Questa presentazione rappresenta un riassunto di una...

Università di Roma Tor Vergata - Laboratorio di Didattica della Fisica e della Matematica

Questa presentazione rappresenta un riassunto di una lezione molto piu’ approfondita del Dott. Giovanni Casini che ha riprodotto un esperimento per illustrare i risultati ricavati da Michelson Morley.

Per motivi di tempo non ho potuto allestire l’esperimento (il che sarebbe stata sicuramente una scelta migliore), ma ho tentato di condensare in poche slides la descrizione dell’esperimento, i risultati attesi e le conclusioni. Per una presentazione piu’ dettagliata vi rimando alla lezione originale che potete trovare al sito del Laboratorio Didattico della Fisia e della Matematica http://ldfm.roma2.infn.it/.


Corso di Laboratorio di Fisica

dott. Giovanni Casini


Idea : misurare il tempo che la luce impiega a percorrere un certo tratto BE quando la direzione percorsa (in particolari ore del giorno e della notte e in particolari stagioni) e’ parallela al moto orbitale della terra e quando la direzione percorsa e’ perpendicolare al moto della terra, Dato che la terra ha una velocita’ di circa 30km/s se fossero vere le trasformazioni di Galileo (per qualsiasi velocita’) e il sistema terra fosse in moto (rispetto l’etere) ci si aspetta di misurare una differenza nei tempi di percorrenza dei due tratti. Ovviamente bisognava eseguire una misura estremamente precisa e per questo MM pensarono di fare non una misura di tempo ma di misurare la differenza di fase tra due onde che interferiscono dopo avere percorso due volte un certo tratto.

MICHELSON & MORLEY NON RIUSCIRONO A MISURARE ALCUNA DIFFERENZA DIMOSTRANDO CHE LA VELOCITA’ DELLA LUCE NON DIPENDEVA DAL SISTEMA DI RIFERIMENTO

L’ESPERIMENTO


L’interferometro fu concepito allo scopo di rilevare una eventuale differenza nella velocità della luce in due differenti direzioni, differenza attesa a causa del moto della terra rispetto all’etere se le trasformazioni di Galileo fossero valide sempre, non solo nel limite di velocità molto piccole rispetto alla velocità della luce. Immaginando la propagazione della luce analoga a quella di un’onda meccanica abbiamo bisogno di un mezzo in cui la luce si propaga. Maxwell lo chiamò etere, una sostanza dalle proprietà contraddittorie poiché dovrebbe essere così impalpabile e rarefatto da essere trasparente al passaggio dei copri, ma al tempo stesso doveva essere responsabile dell’alta velocità delle onde e.m. e quindi essere estremamente rigido (si pensi per analogia alla velocità del suono nell’aria e nell’acciaio).

A che serve l’interferometro


La velocità della luce dovrebbe quindi essere la stessa in tutte le direzioni se misurata in un SdR fermo rispetto all’etere, mentre se misurata in un SdR in moto rispetto all’etere dovrebbe essere diversa a seconda della direzione in cui si fa la misura, minima nella direzione di avanzamento e massima nella direzione opposta. Si dovrebbe anche avere un effetto doppler simile a quello sonoro, con frequenza maggiore nel verso di avanzamento e inferiore nel verso opposto.

Principio di funzionamento

Immaginiamo di misurare il tempo di volo dell’onda dalla sorgente S fino ai sensori S1 e S2. Dato che S1 si allontana dall’onda luminosa mentre S2 si avvicina la velocità della luce nel SdR in moto rispetto all’etere non è uguale in tutte le direzioni.

S1 S2

c’=c+v c’=c-v

S


Naturalmente nessuno sapeva quale fosse il SdR fermo rispetto all’etere (o se esistesse). Tuttavia sappiamo che la terra ruota intorno al sole alla velocità di vT=30km/s, cioè 10-4

volte c. Misurando c in diverse direzioni si sarebbe dovuta trovare questa piccola anisotropia. Tuttavia una misura così accurata di c è molto difficile, si deve quindi ricorrere a una misura per differenza di velocità utilizzando un interferometro. Un interferometro è un apparato in cui un fascio di luce monocromatica emesso da una sorgente viene diviso in due fasci. Questi seguono un cammino diverso per poi finire sullo stesso schermo dove formeranno delle frange chiare o scure a seconda della differenza di fase tra i due fasci, in modo simile a quanto avviene nelle frange presenti nella figura di interferenza di due fenditure.



Un interferometro è un apparato in cui un fascio di luce monocromatica emesso da una sorgente viene diviso in due fasci. Questi seguono un cammino diverso per poi finire sullo stesso schermo dove formeranno delle frange chiare o scure a seconda della differenza di fase tra i due fasci, in modo simile a quanto avviene nelle frange presenti nella figura di interferenza di due fenditure.



d2

Laser specchio semi riflettente

d1

v SdR

Specchio 1

Specchio 2

Schermo

Se il tempo per andare da B a C e ritorno e’ uguale al tempo per andare da B a E e ritorno i raggi in B saranno in fase e si rinforzeranno a vicenda, ma se i tempi sono leggermente diversi le onde saranno leggermente sfasate e si avra’ una interferenza. Tale sistema e’ in grado (usando una luce laser rossa e un braccio di circa 30m) di rivelare una differenza di pochi nm

Un interferometro misura differenze di fase, cioè differenze di tempi o di cammino ottico.

L’interferometro di Michelson Morley

B

C

E


Quantitativamente

•  E’ necessario fare un po’ di conti per spiegare quantitativamente i risultati della misura, calcoliamo il tempo che la luce impiega a percorrere un certo tratto sia nel sistema solidale con la terra sia in quello solidale con l’etere. Ovviamente il risultato non cambia


d2

Laser specchio semi riflettente

d1

v SdR

Specchio 1

Specchio 2

Schermo

terra si muova rispetto all’etere nella direzione data dalla freccia blu. La velocità della luce è allora c-v all’andata e c+v al ritorno.

Un interferometro misura differenze di fase, cioè differenze di tempi o di cammino ottico. Il tempo di A&R nella direzione d1 si calcola supponendo che il SdR



d2

Laser

d1 v SdR

Specchio 1

Specchio 2

Schermo

L’interferometro di Michelson Morley Oppure possiamo calcolare t1 nel SdR dell’etere, dove all’andata lo specchio 1 si allontana mentre al ritorno lo specchio semiriflettente si avvicina, sempre con velocità v. I tempi sono diversi perché sono diverse le distanze percorse, abbiamo:



Calcoliamo ora il tempo t2 impiegato dal raggio luminoso per coprire la distanza d2 e ritorno. Facciamo prima il calcolo nel SdR fermo con l’etere. In questo SdR l’interferometro si muove e la distanza da percorrere è

specchio

vt2/2

d2 d’2


Specchio 2

L’interferometro di Michelson Morley Per completezza calcoliamo t2 anche nel SdR terrestre. Qui lo specchio è fermo, ma la luce deve attraversare la corrente di etere di traverso, proprio come dovrebbe fare un nuotatore per raggiungere l’altra sponda di un fiume: deve nuotare un po’ ‘storto’ per andare dritto. Detta c’ la velocità della luce nel SdR terrestre e utilizzando la composizione galileiana delle velocità abbiamo:

d2 c’ c

v

v



•  Ruotare l’interferometro di 90° è come scambiare i bracci nella seconda parte dell’espressione, se c’è un moto rispetto all’etere le frange subiranno un mutamento

•  Se le lunghezze delle due braccia sono uguali si ha la massima sensibilità perché la parte non dipendente da v si annulla

•  In definitiva abbiamo calcolato il tempo di percorrenza dei due tratti cosi’ da potere calcolare la differenza:



Quindi se d1=d2=d

Ma quanto devono essere lunghi i bracci dell’interferometro? Se vogliamo passare da una frangia chiara a una scura, laser rosso:

con un laser blu da 405nm d si ridurrebbe a circa 20m.


Note sull’interferometro di Michelson Morley

L’interferometro di MM utilizzando riflessioni multiple raggiungeva aveva una lunghezza dei bracci di 11 m e utilizzava luce gialla (l=589) nm che avrebbe permesso di osservare uno spostamento di circa ½ frangia. Si noti l’estrema sensibilità dell’apparato: uno spostamento di soli 147nm di uno dei due specchi avrebbe prodotto un cambiamento di frangia. Di conseguenza minime vibrazioni erano in grado di distruggere la figura di interferenza. Per questo l’apparato era montato su un blocco di granito galleggiante in una vasca piena di mercurio posta direttamente sulla roccia affiorante nello scantinato dell’edi-ficio del dipartimento di Fisica. L’esperimento fu eseguito di notte e per l’occasione fu fermata la circolazione dei tram (notturni).


L’interferometro di Michelson Morley •  La grande precisione della misura pone un problema: e

se le lunghezze dei due bracci fossero leggermente diverse?

•  MM risolsero il problema ripetendo l’esperimento ruotando tutto lo strumento di 90° in modo che BC sia parallelo alla direzione del moto e BE perpendicolare.

•  A questo punto bastera’ misurare una variazione nelle frange di interferenza


L’interferometro di Michelson Morley Esaminiamo ora uno schema realistico dell’apparato e calcoliamo la posizione attesa delle frange d’interferenza.

Laser

Specchio 1 S

pecchio 2

schermo

d1

d2

s

ds

Ss

dsch


•  L’interferometro funziona con un fascio divergente, come se la luce provenisse dal punto in cui la lente converge il fascio laser

•  Per fare i calcoli dobbiamo usare le leggi della riflessione, determinare la posizione delle sorgenti virtuali e fare i calcoli come se la luce provenisse da lì




Specchio 1

Specchio 2

schermo

d1

d2

s sv2

sv1

d2+ds

Riflettiamo s: rispetto a allo specchio Ss per ottenere sv1 rispetto allo specchio 2 per ottenere sv2

Ss



Specchio 1

Specchio 2

schermo

d1

d2

sv2

s’v1

d1+ds

d2+ds

Riflettiamo sv1 rispetto allo specchio 1 per ottenere s’v1

Ss



Infine riflettiamo sv2 rispetto allo specchio Ss per ottenere s’v2 . Nel disegno abbiamo colorato in blu la posizione e i raggi provenienti dalla seconda

sorgente virtuale. In generale le due sorgenti non coincidono e si trovano alle distanze dT1=dsch+ds+2d1 dT2=dsch+ds+2d2 . In un interferometro ‘non didattico’ le distanza d1 e d2 sono molto maggiori delle altre due che non contribuiscono a costruire l’effetto cercato.

Specchio 1

Specchio 2

schermo

d1

d2

s’v1

d1+ds

d2+ds

Ss

s’v2 dsch

R


Calcolo della posizione delle frange Sullo schermo possiamo osservare l’interferenza della luce che finisce nello stesso punto. Data la simmetria cilindrica ci aspettiamo delle frange circolari. La luce proviene da due coni concentrici di altezza diversa, dT1 e dT2.

s’v1

s’v2

dT1

dT2

R


Calcolo della posizione delle frange Calcoliamo il cammino ottico fra le due sorgenti e la circonferenza di raggio R

s’v1 s’v2

dT1

dT2

R c2 c1


Calcolo della posizione delle frange La differenza di cammino ottico è

Supponendo di avere la luce in fase al centro, i raggi delle successive frange luminose saranno (la differenza di cammino ottico diminuisce allontanandosi dal centro)


Calcolo della posizione delle frange

Il raggio Rn cresce con le dimensioni dell’interferometro e con la lunghezza d’onda, mentre è inversamente proporzionale a Δd. Al diminuire di quest’ultimo fattore si arriva al punto in cui R1 occupa tutta la figura di diffrazione e invece delle frange si avrà un chiazza unica, di intensità variabile fra tutta luce e tutto buio a seconda della differenza di fase Δd.

dT1=dsch+ds+2d1 dT2=dsch+ds+2d2

Alla fine di una serie di calcoli si puo’ ricavare l’espressione per il raggio delle successive frange luminose :



In generale le due sorgenti non coincidono e si trovano alle distanze dT1=dsch+ds+2d1 dT2=dsch+ds+2d2 In un interferometro ‘non didattico’ le distanza d1 e d2 sono molto maggiori delle altre due che non contribuiscono a costruire l’effetto cercato.

Specchio 1

Specchio 2

schermo

d1

d2

s’v1

d1+ds

d2+ds

Ss

s’v2 dsch

R

Nel disegno (dove abbiamo colorato in blu la posizione e i raggi provenienti dalla seconda sorgente virtuale) abbiamo riportato uno schema al fine di ricavare le distanze dT1 e dT2


La posizione delle frange In figura la posizione del luogo geometrico in cui la fase cambia di π, cioè il passaggio da chiaro a scuro

descritto dalla condizione

con


L’esperimento Laser

Specchi

Lenti Specchio semi-riflettente

Movimento micrometrico con demoltiplicatore per la traslazione dello specchio


L’esperimento Iniziamo con una foto delle frange piuttosto fitte: è indice che i due bracci dell’interferometro sono di lunghezza considerevolmente diversa (in unità λ).


L’esperimento La stessa immagine precedente ma con interferenza costruttiva al centro della figura.


L’esperimento Diminuiamo la differenza di lunghezza fra i bracci e le frange si ingrandiscono. Diventa importante la non perfetta planarità degli specchi che deforma la figura di diffrazione.


L’esperimento Diminuiamo ancora la differenza di lunghezza fra i bracci: le frange si ingrandiscono e la distorsione per la non perfetta planarità degli specchi diviene ancora più evidente.


L’esperimento Diminuendo ancora la differenza di lunghezza fra i bracci le frange raggiungono la massima dimensione e la distorsione per la non perfetta planarità degli specchi diviene preponderante.


Un altro esempio di frange al limite …


Il movimento delle frange

Se muoviamo lo specchio montato sul movimento micrometrico utilizzando il demoltiplicatore 10:1 riusciamo a muovere lo specchio abbastanza lentamente da vedere lo spostamento continuo delle frange con una fluidità a tratti accettabile.

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