Rappresentazione Rappresentazione dell’informazionedell’informazione

Claudia Raibulet

raibulet@disco.unimib.it

Rappresentazione di numeriRappresentazione di numeri I sistemi di numerazione definiscono:

• L’insieme dei simboli base (CIFRE)

• L’insieme di regole che permettono di definire la rappresentazione di un numero mediante una stringa di cifre

• L’insieme di operazioni

Il numero di simboli utilizzati nel sistema di numerazione è detto la base del sistema

Lo stesso numero è rappresentato da numerali diversi in diversi sistemi:

Esempio:• 156 nel sistema decimale –> CLVI in cifre romane

Sistemi posizionaliSistemi posizionali Il numero rappresentato da una cifra dipende dalla cifra

stessa e dalla posizione occupata dalla cifra nella stringa in cui si trova

Esempio: • Il sistema decimale: base = 10, cifre = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

• Numero 32145 = 3*104 + 2*103 + 1*102 + 4*101 + 5*100

In generale:• Il numero cn cn-1 cn-2 …c2 c1 cn in base b rappresenta:

cn*bn + cn-1*bn-1 + cn-2*bn-2 + … + c2*b2 + c1*b1 + c0*b0

dove ci<b

Sistema binarioSistema binario

Base = 2, cifre = {0, 1} Esempio:

1110012 = 1*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 0 *21 + 1*20

Conversione dalla base 2 alla base 10:1110012 = 1*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 0 *21 + 1*20

= 32 + 16 + 8 +0 + 0 + 1 = 57

Sistema binarioSistema binario Conversione dalla base 10 alla base 2:

• dato N>0 intero dividiamo N per 2, otteniamo un quoto Q0 ed un resto R0

• dividiamo Q0 per b, otteniamo un quoto Q1 ed un resto R1

• ripetiamo finché Qn = 0

Esempio: convertire 123 decimale in binario: Q R

123 : 2 61 1

61 : 2 30 1

30 : 2 15 0

15 : 2 7 1

7 : 2 3 1

3 : 2 1 1

1 : 2 0 1

=> 12310 = 11110112

Sistema binarioSistema binarioCon n bit si rappresentano i numeri da 0 a 2n-1

n = 2

00011011

n = 3

000001010011100101110111

n = 4

00000001001000110100010101100111

10001001101010111100110111101111

Sistema ottaleSistema ottale

Base 8, cifre = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Esempio:

64358 = 6*83+4*82 +3*81 + 5*80

Conversione dalla base 8 alla base 10:64358 = 6*83+4*82 +3*81 + 5*80

= 3072 + 256 + 24 + 5 = 3357

Con n bit si rappresentano i numeri da 0 a 8n-1

Sistema ottaleSistema ottale Conversione dalla base 10 alla base 8:

• dato N>0 intero dividiamo N per 8, otteniamo un quoto Q0 ed un resto R0

• dividiamo Q0 per b, otteniamo un quoto Q1 ed un resto R1• ripetiamo finché Qn = 0

Esempio: convertire 123 decimale in ottale: Q R123 : 8 15 315 : 8 1 71 : 8 0 1

=> 12310 = 1738

Sistema esadecimaleSistema esadecimale

Base 16 Cifre {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

A16 = 1010

B16 = 1110

C16 = 1210

D16 = 1310

E16 = 1410

F16 = 1510

Sistema esadecimaleSistema esadecimale Conversione dalla base 16 alla base 10

Conversione dalla base 10 alla base 16

1AC716 = 1*163 + A*162 + C*161 + 7*160

= 1*163 + 10*162 + 12*161 + 7*160

= 4096 + 2560 + 192 +7 = 685510

Q R6855:16 428 7428 :16 26 1226 :16 1 101 :16 0 1

Conversione tra sistemi numericiConversione tra sistemi numerici Da base qualsiasi a base 10 – algoritmo:

• Consideriamo solo valori interi

• Si può applicare direttamente la definizione:

Esempi

0

0

1

1 rdrdN n

n

1010

0123

2 10)20212021(1010

1010

01

8 22)8682(26

1010

012

5 116)515354(431 E4D16 = (E·162 + 4·161 + D·160)10 = 366110

Conversione tra sistemi numericiConversione tra sistemi numerici

Da base 10 a base qualsiasi – algoritmo:• se dividiamo il valore N (il numerro) per la base b (la

base qualsiasi) si ottiene un quoziente q0 e un resto d0 che è la cifra di peso inferiore (peso zero) del valore N nella base b

• Ripetendo il procedimento si ricavano le cifre del valore nella base desiderata (i resti delle divisioni) a partire dal posizione meno significativa

• Il processo di divisione si arresta quando il quoziente ottenuto è nullo e l’ultimo resto costituisce la cifra di peso maggiore

Conversione tra sistemi numericiConversione tra sistemi numerici

Esempio: il valore 10610 e’ rappresentato in binario:

106 2 0 53 2 1 26 2 d0 0 13 2 d1 1 6 2 d2 0 3 2 d3 1 1 2 d4 1 0 d5

d6

d6d5d4d3d2d1d0

Risultato: 1 1 0 1 0 1 02

Esercizi – cambio di baseEsercizi – cambio di base

521 da base 8 a base 10 23 da base 10 a base 2 67 da base 10 a base 2 A8E da base 16 a base 10 329 da base 10 a base 16 321 da base 8 a base 2

Conversione da binario a ottale e Conversione da binario a ottale e viceversaviceversa

Per passare da base 2 a base 8 si divide il numero in base 2 in gruppi di tre cifre a partire da destra (da LSB) e si sostituiscono tali gruppi con le corrispondenti cifre ottali

Esempio:

Per passare da base 8 a base 2 si rappresenta ogni cifra del numero in base 8 con la sua rappresentazione in binario su tre cifre

Esempio:

1 100 101 010 1112 = 145278

512678 = 101 001 010 110 1112

Conversione da esadecimale a binario Conversione da esadecimale a binario e viceversae viceversa

Per passare da base 2 a base 16 si divide il numero in base 2 in gruppi di quatro cifre a partire da destra (da LSB) e si sostituiscono tali gruppi con le corrispondenti cifre esadecimali

Esempio:

Per passare da base 16 a base 2 si rappresenta ogni cifra del numero in base 16 con la sua rappresentazione in binario su quatro cifre

Esempio:

101 1001 0101 01112 = 595716

A263716 = 1010 0010 0110 0011 01112