Rudi Mathematici 081 - ott 2005

7/13/2019 Rudi Mathematici 081 - ott 2005

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Rudi Mathematici

Rivista fondata nellaltro millennio

Numero 081 - Ottobre 2005 - Anno Settimo


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Numero 081 - Ottobre 2005

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1. Idee ad Improbabilit Infinita ..................................................................................................... 3

2. Problemi....................................................................................................................................... 13

2.1 Mi vergogno un po... .............................................................................................................132.2 Quefta lettera .A. fe caua del tondo e del fuo quadro... .......................................................... 14

3. Bungee Jumpers ..........................................................................................................................14

4. Soluzioni e Note...........................................................................................................................15

4.1 [080] .......................................................................................................................................164.1.1 Q&D.................................................................................................................................164.1.2 Dal Padre di Rudy ............................................................................................................164.1.3 Una strana lotteria ............................................................................................................18

4.2 [079] .......................................................................................................................................214.2.1 Filetto Paritetico Albertiano............................................................................................. 21

5. Pagina 46...................................................................................................................................... 23

6. Perlina Matematica.......... ............ ............. ............. ............ .............. ............. ............ .............. .... 25

7. ...E questo, dove lo metto?..........................................................................................................25

Rudi MathematiciRivista fondata nellaltro millennio daRudy dAlembert(A.d.S., G.C., B.S)

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Piotr Rezierovich Silverbrahms(Doc)[email protected] Riddle(Treccia)

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Finestra di lancio: 11 Gennaio - 14 Febbraio 2006. Fly-by su Plutone: tra il 2015 e il 2020.E gli amici australiani smetteranno di essere i lettori pi lontani.


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1. Idee ad Improbabilit InfinitaI numeri sono libera creazione della mente umana

Quando il capitano Kirk apre con un gesto deciso ed elegante del polso il suotrasmettitore portatile e, guardando in tralice il Signor Spock, ordina con pacataautorevolezza: Scott, ci tiri su, compie una lunga serie di azioni importanti. Senza lapretesa di elencarle tutte, possiamo mettere in conto almeno le seguenti: svolgimento diunazione diretta nella trama dellavventura, marcamento di un cambio di scena nellasceneggiatura, attuazione di ipotesi tecnologico-scientifica, stimolazione della cortecciacerebrale del marketing management di aziende di telefonia mobile, risoluzioneimmediata di problemi di budget.

Alcune di queste sono del tutto evidenti: stretto nella sua lucida uniforme (che grazie allemagie delle previsioni retroattive riesce ad essere sia futuristica che disperatamentefuori moda), Kirk avr certo appena risolto una crisi su qualche pianeta con laiuto delfido scienziato vulcaniano, e risalendo allinterno dellEnterprise chiude, se non tuttolepisodio di Star Trek, quantomeno una fase importante della sceneggiatura. Nelcontempo, introduce il fantascientifico (e di conseguenza scientificamente affascinante etecnologicamente misterioso) processo del teletrasporto. I sagaci strumenti di Scottriusciranno in qualche maniera a scomporre le cellule, le molecole, gli atomi, forsedirettamente anche i quark e i leptoni che costituiscono il corpo dei nostri eroi e aricomporli ordinatamente nella plancia di comando dellastronave. Come questo siapossibile non ci naturalmente dato sapere: saggia abitudine della fantascienza usarela prima parte del suo composito nome per inguaiare a dovere la seconda. Talvoltaqualche autore si sbilancia ad ipotizzare dei possibili principi scientifici reali come basecostituente dellartificio narrativo (non c Macchina del Tempo che non tiri in ballo laRelativit Ristretta, ad esempio), ma questo passaggio non obbligatorio. E in fondo meglio cos, perch se gli autori di fantascienza dovessero essere troppo vincolati alleconoscenze scientifiche attuali, rischieremmo di perderci delle belle avventure a causa dimisere serie ancora divergenti o di fusioni fredde mal riuscite. Ci non di meno inevitabile richiedere agli sceneggiatori un certo grado di coerenza interna: se ilteletrasporto funziona cos bene, a cosa diavolo serve lEnterprise? I nostri eroi non

potrebbero farsi teletrasportare direttamente da una ospitale base del Texas fino algiusto indirizzo del settimo pianeta di Aldebaran?

Sono molte le ragioni (fantascientifiche) che possono giustificare lapparentecontraddizione: ad esempio, potrebbe sussistere qualche vincolo che forza il teletrasportodi Scott a funzionare solo a corto raggio; oppure magari necessaria una sorta difocalizzazione visiva, e lingegnere non pu tirare su i nostri se prima non li inquadranellobiettivo di una qualche futuristica telecamera. Il punto essenziale comunque cheun telefilm ha regole interne pi stringenti di quelle che possono liberamenteimmaginare gli autori della sceneggiatura: la scena menzionata allinizio ha certo un suofascino filmico e narrativo, e sospettiamo fortemente che i signori della Motorola celavessero bene in mente quando, qualche lustro fa, misero in commercio il loro telefonocellulare piccolo e richiudibile proprio come il trasmettitore del Capitano Kirk: nonabbiamo il conforto di prove sicure, ma gi laver chiamato quel prodotto Star Tac ci

sembra che basti a palesare il debito di figliolanza con il dispositivo di Star Trek.Soprattutto, un film di fantascienza ha dei costi da rispettare e delle regole di spettacoloda mantenere: inconcepibile che unastronave colpita non esploda senza il boatoregolamentare (e spesso, con tanto di fumo e fiamme), anche se non molto chiaro comefacciano le onde sonore ad attraversare il vuoto cosmico dello spazio profondo; alla stessamaniera, decisiva linterferenza sulla sceneggiatura imposta dalla produzione


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(Settantamila dollari per un paio di scene di atterraggio e decollo da un pianeta? Masiamo impazziti? Inventate un sistema pi economico!)1.

La penna (o meglio la tastiera) degli autori di romanzi ha meno vincoli di quella deglisceneggiatori, ma non per questo gode di libert assoluta: latroce lentezzadellinsuperabile velocit della luce costringe a particolari virtuosismi anche i narratori

che non devono fare i conti con lavarizia dei produttori di Hollywood. Si passa cos daigenerici Via, pi veloci della luce! urlati da Superman (che non ha bisogno di spiegare anoi terricoli come ci riesca), ad artifici pi consolidati, quali il celeberrimo saltonelliperspazio che i primi2autori giustificavano in maniera pi o meno blanda, mentre ipi recenti si limitano a considerare uno standard acquisito usandolo a mani basse.Lidea di base che il continuum spaziotemporale relativistico avr certo le sue ferreeregole, solide quanto le pareti divisorie dun complicato labirinto bidimensionale, manessuno impedisce alla fantasia fantascientifica di immaginare di poter fare un salto inuna dimensione superiore, buttare uno sguardo in basso (come se potessimo saliresullasse zeta e guardare dallalto il labirinto di cui sopra) e ridiscendere direttamentenella destinazione desiderata, a dispetto dei lunghi e stretti corridoi del dedalo. unartificio talmente usato che nella letteratura fantascientifica ormai difficile trovaredelle alternative,: in genere, o si salta nelliperspazio o ci si appella a poteri mediaticiparticolari, che in genere sono pi psichici che tecnologici3. In fondo Harry Potter nondovrebbe aver bisogno di un motore positronico, se un bel giorno decidesse di farsi un giroallaltro capo della Galassia.

Esiste per una descrizione sorprendente dun sistema di trasporto alternativo sia alteletrasporto che al salto nelliperspazio che si basa su principi fisici non meno probabilidei classici artifici della science fiction: ha il solo difetto di essere descritto in una serie dilibri spudoratamente divertenti e dissacranti, e forse a causa di ci non viene preso indebita considerazione scientifica4.

Tutto nasce dallequazione di Schrdinger. Lequazione base della Meccanica Quantisticadescrive il comportamento placidamente ondulatorio duna particella libera, ma laccortoinserimento della costante di Planck al suo interno genera delle sorprese quando laparticella in esame non pi libera, ma sottoposta a dei vincoli. Non appena siintroducono questultimi, lequazione riduce drasticamente la libert ondulatoria della

nostra particella e la limita a dei valori ben definiti, quantizzati, di energia. E divincoli, nella vita delle nostre povere particelle, ce ne sono a bizzeffe: avendo questelinsana abitudine di interagire le une con le altre (e con diversi tipi di interazione, pure), inevitabile finire con lanalizzare il comportamento della nostra eroina quando inprossimit di sistemi di altre particelle. Tutto ci si traduce, dal punto di vista deglistudenti, nello studio dellEquazione di Schrdinger in particolari situazioni fisiche(barriere o buche di potenziale, o altre situazioni del genere); e in termini di illustrazionididattiche conduce ad una pletora di grafici pieni di buche da golf, di montagnole e grandimuraglie stilizzate, diligentemente decorate con righe orizzontali e parallele (i livelli dienergia), che popolano le pagine dei testi di fisica quantistica e nucleare. Questi disegni

1I settantamila dollari sono una nostra pura licenza narrativa, ma che il teletrasporto di Start Trek discenda daproblemi di budget pura verit. Questa e molte altre divertenti osservazioni (per lo pi di natura scientifica) letrovate nel libro di Lawrence M.Krauss La Fisica di Start Trek (The Physics of Star Trek), Longanesi, 1996.Euro 14,46.

2 Per quel che ci ricordiamo il primo autore a farne uso potrebbe essere stato Isaac Asimov, nel ciclo dellaFondazione. Ma non ne siamo affatto sicuri, e a dire il vero in redazione c discordanza di opinioni. Il GC convinto che John Campbell Jr. lo avesse gi introdotto in Aarn Munro il Gioviano, ad esempio.

3Il nostro maggiore esperto nel campo (sempre il GC) ritiene che difficile sia parola un po troppo impegnativa:allappello rispondono in fretta la propulsione libera di E.E.Doc Smith, la Blieder di Eric Frank Russell, eprobabilmente molte altre ancora.

4 Insomma, scientifica nel senso fantascientifico del termine. Non che sia pi realizzabile del saltonelliperspazio: ma riteniamo che non sia neppure meno realizzabile.


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dovrebbero mostrare al discente perch la pallina in fondo alla buca da golf non riesca asaltare fuori, o cosa potrebbe invece succedere se davvero riuscisse alla fine a superare lamuraglia. La questione potrebbe apparire non troppo affascinante5, ma ci sono almenounaltra coppia di fattori che la rendono decisamente avvincente. Il primo fattore linterpretazione probabilistica della meccanica quantistica, che introduce unalea

permanente e decisamente intrigante nel rigore matematico: le equazioni riescono a dircisempre quali sono le probabilit di posizione duna particella, ma si rifiutanotestardamente di darcene la certezza assoluta. Possiamo pertanto anche calcolare qualesia la probabilit che la particella si trovi non in fondo alla nostra buca da golf (dove peraltro labbiamo messa noi per definizione), ma dallaltra parte dellUniverso. La magia stanel fatto che questo valore quasi sempre infinitamente piccolo, ma pur sempre diversoda zero, il che esattamente quanto basta ai bravi autori di fantascienza.

Laltro elemento importante nelleconomia del brivido quantistico quello cheautorevolmente va sotto il nome di Principio di Corrispondenza: Niels Bohr lointrodusse per dirimere una questione sullirradiamento delle cariche accelerate, ma inbuona sintesi il principio afferma che quello che vale per la MQ deve valere anche per lafisica classica (e viceversa), fatti salvi i problemi di scala. Le conseguenze delle duecondizioni sono esplosive: linterpretazione probabilistica applicata ad una particella chesi trovi a sinistra duna barriera di potenziale fa in modo che esista una probabilit benprecisa che essa possa superarla e comparire qual fantasma alla sua destra, pur senzamai avere lenergia necessaria a superarla; non a caso la situazione descritta conleloquente nome di effetto tunnel. Il Principio di Corrispondenza induce inveceimmediatamente negli studenti il desiderio di capire che probabilit abbiano diriemergere sani e salvi a Chamonix se si lanciano a bordo della Panda contro il massicciodel Monte Bianco dalle parti di Courmayeur6. Il risultato del calcolo tale da dissuaderequalsivoglia verifica sperimentale, ma ci che in ultima analisi veramente istruttivo che tale probabilit, per quanto spudoratamente piccola, ancora una volta finita ediversa da zero.

Quando il lettore incontra per la prima volta la Cuore dOro nelle pagine della GuidaGalattica per gli Autostoppisti di Douglas Adams, non detto che si renda subito contoche la splendida astronave viaggi per la Galassia grazie a principi fisici del tutto analoghia quello sopra descritto. Normalmente distratto dal fatto che la forma della nave quella di una scarpa da tennis, oppure che essa sia il risultato dun furto perpetrato daun improbabile Presidente della Galassia, o magari deve ancora riprendersi dallo shockcausato dal fatto che lamato pianeta Terra stato spazzato via a pagina 29 (della primaedizione italiana) per consentire la costruzione duna tangenziale spaziale7. Eppure laPropulsione ad Improbabilit Infinita si ispira sostanzialmente a principi quantisticireali almeno tanto quanto il Salto nellIperspazio si ispira a pieghe teoriche dellaRelativit Generale. Il fatto che lImprobabilit Infinita venga poi utilizzata nella storiaanche per usi complementari quali sfuggire alla minaccia di due missili termonucleari(trasformandoli uno in un capodoglio e laltro in un vaso di petunie), o per salvare dueprotagonisti da morte certa nel vuoto interstellare, mostra solo la genialit del principiodi economia narrativa attuato dallautore.

5E invece lo , e molto anche. Se non lo sembra, solo colpa di chi scrive (e un po anche del fatto che non facilissimo raccontare la meccanica quantistica in venti righe).

6Il calcolo diventa interessante solo se si mette come condizione al contorno quella di evitare accuratamente diimboccare lingresso dellesistente traforo autostradale.

7Shock causato solo dal fatto che in fantascienza, se la Terra protagonista del racconto, essa finisce di solitoper trionfare, o al massimo con lessere tragicamente distrutta alla fine della saga, non certo allinizio e per futilimotivi. Ma comunque shock ingiustificato da parte del lettore: la vera tristezza arriva pi tardi, quando siscopre che il nostro pianetucolo in realt il pi grande calcolatore dellUniverso, costruito su commissione pertrovare la Domanda Fondamentale alla Vita, allUniverso e a Tutto Quanto. E che aveva appena finito ilprogramma e risolto la questione (ma senza aver la possibilit di annunciare la cosa), giusto un attimo primadessere ricondotto al nulla assoluto.


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Douglas Noel Adams ha generato unautenticamitologia moderna, con la sua saga8 della GuidaGalattica per Autostoppisti, e la sua popolarittrascende ampiamente i limiti ristretti del pubblicodella fantascienza. Per quanto noto soprattutto nei

paesi di lingua anglosassone, la sua fama diffusa inmaniera estensiva in quasi ogni gruppo di personeamanti della scienza, al punto che Wikipedia dedicavoci non solo allo scrittore in s, ma anche a moltedelle idee scaturite dai suoi romanzi. Del resto, sufficiente avere un po di familiarit con la serie dellaGuida Galattica e un buon motore di ricerca perstupirsi di quanto abbiano proliferato alcune sueinvenzioni: non quasi pi possibile chiedere unnumero a caso senza che ci si senta inevitabilmenterispondere Quarantadue, e su tale numero (cheindubitabilmente , per gli ignari non-iniziati, laRisposta Fondamentale alla Domanda FondamentaledellUniverso) sono stati versati i proverbiali fiumi di

inchiostro; sono centinaia i siti che ne discettano, ealmeno una decina quelli che hanno direttamente 42 nella URL. Uno dei primi e pifamosi strumenti per la traduzione online disponibili in rete si chiama Babel Fish, e conbuona pace della Torre di Babele di biblica memoria, il nome discende direttamentedallanimaletto traduttore che ogni bravo cittadino della Galassia alleva nel suo orecchioper poter comprendere le lingue aliene. Uno dei pi potenti e celebri calcolatori statobattezzato Deep Thought9, e Pensiero Profondo un elemento fondamentale dellasaga di Adams. Rispettabili ricercatori universitari e insospettabili professionistimostrano una strana patologia nei confronti del Gioved, e per di pi se ne vannoorgogliosamente in giro con un asciugamani celato nella ventiquattrore, specialmentedurante un ben preciso giorno dellanno (il Towel Day10). E la lista potrebbe davverocontinuare a lungo11.

8Riepilogo ad uso dei fortunati che ancora non la conoscono: Guida Galattica per gli Autostoppisti (The HitchHikers Guide to the Galaxy), Ristorante al Termine dellUniverso (Restaurant at the End of the Universe),LUniverso, la Vita e Tutto Quanto (Life, the Universe, and Everything, Addio e Grazie per Tutto il Pesce(So Long and Thanks for All the Fish), Praticamente Innocuo (Mostly Harmless), tutti pubblicati a suo tempoda Urania e ampiamente ripubblicati (almeno i primi tre). Notevole anche il ciclo di Dirk Gently, investigatoreolistico, del quale per non ci risulta mai tradotto il titolo The Long Dark Tea-Time of the Soul (con Thor che siirrita molto al check-in di Heatrow), come forse non ha mai avuto traduzione italiana Titanic, uno dei suoiultimi romanzi (ma anche un gioco). invece reperibilissimo Il Salmone del Dubbio, raccolta non troppoorganizzata degli ultimi scritti dei Adams, ma considerata quasi un testamento spirituale dai fans.

9Si tratta del pap di Deep Blue, celebre per essere stato il primo computer in grado di battere un campionedel mondo di scacchi (Garry Kasparov). Deep Thought fu progettato alla Carnegie Mellon University, e quandoil progettista principale (Feng-hsiung Hsu) pass allIBM, la sua evoluzione perse il pensiero per assumere ilcolore del marchio della multinazionale. Lulteriore evoluzione di Deep Blue venne ufficiosamente chiamataDeeper Blue.

10Questanno il Towel Day era il 25 Maggio, e la data confermata anche per il 2006. Il vostro misero narratore

ha realmente intercettato un palese indizio di affetto e stima da parte del burbero Gran Capo di RM quandoquesti, nel Maggio scorso, gli ha donato uno splendido piccolo asciugamani arancione da borsa. Naturalmente, loporto sempre con me, sopra il laptop e vicino al coltellino svizzero.

11 Tanto per restare nel nostro piccolo mondo di RM, luscita del film derivato dalla Guida Galattica perAutostoppisti ci stato segnalato per tempo da almeno tre RMers (prima ancora che uscisse ledizione italiana),cosa che probabilmente spiega come mai non sembra essere stato speso neanche un centesimo in promozionetradizionale per la pellicola. Del resto, il film probabilmente in grado di essere apprezzato solo dai fan chehanno letto i romanzi, e la produzione deve aver fatto affidamento sul passaparola. Ma, film a parte, la saga diDouglas Adams sembra essere un fil rouge sotterraneo dato per scontato in qualsiasi comunit anche solovagamente scientifica. In una sola giornata di Settembre, senza preavviso n accordo, ci sono arrivate: da Alicelinformazione che aveva terminato la lettura della saga, da PuntoMauPunto una recensione sul suo blog; da unvecchio compagno duniversit unelegia a favore della regia del film. E, proprio quando avevamo deciso di


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Se il successo di Adams indubbiamente dato dalla sua capacit di essere divertente, cheil suo pubblico sia in qualche modo riconoscibile dipende probabilmente dal fatto chesono davvero rari gli autori che riescono a divertire con la scienza. Per quanto assurde eparadossali possano essere le sue trovate, il lettore non ha difficolt ad intuire chelautore stesso un dilettante informato, con in pi il talento invidiabile di saper

estrarre il senso del comico dalle fantasie scientifiche. Occorre essere informati perconoscere lesistenza del moto disordinato degli atomi causato dallagitazione termica;occorre essere fantasiosi per immaginare che nel futuro questo moto disordinato possaessere in qualche maniera governato e indirizzato; bisogna essere dei geni della narrativaper ipotizzare che le prime applicazioni della scoperta siano i tentativi degli studentiricercatori di far muovere allins tutte le molecole delle gonne delle compagne di corso.

Adams divenne12 rapidamente noto e apprezzato anche negli ambienti della scienzaseria, ed divertente leggere di come un entusiasta della scienza riuscisse a cambiareruolo e a diventare una star proprio per coloro che profondamente ammirava 13. Uno deisuoi migliori amici era Richard Dawkins, il biologo della teoria del gene egoista, chenellelogio funebre rivela che notizia della morte di Douglas gli giunse proprio il giorno incui veniva ufficializzata la sua ammissione alla Royal Society; e di come lambtocoronamento duna vita dedicata alla scienza gli risultasse terribilmente sminuito difronte alla perdita di un amico come Adams. Dawkins racconta poi della sorprendentecapacit che Doug aveva di trattare in maniera divertente argomenti tuttaltro chebanali e di grande importanza proprio per la vita, luniverso e tutto quanto, come ilcelebre apologo della pozzanghera:

Immaginate che una pozzanghera si svegli al mattino e cominci a pensare:

Questo nel quale mi trovo un mondo davvero interessante: il buco nel quale mitrovo stupefacente, mi si adatta abbastanza bene, visto? Anzi, a dirla tutta mi

si adatta incredibilmente bene, e questo dimostra che stato creato apposta per

contenere me!. Questidea cos potente che, sebbene il sole cominci ad alzarsinel cielo, laria a riscaldarsi e, gradualmente, la pozzanghera cominci ad

asciugarsi e a diventare sempre pi piccola, lei continui freneticamente ad

appellarsi alla nozione che tutto sta andando bene, perch quel mondo stato

creato appositamente per contenerla: e quando alla fine arriva il momento fatale

in cui la pozzanghera svanisce del tutto, questo la coglie abbastanza di sorpresa.Credo che questa storia debba esserci di monito.

un esempio, purtroppo abbastanza raro,di quello che si potrebbe definire laico sensocomune. Adams era stupito dal fatto che di alcune cose fosse difficile parlare, perchuna sorta di specifica cortina sembrava calarsi sugli argomenti fondamentali: si entravafin troppo facilmente in territori in cui fede e ragione entrano rapidamente in conflitto, esi rattristava del fatto che, probabilmente per un eccesso di political correctness, fossedavvero complicato mettere in discussione le cose realmente importanti dei nostri tempi.

riposarci sfogliando DEV (una rivista molto tecnica per programmatori seri che il sottoscritto non dovrebbeleggere perch lultima vera riga di programma lha scritta dieci anni fa: ma siccome ci trova anche le pagine diconsiderazioni e i giochi matematici di Luigi, RMer e ottima penna, quel sottoscritto di cui sopra ben contentodi comprarla), troviamo che proprio di Adams e delle sue celebri tre leggi Luigi ha deciso di scrivere questomese. Sono cose come queste che fanno pensare che dedicare due o tre pagine di compleanno di RM a Douglas

Adams sia pi o meno come cercare di spiegare la sabbia ai beduini.12 Il passato remoto necessario: Adams morto nel 2001, allet di 49 anni. Che ci crediate o meno, lamaggioranza dei suoi lettori ha confessato, non appena conosciuta la notizia, di aver cercato di calcolare let delnostro al momento della morte, temendo fortemente che fosse di 42 anni.

13 Un suo celebre intervento al Digital Biota 2 comincia con losservazione: Questo discorso era statoinizialmente programmato come dibattito solo perch ero un po emozionato allidea di venire qui: non avevotempo di preparare alcunch e, in un consesso di cos alti luminari, mi chiedevo cosa mai avrei potuto dire. Maun paio di giorni qui mi sono bastati a capire che non siete altro che un mucchio di tizi normali. Proseguivapoi con una delle sue battute di presentazione preferite: C una cosa che non ha certo alcun significato, ma dicui vado estremamente orgoglioso: sono nato a Cambridge nel 1952 e le mie iniziali sono DNA [la doppia elicadellacido desossiribonucleico stata scoperta nel 1952 a Cambridge].


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Laneddoto della pozzanghera serviva solo a spiegare la posizione di chi, come lui,riteneva che se luomo ad essere perfettamente adattato alla Terra e non viceversa(come diversi libri sacri sembrano sostenere), forse non il caso di fare troppoaffidamento su poteri e grazie esterne per prendersi seriamente cura del nostro pianeta.Adams non era certo un teista, anzi, ma le cose che diceva le poche volte che parlava

seriamente non dovrebbero suonare blasfeme alle orecchie di nessuno. E, tanto percontrastare un po la comune opinione che tutti gli atei siano privi di ricchezza spiritualee di afflato poetico, riportiamo anche questo altro estratto:

Il mondo cos totalmente disordinato, complesso, ricco e strano da essere

assolutamente incredibile. Lidea che una tale complessit possa sorgere non solo

da una totale semplicit, ma probabilmente dal nulla assoluto lidea pi

favolosa e straordinaria che si possa concepire. E quando si percepisce anche

soltanto vagamente come tutto questo possa essere accaduto, beh, una

sensazione semplicemente meravigliosa. E lopportunit di trascorrere 70 o 80

anni di vita in un tale universo la considero tempo ben speso, per quel che mi

riguarda.

Adams era uninguaribile ottimista, e il tempo concessogli stato decisamente inferioreai settanta od ottanta anni di vita che citava. Ma gli sopravvivono i suoi libri e, come

abbiamo visto, sopravvivono molte sue idee, che sembrano aver trovato vita indipendenteanche dai romanzi che inizialmente le contenevano. Questa sopravvivenza delle idee,abbastanza curiosamente, riconduce di nuovo al suo amico Dawkins: forse spaventato (omagari solo rattristato) dalla crudelt della sua teoria del gene egoista che riduce gliesseri viventi a poco pi di mere macchine biologiche progettate per la sopravvivenza deigeni, sostiene in uno dei suoi saggi che lavvento delle civilt caratterizzato dalladiffusione e prolificazione dei memi, che altro non sono se non le idee condivise. Adifferenza dei suoi lavori di biologia, questa teoria squisitamente filosofica: il suofascino sta proprio nel prefigurare i prodotti essenziali della mente umana, ovvero leidee, come compagni e ad un tempo concorrenti con i geni nella lotta per lasopravvivenza. Le idee si trasmettono e si evolvono in maniera pi rapida di quantoriescano a fare i geni, e cambiano lambiente in maniera forse pi radicale: a benpensarci, tutta la nostra esistenza marcata da memi fortissimi e condivisi in maniera

cos profonda da non apparire pi come creazioni, ma come entit oggettive eindipendenti. I sentimenti, i principi, le regole, il denaro, il potere, le scienze e le religionipossono rientrare tutte nella definizione di meme, lasciandone fuori solo i meccanismibase della mera sopravvivenza biologica.

Pi di altre discipline, la matematica essenzialmente scienza di idee: libera dallanecessit di confrontarsi con il mondo fisico (anche se non disdegna affatto di farlo), unterritorio perfetto per i cacciatori e creatori di idee. Tra i matematici esistono razzediverse di indagatori: ci sono coloro che affrontano problemi difficili e complessi, quelliche cercano raccordi e tratti dunione tra una parte e laltra della teoria, e ci sono anchecoloro che scavano a fondo nelle idee primigenie, alla ricerca dellessenza ultima deifondamenti: le idee madri delle idee, in un certo senso. Non che questa sia una categoriadi matematici pi meritevole delle altre: alla fin fine, piantare un nuovo seme diimportanza fondamentale, ma resta comunque attivit sterile se non c chi poi si prendacura del germoglio. per spesso sorprendente come labitudine a considerare nota eormai acquisita unidea conduca a sorprese quando si tenti di verificarne i principi dibase.


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Un matematico interessato a questoarduo aspetto della sua disciplina stato Julius Wihelm RichardDedekind, nato a Brunswick il 6Ottobre 1831. Brunswick (o meglio

Braunschweig, per restare fedelialla grafia tedesca) la citt che nel1777 dette i natali anche a Gauss, eche sembra pertanto essere ottimovivaio per le menti matematiche.Curiosamente, il legame traDedekind e Gauss ancora pistretto di quello dato dalla meracittadinanza: si incontrarono infattia Gttingen, dove Gauss insegnavae Dedekind arriv come studente. Ilfatto che Richard fosse poi propriolultimo di quelli che oggichiameremmo tesisti del principe

dei matematici colpisce soprattuttoa causa dellestensione temporalecoperta da questo rapporto docente-discente. Gauss nasce dodici anniprima della Rivoluzione Francese,Dedekind morr durante la Prima

Guerra Mondiale: quasi un secolo e mezzo di densissima storia europea coperti da un solopassaggio di consegne matematico.

Se la figura di Gauss risplende per la grandissima fama che egli ebbe durante tutta lasua carriera, quella di Dedekind caratterizzata quasi dallesatto opposto. indubbioche Richard venne rapidamente considerato uno dei pi grandi matematici del suotempo, ma la sua vita privata sempre rimasta in secondo piano, al punto che si lamentaancora lassenza di un biografo ufficiale di Dedekind, o quantomeno di una biografia

dettagliata al di fuori di quelle accademiche redatte in tedesco. Esiste un esempioclamoroso a conferma di questa sorta di invisibilit: ledizione del 1904 del Calendariodei Matematici14di Teubner riportava puntigliosamente la data di morte di Dedekind: 4Settembre 1899. Se non che il nostro era invece ancora brillantemente in vita, e si divertmoltissimo nel leggere la data della sua dipartita: prese carta e penna e indirizzalleditore un messaggio affermando che il giorno e il mese potevano forse essere anchegiusti15, ma lanno era certo sbagliato: in quella data fatidica, a giudicare da quantoriportato nel suo diario, aveva anzi avuto una animata e piacevole conversazione con ilsuo amico Georg Cantor.

Lepisodio indicativo almeno per due aspetti: il primo proprio lassoluto amore per ladiscrezione, che si sublima in quello che Bell chiama il grande mistero di Dedekind:come possibile, si chiede lo storico inglese, che mentre le migliori Universitassumevano come docenti persone indegne di allacciargli le scarpe16, Dedekind

decidesse di rimanere per mezzo secolo a ricoprire il modesto incarico di insegnante allaScuola Tecnica Superiore di Brunswick? La speranza naturalmente che la situazione

14Un calendario che riportava i dati biografici dei pi celebri matematici della storia. Pare fosse molto bello,secondo soltanto ad un altro pubblicato circa un secolo dopo.

15 Non lo furono: Dedekind lasci la proverbiale valle di lacrime il 12 Febbraio 1916. Il 4 Settembre statoinvece fatale a Cassini III (troppi astronomi, in quella famiglia) e a Riesz.

16 La locuzione tra virgolette perch proprio del Bell, non nostra. Noi avremmo detto probabilmente dipeggio, ovviamente.


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sia stata dettata da una serena e autonoma scelta di vita, e non da feroce miopia da partedei magnifici rettori degli atenei. Il secondo aspetto che si legge tra le righe dellepisodiodella sua prematura morte annunciata il fatto che Dedekind fosse regolarmente sceltocome amico e confidente da alcuni dei matematici pi geniali di tutti i tempi. Se nel 1904conversava e beveva cognac con Cantor17discettando di sistema e teoria nel giorno della

sua presunta morte, anche bene rammentare che Dedekind fu anche e soprattutto ilmiglior amico di Riemann. E solo per aver raccolto e classificato le carte del genioprematuramente scomparso meriterebbe la gratitudine di intere generazioni dimatematici. Certo non fu solo la consapevolezza dellimportanza dei lavori dellamico adindurlo a salvare quante pi carte possibile dalloblio; cera certo anche molto sentimentoprivato, in quella dedizione. Anche se pi giovane di cinque anni, Richard Dedekind silaure insieme a Bernhard Riemann18nel 1854, e sei anni dopo lo reincontriamo mentrelo accompagna in occasione dellelezione allAccademia di Berlino; e gli fu spesso vicinoanche negli ultimi giorni, convincendo infine la vedova di Riemann ad affidargli almenouna parte delle preziose carte del marito. Del resto, Dedekind non era nuovo al lavoro diraccolta ed edizione delle opere dei suoi grandi predecessori: oltre a quelli di Riemann,raccolse e cur le edizioni anche dei lavori di Dirichlet e di Gauss.

Nel 1862, la sua scuola di Brunswick (Collegium Carolinum) viene promossa al rango diScuola Tecnica Superiore (Polytechnikum), ma laccresciuto prestigio non potevacomunque competere con quello della rinomatissima Gttingen, dove Dedekind aveva lacattedra. Ciononostante, il nostro fece i bagagli e torn nella sua citt natale,insegnandovi per trentadue anni e godendosi l la pensione per altri ventidue. A voleressere fantasiosi e romanzeschi, si pu notare che il 1862 fu anche lanno in cui i malannicominciarono a costringere Riemann a viaggiare continuamente verso i pi ameni climiitaliani, e forse il fatto che Gottingen risultasse orfana del suo amico potrebbe averinfluito sulla decisione di Dedekind di far ritorno alla citt natia. In ogni caso, anche sespostato alla periferia dellimpero matematico tedesco, Richard non cess di esplorare iquesiti dei fondamenti della matematica, anzi.

I suoi meriti principali si trovano in due questioni profondamente essenziali dellascienza dei numeri: anzi, pi propriamente, sulla vera e propria natura dei numeri. Unadi queste strettamente apparentata (guarda caso) con i lavori di Cantor, e va sotto ilprofetico nome di Teoria degli Ideali. Dedekind la presenta nella terza edizione del suotesto Sulla Teoria dei Numeri Interi Algebrici19, e apparentemente non dovrebbe averetroppo a che spartire con gli insiemi infiniti, perch nasce soprattutto per costringere inumeri interi algebrici alla scomposizione unica in numeri primi. Questo tentativo vieneaffrontato proprio tramite la semplice definizione in classi: tutti i numeri che vengonoesattamente divisi da 2, ad esempio, vengono ricondotti alla Classe Ideale indicata dalsimbolo (2), e cos via. Lo studio procede poi allanalisi delle classi stesse e nelle lororelazioni di inclusione: ad esempio, ovvio che (2) include (8), perch tutti gli elementi di(8) appartengono anche a (2). Dedekind procede allora alla costruzione di una vera epropria algebra degli Ideali in cui il criterio elementare di divisibilit dei numeri vienetrasformato in quello di inclusione in classi. Da questo piccolo germe nasce tutta una

17 Non si trattava di un incontro occasionale. Dedekind conosce Cantor nel 1874 in Svizzera, ed il primomatematico a riconoscere limportanza del lavoro sui transfiniti del genio di San Pietroburgo. Difender contenacia le teorie cantoriane dalle feroci critiche di Kronecker in un periodo in cui la maggior parte deimatematici invece propensa a considerarle pazzesche. Non improbabile che senza il suo autorevolecontributo in proposito le idee di Cantor avrebbero potuto aver vita ancora pi difficile di quella che hanno giavuto.

18Non era Dedekind ad essere precoce, ma Riemann ad essere distratto. Come raccontiamo nel suo compleanno(Pellegrinaggio a Thule, RM68), aveva gi iniziato le sue peregrinazioni da matematico di professione quasidimenticandosi il dettaglio burocratico della discussione della tesi di laurea.

19ber die Theorie der Ganzen Algebraischen Zahlen, 1874.


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teoria complessa20 che conduce anche alla generalizzazione ed estensione algebrica delteorema fondamentale dellaritmetica. Curiosamente, ma forse non troppo, una teoriache deve confrontarsi con il concetto di insieme infinito, che tanto angusti Cantor, e congli arcigni numeri primi, territorio di studio di Riemann. Quasi non fosse ancorapienamente soddisfatto della cosa, Dedekind nel 1882 pubblica uno studio in cui mette in

relazione la sua Teoria degli Ideali con le Superfici di Riemann.Nonostante gli Ideali di Dedekind bastino a far comprendere loriginalit di pensiero delmatematico di Brunswick, la sua fama probabilmente legata pi ad unaltra idea, che siincontra pi facilmente nei libri di testo: quella del taglio che da Dedekind prende ilnome. Lo si pu vedere come un vero e proprio tentativo di giustificare lesistenza deinumeri irrazionali, e se la sua definizione suona un po artificiosa agli studenti di liceoche, sapendo benissimo come calcolare il prodotto di due radici, si stupiscono dellanecessit di uninvenzione cos cerebrale, questo dipende dal fatto che labitudine allamanipolazione dei simboli corrompe il senso critico. La radice di due viene facilmentemoltiplicata, sottratta, addizionata da qualsiasi liceale che abbia imparato ad eseguire gliesercizi del libro di testo delle medie, ma ci non toglie che fior di matematici 21dubitinotout court della sua esistenza. Il dilemma reale e tuttaltro che banale, non appena ci sisoffermi a pensare un po a cosa significhi davvero manipolare un numero come laradice di due. In fondo, possediamo bene solo i naturali: ogni estensione successiva costauna certa fatica intellettuale. I Greci pi antichi erano restii a considerare luno comeautentico numero, perch nello stesso concetto di numero vedevano implicito il senso diquantit plurale; lo zero ha richiesto quasi duemila anni, da tempi di Pitagora in poi,prima di conquistare piena cittadinanza numerica; e poi gli interi negativi, e cos via. Magi ai tempi di Pitagora si nuotava agilmente nel mare dei razionali, mentre la scopertadegli irrazionali gener il panico: rinunciare allidea di numero come rapporto digrandezze era ostacolo troppo elevato, a quei tempi.

Del resto, ancora oggi, come si pu immaginare di poter trattare qualcosa che non siconosce fino in fondo? Nel trasformare una frazione in un numero decimale facileincontrare una sequenza infinita di cifre dopo la virgola, ma il loro comportamento notoe conoscibile. In qualche modo, la regolarit della ripetizione dei decimali sembragarantire la possibilit di vedere il numero fino allinfinito, e questo sembra legittimarele azioni degli operatori algebrici. Ma un irrazionale rimane ignoto, quando loconsideriamo come numero decimale, come numero puro. E allora come si pu pretenderedi operare con lignoto? Radice di due per radice di sette uguale radice di quattordicisembra avere la stessa identica dignit di 2x7=14, eppure la prima uguaglianza richiededelle enormi supposizioni sul comportamento dellinfinito matematico. un po lo stessodiscorso che ricompare quando osserviamo anche solo la maniera che abbiamo perchiamare i numeri: gli interi hanno nomi propri, vere etichette non diverse da nomi comeGiovanni o Elisabetta, salvo il fatto che i numeri grandi riciclano posizionalmente i nomidei numeri bassi. Gi i razionali sono definiti un maniera diversa, operativa: unmatematico del ventesimo secolo22in unintervista dichiar di essere rimasto folgorato, daragazzino, quando cap che 2/3 poteva davvero essere considerato un numero pienamentedefinito, e non solo come unoperazione da svolgere che nascondeva il vero numero0,66666; e quando, tutto entusiasta, prov a trasmettere la sua scoperta ai compagni edamici rimase frustrato nel constatare che la sua illuminazione non sembrava affatto

colpire limmaginazione altrui. Gli irrazionali sono definiti sempre tramite operazioni picomplesse delle mere divisioni e per di pi negano la soddisfazione di lasciarsi conoscereappieno: sono infinitamente approssimabili, certo, ma proprio nel concetto diapprossimazione e nel solito e terribile avverbio infinitamente che si cela il mistero.

20Non necessariamente complessa in senso assoluto: certamente troppo difficile, per, per chi scrive le righe diquestarticolo.

21Come Kronecker, appunto. E non che stesse tentando di schivare i compiti in classe.

22Ci sembra fosse Timothy Gowers, ma prendete laffermazione con ampio beneficio di inventario.


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Dedekind inventa il taglio per ricondurre gli irrazionali nella retta continua dei reali.Sembra un artificio da poco, eppure aggira linfinito con un infinitesimo (limpalpabilespessore del taglio fra due numeri razionali), introduce il concetto di classe nelladefinizione (la classe dei numeri inferiori al taglio, la classe di quelli superiori), e riempiegli interstizi formati dai numeri razionali iniettando il fluido onnipresente degli

irrazionali.Sembra quasi pi fantascienza che matematica.

I tagli di Dedekind non sono pi considerati esenti da critiche dalle moderne definizionimatematiche, e il problema che resiste ancora sempre quello di sempre: infinito ancora sinonimo di ignoto, e non solo in matematica. Ma restano comunque un potentestrumento di immaginazione, degli esaltatori di immaginazione anche se forseformalmente non perfetti, per continuare a leggere nella retta dei reali la continuit chesiamo abituati a vederci.

Soprattutto, sono unidea. E se nella foresta matematica rassicurante vedere coloro chestudiano con tenacia per tutta la vita un solo albero, se esaltante vedere quegli acrobaticha saltano di ramo in ramo aprendo nuove vie che erano rimaste nascoste per andare daun punto allaltro della selva, anche vero che osservare coloro che, come RichardDedekind, rimangono ancorati al terreno provando continuamente a far crescere nuovepiantine, cosa che lascia semplicemente stupefatti. Sono matematici, sono uomini chehanno un fascino del tutto particolare: quello dei seminatori diidee.


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2. ProblemiRudy

dAlembertAlice Riddle

Piotr R.

Silverbrahms

Mi vergogno un po...

Quesfta lettera .A. fecaua del tondo e del

fuo quadro...

2.1 Mi vergogno un po...Perch ci faccio la figura dello scemo. Ma ormai sono passati sei anni, quindi hoimparato a conviverci.

Era il Febbraio del 2000, questa rivista procedeva con metodi sostanzialmenteartigianali (meglio: primitivi) e il vostro problemista preferito girellava in Rete,quando finito su un sito che aveva un problema; la cosa interessante era la frasein cima: Al primo solutore, entro Agosto 2000: cento dollari in libri di matematicasu Amazon gratuiti!.

Il problema lho risolto, ho mandato la soluzione (era quasi Agosto... in inglese mela cavo benissimo a leggere, ma a scrivere sono un incapace) e quello che hoottenuto stato di ritrovarmi:

1. La mailbox piena di spam2. La pagina del problema con scritto Termine della consegna spostato ad Agosto

2001!.

Adesso capite perch sostengo di aver fratto la figura dello scemo. Peccato, perch ilproblema era carino; e avevo anche trovato unestensione!

Beh, andiamo avanti con il testo; come al solito, cerchiamo unambientazione piconsona.

Come sapete, i Comitati di Redazione di RM si tengono a Torino; come sapete Torino hale vie perpendicolari e parallele tra di loro e, come sapete (certo che ne sapete, di cose...Avete applicato il metodo del pettegolezzo del mese scorso?), i CdR di solito implicanocongrui quantitavi di birra.

Bene, il Grande & Glorioso Comitato di Redazione esce dalla Sala Riunioni (aka birreriadellangolo: su un incrocio) e inizia a cercare la macchina; per fare questo, cammina inlinea retta lungo una via.

Lo stato non esattamente di sobriet nel quale si trovano i Redattori fa s che, giunti adun incrocio, con probabilitp centrino brutalmente il lampione preposto ad illuminare il

quadrivio; nel caso, effettuano una svolta di 90 (leggasi: girano a destra o a sinistra)scegliendo tra le due possibilit con probabilit 0,5.


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Quello di cui si sono dimenticati completamente, che la macchina parcheggiatadavanti alla birreria; presupponendo che a forza di botte sui pali raggiungano un relativolivello di corretta percezione dellambiente (leggasi: in grado di riconoscere la macchina,se ci ritornano), secondo voi, con che probabilit (al variare di p) ritroveranno lamacchina?

Sin qui, il problema... Ma il solito tarlo mi girava in testa.E se Torino avesse le scale?Leggasi: se il reticolo nel quale si muovono i nostri eroifosse tridimensionale?

...e se ne avesse ancora di pi (dimensioni, non scale...)?

2.2 Quefta lettera .A. fe caua del tondo e del fuo quadro...No, non stiamo parlando con la bocca piena.

linizio della didascalia alla lettera A delDe Divina Proportionedi Fr Luca Pacioli23.Ma forse meglio se vi spieghiamo dallinizio.

Sapete tutti che vorremmo, in un modo o nellaltro, andare su carta. Rudy, come alsolito, ha considerato completamente secondario il cosa scrivere, preoccupandosi

principalmente di comee dovescrivere [dove non nel senso di trovare un Editore, ma nelsenso di stabilire le proporzioni di pagina del libro (AR & PRS). Dove anche nel senso

che gli abbiamo impedito di fare la carta in

casa (Paola, Alberto & Fred). Per ci ho

provato. Risultati fetenti (RdA)]. Come alsolito, ha trovato un oceano di roba[assolutamente inutile (AR & PRS)] sullaquale partito in quarta a lavorare; tra lealtre cose, ha anche deciso di ridefinire icaratteri nei quali debba essere scritto illibro.

Uno dei tentativi (riconosciuto anche da luicome fetente) ha per generato un

interessante problema; qui di fianco, vedetela A, con tutti i cerchi necessari altracciamento; in particolare i due cerchipiccoli, considerati fondamentali da Rudyper tracciare le grazie, che vi abbiamoindicato in rosso (Rudy si ostina a chiamarliserif, ma in italiano si chiamano grazie24).

Ora, quello che ha interrotto Rudy dai suoisproloqui, sono state le domande: Ma quanto valgono i raggi dei vari cerchi? E quanto lunga, in proporzione allaltezza, la barra orizzontale?

Pensateci pure con calma, che sin quando non trova i valori sta zitto.

3.Bungee Jumpers

Quante radici hanno le equazioni:

23Domanda moltoseria: qualcuno sa dove trovarlo in Internet? Possibilmente le immagini delle pagine, in altadefinizione. [Trovateglielo, almeno a leggere litaliano del Rinascimento lo teniamo zitto un paio dore...(AR&PRS)].

24Chiamatele come vi pare, basta che non me le togliate dai caratteri di RM (RdA). Questi aggeggi sono fonte dicontinuo litigio con Doc, che preferisce il Comic Sans (serif, appunto).

La A di Rudy


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?logsin)100

sin)

xxb

xxa

=

=

La soluzione, a Pagina 46

4. Soluzioni e NoteCominciamo anche questa volta con un modo di dire: laltra volta era lelicottero dellesei, questa volta non c due senza aleph.

Nel senso che anche questo mese ne sono successe di tutti i colori: il portatile di Dociniziava appena ad alzarsi e a bere un brodino, quello di Alice si chiedeva Dove sono?ogni quarto dora (e, visto che nessuno gli rispondeva, decideva di prendersi tre ore diriposo), che ci scomparsa la posta.

Ora, finch si tratta di un paio di PC, Rudy sbuffa ma sa benissimo che Alice e Docriusciranno a metterli a posto25, ma quando considerate che Rudy non pu scaricare laposta (deve vederla via internet) e schiantano i due che ne hanno una copia a bordo, gliOib! si sprecano...

Quindi, estremamente probabile che questo mese si sia perso per strada qualcosa. E,per la legge di induzione, che il mese prossimo sia ancora peggio. Per non parlare diNovembre, in cui Alice latiter (ferie, anche se noi continuiamo a sostenere che prova aportare il PC nei climi caldi per vedere se magari sta un po meglio).

Per cominciare, vi ringraziamo dei complimenti (Dr.Toki, Cide, anche se cominciano conun Pazzi!, vilumin) per essere usciti in tempo; ci hanno fatto sentire un po meglio,dopo i disastri, e ci hanno permesso di affrontare quelli di questo mese: se leggete questenote, ce labbiamo fatta anche stavolta.

Loba (che ci rovina la sorpresa di una decina di PM: ormai unabitudine...) e PMP(arrivato secondo causa ferie lunghe) ci hanno fatto notare unimpropriet nelcompleanno del mese scorso; la canzone su Bartali non di Jannacci, ma di Paolo Conte.Doc riconosce il fatto, ma non lo considera esattamente un errore; infatti quando Bartali

incontr Paolo Conte, gli disse che la canzone gli piaceva, ma la preferiva cantata daJannacci; e che comunque certa gente, in merito ai nasi tristi come una salita, avrebbefatto meglio a stare zitta.

Sempre a proposito di distrazioni di Doc, vi confermiamo che il refuso nella frase cheparlava di refusi non era voluto: non arriviamo a certe finezze dellautoreferenzialit.

Aubrey ci fornisce un mucchio di notizie interessanti (e anche lui riesce a trovare unaserie di cose da PM... forse ora di cominciare a rinnovare i miei Favoriti), mentre Zarci passa un documento molto interessante sul Sudoku; come gli abbiamo gi detto permail, lo ringraziamo ma non troppo: Rudy come gioco non lo sopporta, soprattutto daquando questestate stato pubblicizzato con la frase non serve sapere la matematica,basta un po di logica.... Meglio se sto zitto. Comunque, stiamo aspettando che passi lamoda e poi utilizzeremo quanto fornito da Zar per un pezzo che, come al solito, parler di

tuttaltro.Bene, le pi profonde scuse a tutti i dimenticati: no, non li recupereremo il meseprossimo, a meno di salvataggi alla Chuck Norris dei vari dischi fissi.

25Piccola nota, su quello di Alice: lei sostiene che da rottamare, io le ho proposto di provare a caricare LinuxUbuntu, non appena uscir la versione funzionante (quella di Agosto aveva dei problemi di installazione, pare).Ora, mi rendo benissimo conto che la mia una scelta dettata unicamente da ragioni personali: vi risulta che cisiano versioni pi semplici, da installare? Non per incapacit dellutente, ma perch in questi casi Alice perde lapazienza in un decimo di secondo...


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4.1 [080]4.1.1 Q&DA proposito di Chuck Norris, torniamo un attimo alla Scuola di Arti Marziali. Cera unerrore, ma quasi nessuno se ne accorto: infatti, in una delle due regole era saltato un

qualsiasi; i solutori indicati la volta scorsa lo avevano dato per scontato, ma Cid hadeciso che quella era una condizione e ci ha mandato una serie di soluzioni. Una, inparticolare, gli piaceva particolarmente: prevedeva un tetraedro, in cui le faccerappresentavano le arti marziali e gli spigoligli allievi; quindi, se la cavava con quattroarti marziali e quattro allievi; sicuramente minimale, poco da dire. Il Nostro procede poiattribuendoci un certo qual disamore per i tetraedri dovuto al fatto che un tetraedro comesimbolo di una scuola di arti marziali non sia un gran che... E a questo punto Rudy hachiesto la parola:

Qui, devo smentire su tutta la linea: tanto per cominciare, i tetraedri mi sonosimpaticissimi: durante le lunghe telefonate, ne costruisco a decine con il metododellorigamiche avevamo spiegato tempo fa (sono i pi facili da fare); proprio unodi questi, seduto sulla mia scrivania, mi ha permesso di capire che se ci fosse statoil qualsiasi la soluzione non sarebbe stata valida. Infatti, due spigoli (allievi)

opposti non hanno arti marziali (facce) in comune. Secondariamente, mi piaciutomoltissimo il fatto che, una volta tanto, non venissero usati i vertici e gli spigoli,ma lefacce; anche se il tetraedro duale di se stesso, limmagine della faccia cometatami decisamente migliore rispetto allipotesi di combattere su un vertice. E,per puro spirito polemico, non sono daccordo neanche sullaltra affermazione: sonoil felice possessore di un vecchio libro: 4260 Japanese Design Motifs, e possogarantirti che di tetraedri ne compaiono un paio. Di sicuro, sono pi dei piani diFano.

4.1.2 Dal Padre di RudySiccome siamo buoni (e anche un po pigri), la soluzione di Dr.Toki non ve la passiamo:infatti in modo testo e chiama la generica peste P_i e la parte di pettegolezzo checonosce p_i. Dopo il secondo passaggio, cominciano a ballare gli occhi... Comunque,

soluzione correttissima: inoltre, il Nostro analizza diversi metodi, da quello menoottimale (ognuno telefona la propria parte a tutti gli altri) sino a quello che avete trovatotutti. Non solo, ma sviluppa un metodo che permette una velocit incredibile, basato sulfatto che Pi, prima di telefonare a Pi+1, aspetta la telefonata di Pi-1; se tutti applicanoquesta strategia (Alberto, che il primo, parte appena sveglio [che tardissimo secondoqualunque fuso orario (RdA)]); il secondo aspetta di sentire la segreteria telefonica (equindi aspetta di conoscere la parte di Alberto) prima di telefonare al terzo... e avanticos; a sera, lultimo della fila sa tutto il pettegolezzo!A quel punto pu telefonarlo adAlberto che, il giorno dopo, lo telefoner al secondo conlo stesso metodo...

Bene, veniamo a quello che consideriamo un metodo pirealistico: usiamo la forma di Cid, che in Word.Premessa: tutte le operazioni sono in modulo N.

Le (n) Pesti per diffondere rapidamente ilpettegolezzo possono utilizzare la seguentestrategia: utilizzano come metodo di ordinamentouna struttura ad anello, su cui a ciascuna dellepesti viene assegnato un valore compreso tra 1 en.

In Figura 2 vediamo un esempio con n = 12

Figura 2 - 12 Pesti


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A questo punto ognuna delle pesti il k-esimo giorno telefoner alla peste che distada essa in senso orario 2k-1, in tal modo in (Log2 n) giorni tutti conosceranno lanotizia per intero. Se (Log2 n) non un numero intero occorre approssimareallintero successivo.

Dimostrazione:

Essendo la struttura ad anello e per la simmetria insita nella strategia garantitoche se dimostro che una delle pesti ricever la notizia per intero, allora anche tuttele altre pesti riceveranno la notizia per intero. Considero quindi la n-esima peste.

Dopo il primo giorno conoscer la propria parte di informazione + quella dellapeste (n-1); analogamente la peste (n-2) conoscer la propria parte di informazione+ quella della peste (n-3).

Dopo il secondo giorno la n-esima peste conoscer la propria parte di informazione+ quella della peste (n-2); quindi n conoscer linformazione iniziale delle pesti: n,n-1, n-2, n-3; analogamente la peste (n-4) conoscer la propria parte diinformazione + quella della peste (n-6), quindi n-4 conoscer linformazione inizialedelle pesti: n-4, n-5, n-6, n-7

Dopo il terzo giorno la n-esima peste conoscer la propria parte di informazione +quella della peste (n-4); quindi n conoscer linformazione iniziale delle pesti: n, n-1, n-2, n-3, n-4, n-5, n-6, n-7; analogamente la peste (n-8) conoscer la propriaparte di informazione + quella della peste (n-12), quindi n-8 conoscerlinformazione iniziale delle pesti: n-8, n-9, n-10 ,n-11, n-12, n-13, n-14, n-15

ecc... In tal modo il k-esimo giorno ognuna delle pesti, estende la sua informazione

an

k)*2(

)1(

+

radianti (ragionando sul cerchio); con k (Log2n)abbiamo che larco

di cerchio risulta essere maggiore o uguale an

n )**2( radianti, quindi essendo

maggiore di *2 radianti significa che ognuna delle pesti conosce linformazionecompleta.

Anche Floci fornisce una soluzione (o meglio, due: quella che richiede ngiorni e quellalogaritmica) e, per essere chiara, ci fornisce un bellissimo disegnino che ha fatto venire aDoc la nostalgia per lo Spirograph26:Lo trovate in Figura 3.

Figura 3 - I passaggi secondo Flo


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La soluzione di PMP(stringata come al solito) questa volta presenta una caratteristicainteressante: infatti, stata risolta in metropolitana, discutendone conBraMo logicar.Secondo Doc, Lalito matematico si condensava sui finestrini.... Ci permettiamo didubitarne, visto che quel giorno a Milano faceva piuttosto caldo. Comunque, apprezziamoe riportiamo la versione integrale (tanto occupa pochissimo spazio, come tutte le soluzioni

diPMP):Non puoi fare la soluzione a stella, perch il centro dovrebbe fare n-1 telefonate, equindi gli ci vorrebbe troppo tempo.

Daltra parte, il numero minimo di telefonate deve essere 2(n-1) e questo lo sidimostra in fretta: occorrono n-1 telefonate per raccogliere tutto il segreto da unapersona, e questa lo deve spifferare agli altri n-1.

Per il numero minimo di giorni, io andrei su ceil(log_2 n), col metodo duplica etimpera. Se ad esempio abbiamo 16 pesti, a1 .. a16, il primo giorno gli a disparitelefonano ai successivi, e gli a pari ai precedenti. Quindi alla fine del primo giornoabbiamo due gruppi da 8 persone (i pari e i dispari), ognuno che conosce un ottavodel segreto. Quindi i due gruppi procedono in parallelo allo stesso modo. Se le pestinon sono una potenza di due, si salta qualche telefonata...

Ora, lo sforzo che vi chiediamo di immaginare la faccia degli altri passeggeri davanti adue che parlano cos...

4.1.3 Una strana lotteriaBene, direi che la cosa non vi ha entusiasmato; per riuscire ad avere una soluzione,abbiamo dovuto organizzare un mezzo nubifragio (sapete che Cidrisolve i problemi nellegiornate di pioggia, s?). Andiamo, senza por tempo in mezzo.

In questa lotteria abbiamo un valore costante in tutte le serate, questo valore ilnumero di casi sfavorevoli che sono sempre 7500 alla prima estrazione, e ingenerale (7501-k) alla k-esima estrazione.

Pertanto tenendo conto che massimizzare la probabilit di vincere equivalente aminimizzare la probabilit di perdere, definisco la variabile S = numero di casi

sfavorevoli.Nel caso in cui si usi un biglietto per ognuna delle serate, la probabilit di perdere:

P= 20)1

(+S

S

per ognuna delle 6 estrazioni con S=(7501-k) alla k-esima estrazione.

A questo punto dimostro che questo il miglior risultato possibile: se raggruppo mbiglietti nella stessa serata ottengo:

P(m)= )(mS

S

+ al posto di P= m

S

S)

1(

+

ora devo dimostrare che )(mS

S

+ sicuramente maggiore di m

S

S)

1(

+

Ipotesi: )(mS

S

+> m

S

S)

1(

+

26Doc, ho una buona e una cattiva notizia: la buona che lo fanno ancora, la cattiva che molto pi semplice diquello che circolava quando eravamo piccoli (RdA).


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lipotesi precedente equivalente a )(S

mS+< m

S

S)

1(

+

moltiplicando ambo i membri per Sm si ottiene:

S(m-1)*(S+m)1, in quanto Sm e m*S(m-1)sono i primi 2fattori dello sviluppo del binomio (S+1)m

Di conseguenza qualsiasi raggruppamento di m biglietti in una stessa serata portaad un aumento della probabilit di perdere, e siccome ci vale con qualsiasi m>1 lasoluzione migliore risulta quella di usare un solo biglietto per ognuna delle serate.

Con 10 serate piene e 10 serate vuote, per minimizzare il numero totale dipartecipanti alla lotteria nelle serate in cui partecipo anchio, devo utilizzare 2biglietti per ognuna delle serate vuote, in modo da distribuire in modo uniforme i

biglietti su ciascuna delle serate vuote.Praticamente la strategia muta leggermente, ma mantiene la regola di distribuirsiin modo uniforme cercando di minimizzare il rapporto (Casi sfavorevoli / Casipossibili).

Come dicono nei giornali seri: Mentre stavamo per andare in macchina...ci arrivatauna soluzione di /6; la sua trattazione decisamente interessante, anche se sembra picomplicata di quella di Cid:

Premesso che in un gioco del genere io preferirei spizzicarmi (come dicono aRoma) i biglietti, ovvero giocarmeli uno alla volta, massimizzando certamente ilmio divertimento, in questo caso lentit della posa in gioco mi costringe adeseguire un calcolo un po pi raffinato.

Intanto faccio un conto introduttivo, che mi far da guida nel resto. Se N ilnumero dei presenti ogni sera (nel nostro caso N=7500), mi pongo il seguenteproblema ridotto ai minimi termini: ho solamente 2 biglietti e viene estratto unsolo biglietto alla volta. Me li gioco subito tutti e due o li uso in due giorni diversi?

In formule (usando la regola aurea del calcolo delle probabilit, in cui sempre(!)

pi facile calcolare la probabilit dellevento complementare),2+N

N la

probabilit di perdere giocando tutto subito,

2

1

+N

Nquella di perdere giocandoli

uno alla volta. Poich facile vedere che

( )( ) 012

212

12 2

222

>++

++

=

++ NN

NNNN

NN

N

N

N

,

risulta che perdo pi facilmente nel primo caso. Sono contento, perch oltre a fardurare il gioco pi a lungo, ho anche pi possibilit di vincere!

Se vero per due, mi dico, sar vero anche per 20 ...o no? Vabb, provo a fare ilconto generale. Siano m1, m2,...,m20le quantit di biglietti che gioco in ogni serata:potr anche avere mi=0 per qualche i, ma la somma deve dare 20. La probabilit diperdere nelli-esimasera data da


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iii mN

N

mN

N

mN

N

+

+

+ 5

5

1

1

ovvero, usando il mitico simbolo di produttoria,

5

0= +

k imkNkN

(da notare che, ovviamente, se mi=0la probabilit di perdere 1: non sono neppureentrato nel casin...)

La probabilit di perdere in tutte e 20 le serate il prodotto di tutte queste, ovvero

( ) = = +

=

20

1

5

0

201 ,,i k imkN

kNmmp

Devo dire che per la prima volta nella mia vita scrivo una produttoria doppia.

Ora, voglio cercare linsieme degli miche rendano minima la probabilit di perdere.

Quindi cerco i punti critici della funzione ( )201 ,, mmp col vincolo20201 =++ mm . Faccio cos: cerco il minimo della funzione plog , in modo da

trasformare in somme i prodotti ed essere molto pi comodo a derivare. Usando lesolite comode propriet dei logaritmi, ottengo la funzione (C una costante):

( )= == =

+=

+

=

20

1

5

0

20

1

5

0

logloglogi k

i

i k i

mkNCmkN

kNp

e quindi il problema diventa (notare che apparso un segno meno) massimizzare lafunzione

( )= =

+20

1

5

0

logi k

imkN

Usando il moltiplicatore di Lagrange e derivando rispetto agli mi si ottiene ilsistema

=

==+

5

0

20,,1,1

k i

imkN

e quindi

jipermkNmkN k jk i

+

=+

==

5

0

5

0

11.

Ora lultima considerazione: poich la funzione ( ) = +=5

0

1

k xkNxf decrescente,

si haf(x)=f(y)se e solo se x=y. Questo significa che deve essere mi=mjper ogni iej. Poich la somma deve fare 20, si ha per forza

12021 ==== mmm

che la soluzione. La probabilit di vincere massima quando gioco un biglietto asera (non ho bisogno neppure di scomodare glia amici). Dopo tutti questi conti,per, mi rendo conto che la probabilit di vincere in questo caso vale


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015877,01

205

0

+

=k imkN

kN

che non molto grande. Meglio iscriversi alla newsletter...

Mi accorgo a posteriori che tutto questo discorso indipendente dal numero dipartecipanti (7500), di biglietti (20) e di estrazioni per sera (6). Avr sbagliatoqualcosa?

Commenti sulla seconda parte: mi sembra che a questo punto debba sceglieresolamente fra due strategie: o giocare due biglietti alla volta nelle 10 sere da 5000persone (strategia A), o giocare un biglietto alla volta nelle 20 sere (strategia B).Facendo dei conti a mano risulta (pongo N=5000) che la probabilit di perdere conla strategiaA

( )( )

( )( )

1010

21

54

3

5

2

4

1

32

1

1

2

++

+

+ NN

NN

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

mentre quella di perdere con la strategia B

( )( )( )( )

.121

524

42

52

2

12

12

2

4

51

1

101010

++

=

+

+ NN

NN

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

Si verifica che il primo numero pi piccolo del secondo, e dunque per vincereconviene giocare la strategia A, due biglietti alla volta nelle serate da 5000persone. In questo caso ho una probabilit di vincere di

( )( )

( )( ) 023721,0

21

541

10

++

NN

NN

un po pi alta di prima, ma non molto.

...vi raccontiamo una cosa, di questa soluzione: ci arrivata inPDFe in TeX, due formatiche non possiamo elaborare; per, ci pareva cos diversa che ce la siamo copiatapraticamente tutta a manina (quasi: il testo labbiamo recuperato, ma le formule abbiamodovuto riscriverle una per una...)

4.2 [079]Lo sappiamo benissimo che il settantanove viene prima dellottanta, ma volevamo fare labattuta stupida su Chuck Norris (Giusto per parlarne anche qui: Rudy plaude alla suadecisione di non fare pi Walker Texas Ranger).

4.2.1 Filetto Paritetico AlbertianoBuone notizie per Flo e Marco! Cid ha esaminato (complici un altro paio di giorni dipioggia in quel di Rimini) le loro espansioni! E ci ha mandato le sue considerazioni.

Versione diMarco

Se con le regole iniziali il gioco era smaccatamente sbilanciato a favore del primogiocatore, con le regole proposte da Marco il gioco diviene smaccatamentesbilanciato a favore del secondo giocatore.

Il secondo giocatore per vincere deve semplicemente seguire la seguente strategia:

Fa la sua prima mossa su uno spigolo della scacchiera, fa la sua seconda mossasullo spigolo opposto a quello della prima mossa (se libero) e se non liberooccupa uno degli altri spigoli.


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Notare che fino a questo punto indifferente per il secondo giocatore inserire uno0 o un 1.

A questo punto se la casella centrale libera, la occupa rendendo della sua parituna delle diagonali (ci risulta sempre possibile in quanto le prime due mosse delsecondo giocatore garantiscono che vi siano due spigoli opposti occupati).

Nel caso in cui la casella centrale sia occupata il secondo giocatore con la sua mossacompleta un altro tris.

Per dimostrare che ci sempre possibile, disegno qui sotto tutti i casi possibili (litrovate in Figura 1): indicando con G le prime 5 mosse giocate e con M la mossacon cui il secondo giocatore completa un tris.

Quindi alla sua terza mossa, il secondo giocatore realizza almeno un punto.

Mentre il secondo punto lo realizza con la sua ultima mossa, infatti quando restanosolo due caselle da occuparesulla scacchiera 3x3 ovviamente sempre possibilecompletare una fila

orizzontale o verticale.(Ci in quanto se le duecaselle libere sono sullastessa fila non stanno sullastessa colonna, e viceversa.)

Pertanto il secondo giocatore,con questa strategia, riescesempre a realizzare almeno 2 punti.

Invece, per quanto riguarda la versione di Flo:

Questa variante del filetto paritetico, mi sembra coincidere praticamente con ilfiletto tradizionale; basti considerare che esistono solo 8 gruppidi tre cifre che danno come somma 15, e sono quelli del

quadrato magico (vedi tabella): per cui basta giocare a filettosu questa scacchiera scegliendo la cifra corrispondente allacasella giocata.

Ma volendo descrivere la strategia sotto forma puramentenumerica, la si pu descrivere cosi: chiamo Bianco il primogiocatore e Nero il secondo giocatore e chiamo Mi la i-esimamossa. [Lindentazione del seguito stata decisa dallaredazione]

1) Il Bianco fa la seguente scelta: M1 =5,

2) Il Nero risponde scegliendo un numero pari,

infatti, se il Nero sceglie un numero dispari il Bianco riesce a vincere nelseguente modo

il Bianco sceglie M3 = (M2+5) Mod 10

il Nero per non perdere subito deve scegliere M4 = 10 - M3

il Bianco sceglie M5 =2

M 4 (M4 sempre pari in quanto M2

dispari, quindi M3 eM4 pari)

infine se il Nero sceglie M6=(10 - M5) allora il Biancosceglie M7 =(M5 + 5) e vince

Figura 1

6 7 2

1 5 9

8 3 4

Tabella 1 - Il

quadrato

magico


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mentre se il Nero sceglie M6=( M5 + 5), il Bianco sceglie M7=(10 - M5) e vince

... se il Nero sceglie un numero pari, la partita si conclude in parit cosi:

3) Il Bianco sceglie M3 = (M2+5) Mod 10

4) Il Nero per non perdere subito deve scegliere M4= 10 - M3

5) Il Bianco sceglie M5 = 10 - ((2*M4) Mod 10)

6) Il Nero per non perdere subito deve scegliere M6= 10 - M5

7) Il Bianco sceglie uno dei 2 numeri dispari rimasti

8) Il Nero per non perdere deve scegliere M8 = 10 - M7

9) Il Bianco prende lultimo numero rimasto e la partita termina in parit.

Tutto chiaro, vogliamo sperare. E questo quanto, salvo errori od omissioni.

5. Pagina 46a)

Per prima cosa notiamo che se 0x radice dellequazione, anche ( )0x lo sar, quindi visono tante radici negative quante radici positive; inoltre 0 evidentemente radicedellequazione.

quindi sufficiente calcolare il numero delle radici positive.

Dal fatto che

1001100sin100sin100

=== xxxx

si deduce che nessuna soluzione pu essere maggiore di 100.

Dividiamo il segmento [ ]100;0 sullasse x in intervalli di larghezza 2 (lultimo

segmento risulter pi corto) ed esaminiamo le radici in ogni intervallo.Abbiamo una radice positiva nel primo intervallo [ ]2;0 ; in ognuno dei successivi,abbiamo invece dueradici positive.

Per calcolare il numero delle radici nellultimo intervallo, esaminiamolo separatamente.

Si ha

162

10015 > 5215100 .E questo segmento abbastanza ampio da contenere la parte positiva del periodosinusoidale, e quindi contribuisce con dueradici.

Da cui, per quanto riguarda le radicipositive, queste sono:

{ { 3122141intervalloultimointervalloprimo

=++

e un pari numero di radici negative.


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Considerando lesistenza della soluzione 0, il numero totale di soluzioni risulta essere 63.

b)

La soluzione simile a quella della parte precedente; in questo caso si ha che

10logsin 10 = xxx .

Dal fatto che 1022 > si ricava che lintervallo 100 x contiene il primo periodo eparte del secondo della funzione seno.

Il grafico della funzione logaritmica interseca quello della funzione seno una volta nella

prima onda; inoltre, essendo 102

2 =

2

5log1

2

5sin 10

,

il che significa che il grafico del logaritmo interseca la prima met della seconda ondapositiva della funzione seno.

Essendo poi10sin110log10 >= ,

il logaritmo intersecher la funzione seno ancora una volta.

Quindi lequazione data ha 3 soluzioni.


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6. Perlina MatematicaSe state leggendo questa, vuol dire che non abbiamo avuto il tempo di scrivere il PM chevolevamo; del resto, vi avevamo promesso che sarebbe comparsa in PM la trattazione dei100 prigionieri e una lampadina, quindi non lamentatevi troppo.

Per prima cosa giustifichiamo il titolo:

1. Volevamo tenere le stesse iniziali dei Paraphernalia Mathematica2. Non propriamente una gemma, ma ha una sua bellezza ed molto decorativa,

almeno secondo noi.

Inoltre, ci farebbe molto piacere averne la dimostrazione.

E perch non la mettete tra i problemi? Semplice, perch non abbiamo la dimostrazione;labbiamo trovata dove non ci saremmo mai aspettati (circa come un pezzo di collaninaper strada), ci piaciuta e vorremmo sapere perch.

Tracciamo un triangolo rettangolo di cateti 1 e 1 ;

lipotenusa risulta evidentemente pari a 2 e, se

tracciamo i cerchi avente come diametri i catetivediamo che i quadrati dei diametri sono nel rapporto

2:1:1 . Tracciamo adesso il cerchio che inscrivelintero disegno e calcolatene il diametro; noi, per

tentativi, abbiamo trovato che vale 3 ; trovate il tuttoin Figura 1.

Ora, prendiamo un cateto e lipotenusa del nostrotriangolo, etrasformiamoli neidue cateti di un nuovo triangolo rettangolo; la sua

ipotenusa varr 3 , quindi i quadrati dei raggi

saranno in rapporto 3:2:1 . Qui se (come mostrato inFigura 2) costruite il cerchio esterno tangente, trovate(lo abbiamo fatto anche qui per tentativi) che il

diametro vale 5 .

Cercate di nonstufarvi proprioadesso; si tratta difare un altro passodello stesso tipo, e lotrovate in Figura 3:

qui, abbiamo un cateto pari a 2 , laltro pari a 3 e

quindi ipotenusa pari a 5 ; sempre per tentativi, ci

risulta che il diametro del cerchio esterno valga 8 .

Ora, se prendiamo la successione dei quadrati dei lati,dovreste conoscerla: 1, 1, 2, 3, 5, 8,... ma quello che cipiacerebbe sapere cosa centra il cerchio esterno... Perch il diametro coincide con laprossima ipotenusa?

7. ...E questo, dove lo metto?Altrimenti noto come il Summer Contest. Per prima cosa, ristatuiamo il problema.

Figura 1

Figura 2

Figura 3


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26

Una singola lampadina illumina la stanza; cento persone vestite da carcerato,

appena sbarcate in questo nuovo carcere, guardano il sorvegliante con aria

perplessa.

Siete i primi e sarete gli ultimi ospiti di questo accogliente carcere. Tra unora,sarete portati ognuno nella propria cella, dalla quale non potrete comunicare con

nessun altro dei vostri colleghi; per, a partire da domani una volta al giorno, iosceglier a caso uno di voi e lo porter in questa stanza a divertirsi; potr gioiredello scoprire se la lampadina accesa o spenta e, se vorr, potr spegnerla oaccenderla con quel meraviglioso interruttore.

Un mormorio percorre la sala, alla prospettiva di questo emozionante

divertimento...

Se, ad un certo punto, uno qualsiasi di voi quando viene portato a questa stanza convinto che tutti e cento siate stati portati qui almeno una volta, basta che me lodica; se ha ragione, tutti voi sarete liberi. Ma, se sbaglia... Pi niente lampadine,pi niente interruttori, pi niente chiavi delle celle, pi niente di niente, neanchepranzi e cene.

Insomma, non vi conviene sbagliare... Avete unora di tempo per decidere una

strategia, a meno che preferiate giocare con linterruttore per leternit...

Notiamo subito che non vi siete appassionati particolarmente: poche risposte, e tuttequante centrate su due soli metodi... Con ununica eccezione che trova quello che sicuramente il modo ottimale per uscire alla svelta:

...convinco gli altri novantanove a suicidarsi, il giorno dopo il guardiano

obbligato a chiamare me, dico che sono passati tutti ed esco.

No, non ve lo diciamo chi . Come si diceva a naja, dormite preoccupati.

Torniamo seri: nonostante il problema sembri piuttosto irrisolvibile, possibile statuireuna serie di fatti interessanti:

Fatto interessante numero 1:Potete uscire.La Strategia 1prevede di dividere la sequenza dei giorni in blocchi di dimensione 100.Allinizio di ogni blocco, si resetta tutto e si considera come se fosse il primo giorno inassoluto: quindi, nel seguito, quando diremo il primo giorno sar sottinteso di unblocco da 100)

Il primo prigioniero che entra nella stanza il primo giorno mette la lampadina a 0. Se unqualsiasi prigioniero entra per la seconda volta nella stanza, mette la lampadina a 1.

Se il prigioniero che entra il centesimogiorno nella stanza trova la lampadina a 0, vuoldire che tutti i prigionieri sono entrati nella stanza e dichiara il liberi tutti.

IlRisultato Atteso per la Strategia 1richiede di calcolare quali siano le probabilit diavere una sequenza in cui ognuno entra nella stanza esattamente una voltanellintervallo di tempo considerato: questa pari al numero di ordinamenti possibili deiprigionieri diviso per il numero di modi con cui i prigionieri potrebbero essere entratinella stanza (il denominatore tiene conto degli ingressi multipli, il numeratore conta lepossibili sequenze di ingressi singoli): per nprigionieri, qusta probabilit vale:

nn

np

!= , [7.1]

e quindi il numero atteso di blocchi che dovremo utilizzare pari ap

1 .

Siccome ogni blocco ha lunghezza n, allora i giorni che ci separano dalla libert saranno(invertendo la [7.1]e considerando la lunghezza dei blocchi)


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27

=

+

n

n

e

nO

n

nD ~

!

1

, [7.2]

Dove lordine di grandezza stimato utilizzando la formula di Stirling. Per i nostri 100

prigionieri, il valore atteso

anni10giorni10giorni!100

100 4144101

=D , [7.3]

ossia, molto di pi della vita attesa dellUniverso.

Forse meglio se ci pensiamo ancora un attimo.

Fatto interessante numero 2:Potete uscire prima della fine dellUniverso.La Strategia 2prevede di eleggere un Cassiere, che sar responsabile di annunciare lafine del gioco; gli altri prigionieri saranno definiti come Ordinari.

Supponiamo che ogni Ordinario inizi con un qualcosa (che i nostri autori chiamanoAnima); scopo degli Ordinari riuscire a lasciare la loro Anima nella stanza della

lampadina; il Cassiere raccoglier le anime ogni volta che viene fatto entrare nella stanzacentrale.

Supponiamo che allinizio del gioco la lampadina sia a 0.

Se un Ordinario entra nella stanza e trova la lampadina a 0allora se ha ancoralAnima la pu lasciare nella stanza, mettendo la lampadina a 1.Se la lampadina a 1, non la tocca e, se ha ancora lAnima, non la deposita nella stanza. Se non hapi lAnima (segno che gi entrato nella stanza), lascia tutto comera prima.

Quando il Cassiere entra nella stanza, se trova la lampadina a 1 la spegne,portandosi via lAnima che ha trovato e aggiungendola a quelle raccolteprecedentemente; se a questo punto ha raccolto tutte le anime, dichiara la fine delgioco. Se la lampadina a 0, la lascia a 0.

Il Risultato Atteso per la Strategia 2 prevede che succedano una serie di eventi in

sequenza; per prima cosa un Ordinario con ancora lAnima deve lasciarla nella stanza,poi il Cassiere deve passare a raccoglierla, poi un altro Ordinario con lAnima develasciarla, eccetera.

La probabilit che un Ordinario abbia ancora lAnima da lasciare nella stanza decresce

dal valoren

n 1del primo giorno al valore

n

1quando ormai ne manca una sola; mentre,

la probabilit del cassiere di andare a raccogliere lAnima il giorno dopo che stata

posata sempren

1.

Siccome il tempo atteso prima che avvenga un evento avente probabilit p linversodella probabilt,

( )111

1

+

=

=

nnk

nDn

k

. [7.4]

Notiamo che:

( )222 ~2 nODnDn


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28

anni29giorni10400 D . [7.6]

Decisamente pi simpatico.

Per la prossima strategia, senza perdere in generalit, supporremo siate finiti in uncarcere minorile.

Fatto interessante numero 3:Potete uscire in tempo per vincere la Medaglia

Fields.La Strategia 3 si basa anchessa sulla raccolta di Anime, ma qui non esiste un singoloCassiere; tutti i prigionieri sono impegnati a raccogliere Anime. La lampadina, in realt,porta un numero differente di Anime ogni notte.

fornita una sequenzain grado di definire quante Anime sono portate dalla lampadinaogni notte, e il numero delle Anime sempre una potenza di 2. Sia V(n)il numero delleAnime che la lampadina pu portare se lasciata a 1la notte n(o se scoperta accesa lanotte n+1, il che vuol dire la stessa cosa).

Per semplicit, supporremo il numero dei prigionieri sia una potenza di 2. Dopo,cercheremo di adattare il risultato ad un ngenerico.

Un prigioniero entra nella stanza e raccoglie tutte le Anime che sono state lasciate lanotte precedente (quindi, se la luce a 1, raccoglier V(n-1)Anime) e metter la luce a 0.A questo punto, controller quante Anime ha raccolto, in base 2.Se la notte nnella quale

ci troviamo vale ( ) knV 2= Anime, verificher lo stato del k-esimo bit del numero di

Anime che possiede e, se il bit a 1, lascer k2 Anime nella stanza, lasciando la

lampadina a 1e sottraendo k2 Anime da quelle che possiede. Se il bit a 0 (ossia non cisono anime nella stanza), lascer la luce a 0e si terr tutte le Anime che possiede.

In questo modo le Anime sono incollate in bloccki di dimensione k2 , e possono essere

spostate (come blocco) solo se quella notte vale k2 ; quando tutte le Anime sono incollate

in un blocco di dimensione nn 2log2= , si esce.

Il problema sorge nel definire )(nV , ossia quante Anime si possano scambiare in unadeterminata notte; probabilmente una buona idea iniziare con un certo numero di nottia valore 1(in modo da creare molti blocchi da 2Anime), seguite da una serie di notti convalore 2in modo da creare blocchi da 4Anime) e avanti di questo passo; le sequenze dinotti avente un certo valore devono essere abbastanza lunghe da garantire una

ragionevole probabilit di riuscire ad incollare tutti i blocchi di dimensione 12 k in

blocchi di dimensione k2 senza per perdere troppo tempo.

Il Risultato atteso per la Strategia 3 decisamente complicato da calcolare; unmetodo pu essere quello di cominciare con una serie di sequenze di notti del tipo:

( )nnnn logloglog + notti in cui si scambiano blocchi da 1Anima;

( )nnnn logloglog + notti in cui si scambiano blocchi da 2Anime;

( )nnnn logloglog + notti in cui si scambiano blocchi da 4Anime;

...

( )nnnn logloglog + notti in cui si scambiano blocchi da n2log Anime.

Se dopo questo tempo non siamo riusciti a mettere assieme tutte le Anime, possiamodecidere di ricominciare da capo (questo significa che la sequenza V(n) si ripete neltempo).


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29

La probabilit di incollare assieme tutti i blocchi di dimensione 12 k in blocchi di

dimensione k2 in un periodo di cnnn +log notti (dove c una qualche costante)

limitato asintoticamente dacee

(si vede? e alla meno e alla meno c: dovresteconoscerlo, come valore: il problema del collezionista, ne abbiamo trattato uno simile

su uno dei primi numeri di RM). Se supponiamo csia una funzione per cui ( )nnc log)( ,ossia (introducendo un fattore di errore) le probabilt di successo di ogni stadio sono:

( )ne nlog1

dove

( ) ( ) 1: 2log nnn

[7.7]

La probabilit di riuscire a completare tutti i n2log stadi allora almeno:

( ) n

e

n

ep

2

2

log

log

= , [7.8]

il che ci porta a una durata in giorni

( ) ( ) ( )( )( )[ ] ( )( )nnOnnnne e 2log log~loglogloglog2 + [7.9]

Ora, per il caso di un numero di prigionieri che sia una potenza di 2, la cosa funzionaparticolarmente bene, e la cosa si pu adattare ad un numero generico di prigionieri27; ilproblema nasce quando si cerca una valutazione non asintoticadi V(n); qui, lunico modosembra essere quello di procedere per simulazione.

Secondo gli autori dellarticolo da cui abbiamo tratto tutto questo28, una sequenza chefunziona particolarmente bene : [730, 630, 610, 560, 520, 470, 560, 720, 490, 560, 570,560, 590, 590] e poi da capo; la sequenza da intendersi come 730 notti a valore 1Anima, 630notti a valore 2Anime, 610notti a valore 4 Anime,..., 560notti a valore 64

Anime, 720notti a valore1 Anima eccetera. Se, arrivati al fondo, la cosa non funziona(fatto estremamente improbabile), tutti si riprendono le proprie anime e si ricomincia.

Questo ciclo porta ad impegnare

anni12giorni4400 D . [7.10]

E, se in unora siete riusciti a costruire un metodo del genere, la Medaglia Fields ve lameritate proprio.

Capisco che lutilizzo delle simulazione possa sembrare un po deludente, ma il calcolonon semplicissimo; alcuni (Felgenhauer, ad esempio) hanno provato con un metodoibrido (strategia 3 allinizio e poi passaggio alla strategia 2), ma il guadagno sembraminimo, con dei

Rudi Mathematici 081 - ott 2005

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