Relazione Meccatronica

1. INTRODUZIONE

1.1 MECCANISMO INSERITORE 1.2 METODO PROCEDURALE 1.3 ANALISI DEI GRADI DI LIBERTÀ 1.4 SCOMPOSIZIONE IN DIADI 1.5 DATI VS. INCOGNITE

2. ANALISI CINEMATICA 2.1 ANALISI CINEMATICA DI POSIZIONE 2.2 GRAFICI DI POSIZIONE 2.3 ANALISI CINEMATICA DI VELOCITÀ 2.4 GRAFICI DI VELOCITÀ 2.5 ANALISI CINEMATICA DI ACCELERAZIONE 2.6 GRAFICI DI ACCELERAZIONE

3. ANALISI STATICA

3.1 APPROCCIO LAGRANGIANO

4. ANALISI DINAMICA

5. SIMULINK

Meccanismo Inseritore

2 MECCATRONICA

1. INTRODUZIONE

1.1 MECCANISMO INSERITORE

Lo scopo di questa relazione è lo studio cinematico, statico e dinamico del meccanismo proposto, tramite modello matematico.

Meccanismo inseritore

1.2 METODO PROCEDURALE

Scompongo il meccanismo nel sottomeccanismo base, che contiene il grado di libertà risolvibile immediatamente in catena aperta, ed in altri meccanismi a zero gradi di libertà denominati gruppi di Assur (nel caso specifico solamente Diadi). Quest’ultimi devono essere risolti in modo ordinato e sequenziale in catena chiusa.

Ricerco ed isolo dalla struttura le diadi, poiché la loro soluzione nell’analisi di posizione ha una forma diretta che non richiede l’uso del metodo iterativo di Newton-Raphson. Evito così problemi di convergenza e riduco gli errori di calcolo dovuti ai residui.


3 MECCATRONICA

1.3 ANALISI DEI GRADI DI LIBERTÀ

Nel calcolo dei Gradi di Libertà utilizzo la formula di Gruber:

212)1(3 ccmGdL

Dove: m = numero di membri compreso il telaio; c1 = coppie cinematiche di 1° ordine (Rotoidali, Prismatiche); c2 = coppie cinematiche di 2° ordine ( Camma Piana );

I gradi di libertà corrispondono al numero di coordinate libere, ovvero al numero di motori indipendenti presenti. Nel nostro caso si avrà un unico attuatore per cui GdL = 1.

Nota: per i nostri esempi di interesse non ci saranno mai camme piane.

Ridisegno la struttura con la convenzione per le coppie cinematiche:


4 MECCATRONICA

APPLICANDO LA FORMULA DI GRUBER :

La struttura risulta composta da un quadrilatero OABC che si trascina un membro DE chiuso dalle componenti DB e BE, per un totale di 7 segmenti.

092)17(3 GdL

La struttura risulta isostatica, ovvero priva di gradi di libertà. Questo perché si è considerato nell’analisi un vincolo sovrabbondante dato da uno dei due pattini. LA STRUTTURA CORRETTA RISULTA ALLORA:

Dove considero il membro CE come un’appendice di DC aventi angolo e modulo uguali.

La nuova equazione di Gruber è: 172)16(3 GdL

La geometria fa sì che uno dei due pattini e la corrispondente guida non giochino alcun ruolo dal punto di vista cinematico, in pratica la loro assenza non modifica la traiettoria del punto E.

2C1

2C1

2C1

C1

Elimino dall’analisi il pattino E


5 MECCATRONICA

1.4 SCOMPOSIZIONE IN DIADI

Scompongo la struttura nelle sue diadi principali

Dall’analisi in catena aperta ricavo direttamente le coordinate del punto A : ( xA , yA ). Con queste, nella diade RRR riesco a risalire agli angoli che la compongono e alle coordinare C : ( xC , yC ). Dall’ultima diade infine risalgo alla posizione del pattino D, e in catena aperta a quella del punto E

Diade RRR

Diade RRP

Ф5

Z1

Z3

Z4

Z6

Z7


6 MECCATRONICA

1.5 DATI VS. INCOGNITE

In tabella si riportano i dati forniti dal costruttore:

Parametro Riferimento Valore OA Z1 0.2525 [m] BC Z3 0.8725 [m] AC Z4 1.075 [m]

CE , CD Z6 , Z7 0.8725 [m] ФBD Ф5 π/2 [rad]

O = [xo yo] [0 0] B = [xB yB] [1.075 -0.80] [m]

Dati di costruzione

2 ANALISI CINEMATICA

L’analisi cinematica consente lo studio del meccanismo sottoposto ai vincoli costruttivi. Si possono suddividere tre sottoanalisi,

analisi di posizione, analisi di velocità analisi di accelerazione

ognuna delle quali assume come dati in ingresso i risultati ottenuti dalle precedenti.

2.1 ANALISI CINEMATICA DI POSIZIONE

L’analisi di posizione determina ogni punto del meccanismo, qualora forniti i parametri costruttivi e determinate le coordinate libere. Si calcoleranno allora tutti i moduli e gli angoli dei singoli vettori che compongono il meccanismo inseritore, tramite l’equazione di chiusura:

01

i

iz

proiettandola sugli assi otteniamo:

0sin

0cos

1

1

ii

i

ii

i

z

z

Come già precedentemente annunciato, la non linearità di questo metodo viene risolta con il metodo diretto per le diadi.


7 MECCATRONICA

1) MECCANISMO BASE IN CATENA AP ERTA

10 ZA

11

11

11

11

sincos

sincos

zz

ZyZx

yx

O

O

A

A

dato che il punto O corrisponde all’origine

2) DIADE RRR - (ABC)

eq. di chiusura : 0432 ZZZ

222 ABAB yyxxZ

ABAB xxyya ,2tan2

3223

a questo punto, ricavate tutte le incognite, è possibile calcolare le coordinate di C tramite :

33

333 sin

cos

zz

yx

yx

ZBCB

B

C

C

DATI INCOGNITE Z3 Z2

Z4 φ2

Z1 φ3

xA , yA φ4

xB , yB xC , yC

A

B

C φ4

φ3

φ2

Z2

Z4

Z3

γ32

xA

yA

Z1

Teorema di Carnot :

32

22

23

24

32 2cos

ZZZZZ

a


8 MECCATRONICA

analogamente a quanto fatto per φ2 si ricava φ4 da:

CACA xxyya ,2tan4

3) DIADE RRP - (BCD)

Dalla figura si osserva che :

3553

5322

32

6533635 sincos ZZZZZZ yy

con il modulo di Z5 è possibile ottenere:

5Z BD

55

55

sincos

ZZ

yx

yx

B

B

D

D

DCDC xxyya ,2tan6

DATI INCOGNITE Z3, φ3 Z5

Z6 φ6

xC , yC xD , yD

φ5

C

φ5 Z5

B

Z6

Z3

φ3

Φ53

D

eq. di chiusura :

0365 ZZZ


9 MECCATRONICA

4) MECCANISMO IN CATENA APERTA (CE)

per ricavare le coordinate di E si risolve:

7ZCE

77

77

sincos

ZZ

yx

yx

C

C

E

E

2.2 GRAFICI 20 1

Analisi di posizione di A

DATI INCOGNITE Z7 xE ,yE

φ7 = φ6 xc , yc

C

Z7

E

φ7


10 MECCATRONICA

Analisi di posizione di C

Analisi di posizione di D


11 MECCATRONICA

Analisi di posizione di D


12 MECCATRONICA

Derivata

2.3 ANALISI CINEMATICA DI VELOCITÀ

Questa analisi determina le velocità dei membri del meccanismo, dati i risultati dell’analisi di posizione e definite le velocità delle coordinate libere: Si effettua risolvendo le equazioni di chiusura di posizione derivate:

i

iZ 0

Forma equivalente scomposta:

0)( i

iiii ZZversZ

Dalla proiezione sugli assi ottengo:

0sin

0cos

iii

iii

Z

Z

Volendo dare una descrizione canonica del sistema dell’analisi di velocità, indicando con

1f 2f le proiezioni rispettivamente sugli assi x e y :

0),(0),(

2

1

ii

ii

zfzf

0),(

0),(

2

1

dtzdfdtzdf

ii

ii

=>

0

0

1

22

1

11

n

ii

ii

i

n

ii

ii

i

ddfz

dzdf

ddfz

dzdf

dove gli addendi sono rispettivamente: iZ : velocità di allungamento ( parallela a iZ )

ii Z : velocità di rotazione (ortogonale a iZ )

Derivata

iiiiii

iiiiii

ZZ

ZZ

0cossin

0sincos


13 MECCATRONICA

In forma matriciale:

nn

n

q

q

qddf

dqdf

dqdf

dqdf

xx

dxdf

dxdf

dxdf

dxdf

1

2

1

2

1

1

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

Le incognite sono determinate dalla somma delle velocità delle coordinate libere. Il modo più pratico per calcolare i rapporti di velocità è di lanciare l’analisi di velocità ponendo ad ‘1’ la coordinata libera di interesse ed annullando tutte le altre. Così facendo riesco a popolare la matrice W elemento per elemento: I coefficienti di sensibilità non sono dipendenti dalla velocità, ma solo dalla configurazione

del meccanismo che a sua volta è definita da q .

)(qww ijij

Per un generico punto P si può scrivere qqWP p )(

nn

n

q

q

qdxd

dqdx

dqdx

dqdx

xx

1

2

1

2

1

1

1

2

1

qWqAJx

qAxJ

1

J è la matrice Jacobiana, A contiene le derivate rispetto alle coordinate libere x è il vettore delle incognite q il vettore delle coordinate libere

AJW 1 matrice dei rapporti di velocità

Es. per calcolare

si impone 1jq ; 0| jkkq ;

risulta che j

iij dq

dxw

ijw


14 MECCATRONICA

1) MECCANISMO B ASE IN CA TENA AP ERTA

Eq. di chiusura:

Il punto O essendo a telaio, ha velocità di estensione nulla.

Poiché Z1 è rigido, è presente solo la componente di velocità angolare, da cui possiamo scrivere:

11 ZA

111

111

cossin

ZZ

yx

A

A

2) DIADE RRR (ABC)

Z3 e Z4 analogamente a Z1 possono solo ruotare, mentre Z2 può anche allungarsi. La velocità di estensione viene calcolata come differenza di velocità tra B e A:

AABZ 2 ( ricordando che la velocità di B è nulla perché a telaio ).

L’equazione di chiusura si riscrive come:

04433 ZZA

proiettata sugli assi:

0coscos0sinsin

444333

444333

ZZyZZx

A

A

11 ZZOA

0432 ZZZ


15 MECCATRONICA

Forma matriciale: bxJ

A

A

yx

ZZ

ZZ

4

3

44

44

33

33

cossin

cossin

Valutiamo il punto C

33 ZZBC

333

33

cossin

ZZ

yx

C

C

3) DIADE RRP (BCD)

Eq. di chiusura:

0365 ZZZ

Z5 non può ruotare ma solo allungarsi mentre Z3 e Z6 possono solo ruotare.

0)()( 6655 CBZZversZ

0cossin

0sincos

66655

66655

C

C

yZZxZZ

Forma matriciale:

C

C

yxZ

ZZ

6

5

66

66

5

5

sinsin

sincos

Analisi del punto D:

55 ZZBD

DyZ 5

RICAVO 3 e 4

E

D

C

B

Z6

Z3

Z5

RICAVO

5Z e 6


16 MECCATRONICA

4) MECCANISMO BASE IN CATENA APERTA CE

7ZCE

Nota C , il membro rigido Z7 è solidale con CD percui:

777 ZCZCE

777

777

cossin

ZZ

yx

yx

C

C

E

E

67 ZZ

67

2.4 GRAFICI 20 1 ; 111

Analisi di velocità di A

E

D

C

B

Z7


17 MECCATRONICA

Analisi di velocità di C

Analisi di velocità di D


18 MECCATRONICA

Analisi di velocità di E


19 MECCATRONICA

2.5 ANALISI CINEMATICA DI ACCELLERAZIONE

Determina le accelerazioni di tutti i membri del meccanismo, dati i risultati dell’analisi di posizione e le velocità. Si ottiene dalla derivata dell’equazione di velocità secondo i seguenti passaggi: eq. di chiusura di velocità.

KKK

KK

KK ZZversZZ )(0

che derivata da: dtd /

0))(2)()( 2 K

KKKKKKKKKK

K ZZversZZZversZZ

Proiettata sugli assi otteniamo:

K KKKKKKKKKKK

K KKKKKKKKKKK

ZZZZy

ZZZZx2

2

sincos2cossin:

cossin2sincos:

Forma matriciale: qAxJqAxJ ][][][][

)( KK ZversZ Accelerazione di allungamento

KK Z Accelerazione angolare KK .

)(2 KKK ZversZ Accelerazione di Coriolis: tiene conto sia dell’estensione dei membri e della loro rotazione

KK Z2 Accelerazione centripeta.

Partendo dai rapporti di velocità,

qqWx X )(

e derivando rispetto al tempo

qWqWx XX

K

kk

XX q

qWW

Più in generale:

qqq

WqqWP

n

i i

pp

1

)(

Rapporti di accelerazione

i

p

qW


20 MECCATRONICA

1) MECCANISMO BASE OA

Eq. di chiusura:

11 ZZOA

Come per l’analisi di velocità, i punti a telaio non hanno accelerazione,

mentre su Z1 è presente una componente di accelerazione angolare e centripeta, ma non di allungamento e di Coriolis.

112

111 ZZZ

2

111

111

111

111

sincos

cossin

sm

ZZ

ZZ

yx

A

A

2) DIADE RRR (ABC)

Eq. di chiusura:

0432 ZZZ

Z3 e Z4 possono solo ruotare similmente a Z1 del membro precedente, presentando termini di accelerazione angolare e centripeta. Z2 invece può anche allungarsi, e si ottiene dalla differenza tra B e A:

AABZ 2

Dalla proiezione sugli assi e successivo raccoglimento in forma matriciale otteniamo:

442

4332

3

442

4332

3

3443

33

44

33

44

4

3

sinsin

coscos)sin(

sinsin

coscos

ZZ

ZZyx

ZZZZ

ZZ

A

A

O

E

D

C

B

A Z1

E

D

C

B

A

Z2 Z3

Z4


21 MECCATRONICA

Una volta ottenuti 3 e 4 è possibile calcolare l’accelerazione del punto C:

33 ZZBC

23

33

333

33

33

sincos

cossin

ZZ

ZZ

yx

C

C

3) DIADE RRP (BCD)

0365 ZZZ

Z5 non può ruotare ma solo allungarsi Z3 e Z6 possono solo ruotare

0)(

)( 6266655

CBZZZversZ

0sincossin

0cossincos2

66666655

266666655

C

C

yZZZ

xZZZ

Forma matriciale:

26

66

66

5

66

5

66

5666

5

sincos

cossin

sincos

)cos(1

ZZ

yxZZ

ZZ

C

C

Ottenuti 5Z e 6 calcoliamo l’accelerazione del punto D:

];0[55 DyZZBD

E

D

C

B

Z6

Z3

Z5


22 MECCATRONICA

4) PUNTO ‘E’

7ZCE

72

777 ZZCE

Nell’ ipotesi di 76 e dalla proiezione sugli assi otteniamo:

2

677

2677

777

777

sin

coscossin

Z

ZZZ

yx

yx

C

C

E

E

2.6 GRAFICI 20 1 ; 111 ; 01

Analisi di accelerazione di A

E

D

C

B

Z7


23 MECCATRONICA

Analisi di accelerazione di C

Analisi di accelerazione di D


24 MECCATRONICA

Analisi di accelerazione di E


25 MECCATRONICA

3. ANALISI STATICA

Con l’analisi statica si trovano le forze e le coppie che i motori devono erogare per equilibrare staticamente le forze e i momenti esterni (considerati costanti) che agiscono sul meccanismo, in funzione della configurazione assunta in quel momento. Esistono due tipi di approcci:

Metodo Newtoniano: in cui applico la legge d’inerzia (eq. di equilibrio di traslazione e rotazione) a tutte le parti del sistema, per le quali si sviluppano 3 equazioni per ogni membro, oltre alle forze di accoppiamento.

Metodo Lagrangiano: si basa sul principio di stazionarietà del potenziale, dove considero il meccanismo come un unico sistema che scambia lavoro con l’ambiente esterno. Questo metodo genera tante equazioni quanti sono i gradi di libertà del meccanismo.

dei quali utilizzeremo solamente il metodo Lagrangiano poiché più facile da implementare e con meno equazioni.

3.1 APPROCCIO LAGRANGIANO

Considerare il meccanismo come una scatola chiusa della quale considero solo i flussi energetici entranti ed uscenti dell’intero sistema. L’equilibrio statico avviene quando il flusso netto dei lavori è nullo (principio dei lavori virtuali): Il lavoro virtuale è un lavoro infinitesimo sFL ovvero, compiuto da una forza reale per uno spostamento infinitesimo virtuale.

0

qL

qL

qL

qL ESTESTINT

iiiii dCdyFydxFxdL 0

Ricordiamo che anche il lavoro è funzione della configurazione del meccanismo:

),...,,( 21 nqqqLL

0...1

22

11

n

ii

in

n

dqqLdq

qLdq

qLdq

qLdL

Le variazioni infinitesime delle coordinate libere sono tutte indipendenti l’una dall’altra, ne consegue che le derivate parziali sono tutte nulle.

Il lavoro delle forze esterne è nullo poiché gli elementi sono indeformabili

INTL = 0


26 MECCATRONICA

0...0021

nq

LqL

qL

iiiii

ii dCdyFydxFxdLdL 0

n

n

qL

qL

qL

dqdL

...2

2

1

1

1

1

11

1

11

1

11

1

1

dqd

Cdqdy

Fydqdx

FxdqdL

Coppia al motore necessaria ad imporre l’equilibrio statico:

i

ii

ii

i qiC

qy

Fyqx

FxC

Suppongo di poter applicare forze e momenti in ogni punto possibile del meccanismo:

Forze: A,C,D,E, baricentro di AC,BC Momenti: AC, BC, DE

O

E

D

C

B

A

Forze Momenti

C

Ho un numero di equazioni pari ai gradi di libertà


27 MECCATRONICA

4. ANALISI DINAMICA

Permette di descrivere il movimento di ogni singolo punto del meccanismo nel tempo, qualora note masse ed inerzie dei membri (e quindi la loro stessa forma), ed eventuali forze e momenti esterni. Più in generale potremo quindi dire che l’analisi dinamica permette, date forze e momenti agenti sul sistema, di determinare la legge del moto in funzione delle coordinate libere. Per il principio di D’Alembert studio l’equilibrio dinamico, ipotizzandolo come un equilibrio statico tra forze effettive e forze d’inerzia, dove quindi la condizione di equilibrio statico rimanga valida anche per un sistema non in equilibrio a patto di considerare anche le forze d’inerzia mentre il meccanismo è in movimento.

0)()( tFtF InerziaAttiva amFIne ; JCIne

non rappresenta una forza vera, la uso solo per il bilancio energetico

forze attive responsabili dell’energia cinetica Anche in questo caso esistono due tipi di approccio:

Metodo newtoniano:

ii

iiy

iix

M

F

F

0

0

0

0

iB

Atti

iyBi

Attiy

ixBi

Attiy

i

IneATTi

i

Iney

Attiy

i

Inex

Attix

JM

amF

amF

CM

FF

FF

0

0

0

0

0

0

0

a. statica a. dinamica Metodo langragiano:

0 L 0 ineAtt LLULU

a.statica a. dinamica

in analogia a quanto visto nell’analisi statica, si traduce in un sistema di ‘n’ equazioni, dove ‘n’ rappresenta le coordinate libere.

dt

d acc. angolare

a acc. lineare

Baricentro


28 MECCATRONICA

niq

Lq

LqU

i

ine

i

Att

i

,...,10

i membri sono rigidi

0

011

n

Ine

n

Att

IneAtt

qL

qL

qL

qL

0 j i

jInej

j

jAttj q

PF

qi

PF

Consideriamo ora l’energia cinetica ‘T’ ottenendo l’equazione di Lagrange nella 2a forma.

j i

jAttj

ii qP

FqT

qT

dtd

KKKBKBK

KK IvmTT 22

21

21

222

21

21

KKBKBKBKK IyxmT

Riduzione alla coordinata libera:

qq

qq

yyq

qx

x KK

KBKB

KBKB

qqATK )(21

Dove A(q) è momento di inerzia ridotto rispetto alle coordinate libere. Sostituendo quest’ultimo nell’espressione di Lagrange nella seconda forma si ottiene l’equazione che ci permette di esprimere l’accelerazione della coordinata libera utilizzata successivamente nel prossimo paragrafo relativo alle simulazioni in Simulink.

Forza Inerziale

Forza Attiva

Baricentro


29 MECCATRONICA

5. SIMULINK Come detto, per effettuare la doppia integrazione si è deciso di ricorre all’utilizzo del software Simulink, il quale ci permette di creare uno schema a blocchi del sistema in esame.

Figura 4.3: Schema a blocchi meccanismo inseritore in evoluzione libera

Lo schema a blocchi riportato in figura 4.3 rappresenta l’equazione di equilibrio dinamico del meccanismo inseritore, realizzata mediante la funzione controllo_open_loop:

2)()(*2

1)()(

qdq

qdAqAqA

QqA

Cmq

l’output del blocco che esegue la somma rappresenta l’accelerazione della coordinata libera, che quindi viene passata attraverso una doppia integrazione per ottenere la legge del moto della coordinata libera.


30 MECCATRONICA

Lo schema di figura 4.3 è stato inserito in un ciclo, che tramite l’utilizzo di un blocco PID ci permette di controllare il sistema in funzione della posizione della coordinata libera (figura 4.4):

Figura 4.4: Controllo meccanismo inseritore

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