1

Relazione tra altezza di pioggia media h m , durata t e area AL'altezza di pioggia media hm dipende dalla durata t e dall'area A .L'intensità di pioggia media im diminuisce al crescere della durata te dell'area A .L'altezza (intensità) di pioggia media ha il carattere di una variabile casuale.La dipendenza dalla durata e quella dall'area si considerano separatamente.

La relazione tra altezza di precipitazione e durataPer area piccola importa sopra tutto la dipendenza dalla durata.

Relazione tra durata della precipitazione t e portata al colmo Q .Q varia al variare di t, a parità di rarità della pioggia.Opportunità di assumere l'intensità i costante.

La nozione di evento critico.Per una rete esistente si possono individuare la durata critica (figure), l'evento critico, l'altezza di precipitazione critica.Per una rete in progetto si effettua il dimensionamento in modo che l'evento critico abbia la rarità fissata.

2

Le curve segnalatrici di possibilità climaticaSi considera la funzione h = f(t, T), oppure la funzione im = f(t, T) .Diversi nomi:

curva segnalatrice di possibilità climatica,curva di possibilità climatica,curva segnalatrice di possibilità pluviometrica,curva di possibilità pluviometrica,curva di probabilità pluviometrica.

Metodi di individuazione:il più comune è quello dell'analisi dei massimi annuali.

Espressioni generali della curva di possibilità climatica.Espressioni particolari.Espressione monomia:

utilità dell'espressione monomia;rappresentazione con una spezzata su carta logaritmica;costruzione della spezzata.

Espressione generale:determinazione dei tre parametri;esempio Palazzo Marino.

Opportunità di usare più stazioni con lo stesso regime pluviometrico.Curve di possibilità climatica della pioggia ragguagliata.

La relazione tra l'altezza di precipitazione e l'areaCurve di possibilità climatica della pioggia ragguagliata:

necessità di una rete di stazioni, difficoltà di avere i dati.Coefficiente di riduzione (o di ragguaglio all'area)

definizione.Formule per la modifica dei parametri della curva di possibilità climatica.

3

Relazioni tra altezza di pioggia, durata ea rea

L'altezza di pioggia media osservata su unasuperficie in un assegnato intervallo di tempodipende sia dalla durata sia dall'area dellasuperficie.

L'altezza di pioggia media (o p i o g g i ar a g g u a g l i a t a) hr corrispondente a una datadurata e a una data area si schematizza comeuna variabile casuale.

La dipendenza dalla durata si considera perpr ima.

4

La relazione tra l'altezza di precipitazione ela durata

Per i bacini di estensione limitata la dipendenzadell'altezza di pioggia dalla durata è piùimportante della dipendenza dall'area.

Per i bacini di estensione limitata si puòconsiderare l'altezza di precipitazione puntuale,relativa a una superficie di area nulla.

A parità di rarità dell'evento l'altezza totale diprecipitazione non cresce proporzionalmente alcrescere della durata.

E` opportuno vedere quali sono le ragionipratiche per cui interessa conoscere il legametra altezza di pioggia e durata.

5

La re laz ione t ra la dura ta de l laprecipitazione e la portata

Si considera una sezione di una rete didrenaggio in occasione di un evento di pioggia.

La portata varia nel tempo: inizialmente cresce,poi raggiunge un massimo e infine decresce,fino ad annullarsi.

La portata massima osservata Q dipendedal l 'a l tezza totale e dal la durata del laprecipitazione.

Si possono confrontare tra loro i valori assuntidalla portata massima Q al variare della duratadel la precipi tazione, a pari tà di rar i tàdell 'evento.

Consideriamo eventi di pioggia a intensitàcostante, completamente individuati dal ladura ta e da l l ' a l tezza to ta le (oppuredall'intensità media) di precipitazione, che èuna variabile casuale.

6

Eventi di pioggia a intensità costante con ugualetempo di ritorno ma con durata diversaproducono sulla rete di drenaggio effetti diversi.

La portata massima che - per eventi con un certotempo di ritorno - si osserva nella sezioneconsiderata è funzione della durata t.

Un evento può produrre nella rete di drenaggioportate inferiori, uguali o superiori alla portatamassima Qc ammessa nel canale, a seconda deltempo di ritorno.

7

La nozione di evento critico

Si può definire un certo valore Tc del tempo diritorno per il quale Q uguaglia Q c soltanto peruna ben precisa durata dell'evento, che prendeil nome di durata critica.

L 'evento che porta la rete al l imi tedell ' insufficienza nella sezione considerataprende il nome di evento critico ed è individuatodalla durata (durata critica) e dall'altezza diprecipitazione totale (altezza di precipitazionecritica).

L'altezza di precipitazione critica dipende dalledimensioni dei canali.

In sede di progettazione della rete di drenaggiosi assegna il grado di rarità (tempo di ritorno)dell'altezza di precipitazione critica.

8

La rete deve essere progettata in modo chel'evento critico (la cui durata non è nota apriori) abbia il grado di rarità assegnato.

Relazione tra durata della precipitazione t e portata al colmo Q per diversi valori del tempodi ritorno T dell'evento

Q

t

T1

T2

T3

Qc

Relazione tra durata della precipitazione t e portata al colmo Q per il tempo di ritorno Tcche fornisce l'evento critico

Q

t

Qc

Tc

9

Curve segnalatrici di possibilità climatica

La curva che fornisce la relazione tra durata t ealtezza di precipitazione h con tempo di ritornoassegnato prende il nome di

curva segnalatrice di possibilità climaticacurva di possibilità climaticacurva segnalatrice di possibilità pluviometricacurva di probabilità pluviometrica

Intensità media di precipitazione: im = ht

In alternativa si considera la curva che forniscela relazione tra durata t e intensità media diprec ip i taz ione i m con tempo di ritornoassegnato.

1 0

Costruzione del la curva segnalatr ice dipossibilità climatica.

Metodo dell'analisi dei massimi annuali.

Legge probabil istica adoperata: Gumbel olognormale.

Il tempo di ritorno convenzionale della curva èquello comune ai singoli punti adoperati percostruirla.

L'interpolazione dei punti che rappresentano lealtezze di pioggia si può effettuare:

graficamente,con un'espressione analitica.

1 1

Il grado di affidabilità dipende dalla dimensionedei campioni di altezze di pioggia.

Poichè le dimensioni dei campioni sonogeneralmente ridotte (non più di 20 ÷ 3 0elementi) sarebbe opportuno derivare la curvada un insieme di dati rilevati a diverse stazioni.

Curve di possibilità climatica delle pioggeragguagliate: per ricavare i massimi è necessarioeseguire un'elaborazione prel iminare delleregistrazioni pluviometriche.

1 2

Espressioni analitiche generali

i m ( t ) = a( t + c )b

i m ( t ) = atb + c

Per c uguale a zero si ottiene

i m ( t ) = atb

h ( t ) = im ( t ) t = a t 1 - b = a t n

Per b uguale a 1 si ottiene

i m ( t ) = at + c

1 4

Altezze di precipitazione massime annuali registrate per diverse durateal pluviografo di Palazzo Marino (Milano)

Anno Durata [h]0,25 0,50 0,75 1 1,25 1,50 2 2,50 3 4 6

1931 12,0 12,0 12,0 12,0 13,7 15,2 17,1 19,0 20,4 24,6 32,01932 13,0 17,2 19,6 19,6 19,6 19,6 21,0 22,8 26,2 41,4 46,41933 18,7 20,3 20,6 20,6 20,6 20,6 21,6 21,8 21,9 21,9 34,61934 12,3 21,2 22,3 30,0 35,5 37,5 39,7 40,0 40,0 40,0 43,51935 30,5 37,5 41,5 41,8 42,1 42,1 42,2 44,3 50,2 51,1 52,11936 27,0 40,0 52,0 60,0 70,2 71,5 74,0 76,0 77,8 78,5 78,51937 18,0 27,5 32,0 35,5 38,0 43,3 48,3 49,0 49,0 49,0 49,01938 27,5 36,0 39,0 42,0 44,4 50,0 52,2 52,2 52,2 52,2 59,01939 15,5 24,6 24,9 30,0 44,5 48,3 50,0 52,2 60,0 81,3 93,01940 17,0 31,5 34,5 35,7 37,1 37,7 38,0 38,5 38,7 39,0 40,81941 21,0 30,0 33,0 38,9 43,6 46,2 47,0 47,3 47,4 47,4 48,81942 23,0 34,6 35,3 35,4 35,4 35,4 35,4 42,1 48,6 48,8 48,81943 7,3 9,0 9,7 12,1 13,1 15,0 17,8 17,9 17,9 17,9 19,4

osservazioni mancanti1954 13,4 18,0 20,6 24,0 27,6 30,0 32,0 32,4 33,0 33,1 33,11955 20,0 33,0 37,2 43,3 46,3 47,9 49,2 49,8 51,0 54,4 57,91956 20,0 39,3 39,3 42,2 46,4 47,4 47,9 47,9 47,9 47,9 47,91957 11,1 19,8 22,2 22,6 23,0 23,6 24,6 27,2 28,8 29,1 38,11958 15,2 20,0 25,2 30,0 34,6 37,7 39,8 40,9 42,8 49,6 63,41959 34,5 43,2 60,5 66,0 66,4 71,6 75,7 76,1 76,2 76,3 78,31960 28,0 30,8 31,1 32,3 36,5 38,5 39,3 39,3 39,6 40,5 41,31961 16,0 23,7 25,7 26,2 28,0 28,8 31,4 33,6 35,6 37,7 38,91962 14,7 15,6 15,7 15,9 16,9 17,0 17,0 17,0 18,4 21,6 27,01963 17,0 26,2 27,7 27,8 28,6 28,6 28,9 34,9 36,5 37,2 38,51964 11,8 12,5 16,4 23,2 28,0 29,9 33,8 36,0 36,6 41,6 55,61965 20,0 29,0 34,2 34,4 34,4 34,4 34,4 34,4 34,4 34,4 36,01966 16,6 19,8 19,8 22,2 24,6 26,6 29,8 36,1 44,5 52,9 62,11967 23,2 26,3 29,3 29,3 29,3 30,4 36,0 39,8 41,0 41,9 42,51968 20,0 26,8 27,4 28,6 30,0 30,1 32,1 32,3 32,3 32,3 37,31969 17,0 21,3 22,9 24,1 24,1 24,1 24,1 24,1 24,1 24,1 26,41970 30,2 32,1 32,4 32,4 32,4 32,4 32,4 32,4 32,4 32,4 32,5

1 5

Pluviografo di Palazzo Marino (Milano): parametri della distribuzionelognormale e altezze di precipitazione con tempo di ritorno di 10 anni

t [h] µ(h) [mm] σ(h) [mm] µ(y) σ(y) h [mm]

0,25 19,1 6,5 2,8949 0,3311 27,60,50 26,0 8,8 3,2209 0,3306 37,60,75 28,8 11,1 3,2911 0,3722 43,3

1 31,3 12,1 3,3740 0,3732 47,11,25 33,8 13,3 3,4485 0,3795 51,21,50 35,4 14,1 3,4931 0,3838 53,8

2 37,1 14,4 3,5435 0,3746 55,92,50 38,6 14,3 3,5890 0,3586 57,3

3 40,2 14,7 3,6311 0,3543 59,54 42,7 15,9 3,6893 0,3603 63,56 46,8 16,5 3,7873 0,3423 68,5

1 6

Interpolazione con il metodo dei minimi quadrati

Ponendo

x = l n t ,

y = l n h ,

b = ln a,

l'espressione monomia si trasforma nell'espressione lineare

y = nx + b .

Le stime dei parametri n e b della retta che interpola m punti, ottenuteapplicando il metodo dei minimi quadrati alle ordinate y e senzaimporre ulteriori condizioni, sono fornite dalle espressioni

n =

m ∑i = 1

m x i y i - ∑

i = 1

m x i ∑

i = 1

m y i

m ∑i = 1

m x i

2 -

∑

i = 1

m x i

2 ,

b =

∑i = 1

my i ∑

i = 1

m x i

2 - ∑

i = 1

m x i ∑

i = 1

m x i y i

m ∑i = 1

m x i

2 -

∑

i = 1

m x i

2 .

Quelle ottenute imponendo il passaggio per il punto di coordinate (x0, y0)sono fornite dalle espressioni

n =

m x0y0 + ∑i = 1

m x i y i - x 0 ∑

i = 1

m y i - y 0 ∑

i = 1

m x i

∑i = 1

m x i

2 + m x0

2 - 2x0 ∑

i = 1

m x i

,

b = y0 - n x0 .

Miano, Palazzo Marino: curva di possibilità climatica ricavata dalle osservazioni delperiodo 1931-1970

50

0,1 0,5 5

100

10101

h = 48,4 t 0,398

h = 48,4 t 0,194

h [m

m]

t [h]

1 7

Stima dei parametri a, b e c

R e l a z i o n e i m ( t ) = a

( t + c)b

Si effettua la trasformazione

ln i m( t) = l n a - b l n ( t + c)

e si ricerca per tentativi il valore di c checonsente l'interpolazione lineare migliore.

R e l a z i o n e i m ( t ) = a

tb + c

Si effettua la trasformazione

tb + c = a / i m( t)

tb = a / [1 / i m ( t) ] - c

e si ricerca per tentativi il valore di b checonsente l'interpolazione lineare migliore.

10

100

h [m

m]

0.1 1 10

t [h]

Milano, Palazzo Marin: curva di possibilità climatica ricavata dalle osservazioni delperiodo 1931-1970

h(t) =60,1t

t 0,91 + 0,256

0,1 0,5 5

50

1 10

1 8

La relazione tra l'altezza di precipitazione el 'area

Le piogge di elevata intensità si concentrano inaree piccole: a parità di durata e a parità ditempo di ritorno l'altezza di precipitazionedecresce al crescere dell'area.

L'altezza di precipitazione media h r su unasuperficie di area A assegnata si schematizzacome una variabile casuale.

La distribuzione di probabilità dell'altezza diprecipitazione media hr dipende dalla durata t edall'area A.

L'elaborazione dei massimi annuali delle altezzedi pioggia ragguagliate richiede la presenzasull'area in esame di una rete di strumenti ed èparticolarmente gravosa.

1 9

Si determina l 'a l tezza di precipi tazioneragguagliata hr relativa a un'assegnata durata te a un assegnato tempo di r i torno Tmolt ip l icando l 'a l tezza di precip i tazionepuntuale h relativa alla stessa durata e allostesso tempo di ritorno per un opportunocoefficiente di riduzione (o coeff iciente diragguaglio all'area) R.

Il coefficiente di riduzione R non è una variabilecasuale ed è funzione, in linea di principioalmeno, del tempo di ritorno T, della durata t edell'area A.

Il coefficiente di riduzione dipende anche dallaforma della superficie considerata; in praticanon se ne tiene conto.

Il coefficiente di riduzione consente di trasferirel'informazione da una zona all'altra.

2 0

Il concetto di coefficiente di riduzione implicache il regime delle precipitazioni puntuali siaovunque lo stesso.La condizione viene meno quando l'area è moltogrande e quando il rilievo è accentuato.

Il concetto di coefficiente di riduzione si puòestendere anche al caso di disuniformità delregime pluviometrico.

Nelle normali applicazioni idrologiche siutilizzano per le elaborazioni i valori delcoefficiente di ragguaglio reperibil i nellaletteratura tecnica.

2 1

h pioggia puntuale

h r pioggia ragguagliata

L'altezza di precipitazione puntuale è unavariabile casuale la cui distribuzione dipendedalla durata t:

h = f( t, T )

L'altezza di pioggia ragguagliata è una variabilecasuale la cui distribuzione dipende dalladurata t e dall'area A :

hr = f( t, A , T)

2 2

Coefficiente di riduzione (o di ragguaglioall'area) R

Il coefficiente di riduzione coincide, secondo ladefinizione, con il rapporto

R = h r ( t , A , T )h( t, T )

Quindi

R = f(t, A, T)

E poichè la dipendenza da T è molto debole:

R = f(t, A)

2 3

Grafici, tabelle e formule per i l coeff iciente dir i d u z i o n e

Molti autori hanno fornito grafici, tabelle di valori e formule per ilcoefficiente di riduzione.

I ta l ia

Massari (1910), nell'ambito degli studi per il progetto della fognaturadi Milano.

C o l u m b o (1960), indagine sul territorio milanese. I valori proposti sidovrebbero utilizzare congiuntamente a una curva segnalatrice dipossibilità climatica ricavata dai massimi annuali selezionati tra quelli dipiù stazioni vicine (così da potersi ritenere osservati ogni volta nelcentro di scroscio).

Coefficiente di riduzione delle altezze di pioggia, in funzione della duratae dell'area (Columbo, 1960)

Durata Area [ha][h] 1 0 0 3 0 0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0

0 ,25 0 ,968 0 ,917 0 ,884 0 ,835 0 ,804 0 ,782 0 ,750 0 ,722 0 ,6850 ,50 0 ,970 0 ,919 0 ,888 0 ,840 0 ,813 0 ,791 0 ,759 0 ,733 0 ,7040 ,75 0 ,972 0 ,925 0 ,890 0 ,844 0 ,818 0 ,798 0 ,767 0 ,740 0 ,714

1 0 ,973 0 ,922 0 ,892 0 ,846 0 ,821 0 ,803 0 ,772 0 ,746 0 ,7212 0 ,974 0 ,924 0 ,894 0 ,850 0 ,827 0 ,811 0 ,783 0 ,757 0 ,7323 0 ,974 0 ,926 0 ,896 0 ,853 0 ,831 0 ,815 0 ,789 0 ,765 0 ,7414 0 ,974 0 ,928 0 ,898 0 ,857 0 ,835 0 ,821 0 ,796 0 ,773 0 ,7506 0 ,974 0 ,930 0 ,902 0 ,863 0 ,843 0 ,831 0 ,808 0 ,788 0 ,757

1 2 0 ,976 0 ,941 0 ,916 0 ,884 0 ,868 0 ,858 0 ,844 0 ,830 0 ,8162 4 0 ,982 0 ,961 0 ,944 0 ,923 0 ,916 0 ,906 0 ,900 0 ,894 0 ,886

Regno Unito

DEWC (1981), per aree fino a 100 km2

R = 1 - at b .

(il tempo t è misurato in ore e a e b sono due parametri che dipendonodall'area A del bacino).

a = 0,0394A 0,354;

b = 0 ,40 - 0 ,0208 l n (4 ,6 - l n A )

(area A inferiore a 20 km2)

b = 0,40 - 0,00382 ln (4 ,6 - ln A )2

(area A compresa tra 20 e 100 km2) .

NERC

Coefficiente di riduzione delle altezze di pioggia, in funzione della duratae dell'area (NERC, 1975)

Durata Area [km2]1 5 1 0 3 0 1 0 0 3 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0

1 min 0 ,76 0 ,61 0 ,52 0 ,40 0 ,27 - - - - -2 min 0 ,84 0 ,72 0 ,65 0 ,53 0 ,39 - - - - -5 min 0 ,90 0 ,82 0 ,76 0 ,65 0 ,51 0 ,38 - - - -

10 min 0 ,93 0 ,87 0 ,83 0 ,73 0 ,59 0 ,47 0 ,32 - - -15 min 0 ,94 0 ,89 0 ,85 0 ,77 0 ,64 0 ,53 0 ,39 0 ,29 - -30 min 0 ,95 0 ,91 0 ,89 0 ,82 0 ,72 0 ,62 0 ,51 0 ,41 0 ,31 -60 min 0 ,96 0 ,93 0 ,91 0 ,86 0 ,79 0 ,71 0 ,62 0 ,53 0 ,44 0 ,35

2 h 0 ,97 0 ,95 0 ,93 0 ,90 0 ,84 0 ,79 0 ,73 0 ,65 0 ,55 0 ,473 h 0 ,97 0 ,96 0 ,94 0 ,91 0 ,87 0 ,83 0 ,78 0 ,71 0 ,62 0 ,546 h 0 ,98 0 ,97 0 ,96 0 ,93 0 ,90 0 ,87 0 ,83 0 ,79 0 ,73 0 ,67

24 h 0 ,99 0 ,98 0 ,97 0 ,96 0 ,94 0 ,92 0 ,89 0 ,86 0 ,83 0 ,8048 h - 0 ,99 0 ,98 0 ,97 0 ,96 0 ,94 0 ,91 0 ,88 0 ,86 0 ,8296 h - - 0 ,99 0 ,98 0 ,97 0 ,96 0 ,93 0 ,91 0 ,88 0 ,85

192 h - - - 0 ,99 0 ,98 0 ,97 0 ,95 0 ,92 0 ,90 0 ,8725 d - - - - 0 ,99 0 ,98 0 ,97 0 ,95 0 ,93 0 ,91

2 5

Franc ia

Desbordes et al. (1982)

R = A -ε,

(A è l'area, misurata in ettari, ed ε è un parametro, generalmenteassunto uguale a 0,05).

Debordes et al. (1984)

ε = (0,04 - 0,0332logt)(A0,105 - 0,73) ,

(t è la durata della precipitazione, misurata in ore, e A è l'area, misuratain ettari).L'espressione è valida per aree non superiori a 400 ha, per durate nonsuperiori a 1 h e nell'ipotesi che la curva di possibilità climatica siadesunta dall'elaborazione statistica dei massimi annuali scelti tra quelliosservati nei diversi pluviografi dell'area in esame.

Stati Uniti

USWB (1960), curve.

2 6

Formule per la modifica dei parametri della curva dipossibi l i tà cl imatica

La curva di possibilità climatica della pioggia ragguagliata èrappresentata dall'espressione

hr (t) = atnR(t, A)

hr ( t) = a'tn '

I valori dei parametri a' ed n' dipendono dai valori dei corrispondentiparametri a ed n della curva delle altezze di pioggia puntuali h e dalvalore dell'area A.

Alcuni autori hanno proposto delle formule per ricavare direttamente ivalori dei parametri a' ed n' relativi alle altezze di pioggia ragguagliatada quelli dei parametri a ed n relativi alle altezze di pioggia puntuale edell'area A .

Massari (1910)(area A è espressa in ettari):

a' = a

1 + A

5 0 0 0

per aree non superiori 1000 ha;

a' = a

4,2 + √8

A

per aree non inferiori a 5000 ha.L'esponente n' si assume coincidente con l'esponente n .

2 7

Puppini (1932) (durata t espressa in ore, area A in ettari):

a' = a

1 - 0 , 0 5 2

A1 0 0

+ 0,002

A

1 0 0

2

n' = n + 0 ,0175 A

1 0 0

Le espressioni sono valide per aree non superiori a 1300 ha e per duratenon superiori a 24 h.Si presuppone che la curva segnalatrice di possibilità climatica sia stataderivata da osservazioni effettuate nel centro di scroscio.

Pupp in i (1931), dai dati della Bonifica Renana (durata t espressa ingiorni, area A è in kilometri quadrati):

a' = a

1 - 0 , 0 8 4

A1 0 0

+ 0,007

A

1 0 0

2

n' = n + 0 ,014 A

1 0 0

Le espressioni sono valide per aree non superiori a 600 km2.

Marchett i (1964), dai dati di Columbo (area A in ettari):

a' = a

1 - 0 ,06

A

1 0 0

0 , 4

n' = n + 0,003

A

1 0 0

0 , 6

Le formule sono valide per aree comprese tra 100 e 5000 ha.