Riconnessione magnetica 3D in plasmi non colisionali D. Borgogno, D. Grasso, F. Porcelli Burning...

Riconnessione magnetica 3D in plasmi non colisionali

D. Borgogno, D. Grasso, F. PorcelliBurning Plasma Research Group, Politecnico di

Torino e INFM

F. Califano, F. PegoraroDip. di Fisica, Università di Pisa

D. FarinaAss. EURATOM-ENEA-CNR, Milano

Outline

• Motivazioni• Equazioni del modello• Codice numerico• Geometria 3D: Perturbazioni a singola elicità Perturbazioni a doppia elicità• Conclusioni

Motivazioni (1)

ee p

nedt

Jd

ne

mJB

cE

1v1

2

• Negli ultimi anni la riconnessione magnetica in regimi non collisionali è stata ampiamente analizzata nell’ambito di modelli fluidi 2D

• Legge di Ohm generalizzata:

• Lunghezze di scala caratteristiche

i

i

es

pe

e

T

T

cd

Electron skin depth

Ion sound Larmor radius

• In regimi non collisionali, l’inerzia elettronica è responsabile del processo di riconnessione, rilassando il vincolo di congelamento delle linee di campo e fornendo l’impedenza necessaria allo sviluppo di un campo elettrico in direzione parallela al campo magnetico

Motivazioni (2)

• In un gran numero di lavori è stato mostrato che, partendo da equilibri 1D con grandi valori del parametro ’, il processo di evoluzione non lineare di isole magnetiche instabili è accompagnato dallo sviluppo di scale molto piccole (inferiori alla lunghezza di scala inerziale)

• La comparsa di queste piccole lunghezze di scala può essere messa in relazione con la presenza di speciali campi, che si conservano lagrangianamente e che impongono importanti vincoli topologici durante l’evoluzione di instabilità di riconnessione.

• L’approccio allo stato saturato nella riconnessione non collisionale è stato associato ad un processo di phase mixing di tali campi conservati.

Motivazioni (3)

• In geometria 3D le proprietà di conservazione cambiano. In che modo questi cambiamenti influenzano il processo di riconnessione?

• In geometria 3D l’hamiltoniana per le linee di campo magnetico non è più integrabile. Qual è l’effetto della stocasticità delle linee di campo sul processo?

• Come si comportano gli strati di corrente in presenza di stocasticità?

Equazioni del modello (1)

z

Ut

U

z

UUd

t

d sse

e

22

222

2

,,

,,

ze

v

gfegf z ,

con

yx ey

ex

zzz eyxeBB

),(2J

2U

JU

: corrente: stream function: vorticità


2/

2/

,

2

GGd

GGd

z

GG

t

G

se

e

,2 UdJdG see e

s

ddove

222222

seddxdydzH

• Conservazione dell’energia


• Geometria 2D

0z

0,

Gt

G conservano la propria topologia

G

GdxdyhC 2 famiglie infinte di Casimirs

• Geometria 3D

, dxdydzGC 22 GGdxdydzC

Geometria 3D – codice numerico (1)

• Le equazioni del modello possono essere riscritte nella forma:

zG

t

G

v

in cuie

szyx dxy

v,v,v

• Applicando uno schema ai volumi finiti si ottengono le equazioni di evoluzione temporale per i valori medi dei

campi G

dV

zVSdG

Vt

G 1v

1

in cui zyxVdVGV

GV

x

,

1

Geometria 3D – codice numerico (2)

• I valori medi dei campi G sono fatti avanzare nel tempo attraverso uno schema esplicito al terzo ordine Adams-Bashford. Mediante un metodo che utilizza Fast Fourier Transform è possibile ricostruire il valore dei campi sui punti griglia.

• Il codice è stato parallelizzato attraverso la libreria MPI, secondo uno schema per cui solo la direzione z è distribuita tra i diversi processori.

Risultati 3D: perturbazioni a singola elicità (1)

• ;cos48.0)( xxeq 24.0 sed

• ;32,4,2 zyx LLL 1 ed : riconnesione “veloce”

• Perturbazione a singola elicità:)exp()(ˆ),,,(~ zikyikxtzyx zy

con 1,1,/2,/2 nmLnkLmk zzyy • Questo caso è equivalente a un problema 2D asimmetrico, con due superfici razionali poste dove

y

zeq

k

k

dx

xd

)(

Risultati 3D: perturbazioni singola elicità (3)

• Il tasso di crescita lineare per i modi asimmetrici )( asym non èsostanzialmente diverso da quello per i modi 2D

simmetrici )( sym

)(y

zsymasym k

kO

• Non linearmente compaiono modi con la stessa elicità della perturbazione di partenza. Questi modi crescono in accordo con la teoria quasilineare

Risultati 3D: perturbazioni a singola elicità (4)• E’ possibile identificare nuovi invarianti Lagrangiani

2/

2/

0,

**

***

2

*

***

GGd

GGd

Gt

G

se

e

in cui

xk

k

xk

k

xk

kGG

y

z

y

z

y

z

*

*

*

0* B

const* superfici magnetiche


• Analogamente al caso 2D simmetrico, l’avvezione di G ad opera dei campidi moto assocciati alle stream

functions conduce al phase

mixingdei due invarianti lagrangiani.caso asimmetrico caso simmetrico


• Come mostrato in geometria 2D, ci aspettiamo, che nonostante la dinamica hamiltoniana e la presenza di vincoli topologici, il sistema possa raggiungere un nuovo stato di equilibrio magnetico.

Riconnessione 3D: perturbazioni a singola elicità (6)

• Perturbazioni a singola elicità in geometria 3D non hanno una parità definita nell’intorno delle superfici magnetiche risonanti. Il flusso di plasma associato con queste perturbazioni, quindi, non presenta punti di stagnazione nei punti ad X e ad O delle isole magnetiche.

• Punti ad X e ad O mostrano una deriva non lineare lungo la direzione x con la velocità fluida:

O

O

X

X v,vyy

Risultati 3D: perturbazioni a elicità multipla (1)

• ;cos48.0)( xxeq 24.0 sed

• ;32,4,2 zyx LLL 1 ed : riconnesione “veloce”

• Perturbazione a doppia elicità:

)exp()exp()(ˆ),,,(~ zikyikzikyikxtzyx zyzy con 1,1,/2,/2 nmLnkLmk zzyy

• Linearmente le superfici razionali giacciono dove:

y

zeq

k

k

dx

xd

)(


• Non linearmente appaiono nuove elicità. I loro tassi di crescita mostrano un buon accordo con la teoria quasi lineare.


• Le regioni in cui la corrente raggiunge i valori massimi si spostano al variare di z lungo le superfici cilindriche (isosuperfici di corrente)

• E’ evidente la separazione dei picchi di corrente a tutti i piani z=const


• Per effetto delle interazioni non lineari la struttura a due canali di corrente, propria della fase non lineare iniziale, è transita ad una struttura ad un unico canale.

• A tempi fortemente non lineari i massimi di corrente non traslano con velocità fluida, ma il loro moto è conseguenza dell’intensa interazione tra modi con differenti elicità.

Geometria 3D: perturbazioni a elicità multipla (8)• Il modello che studiamo prevede un campo magnetico del tipo:

zz etzyxeBtzyxB

),,,(),,,( 0 con constB 0

• In coordinate cartesiane le linee di campo magnetico sono parametrizzate dal sistema di equazioni:

z

x

z

y

B

B

yBdz

dx

B

B

xBdz

dy

0

0

1

1

• Rappresentano le eq. di Hamilton per un sistema dinamico con Hamiltoniana che si muove, nel “tempo” z, nello spazio delle fasi rappresentato dalle variabili canonicamente coniugate x e y

0B

Geometria 3D: perturbazioni a elicità multipla (9)

0/),,(),,,( 0 constBzyxzyxH

0

,,,B

zzyyxx

,x

H

dz

dy

• Il sistema precedente può essere trasformato in un equivalente sistema autonomoa due gradi di libertà, la cui hamiltoniana è data da:

con

• Le nuove eq. di Hamilton diventano:

,y

H

dz

dx

z

H

dz

d

• Attraverso l’integrazione numerica di queste equazioni, in cui è fornita ad ogni tempo fisico t dal codice fluido, siamo in grado di conoscere la struttura del campo magnetico al variare del tempo.

Geometria 3D: perturbazioni a elicità multipla (10)• In fase lineare, in cui le due perturbazioni inizialmente imposte crescono

indipendentemente, il campo magnetico non mostra alcun segno di caoticità


• All’inizio della fase non lineare si manifestano i primi segni di caoticità nell’intorno delle separatrici.

Geometria 3D: perturbazioni a elicità multipla (12)• Al crescere delle perturbazioni, le superfici regolari che separano le regioni

caotiche sono sempre più fortemente perturbate e alla fine distrutte.

Comparsa di stocasticità globale


• Al crescere del tempo la regione stocastica continua a riempire regioni sempre più ampie dello spazio ….


• … non solo per effetto delle perturbazioni inizialmente imposte …..


• … ma anche per effetto di tutte le perturbazioni di ordine superiore che si generano per interazioni non lineari.


• Attraverso il calcolo degli esponenti di Liapunov per le traiettorie stocastiche, siamo in grado di dare una misura quantitativa del grado di caoticità del campo magnetico.

Conclusioni e work in progress

• Modi a singola elicità sono modi 2D obliqui. I punti ad X e ad O delle isole magnetiche corrispondenti traslano nonlinearmente con velocità fluida.

• L’interazione non lineare tra modi con elicità multipla genera nuove elicità la cui evoluzione temporale iniziale è consistente con la teoria quasi lineare.

• Forti interazioni non lineari tra elicità differenti modificano profondamente la topologia degli strati di corrente e vorticità.

• La struttura del campo magnetico evidenzia un alto grado di stocasticità.

• Come si distribuisce la corrente all’interno delle regioni stocastiche?

• E’ possibile raggiungere uno stato finale saturato in presenza di perturbazioni a elicità multipla?

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