RICERCA Le condizioni di vincolo nelle travi composte ... momento statico e dal momento di inerzia...

44 2 costruzioni metalliche mar apr 13

End constraints in steel- concrete composite beams

Le condizioni di vincolo nelle travi composte acciaio-calcestruzzo

Mario Sassone, Carlo Casalegno,Paolo Napoli

1. INTRODUZIONENelle travi composte, l’ipotesi di uguaglianza delle curvature e di

assenza di distacchi (uplift) in senso trasversale fra le due parti della

sezione collegate fra loro dalla connessione, basata sulla formulazione

di Newmark [1], conduce generalmente a risultati sufficientemente

precisi dal punto di vista ingegneristico. La deformazione in senso

traversale della connessione, in particolare, assume nei casi correnti

valori trascurabili. Tale ipotesi, inoltre, offre il vantaggio di dare

luogo ad un modello lineare, per il quale si possono trovare, sotto

determinate condizioni, soluzioni in forma chiusa (E. Cosenza e S.

Mazzolani [2], [3]). A partire dalla formulazione lineare, il modello

di Newmark è stato esteso alla simulazione del comportamento

non lineare di materiali e connessione [4] ed alla valutazione degli

effetti del comportamento reologico del calcestruzzo [5]. Numerosi

autori hanno inoltre impiegato tale modello per la costruzione di

un elemento finito specifico per la trave composta. I primi tentativi

di fornire una formulazione più rigorosa del problema si devono ad

Adekola [5][6][7], e successivamente ad Aribert e ai suoi collaboratori

[8][9][10]. Recentemente una formulazione completa del problema

è stata proposta in [11]. La formulazione di modelli più complessi ha

permesso di indagare aspetti specifici del comportamento strutturale,

come l’influenza dello shear-lag e l’interazione fra deformabilità

della connessione, viscosità e ritiro nel calcestruzzo. La complessità

di queste formulazioni le rende orientate verso l’implementazione

nell’ambito del metodo degli elementi finiti. In Sassone [12], [13] e

successivamente in Sassone et al. [14] l’attenzione si è rivolta sull’effetto

che le condizioni di vincolo d’estremità hanno sul comportamento

globale della trave, in particolare quando tali condizioni non

soddisfano l’ipotesi di Newmark (assenza di deformazioni trasversali

della connessione). In queste circostanze, quando la distribuzione

degli sforzi esterni sulle sezioni d’estremità della trave corrisponde alla

distribuzione teorica, la soluzione deve necessariamente prevedere

Si propone un modello meccanico di trave composta acciaio-calcestruzzo in grado di cogliere gli effetti di condizioni di vincolo diverse per i due materiali. La connessione è considerata deformabile in senso longitudinale e trasversale. Il modello è applicato alle travi a soletta continua. Sono studiati l’effetto di una riduzione della connessione nella zona prossima al vincolo di continuità e il comportamento a lungo termine.

A mechanical model of a steel-concrete composite beam capa-ble of sustaining different constraint conditions is presented. Transverse and longitudinal deformability is considered. The model is applied to partially continuous girders. The effect of connection reduction near the continuity constraint and de-layed behaviour due to concrete creep are investigated.

una deformazione trasversale, in modo da garantire la congruenza

e l’equilibrio di tali sezioni d’estremità. Dal momento che la teoria

di De Saint Venant non è rispettata nelle travi composte, tali effetti

“di bordo” non sono limitati alla cosiddetta distanza di estinzione,

ma coinvolgono il regime complessivo della trave. Una situazione di

questo tipo si verifica, ad esempio, quando una soletta continua di

calcestruzzo armato viene solidarizzata ad una serie di travi metalliche

libere di ruotare alle estremità, come nel caso di travi incernierate

nei nodi trave-pilastro. In questo caso, infatti, si ha trasmissione di

momento nella parte in calcestruzzo armato e assenza di tensioni

normali nella parte in acciaio. In questo articolo si descrive un modello

meccanico della trave composta acciaio-calcestruzzo in grado di

cogliere gli effetti di condizioni di vincolo diverse per i due materiali,

considerando anche la deformabilità della connessione in direzione

trasversale. Al modello viene associata una procedura di risoluzione

numerica alle differenze finite, nella quale la non linearità dovuta

al comportamento unilatero è trattata con il metodo di Newton-

Raphson. La formulazione del modello è poi ampliata includendo

il comportamento viscoelastico del calcestruzzo, attraverso

l’introduzione del legame costitutivo integrale e la corrispondente

risoluzione numerica. Il modello è applicato ad una trave composta

con condizioni di vincolo dei profili in acciaio e della soletta in

calcestruzzo diverse fra loro. In particolare viene indagata la situazione

con parte metallica incernierata e soletta continua, che corrisponde al

caso applicativo più frequente, nelle condizioni di esercizio. Il modello

ha permesso di valutare l’efficacia di un dispositivo di annullamento

della connessione nelle zone terminali della trave, nell’attenuare gli

stati di sollecitazione locali indotti dai vincoli.

2. MODELLO GENERALIZZATO DELLA TRAVE COMPOSTA Il modello generalizzato della trave composta è descritto da un siste-

ma di equazioni differenziali. Attraverso l’imposizione delle condizioni

RIC

ERC

A

452 costruzioni metalliche mar apr 13

al contorno è possibile modellare in modo

puntuale i vincoli di estremità e l’effetto che

essi hanno sul comportamento complessivo

della trave. Anche assumendo per i materiali

un comportamento elastico, il modello risulta

intrinsecamente non lineare, dal momento

che in senso trasversale la connessione agi-

sce come vincolo unilatero. Per risolvere il

problema, e per consentire l’applicazione

generalizzata del modello, viene proposta

una strategia di soluzione numerica basata

sul metodo delle differenze finite e sull’algo-

ritmo iterativo di Newton-Raphson.

2.1 Parametri statici e cinematicidel modello Considerando una generica sezione

trasversale della trave composta piana, i

parametri necessari a definire il suo stato

sono complessivamente 12, 6 di tipo

cinematico e 6 di tipo statico. In assenza di

ipotesi restrittive, la parte in acciaio e quella

in calcestruzzo devono essere descritte

separatamente. Utilizzando l’indice 1 per

il calcestruzzo e 2 per l’acciaio (figura 1), i

gradi di libertà cinematici, corrispondenti

alle traslazioni ed alle rotazioni delle due

parti della sezione sono u1 , φ1 , v1 , u2 , φ2 ,

v2 e i corrispondenti incrementi relativi

ad un concio di lunghezza infinitesima

dz sono du1 , dφ1 , dv1 , du2 , dφ2 , dv2 . Dal

punto di vista statico la sezione è soggetta

alle componenti di sollecitazione N1 ,

M1 , T1 , N2 , M2 , T2 mentre sul concio di

lunghezza infinitesima gli incrementi delle

sollecitazioni sono dN1 , dM1 , dT1 , dN2 , dM2 , dT2 . Le due parti del concio infinitesimo

sono poi soggette individualmente alle

azioni esterne distribuite px1 , py1 , px2 , py2 ,

ed infine agli sforzi di interfaccia trasmessi

dalla connessione, anch’essi distribuiti, qx , qy.

È da notare che nella formulazione adottata

le forze distribuite esterne e gli sforzi

assiali sono convenzionalmente applicati

alla quota della superficie di interfaccia,

piuttosto che alle quote dei baricentri delle

due parti della sezione, al fine di rendere

più semplice la scrittura delle equazioni. Il

sistema di riferimento, inoltre prevede l’asse

y orientato verso l’alto (e di conseguenza

anche le forze di taglio positive).

2.2 Equazioni del modelloIl modello meccanico è formulato a partire

dalle condizioni indefinite di congruenza e

di equilibrio di un tratto infinitesimo di trave

composta.

Per esprimere la congruenza interna del

modello si definiscono preliminarmente le

deformazioni generalizzate delle due parti:

λ1 , λ2 , χ

1 e χ

2 , corrispondenti alle deforma-

zioni assiali alla quota dell’interfaccia e alle

due curvature:

(1)λ1= ε

1(ψ = 0)λ

2= ε 2(ψ = 0)

ψ

ε 1(ψ)

χ 1= —–

ψ

ε 2(ψ)

χ 2= —–

Le rotazioni generalizzate, naturalmente,

coincidono con i corrispondenti parametri

cinematici. Le equazioni di congruenza

interna assumono quindi la forma seguente:

(2)du

1

dxλ

1= —– ;

(3)du

2

dxλ

2= —– ;

(4)dv

1

dxφ

1= —– ;

(5)φ 2= —– ;

dv 2

dx

(6)χ 1= —– ;

dφ 1

dx

(7)χ 2= —– ;

dφ 2

dx

In modo del tutto duale sono definite le

equazioni indefinite di equilibrio, separa-

tamente per le due parti, nelle quali com-

paiono le componenti della sollecitazione,

le azioni esterne e gli sforzi di interfaccia:

(8)dN

1

dx—– – q

x= p 1x ;

(9)dN

2

dx—– – q

x= p 2x ;

(10)dT

1

dx—– – q

y= p 1y ;

(11)dT

1

dx—– – q

y= p 2y ;

Fig. 1 - Definizione cinematica e statica del modello meccanico


(12)dM

1

dx—– + T

1= 0

;

(13)dM

2

dx—– + T

2= 0

;

Alle condizioni di congruenza interna

e di equilibrio indefinite si aggiungono

i legami costitutivi dei due materiali e

della connessione. In un modello elastico

i legami costitutivi dei materiali sono

definiti dai moduli elastici E1 ed E2 , mentre

il comportamento della connessione è

intrinsecamente non-lineare a causa del

contatto fra le superfici di interfaccia fra i

materiali. Ipotizzando che il comportamento

secondo la direzione longitudinale sia

disaccoppiato da quello secondo la

direzione trasversale, la non linearità può

riguardare solo quest ’ultimo legame,

poiché si può assumere che gli scorrimenti

longitudinali possano avvenire in entrambi i

sensi proporzionalmente agli sforzi paralleli

all’interfaccia. Le equazioni di legame si

possono allora scrivere nella forma:

(14)α

1

E c

β 2

E c

—– N 1+ —– M

1 ; λ

1=

(15)α

2

E s

β 2

E s

—– N 2+ —– M

2 ; λ

2=

(16)β

1

E c

γ 1

E c

—– N 1+ —– M

1 ; χ

1=

(17)β

2

E 2

γ 2

E 2

—– N 2+ —– M

2 ; χ

2=

(18)K x (u

c-

u

s)

; q

x=

(19)f y (vc- vs)

; q y=

I coefficienti α1 , β1 , γ1 , α2 , β2 , γ2 , sono

determinati a par t i re dal l ’area, dal

momento statico e dal momento di inerzia

di ognuna delle due parti della sezione,

calcolati tenendo conto del segno e del

sistema di riferimento. La formulazione

è scritta seguendo il metodo delle forze,

piuttosto che quello degli spostamenti, in

modo da rendere possibile l’estensione ai

problemi viscoelastici, che verrà descritta al

paragrafo successivo. Ciò comporta che le

deformazioni generalizzate siano espresse

in funzione delle sollecitazioni, invece del

contrario, e i coefficienti delle equazioni si

ottengono dalle grandezze geometriche per

inversione delle equazioni.

Le quantità u1-u2 e v1-v2 corrispondono

r i s p e t t i v a m e n te a l l o s c o r r i m e n to

longitudinale fra le due facce della

connessione (slip) e alla separazione in

senso trasversale (uplift). Quest’ultima,

come si è detto è legata al corrispondente

sforzo qy da una funzione non lineare fy ,

che assume forma diversa in base al segno

della deformazione. Nella formulazione

proposta tale funzione è una bilatera che

per ragioni puramente computazionali ha

il ramo negativo (sforzi di compressione)

descritto da una rigidezza di alcuni ordini di

grandezza superiore a quella che descrive

il ramo positivo, in modo da non rendere

malcondizionato il problema. Trattandosi

di una formulazione alla Bernoulli, infine,

non viene presa in considerazione la

deformazione a taglio e la determinazione

di questo parametro (T1 e T2) è effettuata

esclusivamente attraverso le equazioni di

equilibrio.

Combinando fra loro le condizioni di

congruenza, di equilibrio e di legame si

ottiene il seguente sistema di equazioni

differenziali, in forma canonica:

(20)du

1

dx

α 1

E 1

β 1

E 1

—– - —– N 1- —– M

1= - λ 1 ;

–

(21)du

2

dx

α 2

E 2

β 2

E 2

—– - —– N 2- —– M

2= - λ 2 ;

–

(22)dφ

1

dx

β 1

E 1

γ 1

E 1

—– - —– N 1- —– M

1= - χ 1 ;

–

(23)dφ

2

dx

β 2

E 2

γ 2

E 2

—– - —– N 2- —– N

2= - χ 2 ;

–

(24)dv

1

dx—– - φ

1= 0 ;

(25)dv

2

dx—– - φ

2= 0 ;

(26)dN 1

dx—– - K

x. (u

1- u

2) =

- p

x1;

(27)dN 2

dx—– - K

x. (u

1- u

2) =

- p

x2;

(28)dM 1

dx—– - T

1 =

0

(29)dM 2

dx—– + T

2 =

0

(30)dT 1

dx—– - K

x (v

1- v

2) = - p

y1

(31)dT 2

dx—– - f

y (v1-v2) = - p

y2

Per passare dal modello matematico

al problema matematico è necessario

associare al sistema di equazioni differenziali

un numero appropriato di condizioni

al contorno, ovvero bisogna assegnare

a priori il valore di un certo numero di

incognite in un certo numero di punti, in

modo che il problema sia ben formulato.

Ciò si traduce nell’assegnare, in un certo

numero di sezioni della trave, dei valori

prefissati dei parametri cinematici e statici.

Avendo a disposizione queste grandezze

per entrambe le parti che compongono

la trave, le combinazioni possibili sono

molto numerose e permettono di indagare

un’ampia serie di casi.

In figura 2 è illustrato uno di questi casi:

la trave in acciaio è vincolata in semplice

appoggio mentre la parte in calcestruzzo

è totalmente libera (ad esclusione della

connessione, naturalmente). Le 12

condizioni al contorno sono espresse

annullando la sollecitazione per le sezioni

libere e lo spostamento per le sezioni

vincolate. In figura 2 è descritta una

situazione leggermente più complessa:

la trave in acciaio è vincolata in semplice


appoggio, ma ad una quota diversa da

quella di riferimento. Per il carrello a

destra l’annullamento di sforzo normale

e momento contemporaneamente non

richiede particolari accorgimenti; per la

cerniera a sinistra è invece necessario

legare fra loro spostamento orizzontale e

rotazione (in modo che lo spostamento si

annulli alla quota del vincolo) e momento

e sforzo assiale (in modo che il momento

si annulli alla quota del vincolo. La parte in

calcestruzzo è vincolata in modo diverso:

libera a sinistra e perfettamente incastrata

a destra.

3. SCHEMA DI RISOLUZIONE NUMERICALa risoluzione numerica del sistema di

equazioni si articola in tre fasi: prima di

tutto viene introdotta una discretizzazione

spaziale lungo la coordinata x ed uno

schema di approssimazione delle derivate

parziali rispetto a x: lo schema adottato è

quello delle differenze centrali di Crank–

Nicholson, del secondo ordine; in secondo

luogo viene introdotta una discretizzazione

della variabile tempo t ed uno schema

approssimato di risoluzione delle equazioni

integrali, basato sulla regola dei trapezi;

infine, per tenere conto della non linearità

dovuta al comportamento unilatero della

connessione la soluzione, ad ogni istante

di tempo, viene ottenuta per via iterativa

impiegando il metodo di Newton–Raphson.

Sviluppando per tutte le equazioni si ottiene

la seguente matrice locale di coefficienti:

4. CASO APPLICATIVO: TRAVI COMPOSTE PARZIALMENTE CONTINUELa formulazione presentata si presta ad

investigare il comportamento di una

soluzione progettuale ricorrente, nella

quale le travi metalliche sono vincolate in

semplice appoggio, o con collegamenti di

limitata rigidezza, mentre la soletta in cls è

continua. Questo schema costituisce una

alternativa efficace rispetto alle soluzioni

interamente isostatica e interamente

continua. La soletta continua presenta tutti

i vantaggi della costruzione senza giunti:

durabilità, economicità, comfort, che si

aggiungono alla maggiore semplicità

Fig. 2 - Condizioni al contorno: esempio 1

Fig. 3 - Condizioni al contorno: esempio 2

Fig. 4 - Sottomatrice rettangolare di un passo dello schema alle differenze finite


costruttiva del collegamento parziale per la

trave in acciaio. Nel caso di travi composte

inserite in telai, la continuità della soletta

può costituire una risorsa dal punto di vista

della duttilità. In presenza di collegamenti

trave colonna bullonati o saldati di tipo

semirigido, che presentano scarsa duttilità

a causa della concentrazione degli sforzi

nelle bullonature o nelle piastre (rottura

fragile dei bulloni o instabilità dei pannelli

d’anima della colonna), la disponibilità di un

tratto di soletta opportunamente armato

permette di concentrare la dissipazione

nell’armatura tesa superiore (Kuhlmann

2007 [16]).

È da notare che un approccio alternativo,

più oneroso, nella progettazione dei telai

sismoresistenti consiste nell’eliminare

l’azione composta in prossimità del nodo,

in modo da affidare tutta la capacità

resistente e dissipativa alla parte in acciaio.

4.1 Caso studioI l procedimento di soluzione è stato

applicato sulla base dei dati di progetto

illustrati in figura 6. Nella zona intermedia

si è considerata una separazione di un

metro fra le estremità delle travi per cui la

trasmissione delle sollecitazioni di continuità

avviene solo nella soletta di calcestruzzo

armato, come potrebbe accadere nel

caso che le travi siano incernierate alla

sommità di una pila. La connessione è

progettata complessivamente come “full

shear connection”, secondo le indicazioni di

EC4 6.1.1.(7) e 6.6.2.2.(3) e localizzata lungo

la trave secondo tre diverse configurazioni:

connessione perfettamente distribuita

(caso teorico); connessione concentrata

in 5 sezioni equispaziate su ogni campata;

connessione concentrata in due sezioni

prossime alle estremità di ogni campata.

Per quanto riguarda la rigidezza in senso

trasversale della connessione non sono

stati reperiti dati significativi in letteratura,

per cui le analisi sono state condotte in

modo parametrico, assumendo un ampio

campo di variabilità dei valori.

Fig. 5 - Nodo trave-colonna composto semirigido ad alta duttilità (da Kuhlmann 2007)

Fig. 6 - Schema del caso di studio


4.2 Analisi parametricaCon una prima serie di analisi si è studiato

il comportamento di questa struttura

per diversi valori dei parametri: in figura

7 sono rappresentati il distacco in senso

trasversale e lo scorrimento in senso

longitudinale, rispettivamente per diversi

valori di rigidezza trasversale e per diversi

valori di rigidezza longitudinale, assumendo

la connessione distr ibuita. Come si

può notare, l’effetto della condizione di

continuità sulla soletta provoca il distacco

su una porzione di inter faccia la cui

estensione dipende dal valore di rigidezza

trasversale. Lo scorrimento longitudinale,

d’altra parte, dipende essenzialmente

dal valore della corrispondente rigidezza.

Nei diagrammi di figura 8 e figura 9

Fig. 9 - Distacchi e scorrimenti per connessione concentrata in 2 sezioni per campata (prossime alle estremità), in funzione della rigidezza a scorrimento della connessione stessa

Fig. 7 - Distacchi e scorrimenti longitudinali per connessione distribuita, in funzione della rigidezza a scorrimento della connessione stessa

Fig. 8 - Distacchi e scorrimenti per connessione concentrata in 5 sezioni per campata, in funzione della rigidezza a scorrimento della connessione stessa


sono rappresentate in modo analogo

le deformazioni del la connessione,

nel caso che questa sia concentrata in

un numero definito di sezioni su ogni

campata. Come si può vedere il modello

è in grado di cogliere perfettamente gli

effetti delle connessioni localizzate, i quali

risultano tanto più sensibili quanto più

le connessioni concentrate sono rigide.

Dai risultati emerge che la principale

criticità di questo sistema è legata alla

zona prossima all ’appoggio, dove le

condizioni di vincolo fanno insorgere

un sollevamento localizzato della parte

in calcestruzzo ed una concentrazione

di sforzi. Questo fenomeno può essere

contrastato eliminando la connessione,

mediante opportuni dispositivi, nelle zone

critiche. Non si tratta, ovviamente, solo di

eliminare i connettori, ma di lasciare un

franco fra la soletta e l’ala superiore, in

modo da eliminare anche il trasferimento

di sforzo per semplice contatto. In figura 10

è illustrato sommariamente un dispositivo

adatto a questo scopo.

Modellando l’assenza di connessione, si

può determinare l’effetto che si ottiene sul

sollevamento. In figura 8 è rappresentata la

curva di sollevamento (uplift) della parte in

calcestruzzo rispetto alla trave metallica, in

presenza di un elemento di sconnessione

di estensione variabile. Al crescere della

lunghezza della zona priva di connessione

si ha prima una diminuzione, poi un

aumento del sollevamento. L’aumento

di deformabilità della soletta continua

inizialmente attenua gli sforzi dovuti al

vincolo, ma successivamente produce un

aumento delle deformazioni complessive.

Il valore minimo, che nel caso in esame

si ha con una sconnessione di 50 cm per

lato, oltre al tratto centrale, costituisce la

soluzione ottimale.

5. ESTENSIONE AL COMPORTAMENTOA LUNGO TERMINELa formulazione del modello meccanico in

termini di sistema di equazioni differenziali

in forma canonica permette di prendere

in conto anche le proprietà reologiche del

calcestruzzo. Le equazioni (20) e (22), nelle

quali compare il legame costitutivo del

calcestruzzo, prendono la forma seguente:

∂u 1∂x

∂N 1∂τ

∂M 1∂τ—– - α 1 ∫ J(t,τ) —– dτ - β 1 ∫ J(t,τ) —– dτ = - λ 1

t

t0

t

t0

–

(32)

∂φ 1∂x

∂N 1∂τ

∂M 1∂τ—– - β 1 ∫ J(t,τ) —– dτ - γ 1 ∫ J(t,τ) —– = - χ 1

t

t0

t

t0

–

(33)

nelle quali i l simbolo di derivazione

parziale è reso necessario dal fatto che

tutte le grandezze sono funzione della

posizione e del tempo, anche se in modo

disaccoppiato. La risoluzione numerica

comporta l’aggiunta di uno schema di

integrazione nel tempo come la formula

dei trapezi. Se si trascurasse la non linearità

dovuta al vincolo trasversale unilatero il

sistema potrebbe essere descritto in termini

di una struttura omogenea soggetta ad un

insieme di vincoli elastici, costituiti dalla

parte metallica nel suo complesso (trave e

connettori). Si tratta di un problema che può

essere affrontato, in alternativa al metodo

generale proposto in questa sede, anche

mediante approcci più compatti, come

il metodo delle funzioni di rilassamento

ridotte o il metodo algebrico AAEM. La

formulazione generale proposta, tuttavia,

consente di estendere l’analisi anche a

problemi non risolvibili in modo rigoroso

Fig. 11 - Uplift per diverse estensioni della zona di sconnessione

Fig. 10 - Attenuazione dell’effetto delle condizioni di vincolo mediante l’inserimento di un elemento separatore


con gli approcci compatti. Oltre alla non

linearità della connessione, possono essere

prese in conto anche altri aspetti, come le

disomogeneità nella struttura, dovute ad

esempio alla presenza di calcestruzzi con

diverse proprietà. In particolare rientrano

in questa categoria i problemi in cui sono

presenti disomogeneità dovute a differenti

età dei conglomerati, all’articolazione delle

fasi di costruzione e ai cambiamenti di

schema statico durante la costruzione.

Le analisi in regime viscoelastico sono

condotte con riferimento ai tre principali

modelli di viscosità attualmente impiegati:

il modello europeo CEB90, recepito dagli

Eurocodici, il modello B3 sviluppato da

Bazant sulla base di una modellazione

esplicita dei fenomeni termodinamici in

gioco, ed il modello GL2000, proposto da

Gardner che interpreta in modo molto

accurato i dati sperimentali. Come è noto

i tre modelli forniscono previsioni molto

diverse, in particolare a lungo termine.

In figura 12, a sinistra, è rappresentata

l'evoluzione nel tempo dello sforzo assiale

alla quota del baricentro della parte in

calcestruzzo, stimato in corrispondenza

degli appoggi intermedi e della mezzeria

delle campate. Si tratta di un problema

misto di viscosità e rilassamento, in cui la

prevalenza dell'uno o dell'altro fenomeno

dipende dal la r igidezza della par te

metallica (elastica) e della connessione.

In figura 12, a destra, è rappresentata

l'evoluzione degli sforzi condotta nel caso

che la continuità della parte in calcestruzzo

venga realizzata successivamente alla

costruzione delle campate come travi

composte. La travata è quindi soggetta

ad un cambiamento del lo schema

statico e l'evoluzione dello sforzo in

corrispondenza del giunto sull'appoggio

è un effetto della generale redistribuzione

delle sollecitazioni. L'introduzione del

cambiamento di schema statico nella

soluzione passo-passo non comporta

nessuna difficoltà di carattere numerico, a

parte la costruzione di una scala dei tempi

su base logaritmica che riparta da intervalli

molto brevi in corrispondenza dell'istante

del cambiamento di schema.

6. CONCLUSIONINel presente lavoro si è dimostrato

come la formulazione del model lo

di t rave composta a condiz ioni d i

vincolo generalizzate e la conseguente

applicazione di uno schema di soluzione

numerico permettano di indagare con

precisione situazioni per cui la teoria di

Newmark non risulta adeguata. Lo schema

di risoluzione numerica basato sul metodo

di Newton-Raphson si è rivelato efficace

nel prendere in conto la non linearità della

sezione in senso trasversale, dovuta alla

trasmissione di sforzi per contatto fra le

superfici dell’interfaccia. L’algoritmo non

lineare permette di estendere l’analisi,

in uno studio futuro, anche a situazioni

più complesse, come il comportamento

elastoplastico dell’acciaio, o l’insorgenza

della fessurazione nel calcestruzzo, pur

rimanendo nell’ambito di una formulazione

relativamente semplice. Dall’applicazione

al caso studio delle travi parzialmente

continue emerge come la deformabilità

della connessione in direzione trasversale

Fig. 12 - Sforzo assiale nella parte in calcestruzzo, calcolato in corrispondenza dell'appoggio e della mezzeria delle travi, nel caso di connessione distribuita, e variazione corrispondente all’introduzione di un vincolo posticipato


lunghezza di disconnessione, mentre una

eccessiva estensione porta rapidamente

ad un indebolimento della struttura. La

formulazione adottata, in particolare

con i legami costitutivi espressi in forma

inversa, deformazioni generalizzate in

funzione delle sollecitazioni, si presta ad

essere estesa anche all’analisi viscoelastica,

nella forma integrale (metodo generale). È

importante sottolineare come questo tipo

di impostazione consenta di condurre in

modo relativamente semplice analisi

viscoelastiche di tipo del tutto generale:

oltre alla presa in conto della deformabilità

trasversale, che permette l’introduzione

di condizioni di vincolo generalizzate,

la formulazione esplicita del sistema

di equazioni differenziali permette di

generalizzare il problema anche al caso

di proprietà meccaniche e viscoelastiche

variabili nel tempo e lungo l’asse delle

trave.

dr. arch. Mario Sassone,[email protected],

dr. arch. Carlo Casalegno,[email protected],

prof. dr. ing. Paolo Napoli [email protected]

Politecnico di Torino, Dipartimento

di Architettura e Design, Torino

Testo pervenuto in Redazione

nel febbraio 2013

influenzi la distribuzione degli sforzi interni

principalmente nelle zone d’estremità, e

in misura più limitata in prossimità dei

dispositivi di connessione, quando sono

concentrati in pochi punti della trave. I

risultati delle analisi evidenziano come,

anche per valori del distacco alle estremità

molto contenuti, le concentrazioni degli

sforzi non sono trascurabili e richiedono,

in fase di progetto, una opportuna

considerazione. La presenza di dispositivi

att i ad el iminare la connessione e

a garantire l iber tà di spostamento

relativo fra le due parti può mitigare

parzialmente le concentrazioni di sforzi.

Dalle analisi risulta che la limitazione

dell’uplift avviene per valori precisi della

Bibliografia

[1] Newmark N.M., Siess C.P., Viest I.M.:

“Tests and analysis of composite beams with

incomplete interaction”, Proceedings of the

Society for Experimental Stress Analysis,

1951; 9(1): 75-92

[2] Cosenza E., Mazzolani S.: “Analisi in campo

lineare di travi composte con connessioni

deformabili: formule esatte e risoluzioni

alle differenze”, I Workshop Italiano sulle

Strutture Composte, Trento, 1993

[3] Cosenza E, Mazzolani S.: “La valutazione

delle frecce a breve termine nelle travi

composte acciaio-calcestruzzo: l’influenza

d e l co m p o r t a m e n t o n o n l i n e a re d e i

connettori”, I Workshop I taliano sulle

Strutture Composte, Trento, 1993

[4] Virtuoso F., Vieira R.: “Time dependent

behaviour of continuous composite beams

with f lexible connection”, Journal of

Constructional Steel Research, 2004; 60:

451–463

[5] Adekola A.O. : “Par tial interaction

between elastically connected elements of

a composite beam”, International Journal of

Solids and Structures 1968; 4: 1125-1135

[6] Adekola A.O. : “Effective width of

composite beams of steel and concrete“

Structural Engineering 1968; 46(9): 285-289

[7] Adekola A.O.: “The dependence of shear

lag on the partial interaction in composite

beams”, - International Journal of Solids

and Structures 1974; 10: 389-400

[8] Aribert J.M.: “Etude critique par voie

numérique de la méthode proposée dans

l’Eurocode 4 pour le dimensionnement des

poutres mixtes acier-béton à connexion

partielle”, Construction Métallique, 1988;

1: 3-26

[9] Aribert J.M., Abdel Aziz K.: “Calcul des

poutres mixtes jusqu’à l’état ultime avec un

effect de soulèvement à l’interface acier-

béton”, Construction Métallique, 1985; 4:

3-36

[10] Aribert J.M., Labib AG.: “Modèle de

calcul élasto-plastique de poutres mixtes

à connexion par tiel le”, Construct ion

Métallique, 1982; 4: 3-51

[11] Dall’Asta A., Zona A.: “Three-field mixed

formulation for the non-linear analysis of

composite beams with deformable shear

connection”, Finite Elements in Analysis and

Design 2004; 40: 425-448

[12] Sassone M.: “Problemi di interfaccia e

di trasferimento degli sforzi nelle strutture

composte”, PhD Thesis, Politecnico di

Torino, 2000

[13] Sassone M.: “Effetti strutturali delle

condizioni di vincolo nelle travi composte in

regime viscoelastico”, VI Workshop Italiano

sulle Strutture Composte, Trieste, 2004

[14] Sassone M., Bigaran D., Casalegno C.:

“Numerical approach to viscoelastic analysis

of concrete structures using equilibrium and

Fem”, Structural Implications of Shrinkage

and Creep of Concrete, Gardner Chiorino

Edts. ACI SP-246 2007: 21-36

[15] Sassone M., Casalegno C., Napoli P.:

“Effetto delle condizioni di vincolo d’estremità

sul comportamento delle travi composte

acciaio calcestruzzo”, Proceedings del XXIII

Congresso CTA, Lacco Ameno, 2011

[16] Kuhlmann U.: “Recent developments in

composite structures”, in 2nd Symposium on

Connections between Steel and Concrete,

Stuttgart, September 5th 2007

RICERCA Le condizioni di vincolo nelle travi composte ... momento statico e dal momento di inerzia...

Documents

Transcript of RICERCA Le condizioni di vincolo nelle travi composte ... momento statico e dal momento di inerzia...