE inscritto nellacirconferenza passante per BCDE. Le due circonferenze trovate passano entrambe

per i punti BCD che essendo non allineati individuano una e una solacirconferenza, cio quella passante contemporaneamente per A,B,C,D,E cio entrocui inscritto il pentagono.

Fatto il ragionamento per il pentagono possiamo estendere le considerazioni inmodo assolutamente analogo allesagono, etc. e per induzione alln-agono.

Mostro ora come calcolare in modo numerico larea massima di un n-agono dati ilati.

Dato un n-agono di lati a1 a 2 ... a 1 (assicuriamoci che il lato maggiore siacomunque minore della somma di tutti gli altri) e di area massima, supponiamo sianoto il raggio R della circonferenza in cui inscrivibile. Congiungendo il centrodella circonferenza, che per il momento supponiamo interno alln-agono, con tutti i

vertici A0A 1, A2 , ..., A n= A 0individuiamo n triangoli isosceli aventi come base i latidelln-agono e come lati obliqui proprio R. Larea delln-agono pertanto esprimibile (dopo un moderato uso del teorema di Pitagora) con:

=

=

n

i

ii aR

aA

1

2244

con la condizione che la somma degli angoli al vertice dei triangoli isosceliindividuati sia 2, cio:

22

arcsin21

=

=

n

i

i

R

a

Se invece, viceversa, il centro della circonferenza fosse esterno alln-agono, e quindipi vicino al lato a1 pi lungo, avremmo rispettivamente:

2

1

21

2

22 44

44

aRa

aRa

An

i

ii

==

, e

02

arcsin22

arcsin22

1=

=

n

i

i

R

a

R

a

Infine con centro nel punto medio del lato maggiore a1 larea sarebbe

=

=

n

i

ii aR

aA

2

224

4

.

Si noti che larea del poligono non cambia scambiando due lati: uno scambio di latiinfatti corrisponde allo scambio di due settori del cerchio (e quindi deicorrispondenti triangoli isosceli) senza che larea della poligonale chiusa cambi.Trovato quindi R (con uno dei tanti metodi numerici di calcolo delle radici di unaequazione) si in grado di trovare larea del poligono.

Tracciamo ora una circonferenza di diametro 2R=a1 e disegniamo gli altri laticonsecutivamente riportandoli con il compasso fino ad intersecare la circonferenza.Se saremo fortunati (difficile) lultimo vertice coincider con il primo e quindiavremo trovato il raggio cercato ma, molto probabilmente, arriveremo corti olunghi come nelle figure che seguono:


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La figura 1 di Trekker

Nel caso fossimo arrivati corti (figura di sinistra) dovremo aumentare il raggiospostando il lato maggiore verso lalto in modo che il primo e lultimo estremo dellapoligonale aperta si avvicinino (ed in questo caso il centro della circonferenza saresterno alln-agono), mentre nel caso fossimo arrivati lunghi (figura di destra)dovremo sempre aumentare il raggio ma spostando il lato maggiore verso il basso(ed in questo caso il centro della circonferenza sar interno alln-agono) in modo chei due estremi della nostra poligonale aperta si avvicinino.

Il primo caso (quando si arriva corti) si verifica quando ovviamente

=

n

i

i

a

a

2 1

arcsin2 .

Giusto per fare un esempio, proviamo ad applicare il metodo di risoluzione

numerica al caso del quadrilatero proposto in RM111 dove i lati hanno misurarispettivamente pari a 4,3,2 e 1 metri. Il nostro test corto o lungo genera:

>

+

+

=

=

2487.34

1arcsin2

4

2arcsin2

4

3arcsin2arcsin2

4

2 1i

i

a

a

Per quanto detto prima il centro della circonferenza sar interno al quadrilatero e

dovremo risolvere lequazione 22

arcsin21

=

=

n

i

i

R

a. Si osservi ora che il raggio

R ovviamente compreso fra a1/2=2 (altrimenti non riusciremmo a tracciare lacorda di lato a1=4) e il semiperimetro (4+3+2+1)/2 = 5 (perch in questo caso nel

diametro della circonferenza ci starebbero stesi lungo una retta tutti i lati equindi la poligonale dei lati non riuscirebbe a chiudersi). Il raggio cercato quindi compreso fra 2 e 5. Prendiamo il valor medio 7/2 e calcoliamo langolo sotteso dallapoligonale:

29685.27

1arcsin2

7

2arcsin2

7

3arcsin2

7

4arcsin2

2

72

arcsin24

1


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27

28925.3

4

112

arcsin24

1


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28

Numericamente si ottiene che R vale circa 2.1381 m e quindi larea vale

22

1

21

1

22 3072.344

44

maRa

aRa

An

i

ii =

=

invece che

23072.37451

292

292

294

29 mA =

= . Direi un buon risultato.

In sintesi: dato un n-agono di lati a1 a 2 ... a 1 (con il lato maggiore minore dellasomma di tutti gli altri)

1. Se

+

=

Ro

R

aan

i

i

cio si avvicina a zero da sopra (si ricordi che a1 minore della sommadi tutti gli altri lati). Da qualche parte quindi ci deve pur essere uno zero.

Trovato R larea massima vale: 21

21

2

22 44

44

aRa

aRa

An

i i

i=

=

Ed il centro della circonferenza esterno alln-agono.

2. Se >

=

n

i

i

a

a

2 1

arcsin2 : allora bisogna risolvere in R lequazione:

022

arcsin21

=

=

n

i

i

R

a

Si noti che la funzione continua di cui si cerca lo zero definita perRa1/2, positiva in R=a1/2 , dove ha derivata prima pari a , monotona

decrescente, e, escluso questo punto, derivabile e con limite per R chetende allinfinito pari a 2. Uno zero dovremo quindi essere in grado ditrovarlo numericamente.

Trovato R larea massima vale: =

=

n

i

ii aR

aA

1

2244

Ed il centro della circonferenza interno alln-agono.


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3. Infine se: =

=

n

i

i

a

a

2 1

arcsin2 allora2

1aR = e larea massima vale

= =n

ii

i

aR

a

A2

22

44 ed il centro della circonferenza nel punto mediodel lato maggiore.

In pratica trovando lo zero di una sola equazione in una sola variabile, il raggiodella circonferenza inscritta, siamo in grado di trovare larea massima delln-agononoti che siano le misure dei lati che lo compongono. E questo dovrebbe bastare perrisolvere tanti problemi ... pratici (relativi ai recinti).

O sbaglio?

Il Capo ha incorniciato questa trattazione e lha consegnata a sua madre, non sappiamoper cosa successo dopo, solo che Balto comunque ancora libero di andare dove vuole.

5.3 [112]5.3.1 Tra origami e tipografiaDiciamocelo, il problema era facile. Non perch avessimo altro da fare, come ha suggeritoqualcuno, ma per altre due buone ragioni: la prima, che cos anche i solutori meno espertipossono provare a cimentarsi, e la seconda che quelli pi esperti pensano che ci sia sottoqualcosa... e cos stato. Molte le soluzioni: Sam (redivivo e laureato specialistico allaNormale proprio in questo giugno: complimenti!),Drako84, Giampietro,Br1, FrancoZ,Cid, Trekker, Zar, GaS,AlexPhyse i suoi amici della Stanza33, ed ilPanurgo. Vistoche le soluzioni sono tutte molto simili ve ne offriamo una sola, ma riportiamo i commentipi interessanti, per esempio lincipit del documento word diBR1:

Buonasera, my dears DEDMG (Degni Eredi Di Martin Gardner);

Ecco; se stampate queste pagine, esse dovrebbero essere formattate per poter esserripiegate come richiesto dal quesito N1 del RM di maggio 2008 Almeno io ci hoprovato selezionando File-Imposta Pagina-Dimensioni-(Larghezza/Altezza). Poi, senon vi funziona, scrivete pure per protestare a:

Bill Gates,Richest In the World Avenue,c/o Microsoft CorporationOne Microsoft WayRedmond, WA 98052USA

... e qui il Nostro, dopo averci distratto con il saluto (le code di pavone sventagliavano

ovunque e non si vedeva pi niente) ci ha anche scioccato con una bella foto di Bill stesso.Poi continuava:

Pensando che il problema fosse troppo banale, ho inizialmente ipotizzato situazionistrane con fogli di carta a 7 lati, a 12 lati, a 17 lati Poi per ho pensato dilavorare con i fogli prescritti dal quesito, cio quelli a 4 lati; ho allora attivato ilmio generatore personale di numeri casuali per determinare le dimensioni del mioprimo tentativo empirico: volevo tentare con dimensioni a casaccio, ed venutofuori randomaticamente un foglio da 29.7 cm x 21.0 cm; poich era un foglio a 4lati, lho chiamato A4 , spero condividerete questa denominazione

BR1 ha scoperto in questa occasione che gli A4 hanno rapporto tra i lati pari a radicedue, ed ha scoperto anche valori esoterici di fogli con un lato infinito o nullo. Noi, chesiamo vanitosi ed autoreferenziali, ne approfittiamo per ricordarvi che il Capo ditipografia parla volentieri, e che ha scritto un ottimo PM in proposito in RM084.


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Lodevole anche lincipit di GaS, che prima di partire verifica cosa aspettarsi:

Prima di fare i calcoli buona abitudine cercare di immaginare il risultato chetroveremo (non ho mai insegnato ufficialmente ma, tutte le volte che ho fattoripetizioni ai ragazzi del liceo, questa la prima cosa che provavo ad insegnare,

purtroppo non sempre con successo): per L=1 la piega sar la seconda diagonale BD con una lunghezza di

sqrt(2);

allaumentare di L la piega MN intersecher i lati AB e CD in punti semprepi vicini al centro diminuendo quindi la lunghezza;

al limite, per L> , la piega tender allorizzontale e ad una lunghezzaunitaria.

Quello che ci aspettiamo, quindi, una lunghezza MN strettamente decrescente alcrescere di L e compresa tra 1,414+ ed 1. Abbiamo quindi gi trovato una soluzioneal problema: un foglio rettangolare con (almeno) una delle due dimensioni infinite

avr la propriet cercata da Rudy! Essendo carta poco maneggevole con cui fareorigami (per che belli sarebbero!) cerchiamo di trovare la seconda soluzione, quellacon entrambi i lati finiti per persone banali come Rudy.

Offendiamo? Il GC un sacco di cose, ma banale certo no. La soluzione che abbiamoscelto di proporvi quella di Zar, che tocca laltro argomento molto caro a Rudy,lorigami:

Le misure della pagina ideale di Rudy si ottengono piegando la carta: quindimolto utile ripassare gli assiomi dellarte dellorigami17, giusto per iniziare colpiede giusto. Eccoli qua, cos come sono stati formulati da Humiaki Huzita (questala versione breve, se volete quella lunga rimando il volonteroso lettore qui:http://proooof.blogspot.com/2007/04/origami.html):

1. Dati due punti, esiste ununica piega che passa per entrambi.2. Dati due punti, esiste ununica piega che li fa sovrapporre.3. Date due rette, esiste una piega che le fa sovrapporre.4. Dati un punto e una retta, esiste ununica piega perpendicolare alla retta

data che passa per il punto.

5. Dati due punti p1 e p2 e una retta, esiste una piega che porta p1 sulla rettadata e che passa per p2.

6. Dati due punti p1 e p2 e due rette l1 e l2, esiste una piega che fa sovrapporrep1 a l1 e p2 a l2.

Ne esiste un settimo, definito da Koshiro Hatori, che dice: Dato un punto p e duerette l1 e l2, esiste una piega che porta p su l1 ed perpendicolare a l2.

In seguito stato dimostrato da Robert Lang che questo sistema di assiomi completo.

Bene, a noi interessa il numero 2, che ci conferma che la costruzione di Rudy unadefinizione ben posta (avremmo mai potuto dubitare?). Ora, se pieghiamo un foglioin modo da far coincidere due punti predefiniti, otteniamo una piega che lasse(luogo dei punti equidistanti dagli estremi di un segmento) del segmento checongiunge i due punti. Se osserviamo la figura allegata, sovrapponendo A e C siottiene la piega FE, asse di AC.

17Il Capo ci riferisce di aver parlato degli assiomi nel PM di RM095, ma siamo sicuri che Zar lo sapesse..


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Allora il triangolo ABC, rettangolo in B, risulta simileal rettangolo FHE, rettangolo in E. Possiamo quindiscrivere la proporzione BC:HE=AC:FE. Se poniamoAB=1 e BC=x, abbiamo che AC=sqrt(x2+1). Ora

abbiamo due possibilit, dato che Rudy non haspecificato se la piega deve essere uguale al lato lungo oa quello corto del foglio: FE potrebbe essere uguale aAB oppure a BC. Vediamo che succede.

1 caso, FE=1. La proporzione si traduce nellequazionesqrt(x2+1)=x.

Elevando al quadrato otteniamo x2+1=x2, impossibile.

2 caso, FE=x. La proporzione diventa sqrt(x2+1)=x2.Elevando al quadrato otteniamo x4x21=0. Risolvendosi ha la soluzione x2 = (1sqrt(5))/2, impossibile, e x 2 = (1+sqrt(5))/2, una nostravecchia conoscenza (cera da immaginarselo, quando Rudy gioca con la carta non

difficile che salti fuori la sezione aurea). Quindi, se il lato corto del foglio lungo 1,quello lungo deve essere sqrt((1+sqrt(5))/2), cio la radice della sezione aurea18.

Alternativamente possiamo dire che se il lato lungo uguale a 1, quello corto laradice del reciproco della sezione aurea.

Unultima considerazione: il rettangolo centrale della figura, quello con i due lati inrosso, simile a quello grande. Se ripetiamo il procedimento di piegatura,sovrapponendo F con E, riotteniamo la diagonale AC. In pratica con i due segmentiAC ed EF possiamo costruire una successione di rettangoli simili, uno dentrolaltro, e possiamo andare avanti quanto vogliamo. Potremmo proporre il formatoallISO...

Come no. Una soluzione doppia (con due metodi, uno euclideo e laltro cartesiano) ci

arrivata da quelli di Stanza33, che scrivono:Questa volta la scrittura della soluzione a sei mani!! Non me ne sono spuntate dinuove, semplicemente ho coinvolto un paio di amici a divertirsi con Rudi, e quinditutti insieme ci firmiamo: STANZA 33(AlexPhys,Pabell,Aldidori).

Che bello il problema dellorigami! Il risultato? una bella sezione aurea rivisitata!

AlexPhys ci aveva inoltre mandato una mail precedente piena di complimenti, che noiriportiamo: Doc e Alice sono rimasti piuttosto sorpresi.

Vi scrivo non per allegarvi la presunta soluzione del secondo problema (cosa chefar domani o al pi dopodomani) ma per farvi i complimenti! e voi direte: di che?del fatto che questo mese siete stati geniali nella scelta dei problemi, nel senso che

i due problemi seppure notevolmente diversi hanno comunque nella loro soluzionequalcosa in comune ed anche molto bella: La successione di Fibonacci!

Infatti nel primo problema come sapete la soluzione in fin dei conti una sezioneaurea, ovvero il limite per n> del rapporto F(n)/F(n1) essendo F(n) ln-esimotermine della successione di Fibonacci. Invece nel secondo problema le triplette sucui scommettere per avere maggiore chance di successo (TTC,TCC,CTT,CCT)(questo un preview, vedrete presto la soluzione) sono anchesse legate allasuccessione di Fibonacci!

Il Capo si rifiutato di dirci se si trattato di un caso o no, come ci si poteva aspettare.Sempre per gli auto-complimenti, Sam, tra le altre cose, ci scrive:

18Nella sua soluzione, FrancoZ arrivato a questo punto scrive Wow, abbiamo trovato loro (o almeno, la suaradice)!.

La figura di Zar


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E poi un problema sulla sezione aurea... che, come osserv uno dei 300 concorrentia Cesenatico per le Olimpiadi di Matematica ormai 4 anni fa, sempre unarisposta sensata da tirare a caso in un problema di geometria in cui si chiede unrapporto... quanto meno se lestensore del problema ha un minimo di buon gusto.

Non potevamo non citarlo, visto che il GC si pavoneggia per il suo gusto nello scegliere iproblemi! Ed ora basta, che laltro problema era ben pi complesso.

5.3.2 Allarme rossoIl velato suggerimento del Capo di utilizzare catene di Markov stata colta da tutti isolutori di questo problema, e cio Frank Sinapsi, Trekker, Cid, Val316 e AlexPhyscon la Stanza33. Ognuno ha per percorso cammini diversi. Cominciamo da FrankSinapsi:

Nel seguito indicher testa con 0 e croce con 1, perch secondo me i simboli 0 e 1si distinguono meglio di T e C. Indicando con E linsieme di tutte le triplette (8elementi), definisco la funzione p sullinsieme ExE a valori in [0,1] in questo modo:

per ogni coppia di triplette diverse s1 e s2, p(s1,s2) la probabilit che s1 vincacontro s2 in una serie di lanci.

In effetti resterebbe da definire p(s,s), ma non ci interessa, in quanto le partitehanno senso solo tra triplette diverse.

Visto che ci sono definisco anche la funzione c: E > E nel modo seguente: per ognitripletta s, c(s) la tripletta ottenuta da s scambiando ogni 0 con 1 e viceversa. Adesempio, c(001)=110.

molto semplice verificare che valgono le seguenti propriet:

per ogni s1, s2 (s1 diversa da s2): p(s2,s1)=1p(s1,s2)

Rudi Mathematici 113 - giu 2008

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