Reddito Anni di istr

20,5 12

31,5 16

47,7 18

26,2 16

44 12

8,28 12

30,8 16

17,2 12

19,9 10

9,96 12

55,8 16

25,2 20

29 12

85,5 16

15,1 10

28,5 18

21,4 16

17,7 20

6,42 12

84,9 16

Distribuzione esponenziale:

2/1)(

/1)(

)(

yV

yE

eyf y

Ipotizziamo un modello semplice:

)/(1)(

1

)/(

ii xy

ii

i

iii

iii

ex

yf

x

xxyE

xy

Log-verosimiglianza:

n

i i

ii

n

i x

yxLn

11

)ln()(

Log-veromiglianza

-89

-88,9

-88,8

-88,7

-88,6

-88,5

-88,4

-88,3

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

alfa

Lo

gV

er

Max =15.6

Test per stime MLE

Confronto tra un modello “generale” (con logveros. L)e uno “vincolato” o “ridotto” (con logveros. Lv)

I modelli devono essere, quindi, “annidati” (nested)

Se i vincoli sono appropriati si avrà Lv L

0ln21

).(ln2 2

L

L

L

L

vincolinL

LLR

vv

v

Valore del test LR

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

L/Lv

LR

Likelihood Ratio testMisura la riduzione di L connessa alla introduzione del vincolo, se il vincolo è

valido, si dovrebbe perdere poca informazione:

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

).(ˆˆˆ

0ˆ:ˆ:

'

21'

00

CVar

CqCVar

dove

vincolinqCqCVarqCW

qCHqCH

Test di Wald

Misura il valore del vincolo in corrispondenza del parametro di max MLE, se il vincolo è appropriato, il valore dovrebbe essere 0, cioè verifica se la stima max MLE rispetta i vincoli: (Si stima del modello generale)

0ˆ*

0ˆ

ˆ

ˆ)ln(

ˆ*

:

ˆˆ.ˆ*

CL

CLL

soluzione

CLLnCvincLMaxL

Test dei moltiplicatori di Lagrange

Misura il valore dei moltiplicatori di Lagrange, se il vincolo è appropriato, il valore dovrebbe essere 0, cioè verifica se la stima max MLE rispetta i vincoli: (Si stima del modello ristretto)

Se i sono “vicini” a 0 il vincolo non ha effetti sulla stima, allora si calcolano le derivate di L nel punto di massimo vincolato, se sono prossime a 0 la perdita di informazioni non è significativa

).(

ˆ

ˆlnˆˆ

ˆln 21'

vincolinL

IL

LMv

vv

v

v

verosimiglianza

Vincolo su

Derivata L

Riprendiamo il modello iniziale:

)/(1)( ii xy

ii e

xyf

È una forma ristretta di un Gamma generalizzata con Parametro =1

)/(1)( ii xyi

ii ey

xyf

Il vincolo è =1, se non vi è perdita di informazione allora tra tutte le distribuzioni generate da una Gamma, quella esponenziale è la più adatta

Utilizziamo i tre test per verificare:

1:

1:

1

0

H

controH

LIKELIHOOD RATIO:

Dalla stima MLE dei DUE modelli otteniamo:

Ln(L) non vincolato (Gamma) = -82.916Ln(L) vincolato (esponenziale) = -88.436

LR=-2[-88.436-(-82.916)]=11.04 ²(1)

Il valore test è 3.842, quindi si rigetta H0

TEST DI WALD

Dalla stima MLE del solo modello non vincolato:

Il valore test è ancora 3.842, quindi si rigetta H0

)1(984.61151.36625.01151.3

6625.0)ˆ(ˆ

1ˆ

ˆ

01ˆˆ0

:

6625.0)ˆ(151.3ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

21

'

W

VarqcVar

c

cqc

vincolii

Vare

CVar

CqCVarW

TEST DEI MOLTIPLIPICATORI DI LAGRANGE:

Dalla stima MLE del solo modello non vincolato:

Il valore test è ancora 3.842, quindi si rigetta H0

)1(120.5914.7

000.0

894.326689.0

6689.002166.0914.7000.0

6689.0

894.32914.7

02166.0000.0

).(ˆ

ˆlnˆˆ

ˆln

2

1

2

2

21'

LM

l

le

l

le

l

vincolinL

IL

LMv

vv

v

v