1. Dimensioni degli elementi caratterizzanti il solaio e caratteristiche dei materiali da utilizzare

Loggetto della nostra trattazione, la progettazione e la verifica di un solaio in cemento armato gettato in opera e laterizio, da realizzarsi in un edificio per civile abitazione. Il solaio oggetto di studio costituito da tre campate e da due sbalzi, che presentano le seguenti dimensioni, riassunte nella tabella che segue:

Sbalzo 11,25 m

Campata 13,25 m

Campata 25,40 m

Campata 34,80 m

Sbalzo 21,10 m

La natura mista del solaio prevede lutilizzo di diversi materiali; in particolare previsto:- per le parti strutturali, calcestruzzo C25/30 () e acciaio, previsto dalle norme per le costruzioni in zona sismica, del tipo B450C ();- per le parti non strutturali vengono impiegate pignatte in laterizio non aventi funzioni portanti. La caratterizzazione dei materiali strutturali, calcestruzzo ed acciaio, viene determinata conoscendo le rispettive resistenze caratteristiche. Per il calcestruzzo (cls) il valore caratteristico la sua resistenza cubica , mentre per lacciaio il valore caratteristico rappresentato dalla tensione di snervamento .In particolare, per le classi di resistenza pari o inferiore a C50/60 si pu porre:

La resistenza cilindrica di progetto si determina, ai sensi della normativa vigente, per il metodo di progetto e verifica agli stati limite, con la relazione:

mentre la resistenza media a trazione viene determinata con la relazione:

in cui:

Il coefficiente 0,85 tiene conto del differente comportamento del calcestruzzo sotto azioni di breve durata rispetto a quelle di lunga durata. Sostituendo e nelle relazioni precedenti si ha:

Il modulo elastico viene determinato con la relazione seguente:

In cui:

per cui, sostituendo nellespressione di si ottiene:

Mentre per il modulo di Poisson si pu assumere un valore pari a:

Per lacciaio il comportamento ipotizzato quello di tipo elasto plastico senza incrudimento. Per un acciaio B450C, con un valore della tensione di snervamento pari a si definiscono le seguenti quantit:

Per la trattazione e le applicazioni successive utile riportare un quadro riassuntivo delle propriet dei materiali:

CLASSE cls C25/30Rck[N/mm2]gcfck[N/mm2]fcd[N/mm2]fcm[N/mm2]fctm[N/mm2]Ecm[N/mm2]

301,502514.167332.5631475.8

ACCIAIO B450Cfyk[N/mm2]gsfyd[N/mm2]Es[N/mm2]eyd%o

450,001,15391,30210.000,001,86

2. Progetto della sezioneTenendo conto delle restrizioni imposte dalla normativa vigente, si sono assegnate le dimensioni ai vari elementi, che caratterizzano la nostra sezione, illustrata nella figura che segue:

Altezza soletta S [mm]50

Base travetto b0 [mm]100

Altezza travetto [mm]180

Altezza totale H [mm]230

Interasse i [mm]500

Larghezza laterizio Lp [mm]400

Occorre tener presente, che laltezza della nostra sezione stata scelta con lobiettivo di mantenere limitate le inflessioni di esercizio, seguendo sia le indicazioni dell Eurocodice 2 sia le NTC del 2008; infatti nel caso di un solaio vincolato con semplice appoggio monodirezionale, il rapporto tra luce di calcolo del solaio e spessore dello stesso non deve essere superiore a 25.Utilizzando queste indicazioni possibile effettuare il dimensionamento imponendo:

Si noti che lo spessore del solaio stato definito con riferimento alla massima tra le luci di tutti delledificio, inoltre, la differenza di 4 cm tra sbalzo e campata interna tale da impedire linfiltrazione dellacqua dai balconi allinterno dellabitazione.

3. Analisi dei carichi nello Stato Limite Ultimo (S.L.U.)Nel caso di una struttura semplice come un solaio, i carichi che si considerano sono in genere soltanto quelli derivanti dalleffetto gravitazionale. Sono quindi presi in esame i pesi propri degli elementi strutturali, i sovraccarichi permanenti e le azioni accidentali definite in funzione delle condizioni duso della struttura. Per la determinazione delle sollecitazioni agenti sul solaio (quindi i carichi agenti sullo schema di trave utilizzato), bisogna considerare oltre lazione del peso proprio della struttura anche tutti quei carichi che, non facendo propriamente parte della sezione effettivamente reagente, sono comunque sempre presenti quali: massetto, intonaco, pavimento ed incidenza tramezzi. Tutti questi elementi rappresentano, in parte, i carichi permanenti di tipo strettamente strutturali indicati con , ed in parte i carichi permanenti di tipo non strettamente strutturali ed indicati con . Le analisi dei carichi suddetti, riferiti alla striscia di solaio di larghezza 1.0 m, vengono riportate nelle tabelle che seguono:

CARICHI PERMANENTI STRUTTURALI

Campate interneH [m]LARG. [m]p. spec.[kN/m3]CARICO[KN/m]

Soletta0,051,0025,001,25

Nervature0,182x0,1025,000,90

Laterizi0,180,809,100,73

Carico G1 per metro di lunghezzaG1 =2,88kN/m

CARICHI PERMANENTI NON STRUTTURALI

Campate interneH [m]LARG. [m]p. spec.[kN/m3]CARICO[KN/m]

Massetto0,051,0020,001,00

Pavimento0,021,0028,000,56

Intonaco0,0151,0020,000,30

Inc. tramezzi------------1,00

Carico G2 per metro di lunghezzaG2 =2,86kN/m

CARICHI PERMANENTI STRUTTURALI

SbalzoH [m]LARG. [m]p.spec.[kN/m3]CARICO[KN/m]

Soletta0,051,0025,001,25

Nervature0,142x0,1025,000,70

Laterizi0,140,809,100,58

Carico G1 per metro di lunghezzaG1 =2,53kN/m

CARICHI PERMANENTI NON STRUTTURALI

SbalzoH [m]LARG. [m]p. spec.[kN/m3]CARICO[KN/m]

Massetto0,051,0020,001,00

Pavimento0,021,0028,000,56

Intonaco0,0151,0020,000,30

Carico G2 per metro di lunghezzaG2 =1,86kN/m

Spinta Orizz.1,00--2,00

Ringhiera 1,00--0,30

In aggiunta, si deve considerare il carico accidentale che dipende dalla destinazione duso del solaio, come la stessa normativa prevede, e che di seguito riportiamo:Carico accidentale campate interne 2,00kN/m

Carico accidentale sbalzo4,00kN/m

sempre riferito ad una fascia di solaio di larghezza pari ad 1.0 m.I carichi appena analizzati vengono combinati tra loro e incrementati di un certo valore (definito dalla normativa), al fine di poter calcolare le sollecitazioni agenti sulla struttura.La combinazione quella allo Stato Limite Ultimo previsto dalla normativa:

in cui i coefficienti parziali per le azioni nelle verifiche SLU (par. 2.6.1 NTC2008) sono racchiusi in Tabella

Carichi permanentiFavorevoli1.0

Sfavorevoli1.3

Carichi permanenti non strutturaliFavorevoli0.0

Sfavorevoli1.5

Carichi variabiliFavorevoli0.0

Sfavorevoli1.5

4. Disposizione dei carichi e determinazione delle sollecitazioni massime e dei relativi inviluppi

Una volta definiti i carichi agenti sulla struttura, bisogna calcolare le sollecitazioni che ne derivano. Con il metodo a scacchiera vengono considerati i carichi che producono le massime sollecitazioni nei punti pi importanti della trave (appoggi e campate). Lo schema geometrico utilizzato per valutare il comportamento del solaio quello di trave continua su pi appoggi, con sezione costante a T lungo tutta la trave. Tale schematizzazione risulta essere necessaria per passare poi in maniera agevole allanalisi delle sollecitazioni. In realt, in questo caso, lo schema di vincolo non propriamente un appoggio ma tale ipotesi sufficientemente verificata solo nel caso di pi travetti successivi. Inoltre, considerando la schematizzazione a trave continua su pi appoggi, agli estremi sar opportuno prevedere la presenza di un momento aggiuntivo il cui valore riproduca la presenza di un vincolo variabile dallincastro al semi-incastro. Per quanto riguarda la sezione a T, essa si rivela particolarmente favorevole per assorbire momenti positivi (presenti in campata), poich generalmente lasse neutro taglia la soletta. In presenza di momento negativo (su gli appoggi) la sezione di calcestruzzo si riduce ed necessario adottare delle fasce piene o semipiene sostituendo gli elementi in laterizio (non portanti) al fine di assorbire il taglio che, proprio in corrispondenza degli appoggi, presenta il suo massimo valore. La progettazione del solaio viene effettuata determinando le caratteristiche di sollecitazione pi gravose, esaminando tutte le possibili condizioni di carico ottenute disponendo in vari modi i carichi variabili. Il procedimento utilizzato per lanalisi della struttura il metodo delle forze. Secondo questo approccio la struttura iperstatica viene analizzata sconnettendo (alla rotazione) la trave continua in ogni appoggio interno ed assumendo come incognite i momenti trasmessi prima della sconnessione, che vengono ricavati imponendo le condizioni di congruenza. In particolare nel caso della trave continua si giunge ad un sistema di equazioni, dette equazioni dei tre momenti. Nelle pagine seguenti, vengono illustrate le quattro disposizioni di carico che consentono di massimizzare le sollecitazioni nelle sezioni pi critiche:

Carichi : Pks = 440 kg/m - Pkc = 575 kg/m Pc = Pkc c = 750 kg/m - Qs = qks q = 600 kg/m Qc = qkc q = 300 kg/m - Ps = Pks c = 575 kg/m F = 30 kg - F2 = Fg = 40 kg H = 200 kg - H2 = 300 kg

COMBINAZIONE DI CARICO 1Per la determinazione della sollecitazione massima sullappoggio B si suppongono cariche le campate AB, BC e lo sbalzo.

Sistema isostatico equivalente:

Si posto :Ms1 = F a1 + Pks a12/2 = 382 kg mMs2 = q1 a22/2 + H2 1.20 + F2a2 = 1115 kgmq = Pc + Qc = 1050 kg/mq1 = Ps + Qs = 1175 kg/m Ripristino della congruenza B = 0 ; c = 0 ;

Tratto AB

bs=

Tratto BC

bd = cs =

Tratto CD

cd =

Quindi si ha:I Equazione

II Equazione

Risolvendo il sistema nelle incognite X1 e X2 si ha:X1 = 2229 kg mX2 = 1953 kg m

COMBINAZIONE DI CARICO 2Per la determinazione della sollecitazione massima sullappoggio C si suppongono cariche le campate BC , CD e lo sbalzo.

Sistema isostatico equivalente:

Si posto :Ms1 = q1 a12/2 + H2 1.20 + F2a1 = 1328 kgmMs2 = F a2 + Pks a22/2 = 300 kg mq = Pc + Qc = 1050 kg/mq1 = Ps + Qs = 1175 kg/m Ripristino della congruenza B = 0 ; c = 0 ;

Quindi si ha:I Equazione

II Equazione

Risolvendo il sistema nelle incognite X1 e X2 si ha:X1 = 1494 kg mX2 = 2984 kg m

COMBINAZIONE DI CARICO 3Per la determinazione della sollecitazione massima in BC si suppone carica la sola campata BC e gli sbalzi.

Sistema isostatico equivalente:

Si posto :Ms1 = q1 a12/2 + H1 1.20 + F1a1 = 1328 kg mMs2 = F2 a2 + q1 a22/2 + H2 1.20 = 1115 kg mq = Pc + Qc = 1050 kg/mq1 = Ps + Qs = 1175 kg/m Ripristino della congruenza B = 0 ; c = 0 ;

Quindi si ha:I Equazione

II Equazione

Risolvendo il sistema nelle incognite X1 e X2 si ha:X1 = 1778 kg mX2 = 1551 kg m

COMBINAZIONE DI CARICO 4Per la determinazione delle sollecitazioni massime in AB e in CD si suppongono cariche le campate AB e CD.

Sistema isostatico equivalente:

Si posto :Ms1 = Pks a12/2 + F a1 = 381.25 kg mMs2 = Pks a22/2 + F a2 = 299.2 kg mq = Pc + Qc = 1050 kg/mq1 = Ps + Qs = 1175 kg/m Ripristino della congruenza B = 0 ; c = 0 ;

Quindi si ha:I Equazione

II Equazione

Risolvendo il sistema nelle incognite X1 e X2 si ha:X1 = 1079 kg mX2 = 2177 kg m

5. Calcolo TaglioEsempio prima condizione di carico.Campata AB-TAd + TBs + qL1 = 0 -MS1+ X1 + TBsL1 + qL12/2 = 0TBs = = - 2275 kgTAd = TBs + qL1 = 1138 kg Campata BC-TBd + TCs + qL2 = 0 -X1 + X2 + TCsL2 + qL22/2 = 0TCs = = - 2784 kgTBd = TCs + qL2 = 2886 kg Campata CD-TCd + TDs + PkcL3 = 0 -X2 + MS2 + TDsL3 + PkcL32/2 = 0TDs = = - 1206 kgTBd = TDs + PkcL3 = 1554 kg Primo sbalzo TAs = F + Pks a1 = - 580 kgSecondo sbalzo TDd = F2 + q1 a2 = 1332,5 kgSi procede in egual modo per le altre condizioni di carico.6. Traslazione dellinviluppo Poich le sezioni del solaio non sono armate a taglio, per tener conto delle sollecitazioni di taglio sulle barre tese, occorre traslare il diagramma del momento e del taglio di un tratto pari a (0,9 d) nella direzione orizzontale. Questa operazione detta decalage e ci permette di descrivere il grafico dei momenti decalato, con il quale andrebbero condotte le prove di verifica, come indicato al paragrafo 4.2.2.3.3 del D.M. 09-01-96

7. Ridistribuzione dei momenti. Si deve tener conto dellinfluenza delle ridistribuzione dei momenti su tutti gli aspetti della progettazione. In travi o solette continue che sono soggette prevalentemente a flessione, e che hanno rapporto tra lunghezze di luci adiacenti compresi tra 0,5 e 2, i risultati dellanalisi elastica possono essere modificati con una ridistribuzione dei momenti, nel rispetto dellequilibrio e delle capacit di rotazione plastica delle sezioni, dove si localizza la ridistribuzione. Tale operazione pu essere condotta ipotizzando una massima duttilit delle sezioni, purch il rapporto , tra il momento dopo la ridistribuzione e quello prima risulti compreso tra 0,7 e 1.

Successivamente stato confrontato il momento della campata centrale con il valore qL2/16 e quello delle campate laterali con qL2/12.

8. Progetto delle Armature Una volta definite le sollecitazioni massime, necessario calcolare la quantit di armatura (area di ferro) allinterno delle sezioni affinch, in fase di verifica, risulti in ogni sezione

ossia il momento resistente sia maggiore od uguale al momento prodotto dai carichi.In prima approssimazione larea minima di armatura resistente a flessione pu essere valutata attraverso la relazione:

In cui d detta altezza utile della sezione, ed pari allaltezza totale della sezione privata del copri ferro, che nel nostro caso pari a c = 30 mm, in accordo con la normativa.Inoltre, in corrispondenza della sezione di appoggio deve essere disposta comunque unarea minima inferiore. Esempio campata A-B 28Per le sezioni successive si procede in egual modo.Campata B-C con un momento pari a 1900 Ncm 112 +18Campata C-D con un momento pari a 1860 Ncm 112 +18Appoggio A con un momento pari a 1330 Ncm 112 +18 Appoggio B con un momento pari a 2230 Ncm 112 +18 Appoggio C con un momento pari a 2985 Ncm 212 Appoggio D con un momento pari a 1115 Ncm 112 +18

Noto il quantitativo minimo di armatura, si valuta il valore del momento resistente in ciascuna sezione critica, facendo riferimento alla relazione precedente, considerando, per, questa volta come incognita non pi larea di acciaio richiesta ma il momento.In altri termini il momento resistente, non altro che il valore del momento che riesce a sopportare realmente il nostro solaio grazie allacciaio, che come visibile, sicuramente superiore, in termini di area, a quello richiesto per sopportare la sollecitazione agente realmente.La relazione che consente di valutare lentit del momento resistente la seguente:Mrs = Aeffettiva 0,9dfydEsempio campata A-BMrs = 1.63 * 39,13 * 0,9 * 0.20 * 2 = 2810 kg m Campata B-C Appoggio BMrs = 2290 kg m Mrs = 2287.5 kg m Campata C-D Appoggio CMrs = 2290 kg m Mrs = 3171 kg m Appoggio A Appoggio DMrs = 2287.5 kg m Mrs = 2287.5 kg m

9. Calcolo asse neutro e MrduLa verifica di sicurezza si effettua confrontando il momento resistente con quello agente, la verifica soddisfatta se risulta:

La procedura per la verifica di sicurezza a flessione si compone delle seguenti fasi:1. Determinazione della posizione dellasse neutro,2. Valutazione del momento resistente della sezione,3. Confronto tra il momento resistente e quello agente .

Determinazione della la posizione dellasse neutro Y.La procedura di tipo iterativo e si pu sintetizzare in 4 passi fondamentali:1) Si ipotizza il campo di rottura in cui si trova la sezione esaminata;2) Si definiscono i parametri necessari a calcolare la posizione dellasse neutro (y);3) Si calcola la reale posizione dellasse neutro e si verifica, in modo iterativo, se lipotesi fatta sulla posizione dellasse neutro (y) cade nel campo di rottura ipotizzato;4) Se la condizione del passo 3) non soddisfatta si variano i parametri di progetto (essenzialmente larea dellarmatura metallica) e si riparte dal passo 2).La posizione dellasse neutro stata determinata imponendo lequilibrio alla traslazione lungo lasse della trave delle sollecitazioni di trazione che insorgono nellarmatura tesa e di quelle di compressione che insorgono nella parte compressa di calcestruzzo. Il coefficiente b assume il valore di 100 mm se siamo su di un appoggio, di 20 mm se siamo in una campata, e rappresenta la base della sezione reagente.

Esempio calcolo Mrdu As1 = 18 per ogni travetto = 0,5 cm2 d = 16 cmh = 19 cm c = 3 cmb = 20 cmfyd = 39,13 kN/cm2individuiamo il campo in cui si presuppone avvenga la rottura, attraverso la relazione:

Supponiamo di essere nel campo 2A.

Dove:y = 0.167 = 0.667s2 = 0s1 = 1Essendo 1> siamo nel campo 2, dove la posizione dellasse neutro varia tra 0 e 0,167d

Tentativo 1Y1 = 0,167d = 2,672 cmC = b y fcd = 41,882 KNCs = 0T = As1 fyd s1 = 39,13 KN T C = - 2,75 KNLa sezione non risulta verificata, in quanto lequilibrio non soddisfatto, ovvero TC.Tentativo 2 = 2,4964 cm

c = y2 = 0,00185 = 1,85Per c < e C = b y2 fcd = 37,534 KNT = 39,13 KN T C = - 1,596 KN La sezione non risulta verificata, in quanto lequilibrio non soddisfatto, ovvero TC.Tentativo 3 Ponendo y3 = 2,55 cm

c = y3 = 0,00190 = 1,90Per c < e

C = b y3 fcd = 38,89 KNT = 39,13 KN T C = - 0,238 KN C = TPer c < e d* = d * = 15,174 cm* = y = 0,948 Mrdu = As1 fsd d* = T d* = 593,74 KN cm Visto che Mrdu > Ms calcolo la sezione risulta verificata.

Lo stesso procedimento viene effettuato per le restanti sezioni, accertandosi sempre che sia soddisfatta la verifica di sicurezza: Sezione Campo di rotturaAs1b(cm)d(cm)h(cm)y(cm)MrduKN cmMrcKN cm

12a18 +11210016190,3590,067851949,36715

22a28 10016191,530,041621210,116715

3318 +1122016196,680,339261685,171345

42b28

2016194,100,208131119,441345

52a18 +11210020232,210,054282451,1710485

62a28

10020231,700,033301518,8210485

7318 +1122020236,680,271412195,422255

82b28

2020234,140,165511437,482255

92b212

6020233,100,125433334,396285

102a28

6020232,230,055501503,186285

112a212

10020232,650,075263367,7810485

123212

2020239,300,376312853,272255

132b28

2020234,140,166511437,482255

142b212

6020233,100,125433334,396285

152a18 +11210020232,210,054282451,1710485

.

10. Verifica a taglio La normativa vigente in termini di progettazione dei solai in c.a. e laterizio prevede che la verifica a taglio sia effettuata mediante la valutazione del valore del taglio resistente che non altro che il valore del taglio massimo supportato da una determinata sezione del travetto. Infatti, i solai non essendo armati a taglio, cio non essendo dotati di staffe in grado di assorbire le sollecitazioni di taglio, devono sopportare tali sforzi con il solo ausilio del calcestruzzo.La verifica di resistenza (SLU) si pone con:

dove il valore di calcolo dello sforzo di taglio agente. Con riferimento allelemento fessurato da momento flettente, la resistenza al taglio si valuta con la seguente relazione:

con: laltezza utile della sezione (in mm); il rapporto geometrico di armatura longitudinale ; la tensione media di compressione nella sezione ; la larghezza minima della sezione (in mm); lo sforzo assiale di progetto (in N); larea della sezione di solo calcestruzzo (in mm2); = 1,5

Con le considerazioni fatte in precedenza abbiamo ottenuto i seguenti valori riportati in tabella :

Sez.Tondinir1Vrd[kN]

11F8 + 1 F 120,0020374,089

21F8 + 1 F 120,010181,398

31F8 + 1 F 120,0016347,450

41F8 + 1 F 120,008151,623

52F12 0,011319,4918

62F120,002265,6995

71F120,0056515,4707

11. Progetto delle fasce pieneLa realizzazione di una fascia piena o semipiena in corrispondenza degli appoggi, si rivela spesso necessaria ad assorbire gli sforzi di taglio in eccesso. Infatti, non essendo prevista alcuna armatura a taglio, tale sollecitazione, deve essere sopportata interamente dal calcestruzzo. Nelle zone in corrispondenza degli appoggi, la base utile della sezione per sopportare le elevate sollecitazioni taglianti risulta insufficiente e pertanto, per sopperire a tali carenze, si prevede la sostituzione dei laterizi di alleggerimento con delle parti di calcestruzzo in grado di aumentare la sezione reagente a taglio. Si creano, cos, delle zone in cui la parte di cls riempie, parzialmente o totalmente, lintera altezza della sezione dando luogo alle cosiddette fasce piene o semipiene.