REGOLATORI P. I. D.

I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 1

De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1

REGOLATORIP. I. D.

Prof. ALESSANDRO DE CARLIDott. Ing. Vincenzo SuraciANNO ACCADEMICO 2011-20012

Corso di AUTOMAZIONE 1


De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1tempo

L’andamento della risposta a gradino non presenta una brusca discontinuità in corrispondenza dell’istante iniziale. Ciò sta a confermare che le componenti a frequenza più elevata sono attenuate.

sDERIVATA“ESATTA”

a1 s + a0

b1 s + b0 DERIVATA “APPROSSIMATA”CON FILTRO DEL PRIMO ORDINE

s 2 + a1 s + a0

b1 s + b0DERIVATA “APPROSSIMATA “ CON FILTRO DEL SECONDO ORDINE

STIMA DELLA DERIVATA CON FILTRO DEL SECONDO ORDINERISPOSTA A GRADINO



REGOLATORI P.I.D.STIMA DELLA DERIVATA

ATTENUAZIONE DELL’EFFETTODEL RUMORE DI MISURA



VALOREMISURATO

VALORE“VERO”

DERIVATADEL VALORE

“VERO”

VALORE STIMATODELLA DERIVATA

CON IL FILTRODEL PRIMO ORDINE

VALORE STIMATO DELLA DERIVATACON IL FILTRO DEL SECONDO ORDINE

Confrontiamo i risultati del filtraggio di un andamento sinusoidale con sovrapposta una sinusoide di ampiezza minore e di pulsazione molto superiore (rumore sinusoidale).



DERIVATADEL VALORE

“VERO”



Il filtro del primo ordine il rumore è attenuato ma non trascurabile, mentre con il filtro del secondo ordine il rumore è praticamente eliminato.

VALORE STIMATO DELLA DERIVATACON IL FILTRO

DEL SECONDO ORDINE



VALOREMISURATO

VALORE“VERO”

DERIVATADEL VALORE

“VERO”



VALORE STIMATO DELLA DERIVATACON IL FILTRO DEL SECONDO ORDINE

Si noti che il segnale filtrato presenta uno sfasamento ovvero un ritardo finito rispetto al segnale di ingresso.



REGOLATORI P.I.D.NON LINEARITÀ



SCHEMA DI BASE CON LE NONLINERITÀ NELL’AZIONE INTEGRALE

Le nonlinearità a soglia e a saturazione consentono:1. SOGLIA - di tenere in contro l’underflow del PID;2. SATURAZIONE - di limitare l’escursione della variabile di

controllo in ingresso all’attuatore.

K I e (t) dt

m(t)e(t)K p

K dd e(t)

dt

K I e (t) dt




La nonlinearità attrattore consente di attivare l’integratore quando l’errore è inferiore ad un valore minimo prefissato.

Quando l’entità dell’errore è rilevante è sufficiente l’azione proporzionale.

K I e (t) dt

m(t)e(t)K p

K dd e(t)

dt

K I e (t) dt




La linearità del tipo a saturazione dopo l’integratore evita che l’azione integrale vada in overflow.

K I e (t) dt

m(t)e(t)K p

K dd e(t)

dt

K I e (t) dt



K pe(t)m(t)

K d

SCHEMA FUNZIONALE CON AZIONE DERIVATIVA IN BANDA

K I

s

a1 s + a0

b1 s + b0

DERIVATA IN BANDA, STIMATA CON FILTRO DEL PRIMO ORDINE



K pe(t)m(t)

K d

SCHEMA FUNZIONALE CON AZIONE DERIVATIVA IN BANDA

K I

s

DERIVATA IN BANDA, STIMATA CON FILTRO DEL SECONDO ORDINE

s 2 + a1 s + a0

b1 s + b0



REGOLATORI P.I.D.TEMPO DELL’AZIONE INTEGRALE

E TEMPO DELL’AZIONE DERIVATIVA



SCHEMA A BLOCCHI DI TIPO FUNZIONALEPER UN REGOLATORE P.I.D. DI TIPO PARALLELO



AZIONEPROPORZIONALE

AZIONEINTEGRALE

AZIONEDERIVATIVA

TI TEMPO DELL’AZIONEINTEGRALE

TD TEMPO DELL’AZIONEDERIVATIVA

Bp BANDAPROPORZIONALE

𝜒 (𝑠 )𝜀 (𝑠 )

=𝐾 𝑃+𝐾 𝐼1𝑠+𝐾𝐷 𝑠

𝜒 (𝑡 )=𝐾 𝑃𝜀 (𝑡 )+𝐾 𝐼𝜀 (𝑡 )𝑑𝑡+𝐾𝐷𝑑𝑑𝑡

𝜀 (𝑡 )

𝐵𝑝=1𝐾 𝑃

𝑇 𝐼=𝐾 𝑃

𝐾 𝐼

𝑇 𝐷=𝐾𝐷

𝐾 𝑃

𝜒 (𝑠 )𝜀 (𝑠 )

=𝐾 𝑃(1+ 𝐾 𝐼

𝐾 𝑃

1𝑠+𝐾𝐷

𝐾 𝑃

𝑠 )𝜒 (𝑠 )𝜀 (𝑠 )

=1𝐵𝑝

(1+ 1𝑇 𝐼

1𝑠+𝑇 𝐷𝑠 )



tempo

ANDAMENTODELL’AZIONEPROPORZIONALE

ANDAMENTODELL’AZIONEINTEGRALE

tempo

ANDAMENTODELL’AZIONEPROPORZIONALE

ANDAMENTODELL’AZIONEDERIVATIVA

0 TI 0 TD

TEMPO DELL’AZIONEINTEGRALE

TEMPO DELL’AZIONEDERIVATIVA

𝜒 (𝑠 )𝜀 (𝑠 )

=1𝐵𝑝

(1+ 1𝑇 𝐼

1𝑠+𝑇 𝐷𝑠 )

RISPOSTA INGRESSO AL GRADINOUNITARIO

RISPOSTA INGRESSO A RAMPAUNITARIA

𝐵𝑝=1𝐾 𝑃

𝑇 𝐼=𝐾 𝑃

𝐾 𝐼

𝑇 𝐷=𝐾𝐷

𝐾 𝑃

BANDA PROPORZIONALE

TEMPO AZIONE INTEGRALE

TEMPO AZIONE DERIVATIVA

1𝐵𝑝

=𝐾 𝑃

𝐾 𝑃

𝑇 𝐼

𝑡

𝑇 𝐷

𝐵𝑝

1𝐵𝑝

𝑡



REGOLATORI P.I.D.CONFIGURAZIONE PARALLELO

ZERI



FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

sK

s

KK

s

ssG D

IP



FUNZIONE DI TRASFERIMENTO - ZERI

sKs

KKsG D

IP

s

KsKsK IPD2

sss

Ks

K

Ks

K

K

s

K I

I

P

I

DI21

2 111

221212 11 ss

s

Ks

K

Ks

K

K

s

K I

I

P

I

DI




I

D

I

P

K

KK

K

21

21

I

D

I

P

I

P

K

K

K

K

K

K

22

21

022222

I

D

I

P

I

D

I

P

K

K

K

K

K

K

K

K




0222

I

D

I

P

K

K

K

K 21 I

P

K

K

04

2

2

2

2

I

D

I

P

IP

K

K

K

K

KK IDP KKK 42

IDP KKK 2t1 e t2 reali



P

I

P

DIDP K

K

K

KKKK 4142

DI

TT

141

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO – ZERI COINCIDENTI

Due soluzioni reali e coincidenti per t2

DI TT 4

212 2222

I

P

I

P

I

PI

I

P

K

K

K

K

K

KT

K

K

t1 coincide con t2




INFLUENZA DEGLI ZERI




sK

s

KK

s

ssG D

IP

CON ZERI COINCIDENTI

2

2

211

s

T

s

Ks

s

KsG III

DI TT 4

IDP KKK 2



-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

s

sKsKKsG DPI

2

2

21

s

T

s

KsG II

DI TT 4IT

2



-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

s

sKsKKsG DPI

2

sss

K I21 11

DI TT 41

1

2

42

2,1DIII TTTT

2

1



0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

-90

-45

0

45

90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

𝑇 𝐼=4𝑇 𝐷

𝑇 𝐼>4𝑇 𝐷

𝑇 𝐼=4𝑇 𝐷 𝑇 𝐼>4𝑇 𝐷



-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

s

sKsKKsG DPI

2

DT

2

sss

K I21 11

DI TT 4

2

4 2

2,1IDII TTTiT



0

20

40

60

80

100

120

Mag

nitu

de (

dB)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-90

-45

0

45

90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

𝑇 𝐼=4𝑇 𝐷

𝑇 𝐼<4𝑇 𝐷

𝑇 𝐼=4𝑇 𝐷𝑇 𝐼<4𝑇 𝐷




STIMA DELLA DERIVATA



sT

sT

sTKsT

sT

sTK

sTsT

KsK

K

sK

KK

sKs

KK

s

ssG

I

I

IPD

I

IP

DI

PP

D

P

IP

DI

P

4

11

111

11

Mettendo in evidenza KP

Sostituiamo i tempi delle azioni integrale e derivativa

Raggruppiamo i termini Ipotizziamo gli zeri coincidenti… DI TT 4



TI s + 1

TI s

.25 TI s

Kp

azione proporzionale e integrale

azione proporzionale e derivativa

+

+

.25 TI s

4

1 IP

I

IP

TK

sT

sTKsG

s

1 Zero

2 Poli

azione derivativa

Stima della azione derivativas

2 + a1 s + a0

b1 s + b0



ASSUNZIONI1. Il filtro di stima deve avere guadagno unitario;2. Facciamo coincidere lo zero del filtro di stima della azione

derivativa con quello della azione integrale;3. Impostiamo due poli complessi coniugati.

t s + 1s2/wn

2 +2 z s /wn +1Stima della azione derivativa

Stima della azione derivativas

2 + a1 s + a0

b1 s + b0

2IT



ASSUNZIONI4. Poli a destra dello zero, poli con parte Re = parte Im

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

IT

2

IT2

11

22

22

II

II

TT

TT

1 707.0)43cos(

IT2



TI s + 1

TI s

.25 TI s

Kp

azione proporzionale e integrale

azione derivativa

+

+

.5 TI s + 1

.5 TI s

.5 TI s +1

1/( aTI )2s2 + 1.41/( aTI ) s + 1

.5 Kp

+

+

azioneproporzionale e integrale

azione derivativa in banda a = 10 ÷ 100

.01 .1 1 10 100w (rad/sec)

0

-10

-20

30

20

10

modulo

(dB

)2/TI 1/(aTI)



REGOLATORI P.I.D.CONFIGURAZIONE SERIESTIMA DELLA DERIVATA




CON ZERI COINCIDENTI

2

2

211

s

T

s

Ks

s

KsG III

DI TT 4

IDP KKK 2



TI s + 1TI s

AZIONEPROPORZIONALE

AZIONEINTEGRALE

AZIONE DERIVATIVA(FILTRO DEL PRIMO ORDINE)

Kp

e(t) m’(t) m(t)

STRUTTURA DI UN CONTROLLORE PID SERIE

tempo

KP

TI

tempo

10 TD

tempo

KD

0

KDa

1/TI

100

0

40

20

mod

ulo

(d

B)

.01 .1 1 10w (rad/sec)

Kp

0

40

20

mod

ulo

(d

B)

.01 .1 1 10 100w (rad/sec)

1/a

1/TD 1/(aTD)

m”(t)TD s + 1

a TD s + 1KD

0

-20

20

mod

ulo

(d

B)

.01 .1 1 10 100w (rad/sec)

KD dB



Kp = .9

Kp = .2

KI = .55

KI = .2

10 20 300

.2

.4

.6

.8

1

1.2

tempo (sec)0 10 20 30

0

.2

.4

.6

.8

1

1.2

tempo (sec)0

AZIONE DI CONTROLLOSOLO PROPORZIONALE

AZIONE DI CONTROLLOSOLO INTEGRALE

SOVRA ELONGAZIONEDOVUTA ALLA DINAMICA

SECONDARIA

ANDAMENTO DESIDERATO ANDAMENTO DESIDERATO

AN

DA

ME

NT

OO

TT

EN

UT

O

REGIME OKAYTRANSITORIO

DEGRADATO

ANDAMENTOOTTENUTO



SISTEMADA CONTROLLARE

CONTROLLOREPI e PID

FORZAMENTO0 5 10

0

0.5

1

1.5

tempo (sec) 0 5 100

0.5

1

1.5

tempo (sec)

0 5 100

1

2

3

tempo (sec)

ATTENUAZIONEDELL’EFFETTODEL DISTURBODI TIPO A GRADINO

0 5 10-2

-1

0

1

tempo (sec)

2

ANDAMENTODESIDERATO

FORZAMENTO TRANSITORIO ELEVATO CHECK ATTUATORE

E DISPOSITIVI DI MISURA

DISCONTINUITÀ RISCHIO PER L’ATTUATORE E PER IL SISTEMA

DISCONTINUITÀ DOVUTA ALLA IMPREVEDIBILITÀ DEL DISTURBO



SISTEMA DACONTROLLAREATTUATORE

VARIABILE DI COMANDODELL’ATTUATORE

VARIABILECONTROLLATA

DISTURBOPREVEDIBILE

SISTEMA DACONTROLLAREATTUATORECONTROLLORE

y*(t) y(t)u(t)

d(t)

CONTROLLOREP I

y*(t) y(t)u(t)

d(t)

DINAMICASECONDARIA

DINAMICADOMINANTE.2 s + 1

1

PRESTAZIONE DOMINANTE REGOLAZIONE ASTATICA

s + 11


De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

.2

.4

.6

.8

1

t (sec)

SISTEMA DA CONTROLLARE

SISTEMA CONTROLLATOCON CONTROLLORE PI



-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-3

-2

-1

0

1

2

3 DINAMICASECONDARIA

DINAMICADOMINANTE

POLI DEL SISTEMA CONTROLLATOPOLO E ZERO DEL CONTROLLORE

TI s + 1TI s

Kp


De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1STRUTTURA DI UN SISTEMA DA CONTROLLARE 46


VARIABILE DI COMANDODELL’ATTUATORE


DISTURBOPREVEDIBILE


y*(t) y(t)u(t)

d(t)

CONTROLLOREP I D

y*(t) y(t)u(t)

d(t)

DINAMICASECONDARIA

DINAMICADOMINANTE.2 s + 1

1


s + 11


De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

.2

.4

.6

.8

1

t (sec)


SISTEMA CONTROLLATOCON CONTROLLORE PID



-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

POLI E ZERI DEL CONTROLLOREPOLI DEL SISTEMA CONTROLLATO

DINAMICASECONDARIA

DINAMICADOMINANTE

TI s + 1TI s

Kp

TD s + 1a TD s + 1

KD



0 5 15

0

.2

.4

.6

.8

1

t (sec)10


SISTEMA CONTROLLATOCON CONTROLLORE PI

SISTEMA CONTROLLATOCON CONTROLLORE PID




y*(t) y(t)u(t)

d(t)

CONTROLLOREP I

y*(t) y(t)u(t)

d(t)

DINAMICASECONDARIA

DINAMICADOMINANTEs + 1

1


s1



0 10 20 30 40 50

0

.2

.4

.6

.8

1

1.2

t (sec)

SISTEMA CONTROLLATO CON CONTROLLORE PI



-2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1-1.5

-1

-.5

0

.5

1

1.5

DINAMICASECONDARIA

DINAMICADOMINANTE

POLO E ZERODEL CONTROLLORE

POLI DEL SISTEMACONTROLLATO



0 10 20 30 40 50

0

.2

.4

.6

.8

1

1.2

t (sec)

SISTEMA CONTROLLATO CON CONTROLLORE PID



-2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1-1.5

-1

-.5

0

.5

1

1.5

DINAMICASECONDARIA

DINAMICADOMINANTE

POLO E ZERIDEL CONTROLLORE

POLI DEL SISTEMACONTROLLATO



0 10 20 30 40 50

0

.2

.4

.6

.8

1

1.2

t (sec)

SISTEMA CONTROLLATO CON CONTROLLORE PID

SISTEMA CONTROLLATO CON CONTROLLORE PI

I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOLezione n. 56

Alessandro De Carli A.A. 2010/2011 AUTOMAZIONE 1

d(t)

y(t)u(t)

y*(t)


STRATEGIADI CONTROLLO

y*(t) y(t)u(t)u*(t)e(t)

d(t)

r(t)

DISPOSITIVODI MISURA

tempor(t)

EFFETTO DEL RUMORE DI MISURA

RUMORE


VARIABILEDI FORZAMENTO

ATTUATORE IN

SOFFERENZA



PROCESSO DECISIONALE DELL’USO DEI PID

IL SISTEMA DA CONTROLLARE È

SOVRADIMENSIONATO?

LEGGE DI CONTROLLO A

STRUTTURA NON PREDETERMINATA

NO

L’ATTUATORE È IN GRADO DI SOPPORTARE UNA AZIONE DERIVATIVA?

SI

LEGGE DI CONTROLLO

P.I.NO

LEGGE DI CONTROLLO

P.I.D.

SI



GRADI DI LIBERTÀ e VINCOLI

u(t)

y(t)y*(t) e(t)m(t)

ATTUATORE

TRASDUTTORE

d(t)

r(t)

SISTEMA DACONTROLLARECONTROLLORE

1 GRADO DI LIBERTÀ

1 VINCOLOSPECIFICHE SULLA ATTENUAZIONE DELL’EFFETTO DEI DISTRUBI

1 VINCOLOSPECIFICHE SUL COMPORTAMENTO DINAMICO INGRESSO/USCITA



u(t)

y(t)y*(t) e(t)m(t)

ATTUATORE

TRASDUTTORE

d(t)

r(t)

SISTEMA DACONTROLLAREK p

K d s

CONTROLLOREP I D

K Is

GRADI DI LIBERTÀ e PARAMETRI

1 GRADO DI LIBERTÀ

3 PARAMETRI



P I D

K Is

STRUTTURA DI CONTROLLO A DUE GRADI DI LIBERTÀ

VARIANTE

u(t)

y(t)y*(t) e(t)m(t)

ATTUATORE

TRASDUTTORE

d(t)

r(t)


K d s

60



P I D

K Is


VARIANTE

u(t)

y(t)y*(t) e(t)m(t)

ATTUATORE

TRASDUTTORE

d(t)

r(t)


K d s

61

1 GRADO DI LIBERTÀ2 PARAMETRI



P I D

K Is


VARIANTE

u(t)

y(t)y*(t) e(t)m(t)

ATTUATORE

TRASDUTTORE

d(t)

r(t)


K d s

62

1 GRADO DI LIBERTÀ1 PARAMETRO



P I D

K Is


VARIANTE

u(t)

y(t)y*(t) e(t)m(t)

ATTUATORE

TRASDUTTORE

d(t)

r(t)


K d s

63

QUANDO SI USA?PER GARANTIRE LE SPECIFICHE

SUL COMPORTAMENTO DINAMICO INGRESSO/USCITA

CON DISTURBO TRASCURABILE



P I D

K Is


VARIANTE

u(t)

y(t)y*(t) e(t)m(t)

ATTUATORE

TRASDUTTORE

d(t)

r(t)


K d s

64

CONDIZIONE NECESSARIA:L’ANDAMENTO DESIDERATO DEVE

ESSERE CONTINUO NELLA DERIVATA PRIMA (NO GRADINI)

ALTRIMENTI STIMOLIAMO FENOMENI DI DINAMICA

SECONDARIA


Alessandro De Carli A.A. 2010/2011 AUTOMAZIONE 1COMPORTAMENTO DINAMICO E VINCOLI SULLE PRESTAZIONI

COMPORTAMENTODINAMICO

DINAMICADOMINANTE

DINAMICASECONDARIA

1. ACCUMULO2. TRASFORMAZIONE3. TRASFERIMENTODI ENERGIA

CARATTERIZZAL’EVOLUZIONE

CONDIZIONALA RAPIDITÀ DIEVOLUZIONE DELSISTEMACONTROLLATO

CONDIZIONALA STABILITÀ DELCONTROLLO ACONTROREAZIONE

CONDIZIONAL’ANDAMENTODELLA EVOLUZIONE

ORIGINE DEL COMPORTAMENTO

DINAMICODEL SISTEMA DA CONTROLLARE

66


Alessandro De Carli A.A. 2010/2011 AUTOMAZIONE 1PREDISPOSIZIONE A SEGUITO DI PROVE SPECIFICHE

PARAMETRI DI UN CONTROLLORE

CONTROLLOREP I D

AZIONEDERIVATIVA

RAPPORTOINCREMENTALE

FILTRO DI STIMA

ADATTAMENTODEI PARAMETRI

RIDUZIONEDEL GUADAGNO

AGGIUSTAMENTODELL’AZIONEINTEGRALEE DELL’AZIONEDERIVATIVA

MIGLIORAMENTODELLA DINAMICA

ELIMINAZIONEDELLA SOVRAELONGAZIONE

67



PREDISPOSIZIONE DEI PARAMETRI

CRITERI EMPIRICI CRITERI SISTEMATICI

• PER TENTATIVI

• A SEGUITO DI SPECIFICHE PROVE

• BASATI SULL’ESPERIENZA• IN BASE AI PARAMETRI DI UN

MODELLO DINAMICO SEMPLIFICATO DEL SISTEMA DA CONTROLLARE

• Dinamica Principale• Dinamica Secondaria (approx ad

un ritardo o costante di tempo)

• PROCEDURE BASATE SU UNA SUCCESSIONE DI PROVE

• PROVE SPECIFICHE PER SOLLECITARE IL SISTEMA DA CONTROLLARE AL FINE DI RICAVARNE IL MODELLO DINAMICO FINALIZZATO ALLA PREDISPOSIZIONE DEI PARAMETRI

68



Kp = .9

Kp = .2

10 20 300

.2

.4

.6

.8

1

1.2

tempo (sec)0

1° CRITERIO EMPIRICO PER TENTATIVI

SOVRA ELONGAZIONEDOVUTA ALLA DINAMICA

SECONDARIA

ANDAMENTO DESIDERATO

AN

DA

ME

NT

OO

TT

EN

UT

O

SI AUMENTA IL VALORE DEL GUADAGNO PROPORZIONALE, PONENDO KI = KD = 0.

CI SI FERMA QUANDO INIZIANO A COMPARIRE EFFETTI DI

SOVRAELONGAZIONE INDESIDERATI

SI ACCETTANO LE PRESTAZIONI CHE SI POSSONO OTTENERE (PRECISIONE STATICA), PURCHÈ SIANO ENTRO LE

SPECIFICHE.

AZIONE DI CONTROLLOSOLO PROPORZIONALE

PREDISPOSIZIONE DEI PARAMETRI PER TENTATIVI



2° CRITERIO EMPIRICO

PER TENTATIVI

SI AUMENTA IL VALORE DEL GUADAGNO INTEGRALE, PONENDO Kp = KD = 0. CI SI FERMA QUANDO INIZIANO A

COMPARIRE EFFETTI DI SOVRAELONGAZIONE INDESIDERATI

SI ACCETTANO LE PRESTAZIONI CHE SI POSSONO OTTENERE (TEMPO DI

ASSESTAMENTO AL 5%), PURCHÈ SIANO ENTRO LE SPECIFICHE.

KI = .55

KI = .2

10 20 300

.2

.4

.6

.8

1

1.2

tempo (sec)0

AZIONE DI CONTROLLOSOLO INTEGRALE

ANDAMENTO DESIDERATO

ANDAMENTOOTTENUTO




00 5 10 20

tempo (sec)

1

2

15

CONTROLLORE P I D

LASCIANDO INVARIATOIL VALORE DEL TEMPODELL’AZIONE INTEGRALEE IL VALORE DEL TEMPODELL’AZIONE DERIVATIVA

DIMINUIREIL VALORE DEL GUADAGNO FINO AD AVERE SOVRAELONGAZIONE PARI AL VALORE DI RIFERIMENTO

MODIFICANDOIL VALORE DEL TEMPODELL’AZIONE INTEGRALEE IL VALORE DEL TEMPODELL’AZIONE DERIVATIVA

00

5 10 15 20

tempo (sec)

1

LASCIARE INVARIATOIL VALORE DEL GUADAGNO

71


TRATTEGGIATO = FORZAMENTO

CONTINUA = USCITA

TRATTEGGIATO = FORZAMENTO

CONTINUA = USCITA



SUCCESSIONE DI PROVEQuesto metodo è basato sulla necessità di effettuare alcune prove ripetute per determinare in maniera empirica almeno la dinamica dominante del sistema.

ESEMPIO 1: • Quando si aumenta il guadagno, l’andamento oscillatorio diventa permanente, con

ampiezza e frequenza costante. Ciò è dovuto alla presenza della non linearità di saturazione.

• In tale condizione il sistema lavora a ciclo limite.• Abbiamo pertanto individuato quel guadagno proporzionale al limite di stabilità

del sistema.• Abbiamo determinato il valore del guadagno più basso in cui il diagramma di

Nyquist circonda il punto (-1;0).

NON PUÒ ESSERE APPLICATO A QUEI SISTEMI CHE SI DANNEGGIANO QUANDO

SONO POSTI IN CONDIZIONI DI FUNZIONAMENTO IN OSCILLAZIONE

PERMANENTE

NON PUÒ ESSERE APPLICATO A QUEI SISTEMI CHE IMPIEGANO UN TEMPO

TROPPO LUNGO PER RAGGIUNGERE IL REGIME PERMANENTE (AD ES. TERMOSTATARE UN AMBIENTE)



SUCCESSIONE DI PROVEESEMPIO 2:• Si immette in ingresso all’attuatore (collegato al sistema da controllare) un

gradino;• Si identifica la dinamica dominante con una sola costante di tempo;• Si identifica la dinamica secondaria come un ritardo di tempo.

DIN

AM

ICA

SE

CO

ND

AR

IA

DINAMICA DOMINANTE

temporitardo di tempo

RISPOSTA A GRADINO NEL DOMINIO DEL TEMPO

IL DIAGRAMMA DI NYQUIST DEL RITARDO È UNASPIRALE. LE ALTE FREQUENZE

DELLA DINAMICA SECONDARIA SONO APPROSSIMATE CON UN RITARDO DI

TEMPO.

QUESTO METODO PUÒ ESSERE APPLICATO QUANDO NON SI

PRESENTANO SOVRAELONGAZIONI, OVVERO NON CI SONO ZERI NELLA

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO.



PROVE SPECIFICHEESEMPIO 1:• Si immette in ingresso all’attuatore (collegato al sistema da controllare) un’onda

quadra e si studia la risposta;• Nella risposta possono essere individuate le armoniche (in genere fino alla

quinta), fornendo così informazioni sul diagramma di bode.

ESEMPIO 2:• Si immette nel sistema un segnale modulato in frequenza (si fissa una banda di 2

decadi) con fronte di salita e discesa dolce per non stimolare le alte frequenze.• Si analizza quindi il segnale in uscita in frequenza per tracciare Bode.

ESEMPIO 3:• Si fissano un numero discreto di frequenze, e si genera un segnale con uno

spettro di potenza con dei picchi in quelle frequenze ma tale che sia continuo nella derivata.

• Si analizza quindi il segnale in uscita in frequenza per tracciare Bode.



PREDISPOSIZIONE

P

P I

P I D

Kp

.5 K*

.45 K*

.55 K*

TI

.8 T*

.5 T*

Td

.12 T*

0 5 10tempo (sec)

T*K* = 3.4 T* = 3.5 sec

ESEMPIO DI CICLO LIMITE – ZIEGLER/NICHOLSSI PORTA IL SISTEMA A CICLO LIMITE.

SI MISURA QUINDI IL PERIODO DELL’OSCILLAZIONE E PER QUALE GUADAGNO

SI ARRIVA AL CICLO LIMITE

CON IL SOLO PROPORZIONALE, CI METTIAMO A METÀ DEL LIMITE PER STARE TRANQUILLI

L’AZIONE INTEGRALE DEL PI ASSOTTIGLIA IL MARGINE DI STABILITÀ A CAUSA

DELL’INTEGRALE, PERCIÒ SI LIMA IL VALORE

L’AZIONE DERIVATIVA CI DÀ PIÙ MARGINE DI STABILITÀ, PERTANTO POSSIAMO AUMENTARE

IL GUADANO. IL RAPPORTO TRA IL TEMPO INTEGRALE E QUELLO DERIVATIVO È 4.



1.7

1.5

1.9

2.9

1.7

P

P I

P I D

Kp TI Td

.4

0 5 100

.2

.4

.6

.8

1

1.2

tempo (sec)15 20

ESEMPIO DI CICLO LIMITE – ZIEGLER/NICHOLS



T = 1.1 sec

T

t

tempo (sec)0 1 2 3 4 5 6 7 8

t = 1.5K* = 1ESEMPIO CON L’USO DELLA RISPOSTA AL GRADINO

DINAMICADOMINANTE

DIN.SEC.

SI INDIVIDUANO LA DINAMICA DOMINANTE E LA DINAMICA SECONDARIA,

SI NOTI INFATTI CHE LA RISPOSTA PARTE CON DERIVATA NULLA.

SI APPROSSIMA LA DINAMICA SECONDARIA CON UN RITARDO DI TEMPO FINITO.

SI APPROSSIMA LA DINAMICA DOMINANTE CON UN POLO REALE IDENTIFICANDO LA t CHE MEGLIO APPROSSIMA LA DINAMICA

IDENTIFICATI I PARAMETRI, SI USA LA SEQUENTE TABELLA PER IL CALCOLO DEI

PARAMETRI DEL REGOLATORE

PREDISPOSIZIONEKp TI Td

P

P I

P I D

K* Tt

K* T.9 t

K* T1.2 t

.3T

.3T

.12T



ESEMPIO CON L’USO DELLA RISPOSTA AL GRADINO

1.4

2.4

2.4

2.7

2.7

P

P I

P I D

Kp TI Td

.6

0 5 10

.2

.4

.6

.8

1

1.2

tempo (sec)15 200



MODELLOSEMPLIFICATO

NONPARAMETRICO

PARAMETRICO

(s2 + 2zwnz s + wnz2)

(s2 + 2zwnp s + wnp2)

K1 + t s

K (1 + t’ s) (1 + t s)

K e-Ts

1 + t s

DINAMICA SECONDARIADINAMICADOMINANTE

RISPOSTA IMPULSIVA

RISPOSTA A GRADINO

RISPOSTA ARMONICA (BODE)

RISPOSTA ARMONICA (NYQUIST)

APPROSSIMAZIONE CON UN RITARDO FINITO

FENOMENI DI ELASTICITÀ



P( jw)jw

DIAGRAMMI DI NYQUISTtempo

RISPOSTA A GRADINOVALUTAZIONE DEI MODELLI APPROSSIMATI

K (1+ tis)(1+ t s)

K e-Ts

1 + t s

(s2 + 2zwnz s + wnz2)

(s2 + 2zwnp s + wnp2)K1 + t s

P(s)

P( jw)jw

Re

Im

-1

-200

-100

0

50 DIAGRAMMI DI BODE

modulo

(dB

)

.01

-180

0

.1 1 10 100

FASE (

deg)

IL NYQUIST TIENE CONTO

DELL’ INTEGRATORE

IL DIAGRAMMA TRATTEGGIATO SI RIFERISCE A P(S)SENZA LA DINAMICA SECONDARIA. L’APPROX CON

RITARDO MANTIENE LA BANDA PASSANTE



PROCEDURA PER RICAVARE UN MODELLO SEMPLIFICATO

K (1 + t’ s) (1 + t s)

K (1 + t1 s) (1 + t2 s)

MODELLO COMPLETO MODELLO SEMPLIFICATO

DINAMICADOMINANTE

DINAMICASECONDARIA

• DEFINIZIONE DEL PROBLEMA: INDIVIDUARE I VALORI DI K, t1 E t2 CHE MEGLIO APPROSSIMANO IL MODELLO COMPLETO.

• PER RICAVARE IL MODELLO SEMPLIFICATO, SI EFFETTUA UNA PROVA SPECIFICA SUL SISTEMA DA CONTROLLARE: RISPOSTA AL GRADINO.

• IL METODO DA ADOTTARE È QUELLO DEGLI INTEGRALI MULTIPLI.

P(s) PCOMPLETO(s)



IL METODO DEGLI INTEGRALI MULTIPLI

2212121 111 ss

K

ss

KsP

2122110 aaKb

2

21

0

1 sasa

bsP

02

21

0

00 1limlim b

sasa

b

s

sPs

ss

VALORE A REGIME PERMANENTE DELLA RISPOSTA A GRADINO

UNITARIO DEL SISTEMA P(S)



tempo

b0

0A1

GRADINO DI AMPIEZZA b0

RISPOSTA A GRADINO DELPROCESSO SEMPLIFICATO

s

sP

s

b

ssA

s

0

01

1lim

CALCOLIAMO L’AREA A1 DELLA DIFFERENZA IL GRADINO DI AMPIEZZA b0 E LA RISPOSTA AL

GRADINO DEL SISTEMA P(S)

CALCOLO DEGLI INTEGRALI MULTIPLI



tempo

b0

0A1

DIFFERENZA

CALCOLIAMO L’AREA A1 DELLA DIFFERENZA TRA LA RISPOSTA A GRADINO DESIDERATA b0 E LA RISPOSTA AL GRADINO DEL SISTEMA P(S)

s

sP

s

b

ssA

s

0

01

1lim




tempo

b0

0A1

INTEGRALE DELLADIFFERENZA


s

sP

s

b

ssA

s

0

01

1lim




tempo

b0

0A1

TEOREMA DEL VALORE FINALE


s

sP

s

b

ssA

s

0

01

1lim




tempo

b0

0A1


s

sP

s

b

ssA

s

0

01

1lim

s

sP

s

b

ss

s

0

0

1lim

2

21

00

0 1

1lim

sasa

bb

ss

221

02

210

0 1

11lim

sasa

bsasab

ss

221

2010

0 1

1lim

sasa

sababs

ss10ab 101 abA




tempo

A1

0A2

s

sP

s

b

ss

A

ssA

s

01

02

11lim

CALCOLIAMO L’AREA A2 SOTTESA DALLA DIFFERENZA TRA IL GRADINO DI AMPIEZZA A1 E L’INTEGRALE

DELLA DIFFERENZA TRA IL GRADINO DI AMPIEZZA b0 E LA RISPOSTA A GRADINO DEL SISTEMA P(S)

221

201010

0 1

1lim

sasa

sabab

ss

abs

221

20102

21021010

0 1lim

sasas

sababsaabsababs

101 abA




20

2102

21

20210210

02 1lim abab

sasas

ababsaabsA

s

tempo

A1

0A2

CALCOLIAMO L’AREA A2 SOTTESA DALLA DIFFERENZA TRA IL GRADINO DI AMPIEZZA A1 E L’INTEGRALE

DELLA DIFFERENZA TRA IL GRADINO DI AMPIEZZA b0 E LA RISPOSTA A GRADINO DEL SISTEMA P(S)

21101 KabA

22212120

2102 KababA

KbA 00


212

211

0

a

a

Kb



02

COSA SUCCEDE SE IL MODELLO HA UNA SOLA COSTANTE DI TEMPO?

2120

2102

1101

00

KababA

KabA

KbA


0

21

2 A

AA

CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE AFFINCHÈ IL SISTEMA SEMPLIFICATO

ABBIA UNA SOLA COSTANTE DI TEMPO




RISPOSTA A GRADINO

INTEGRALE PRIMO

INTEGRALE SECONDO

tempo

A0

0A1

tempo

A1

0A2

tempo

A2

0

ANCHE IN PRESENZA DI RUMORE IL METODO VALE

?0

21

2 A

AA

00 Ab

0

11 A

Aa

20

2021

2 A

AAAa

DINAMICA DOMINANTE

DINAMICA DOMINANTE eSECONDARIA



VALUTAZIONE DELLA

APPROSSIMAZIONEAI FINI DELLA

STABILITÀ

Re

Im

G(s)s

-1

APPROSSIMAZIONE DEL MODELLO DINAMICO

G(s) =1

1 + 1.8 s + 1.04 s2+ .272 s3+ .0336 s4+ .0016 s5

A0 = 1 A1 = 1.04 A2 = 2.2

b0 = 1 a1 = 1.8 a2 = 1.04

G*(s) =1

1 + 1.8 s + 1.04 s2MODELLO APPROSSIMATO

VALUTAZIONE DELLAAPPROSSIMAZIONEAI FINI DELLA FEDELTÀDI RISPOSTA

tempo

G*(s)s

MARGINE DI MODULO



MARGINEDI MODULO

1

31

2

PREDISPOSIZIONE DEI PARAMETRI DEL CONTROLLORE INFUNZIONE DEI PARAMETRI DEL MODELLO APPROSSIMATOCRITERIO:

log w

-3 dB

w*

DIAGRAMMA DI BODE DEL SISTEMA CONTROLLATO A CONTROREAZIONE

3

DIAGRAMMA DI NYQUIST DEL SISTEMA DA CONTROLLARE E DEL CONTROLLORE

M = -3 dBM = 0 dB

2

2 - ATTENUAZIONE MINIMA ENTRO LA BANDA PASSANTE

1 - VALORE MASSIMO DELLA BANDA PASSANTE w* DEL SISTEMA CONTROLLATO A CONTROREAZIONE

3 - ATTENUAZIONE MASSIMA OLTRE LA BANDA PASSANTE

w*-1

FILTRO DI BUTTERWORTH

FILTRO DI BESSEL(SFASAMENTO)



Kp( 1 + ) 1TI s

K(t2 s + 1) (t1 s + 1)

REGOLATORE PI MODELLO APPROSSIMATOSISTEMA DISSIPATIVO

t1>> t2

y*(t)e(t) u(t)

y (t)

ESEMPIO DI PREDISPOSIZIONE BASATA SU MODELLO

Kp( ) TI s + 1

TI s

K(t2 s + 1) (t1 s + 1)y*(t)

e(t) u(t)y (t)

TI = t2 Kp =TI

2 K t1

PREDISPOSIZIONE SECONDO IL CRITERIODI RAGGIUNGERE IL MASSIMO VALORE DELLA BANDA PASSANTE

FUNZIONAMENTO DEL SISTEMA CONTROLLATO DA ASSERVIMENTO



Kp( 1 + ) 1TI s

K(t2 s + 1) (t1 s + 1)

REGOLATORE PI MODELLO APPROSSIMATO

t1>> t2

y*(t)e(t) u(t)

y (t)


Kp( ) TI s + 1

TI s

K(t2 s + 1) (t1 s + 1)y*(t)

e(t) u(t)y (t)

TI = t2 Kp =TI

2 K t1

PREDISPOSIZIONE SECONDO IL CRITERIODI RAGGIUNGERE IL MASSIMO VALORE DELLA BANDA PASSANTE

FUNZIONAMENTO DEL SISTEMA CONTROLLATO DA ASSERVIMENTOAttenzione che non abbiamo CANCELLATO, ma abbiamo COMPENSATO. Ingegneristicamente non esiste cancellare un polo, lo si può compensare.In questo caso abbiamo reso inosservabile il modo della DINAMICA SECONDARIA nella variabile controllata.

La NON CONTROLLABILITÀ di un modo naturale, è indice che ho scelto male le variabili di ingresso!!!



FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA DA CONTROLLARE E DEL CONTROLLORE DOPO LA COMPENSAZIONE DEL POLO RELATIVO ALLA DINAMICA SECONDARIA CON LO ZERO DEL CONTROLLORE PI

G(s)P(s) = Kp K

TI t1s2 + TI s

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA CONTROLLATO W(s) =

Kp K

TI t1 s2 + TI s + Kp K

STRUTTURA DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA CONTROLLATO PER OTTENERE CHE L’ATTENUAZIONE SIA MINIMA ENTRO LA BANDA PASSANTE |W(w)|2 =

A2

w4 + A2

MODULO AL QUADRATO DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA CONTROLLATO TI

2 t12 w4 – (2 Kp K t1 TI - TI

2) w2 + Kp2 K2

|W(w)|2 =Kp

2 K2

LA CONDIZIONE È SODDISFATTAQUANDO 2 KP K t1 TI - TI

2 = 0 OSSIA Kp =TI

2 K t1

W(jw) = Kp K

-TI t1 w2 + j TI w + Kp K



.19 (1 + ) 1.4 s

.7(.4 s + 1) (1.5 s + 1)

CONTROLLORE MODELLO APPROSSIMATOSISTEMA DISSIPATIVO

y*(t)e(t) u(t)

y (t)


TI = .4 Kp = .19

Re(G*P)

Im(G*P)

w*= .47 rad/sec

M w = 0 dB*w

.01 .1 1log w0 dB

-3 dB

DIAGRAMMA DI BODEDEL SISTEMA CONTROLLATO

DIAGRAMMA DI NYQUIST DELSISTEMA DA CONTROLLAREE DEL CONTROLLORE

0 10 20t (sec)

RISPOSTA A GRADINOSISTEMACONTROLLATO

SISTEMA DACONTROLLARE



.19 (1 + ) 1.4 s

.7(.4 s + 1) (1.5 s + 1)

CONTROLLORE MODELLO APPROSSIMATO

y*(t)e(t) u(t)

y (t)


TI = .4 Kp = .19

Re(G*P)

Im(G*P)

w*= .47 rad/sec

M w = 0 dB*w

.01 .1 1log w0 dB

-3 dB



0 10 20t (sec)

RISPOSTA A GRADINOSISTEMACONTROLLATO


SE COMPARE UNA SOVRAELONGAZIONE, SI PUÒ

DIMINUIRE IL GUADAGNO.



FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA DA CONTROLLARE E DEL CONTROLLORE

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA CONTROLLATO

STRUTTURA DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA CONTROLLATO PER OTTENERE CHE L’ATTENUAZIONE SIA MINIMA ENTRO LA BANDA PASSANTE |W(w)|2 =

B w2 +A2

w6 + A2

MODULO AL QUADRATO DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA CONTROLLATO

TI2 t2 w6 – (2 Kp K TI t - TI

2) w4 + (K2 KP2 TI

2 - 2 Kp K TI) w2 + Kp2 K2

|W(w)|2 =Kp

2 K2 ( -TI2 w2 + 1 )

LA CONDIZIONE ÈSODDISFATTA QUANDO

GP(s) = TI t s3 + TI s2

Kp K (TI s + 1)

W(s) = TI t1 s3 + TI s2 + Kp K TI s + Kp K

Kp K (TI s + 1)

2 Kp K TI - TI K KP = 0 TI - 2 Kp K = 0

OSSIA Kp =12 K t

TI = 2 t

W(jw) = -j TI t w3 - TI w2 + j Kp K TI w + Kp K

Kp K ( j TI w + 1)



Kp( 1 + ) 1TI s

Ks ( 1 + t s )

CONTROLLOREMODELLO APPROSSIMATOSISTEMA CON ACCUMULO

y*(t)e(t) u(t)

y (t)

ESEMPIO DI PREDISPOSIZIONE BASATA SU MODELLOPREDISPOSIZIONE SECONDO IL CRITERIO DEL RAGGIUNGIMENTO DEL MASSIMO VALORE DELLA BANDA PASSANTE

Kp =1

2 K tTI = 4 t

Re(G*P)-1

Im(G*P)



RISPOSTA A GRADINO

SISTEMACONTROLLATO


termpo

W(jw)

G(jw)P(jw)

- 3 dB



0 5tempo (sec)

1

0

0 5tempo (sec)

1

0.1 1 10

w (rad/sec)

0

-2

-4

-6

-8

-10

2

modulo

(dB

)

SISTEMI DI INSEGUIMENTO

.1 1 10w (rad/sec)

0

-2

-4

-6

-8

-10

2

modulo

(dB

)

REGOLATORI P. I. D.

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