8/17/2019 R04 - prodotto vettoriale

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 Richiami sul prodotto vettoriale (vers. 08/01/10)  1 

Meccanica applicata alle macchineCorsi di laurea in Ingegneria biomedica ed Ingegneria meccanica

A.A. 2008/2009 

Richiami sul prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale (o esterno), tra due generici vettori a e b, è definito come il vettore

 ortogonale sia ad

a che a b tale che:  || · || · sin ·  dove θ è la misura dell'angolo tra a e b (0° ≤ θ ≤ 180°), mentre n è il versore che determina la direzione del prodotto vettoriale. Come già detto n è ortogonale sia ad a che a b, mentre per quanto riguarda il verso, esso va

scelto in modo tale che i vettori a, b ed  siano orientati secondo una terna destra.Un modo semplice per determinare la direzione del prodotto vettore è la «regola della mano destra». In unsistema destrogiro si punta il pollice nella direzione del primo vettore, l'indice in quella del secondo, il medio dàla direzione del prodotto vettoriale (terna destra).

I versori i, j, e k relativi ad un sistema cartesiano di coordinate ortogonali soddisfano le seguenti equazioni:

       Il prodotto vettoriale è nullo quando sono nulli o l'uno o l' altro dei vettori che lo costituiscono, o è nullo il senodell'angolo compreso fra essi, ossia quando i due vettori sono paralleli: infatti il prodotto vettoriale rappresenta

l’area del parallelogramma che ha per lati i due vettori del prodotto.

Il prodotto vettoriale è anti-communtativo:  e gode della proprietà distributiva rispetto alla somma:

       Poiché il prodotto vettoriale non gode della proprietà associativa, è possibile definire 2 specie diverse di doppio prodotto vettoriale, che godono delle seguenti proprietà:

  I specie (comunemente chiamato semplicemente “doppio prodotto vettoriale”):

  ·   ·  

 

II specie:    ·   ·  Per calcolare il prodotto vettoriale di 2 vettori a e b è possibile utilizzare in alternativa una delle seguentiespressioni computazionali:

 0     0     0   

      

 

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In cinematica è frequente il caso di dover calcolare il prodotto vettoriale in cui uno dei termini sia il vettore

velocità angolare od il vettore accelerazione angolare  ; pertanto, tenuto conto di quanto scritto sopra, alcuneformule notevoli si semplificano come segue.

 Nel caso di moto piano, una prima semplificazione nel calcolo si ottiene tutte le volte in cui occorre calcolare il prodotto vettoriale tra il vettore velocità angolare (o accelerazione angolare) ed il vettore posizione r = (P-O),che risulta ad esso ortogonale; indicando con x ed y le proiezioni del vettore (P-O) lungo i 2 assi coordinati, si

ha:

  00 0

0 0 0 0  

da cui la formula di distribuzione di velocità nei corpi rigidi piani si scrive:

  Per quanto riguarda la distribuzione delle accelerazioni, occorre valutare il termine seguente:

   ·   ·   ·   Nel caso di corpi in moto piano, la velocità angolare risulta ortogonale al vettore r, per cui la ben nota

distribuzione di accelerazione nei corpi rigidi piani si può anche scrivere come: