Ritiro e Viscositài

Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e GeotecnicaCorso di “Tecnica delle Costruzioni” 1Prof. G. Mancini

TECNICA DELLE COSTRUZIONIEffetti Strutturali diViscosità e Ritiro


1. PRESA IN CONTO DEL FLUAGE E RELATIVI EFFETTI STRUTTURALI

ci(t0) = Deformazione elastica istantanea al tempo t0

cs(t) = Deformazione di ritiro al tempo t

cc(t) = Deformazione di fluage al tempo t

c(t) = Deformazione elastica allo scarico al tempo t1(c(t) < ci(t0)) per effetto dell’aumento del modulo elastico con l’età)

d(t) = Elasticità differitaf(t) = Plasticità differita

per c 0.4 fckj ci , f , cc , c , d


PRINCIPIO DI MAC-HENRY

Una variazione di tensione applicataal tempo t1 produce un effetto uguale,qualunque sia l’età alla messa in carico edil segno di .Sul diagramma è anche riportato l’effettodell’età alla messa in carico.

VALIDITÀ DEL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE

Le leggi di fluage adottate per lacompressione si suppongono valide ancheper la trazione e per gli stati disollecitazione pluriassaiali.


CALCESTRUZZO = materiale invecchiante a comportamento visco-elastico lineare

(t,t0) = coefficiente di fluage (adimensionale)c(t0)/Eci = deformazione elastica al tempo t0 (modulo Eci a 28 giorni)

La deformazione totale al tempo t dovuta allo stato di tensione costante c, vale

J = funzione fluage [F-1L2] → deformazione totale al tempo t dovuta ad una tensione unitaria

),()(),()(

1)(),( 000

000 ttJt

Ett

tEttt c

ciccc

)t,t(E

)t()t,t( 0ci

0c0cc


Omettendo l’influenza delle condizioni termoigrometriche e considerando solo l’effettodella storia delle sollecitazioni, in applicazione del principio di sovrapposizione edell’ipotesi di linearità, si può rappresentare nella seguente forma la legge di evoluzionedella deformazione totale (somma di quella dovuta alla tensione e ad una eventualedeformazione impressa cn(t))

= istante in cui si verifica la variazione di tensione /E ponendo per = t0 (t) = (t0) e cn(t0)=0 risulta

Se la variazione di tensione è applicata per intervalli discreti, risulta:

)1()()(),(),()(),(0

000 ttJttJttt cn

t

tc

cc

)()(),(),()(),(1

000 ttttJttJttt cn

n

iiicc

t ccnc tJtt

0

)(),()()(


Se invece si opera sulle tensioni, per una storia di deformazioni assegnata, si perviene all’integrale di rilassamento

R = funzione rilassamento [FL-2] → sollecitazione al tempo t provocata da una deformazione impressa unitaria applicata nell’istante (modulo elastico al tempo t)

In analogia a quanto prima:

)2())()((),(),()()(),(0

0000

t

tcnc

cnc tRttRtttt

t cnc

c tRt0

))()((),()(


Nelle precedenti equazioni la soluzione diretta è semplice, quella inversa porta ad equazioniintegrali di Volterra, di difficile soluzione.In ogni caso entrambe le famiglie di equazioni richiedono la conoscenza delle leggi difluage (prove a tensione costante) e di rilassamento (prove a deformazione costante)

tipo di problema in cui è più frequente la soluzione dell’equazione integrale di Volterra

PROBLEMI CON STORIA DI TENSIONE

ASSEGNATA

c(t) = ? Semplice

integrazione

c(t) = ? Soluzione equazione integrale di Volterra

PROBLEMI CON STORIA DI

DEFORMAZIONE ASSEGNATA

c(t) = ? Soluzione equazione integrale di Volterra

c(t) = ? Semplice

integrazione

FUZIONE FLUAGE J(t,) FUNZ. RILASSAMENTO R(t,)

TIPO

DI PROBLEMA


Il comportamento reologico del calcestruzzo è caratterizzato sia dalla conoscenza di J(t,) che da quella di R(t,).La conseguente relazione tra le due funzioni può essere ottenuta introducendo nella legge di tipo integrale per il fluage una storia di deformazioni composta di un solo gradino:

per t < t0 c(t) – cn(t) = 0per t ≥ t0 c(t) – cn(t) = 1

Dalla (2) risulta: (t,t0) = R(t,t0) e sostituendo nella (1), tenuto conto che R(t,t0) = Ec(t0), si ottiene:

Tale equazione è stata risolta per via numerica, noti i valori di J(t,t0), e la funzione R(t,t0) è tabulata.

t

tctRtJtEttJ

0

),(),()(),(1 000


Una valutazione approssimata della funzione rilassamento può essere ottenuta tramite l’espressione semiempirica (errore minore del 10%)

con = (t-t0)/2Per le applicazioni pratiche, nel campo del fluage lineare, bisogna distinguere tra:• strutture omogenee a vincoli rigidi (elastici)• strutture soggette a vincoli costanti• strutture eterogenee a vincoli rigidi (elastici)• strutture soggette a variazioni di schema statico

I problemi relativi a strutture omogenee sono facilitati dalla disponibilità delle funzioniJ ed R.

I problemi relativi a strutture eterogenee sono governati da una o più equazioni integrali.

01)t,t(J)t,t(J

)1t,t(J115,0

)t,t(J008,01)t,t(R

0

0

00


Corpo elastico-viscoso omogeneo a vincoli rigidi soggetto a deformazioni impresse noncongruenti e non compatibiliDeformazione totale: → congruente e compatibileA:deformazione elastica complementare che produce un sistema A di tensioniautoequilibrateSi aggiunge un sistema di simili ad ( ) quindi non congruenti e noncompatibili, di conseguenza nasce un ulteriore sistema di deformazioni elastichecomplementari tali che sia congruente e compatibile.B comporta l’insorgere di B autoequilibrate.• Deformazione totale (congruente e compatibile):

• Tensione totale (autoequilibrata):

TEOREMA DELL’ISOMORFISMO (2° principio del fluage lineare)

AAA

B A AB k

B BB

BBAA

BA


Per studiare l’effetto di supponiamo che risulti:

Allora

congruente e compatibile

Inoltre

Quindi

con equilibrato

B

BB

AABBAA

AA

ABAB kk

)1( kk AAA

)1( kA


Poiché la soluzione proposta risulta essere congruente, compatibile ed equilibrata, per ilteorema di Kirchoff sull’unicità della soluzione dell’equilibrio elastico, essa risulta esserequella reale.Ad esempio, si può considerare una trave precompressa con martinetti e poi bloccata, nellaquale interviene il fluage (proporzionale alla deformazione elastica): lo stato dideformazione non varia, lo stato di tensione varia mantenendosi simile a se stesso.

Si può generalizzare come segue:”L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi in stato di coazione diuna deformazione impressa simile alla deformazione elastica preesistente non modificalo stato di deformazione, mentre lo stato di tensione varia in similitudine a se stesso.”

Una deformazione impressa quale si chiama ISOMORFA.B


Corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi in equilibrio sotto l’azione di un sistema di forze F.Ne conseguono tensioni A equilibrate e deformazioni A congruenti e compatibili.Si aggiunga un sistema di deformazioni impresse

è congruente e compatibile perché proporzionale ad . Quindi B = 0 e B = 0

• Deformazione totale:

• Tensione totale:

Ad esempio il fluage altera lo stato di deformazione in modo proporzionale, ma non quello di tensione.

COROLLARIO DEL TEORERMA DELL’ISOMORFISMO (1°principio del fluage lineare)

AB k

B A

)1( kABA

A


“L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi soggetto ad in sistemadi forze equilibrato di una deformazione simile a quella elastica preesistente nonmodifica lo stato di sollecitazione, mentre lo stato di deformazione cambia restandosimile a se stesso”.Dal punto di vista quantitativo:

Uiel(t) = stato di deformazione elastica di una struttura omogenea a vincoli rigidi provocato

da deformazioni impresse cn(t). A seguito dell’intervento di una deformazione isomorfarisulta:Ui(t) = Ui

el(t)

Se invece cel(t) è lo stato di tensione dovuto ad un sistema di forze equilibrato, risulta:

c(t) = cel(t)

linearefluageB

t c

co

t cnc tRE

tRtc00

),(1))()((),()(

t elico

t

i dUtJEtJtU00

)(),()(),()(


Si consideri un corpo elastico ed omogeneo avente n vincoli rigidi dotati di reazioni Xi(t0)in presenza di forze costanti F applicate in t0.

Subito dopo l’applicazione del carico si introduce un ulteriore vincolo nel qualeinizialmente la reazione vale ovviamente Xn+1(t0) = 0.Si studia l’evoluzione delle reazioni dovuta allo sviluppo del fluage.Si immagini di introdurre il vincolo n+1mo prima dei carichi, in esso nascerà di conseguenzauna reazione

Xn+1(t0) e tutte le altre reazioni subiranno delle variazioni Xi(t0).

PRINCIPIO DI ACQUISIZIONE DEI VINCOLI POSTICIPATI (3° principio del fluage lineare)


Per ritornare alle condizioni iniziali occorre far subire al vincolo n+1mo un cedimento uguale all’abbassamento provocato in quel punto dal carico.

Di conseguenza:

in n+1:in t0

in i:

dove: A : effetto di forze, quindi invariabile nel tempoB : effetto di deformazioni impresse, quindi variabile nel tempo con legge di rilassamentoC : forzeD : forzeE : deformazioni impresse

0)()( 0101 B

n

A

n tXtX

)()()()( 0000 tXtXtXtX i

E

i

D

i

C

i


Tenuto conto della origine dei diversi contributi, al tempo t risulterà:

Poiché per t0 = 28 giorni risulta R(t,t0)/Ec = 0,150,30 per t = ∞ risulta:

Il valore finale della reazione nel vincolo n+1mo risulta essere sensibilmente prossimo alvalore che si sarebbe ottenuto nel caso di vincolo preesistente alla applicazione del carico.Molti procedimenti costruttivi implicano variazioni di schema statico, ma con tempi t1 diintroduzione dei nuovi vincoli talora sensibilmente distinti da t0.Occorre pertanto generalizzare il precedente principio introducendo la variabile t1 > t0

c

00i0i

c

00i0i0ii

c

001n

c

001n01n1n

E)t,t(R1)t(X)t(X

E)t,t(R)t(X)t(X)t(X)t(X

E)t,t(R1)t(X

E)t,t(R)t(X)t(X)t(X

)()85,070,0()( 011 tXtX nn


4° PRINCIPIO DEL FLUAGE LINEARE

Si consideri una modifica di condizioni di vincolo in una struttura omogenea a vincoli rigididallo schema 1 con k vincoli allo schema 2 con m > k vincoli, ottenuta con l’introduzione dim – k vincoli addizionali al tempo t1 > t0 (in t0 vengono applicati dei carichi permanenti).

Siano:

XR(t): reazioni al tempo t > t1 dei k vincoli esistenti (R = 1,…, k)

XS(t): reazioni al tempo t > t1 degli m – k vincoli addizionali (S = k+1,…, m)

XRel,1: reazioni elastiche nello schema statico 1 (con k vincoli)

XRel, XS

el: correzioni da applicare alla soluzione elastica nello schema 1 per rispettare le(m – k) condizioni geometriche addizionali imposte dai vincoli addizionali(m – k), supposti applicati prima dell’introduzione dei carichi (schema 2)


Per il primo teorema della viscoelasticità lineare, per azioni permanenti i valori elastici dellereazioni XR

el,1 restano costanti per condizioni di vincolo costanti (schema 1), mentre glispostamenti elastici uel,1, valutati con un modulo Ec di riferimento, aumentano tramite ilfattore adimensionale EcJ(t,t0).

Al tempo t = t1 gli spostamenti dei punti di applicazione degli (m – k) vincoli addizionali(attivi per t > t1) valgono:

L’introduzione degli (m – k) vincoli impedisce l’ulteriore deformabilità per creep nei punticorrispondenti, ovvero essi (vincoli) impongono per t > t1, (m – k) condizioni geometrichecorrispondenti a:

)t,t(JEu)t(u 01c1,el

S1S

),(),()( 0101, ttJttJEutu c

elSS


Per il secondo teorema della viscoelasticità lineare, la risposta delle reazioni XR(t) eXS(t) al sistema di deformazioni imposte per t > t1 può essere ottenuta integrandonel tempo da t1 a t gli incrementi delle reazioni elastiche, moltiplicati per il fattorerilassamento R(t,)/Ec

in quanto gli incrementi delle reazioni valgono:

t

t

elSS

t

t

elRR

tdJtRXtX

tdJtRXtX

1

1

),(),()(

),(),()(

0

0

)(tuS

c

elSc

elS

celRc

elR

EtdJXEttJttJXd

EtdJXEttJttJXd

),(),(),(

),(),(),(

0010

0010


Si introduce la funzione

risulta:

Le evoluzioni temporali delle reazioni per t > t1 nella struttura a vincoli modificati possonoessere ottenute applicando il principio di sovrapposizione:

t

ttdJtRttt

1

),(),(),,( 001

),,()(

),,()(

01

01

tttXtX

tttXtXelSS

elRR

elSS

elR

elRR

XttttX

XtttXtX

),,()(

),,()(

01

011,


La funzione (t,t1,t0) misura la parte dovuta al fluage della differenza tra la distribuzione direazioni corrispondenti all’applicazione del carico permanente nello schema 2 e quellacorrispondente allo schema 1, per carichi applicati in t0 nello schema 1 e vincoliaddizionali introdotti in t1.

0 ≤ ≤ 1 = 0 per t = t1 = 1 per t1= t0

+ (al limite)per t1= t0

+

che corrisponde al caso precedente.Introducendo nella (1) di pag. 4-8:

c = 0 per t < t0 e c = 1 per t > t0 c(t,t0) = J(t,t0)e dalla (2)

dove J(t0,t0) = 1/Ec

c

t

t EttRtdJtRttt ),(1),(),(),,( 0

0000

t

t 00000

)t,(dJ),t(R)t,t(R)t,t(J1


5° PRINCIPIO DEL FLUAGE LINEARE

La funzione integrale (t,t1,t0) può anche essere adottata per il caso di strutture omogeneesoggette a successive variazioni di schema statico.In questo caso la reazione nel vincolo posticipato kmo introdotto al tempo tk nello schemastatico k -1mo vale:

tk ≤ t ≤ tk+1

Questa relazione produce una variazione nelle reazioni dei vincoli introdotti in precedenzache può essere valutata “elasticamente” in accordo al teorema dell’isomorfismo (1°principio della viscoelasticità lineare)

),,()( 01)()( tttXtX kel

kk

k


Allora le reazioni nei vincoli posticipati introdotti ai tempi tj tk assumono le espressioni:

Dove ajk(k-1) sono le reazioni elastiche nel jmo vincolo posticipato dovuto all’applicazione

di Xk = 1 nello schema k-1.

In definitiva nel vincolo kmo insorge una reazione pari a quella che sarebbe presente se ilvincolo fosse stato introdotto nella struttura con schema originale in k-1 vincoli.

I vincoli preesistenti subiscono, per effetto dei vincoli posticipati successivi, variazioni direazioni che dipendono esclusivamente dalle reazioni Xk

k(t) che insorgono in tali vincolinello schema statico in cui vengono introdotti.

)(),,()(1

)1(0

)()( tXatttXtX kk

m

jk

kjkj

jelj

mj


Occorre risolvere un problema con doppia iperstaticità interna (parametri dideformazione/tensione) nel caso di una struttura non omogenea, nella quale nonè valido il teorema dell’isomorfismo.È nota la difficoltà di risolvere la seguente equazione per storie di deformazione note in forma chiusa:

STRUTTURE COMPOSTE ACCIAIO CALCESTRUZZO(Effetti di ritiro e fluage sui livelli tensionali della sezione)

t

ccnc tJtt

0

,

0

0 0 0

t

t

σ τJ t,τ σ t σ t μ t,t J t,t

Occorre usare metodi numerici di cui il più noto è il metodo A.A.E.M. (AgeAdjusted Effective Modulus). In pratica l’integrale che rappresenta il principio disovrapposizione viene calcolato per via numerica


μ è un fattore correttivo applicato alla funzione di deformazione ∆σ(t)J(t,t0)che corrisponde alla variazione di tensione σ(t)-σ(t0) supposta agiretotalmente al tempo t = t0, per tener conto del fatto che la risposta elementare∂σ(t)J(t,) di ogni variazione elementare ∂σ() è progressivamente ridottadall’invecchiamento del materiale [J(t,t) ≤ J(t,t0)]

Impiegando la seguente espressione della funzione fluage

28

28

1

c c

t,τJ t,τ

E t E

si introduce la correzione come fattore (t,t0) (fattore di invecchiamento) applicato alla frazione differita della deformazione

0

28 00 0

0 28

1t

c ct

t,tσ τJ t,τ σ t σ t χ t,t

E t E


Si può scrivere:

28

0280

00

28

028

00

000

110

cccc

t

tccntot

Et,tt,tχ

tEtσtσ

Et,t

tEtσ

τσt,τJt,tJtσtεt,tε

cadjceff

ntot Etσ

Etσtεt,tε

00

Modulo effettivo Modulo corretto

28

028

0

11

ccceff Et,t

tEE

28

0280

0

11

cccadj Et,tt,tχ

tEE

Il problema è semplice da risolvere se si conosce il valore di (t,t0)


Il valore di può essere determinato in modo esatto per un caso di purorilassamento: data una deformazione costante εn applicata al tempo t0, risulta

0

0 0 00

nc

σ tσ t,t ε R t,t R t,t

E t

Confrontando questa espressione con quella della deformazione totale εtot(t,t0)si ottiene

0280

28

00

00 t,ttE

Et,tRtE

tEt,tχc

c

c

c

Tale espressione è esatta per problema di puro rilassamento e puro fluage; èapprossimata in tutti gli altri casi. In tutti i casi in cui la variazione di tensioneassume forma di esponenziale smorzato gli errori sono trascurabili. È il casoad esempio del ritiro e dei cedimenti degli appoggi che hanno leggi divariazione simili a quelle del fluage.

La funzione è tabulata in funzione delle leggi di viscosità oggi proposte. Invia approssimata si può assumere:

500

500

500

500

180 ,

,

,

,

tntχ

ttχ,χ ancheooppure

n = parametri reologici


EFFETTI STRUTTURALI DEL RITIRO

Valori forfettari per il coefficiente diritiro (M.C. 90)

Può in pratica essere assimilato ad unadiminuzione di temperatura.Con: ecs 0,40/1000

a =10-5 °C-1

risulta: DT = 0,4/1000 · 105 = 40 °C !!

RITIRO DIFFERENZIALE TRAVE – SOLETTA

Di conseguenza nasce un sistema di deformazioni elastiche complementari tali che la deformazionetotale sia congruente:

)ε -μy (λ E ε E σμy λ ε ε

zzZ

zz

Trave stagionata: ecs 0Soletta gettata in opera: ecs ≠ 0Ritiro deformazione impressa ez = ecs

ez NON CONGRUENTE

2020

80

100

G

y

A = 2’000 cm2

ATR = 2’000 cm2

ITOT = 5’300’000 cm4


Poiché si tratta di stati di tensione autoequilibrati, deve risultare:

0dAy σ 0dA σA ZA Z cioè:

0 dA ε - dAμy dA λ 0dA )ε-μy(λEA ZAAA Z

= 0 perché momento statico sezionerispetto ad asse baricentrico

quindi: A ZA Z dA ε

A1 λ dA ε Aλ

0 dAy ε - dA μy dAλy 0dA y )ε-μy(λEA ZA

2

AA Z = 0

quindi: A ZA Z dAy ε

I1 μ dAy ε Iμ

Supposto risulta:

63

33

TOT

3Z

10 3,39 2000 30 10 0,3 I1 μ

10 0,15 2000 10 0,3 A

1 λ

100,3 ε


Il diagramma tensionale si ottiene per sovrapposizione di quelli elementari:

Nella trave

Nella soletta

)μy (λ E σ trZ

)ε -μy (λ E σ zsol Z

La presenza del fluage smorza gli effetti elastici così calcolati; il valore finale è dell’ordine del 40% diquello elastico.

COAZIONE ARMATURE - CALCESTRUZZO NEI PILASTRI

Per il ritiro il pilastro si accorcerebbe di ls

Congruenza deformazione (aderenza)

ccsc,

ss

c

csc,

s

scsc,s

cssc,

AEN ε

AEN

Eσ ε

Eσ ε ε ε

Δ Δ Δ

lll

o anche:

G

l

lslc lcs

AS

AC


ccss

sc,

sc,ccss

AE1

AE1

ε N

ε AE1

AE1 N

Quindi:

da cui: SFORZO NORMALE INTERNO SCAMBIATO TRA ACCIAIO E CALCESTRUZZO

Con cm) 30x (30 cm 900 A , 16) Φ (1 cm 2 A , 10 0,3 ε 2c

2s

-3sc,

Risulta:

) TRAZIONE ( cm / Kg1,31 900

1179 AN σ

) NECOMPRESSIO ( cm / Kg589,5 2

1179 AN σ

Kg1179

009 2500001

2 10 21

10 0,3 N

2

cs

2

ss

6

-3

Raddoppiando l’armatura risulta:

2s

2s

cm / Kg2,57 σ

cm / Kg579 σKg2317N

Nei pilastri molto armati si può raggiungere la resistenza a trazione del calcestruzzo, con conseguentefessurazione.

In realtà, anche in questo caso, l’intervento del fluage in trazione riduce a circa il 40% del valore elasticolo stato di sollecitazione reale.


EFFETTI STRUTTURALI DI RITIRO E FLUAGENELLE SEZIONI COMPOSTE

Si applica il metodo della deformazione per analizzare la risposta della sezione

G

y

z

arctg

tt=0

(t)- (t0)

0

La condizione di compatibilità della

deformazione porta a μyλtεtε tottot 0

Supponendo che non intervengano variazioni delle azioni permanenti dopo t0, conil metodo A.A.E.M. la deformazione totale può essere espressa come:

28

0280

00

28

02800

1

cccntottot E

t,tt,tχtE

tσtσE

t,ttσεtεtε

0n n nε ε t ε t


Introducendo l’equazione di congruenza, si determinano le variazioni di tensionenel calcestruzzo

0

28

0280

28

0280

0

0 11 t,t

Et,ttσεμyλ

Et,tt,tχ

tE

tσtσc

n

cc

1. Esprimendo lo stato di tensione al tempo t0 come γyβtσ 0

2. Ponendo

0280280

t,tt,tχEE

tEEα

c

s

c

sc

γyβ

Et,tεμyλ

αEtσtσ

cn

c

s

28

0280

La variazione di tensione nell’acciaio è data da

μyλEtσtσ sss 0


Poiché non ci sono variazioni delle azioni esterne, la variazione dello stato ditensione deve risultare autoequilibrata

0

0

0

0

ydAtt

dAtt

A

A

A = area totale della sezione

Sostituendo in queste equazioni le ultime due precedenti, si ottiene:

28 0

28

28 0

28

,0

,0

sc c n c c c s s s

c c

sc c n c c c s s s

c c

t tEA S A A S E A S

E

t tES I S S I E S I

E

Area calcestruzzoArea acciaio

Momento statico delle aree di calcestruzzo rispetto al baricentro G della sezione composta

Momento statico delle aree di acciaio rispetto al baricentro G

della sezione composta

Momento di inerzia delle aree di calcestruzzo rispetto al baricentro G


Momento di inerzia delle aree di acciaio rispetto al baricentro G



Raccogliendo:

ccc

cnsccscc

ccc

cnsccscc

ISE

ttSIISS

SAE

ttASSAA

28

028

28

028

,

,

Se si assume l’origine dell’asse y nel baricentro della sezione ideale con riferimento al fattore c la quantità Sc + cSs assume valore nullo, quindi

sccii

ccccn

AAAA

EttSAA

con

28

028 ,

sccii

ccccn

IIII

EttISS

con

28

028 ,


Determinati e si conoscono (t)-(t0) e s(t)-s(t0)

La deformazione imposta corrispondente al ritiro è contenuta nel termine ∆n

, ,c c s c c c s cN A E A

Si simula l’effetto applicando:A) al calcestruzzo una forza di trazione NcB) alla sezione composta una forza di compressione -Nc

Lo stato tensionale totale si ottiene dalla somma dei due precedenti (A+B)

Gli effetti strutturali di ritiro e fluage possono essere calcolati anche con una procedura differente approssimata

Il ritiro della parte di calcestruzzo è impedito dalla connessione all’acciaio, nasce quindi una forza di trazione nel calcestruzzo pari a:


Nc Nc

c,s (a)

+

Nc Nc

c,s (b)

c,s (a+b)+

a,s (b)+

-

+

-

a,s (b)

ccscc AEN ,A

B

A + B Stato tensionale

totale


Per tener conto dell’effetto smorzante benefico del fluage si può valutare Nc con un modulo ridotto

0,1*

tEE c

Ci si può quindi limitare ad effettuare due valutazioni elastiche al tempo t0 (modulo Ec) ed al tempo t (modulo E*)


EFFETTI IPERSTATICI DI RITIRO E FLUAGENELLE STRUTTURE COMPOSTE

Occorre effettuare una analisi step-by-step della struttura

si applicano le azioni permanenti al tempo t0 e si divide l’intervallo temporale t-t0 in n intervalli parziali ∆tk=tk-tk-1

tramite una analisi elastica si determinano le tensioni e deformazioni iniziali (t0,s) in ogni concio di ascissa s

si valutano quindi le variazioni delle configurazioni deformate dei conci ∆(t1,t0,s) ∆(t1,t0,s) intervenute nell’intervallo t1,t0, che in genere risultano non congruenti con i vincoli

si valutano le variazioni da applicare alle reazioni vincolari Xi(t1,t0), per effetto di ∆ e ∆, da attribuire all’intervallo di tempo t1-t0

si itera la procedura per tutti i successivi intervalli


STRUTTURE OMOGENEE CON VINCOLI ELASTICI

1° e 2° principio della viscoelasticità lineare NON possono essere applicati

Variazioni contemporanee dello stato di tensione e di deformazione

Soluzione col metodo delle forze

Assumere una configurazione equilibrata (con forze incognite) Imporre la compatibilità tra spostamenti nella struttura e nei vincoli

elastici

Le incognite sono le reazioni nei vincoli elastici


Ipotesi

Azioni permanenti costanti applicate in t0

Vincoli elastici applicati in t0+

Equazione di compatibilità tra t0+ e t

Incognite le variazioni delle reazioni nei vincoli rispettoalla soluzione elastica a t0


Nei vincoli elastici

Deformabilità vincoli elastici (lii/EAi)

Equazione di compatibilità nella struttura

Spostamento in “i” in direzione “i” effetto di deformazioni impresse

Spostamento elastico in “i” in direzione “i” effetto delle azioni permanenti valutato con Ec(t0)

Spostamenti elastici in “i” in direzione “i” effetti di forze unitarie dirette come le incognite iperstatiche Xj, valutati con Ec(t0)


Imponendo l’uguaglianza delle due precedenti espressioni si ottiene

Equazioni costituenti un sistema di equazioni di compatibilità nelle incognite Xj


a) Tutti i vincoli elastici sono applicati in t0-

Si introducono solo i valori Xj(t0) ottenuti da una analisi elastica a t0

b) Uno o più vincoli elastici sono introdotti a t0+

Xj(t0) vanno calcolati per i vincoli elastici presenti in t0- , per gli altri Xj(t0) = 0

In ogni caso si ottiene un sistema di equazioni integrali nelle incognite Xj , da risolvere numericamente


Applicando il Metodo AAEM l’equazione ricorrentedel sistema diventa

Ritiro e Viscositài

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