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Scienza delle costruzioni - Luigi Gambarotta, Luciano Nunziante, Antonio Tralli

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(1 _ STATICA E CINEMATICA)

1.3 _ Ricerca reazioni vincolari con il metodo di Lagrange: Struttura isostatica composta

da travi rettilinee

Esercizio n. 1.3.2

Si consideri la struttura isostatica di fig. n.1, costituita da tre tratti ABD , DE , EHI, e dal pendolo

AE . I carichi che agiscono sulla struttura sono la forza yF applicata in C , e la forza zF della

medesima intensit applicata sulla cerniera E.

Figura n. 1

Si determinano le reazioni vincolari del pendolo AE e del carrello in I, utilizzando il metodo di

Lagrange.

- Reazione a del pendolo AE

Per determinare la reazione del pendolo AE , si sostituiscono le reazioni che esso esercita sulla

struttura in A ed E; si ottiene una struttura una volta labile costituita da tre tratti . Si determinano i

centri di rotazione relativa e assoluta dei tre tratti per tracciare i diagrammi dello spostamento rigido

infinitesimo. Per il secondo teorema di Eulero , i centri relativi dei tre tratti devono essere allineati:



231312 ,, CCC ; ed inoltre per il primo teorema di Eulero devono essere allineati i centri assoluti di due

tratti e il loro centro relativo:

3131

3232

2121

,,,,,,

CCCCCCCCC

.

Queste condizioni di allineamento determinano i centri , come in fig. 2

Si riportano di seguito i diagrammi delle componenti dello spostamento:

Figura n.2

Assunta quale coordinata langrangiana la rotazione 1 del tratto (1) , si ottiene il cinematismo

rappresentato in figura per componenti parallele a y e a z. Lequazione del principio dei lavori

virtuali , scomponendo la a nelle sue componenti di direzioni y e z diventa:

( ) ( ) 02224

222

2 1111=++ lalalFlF

da cui si ricava :

26

5 Fa = ;

- Reazione Ia del carrello in I

Per determinare la reazione del carrello in I , nella struttura originaria si elimina il carrello in I

sostituendovi la sua reazione Ia . La struttura una volta labile, costituita da due corpi rigidi che

sono: la maglia chiusa ABEA che non presenta labilit interne (corpo 1), e il tratto EHI (corpo 2) .



Il centro assoluto del corpo (1) , la cerniera A ; il centro relativo 12C la cerniera interna E; grazie

al primo teorema di Eulero ),,( 1221 CCC , il centro assoluto 2C del corpo (2) dato

dallintersezione della retta dazione del pendolo AE e di quella del carrello in G.

Si riportano di seguito i diagrammi delle componenti dello spostamento rigido infinitesimo dei due

corpi , avendo assunto quale coordinata lagrangiana la 1

Figura n. 3

Per il principio dei lavori virtuali si ha:

02

2423

111 = lFlFlaI

da cui si ricava:

FaI 125

= .



Diagrammi dello Sforso Assiale , del Taglio , e del Momento flettente

Si passa adesso a determinare le reazioni vincolari della struttura con il metodo grafico. Si

determinano le reazioni , considerando le due forze agenti separatamente ; e si tracciano i

diagrammi del momento flettente, del taglio e dello sforzo assiale.

Diagramma del Momento Flettente (Forza yF )



Diagramma del Taglio (Forza yF )

Diagramma dello Sforzo Assiale (Forza yF )



Diagramma del Momento Flettente (Forza zF )



Diagramma del Taglio (Forza zF )

Diagramma dello Sforzo Assiale (Forza zF )

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