?pt? - unipi.itpeople.dm.unipi.it/~gaiffi/MDAL2017/Pages/... · 4. (Punti 2) Si consideri lo spazio...
6
Compitino di MDAL 10 aprile 2017 Cognome e nome: .......................................................... Numero di matricola: ............... Corso e Aula: ....................... IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usa- re calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si pu` o scrivere con il lapis. Parte I, con esercizi a risposta secca. Nelle risposte del tipo SI/NO, le risposte errate contano -1 1. (Punti 2) Si consideri la successione definita per ricorrenza 8 > < > : a 0 =1 a 1 =3 a n+2 = a n+1 + 20a n Trovare una formula esplicita per a n . Scrivere qui: a n = 2. (Punti 2) Con riferimento alla successione precedente, determinare il resto di (a 1000 ) 2 modulo 5. Scrivere qui: 3. (Punti 2) Si consideri l’applicazione lineare L : R 2 ! R 2 la cui matrice, rispetto alla base standard di R 2 ` e [L]= ✓ 1 -1 -1 0 ◆ Si considerino le seguenti due basi di R 2 : la base β data dai vettori (che scriveremo in riga, per motivi di spazio) (0, 1), (1, 1) e la base γ data dai vettori (1, 2), (0, 1). Si scriva qui la matrice associata ad L rispetto alla base β in partenza e alla base γ in arrivo. Scrivere qui: a ? } +5 ? pt : ' %
Transcript of ?pt? - unipi.itpeople.dm.unipi.it/~gaiffi/MDAL2017/Pages/... · 4. (Punti 2) Si consideri lo spazio...
Compitino di MDAL10 aprile 2017
Cognome e nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numero di matricola: . . . . . . . . . . . . . . . Corso e Aula: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usa-re calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si puo scrivere conil lapis.
Parte I, con esercizi a risposta secca.Nelle risposte del tipo SI/NO, le risposte errate contano -1
1. (Punti 2) Si consideri la successione definita per ricorrenza8><
>:
a0 = 1a1 = 3an+2 = an+1 + 20an
Trovare una formula esplicita per an. Scrivere qui: an =
2. (Punti 2) Con riferimento alla successione precedente, determinare il restodi (a1000)2 modulo 5. Scrivere qui:
3. (Punti 2) Si consideri l’applicazione lineare L : R2 ! R2 la cui matrice,rispetto alla base standard di R2 e
[L] =✓
1 �1�1 0
◆
Si considerino le seguenti due basi di R2: la base � data dai vettori (chescriveremo in riga, per motivi di spazio) (0, 1), (1, 1) e la base � data daivettori (1, 2), (0, 1). Si scriva qui la matrice associata ad L rispetto allabase � in partenza e alla base � in arrivo. Scrivere qui:
a ?} +5?pt
:' %
4. (Punti 2) Si consideri lo spazio vettoriale Mat5⇥5(R) delle matrici 5⇥ 5.Sia W il sottospazio dato dalle matrici (aij)i,j=1,..,5 che verificano le duecondizioni a12 + a23 + a34 + a35 = 0 e a14 + a24 + a34 = 0, dove aij 2 R ela componente nella riga i e colonna j. Scrivere qui la dimensione di W :
5. (Punti 2) Per quali valori del parametro a 2 Z il sistema di congruenze(
x ⌘ a (mod 42)x ⌘ 2a (mod 66)
e risolubile? Scrivere qui:
6. Sia V uno spazio vettoriale su R e siano v1, v2, v3 tre vettori di V .i) (Punti 1) Supponiamo che 2v1 + 2v2 = 7v3. Possiamo concludere chev1 2 Span(v2, v3)? (Scrivere qui SI oppure NO)........
ii) (Punti 1) Supponiamo che v1, v2, v3 siano linearmente dipendenti. Pos-siamo concludere che v2 2 Span(v1, v3)? (Scrivere qui SI oppure NO)........
23
a -=o (6)
:0
Cognome e nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numero di matricola: . . . . . . . . . . . . . . . Corso e Aula: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizi con risposta da motivare dettagliatamente
Esercizio 1 (Punti 10). Si consideri il sistema di congruenze:8><
>:
3x ⌘ 1 (mod 14)x ⌘ 1 (mod 8)3x ⌘ 9 (mod 5)
1. Trovare una soluzione del sistema.
2. Trovare tutte le soluzioni del sistema.
Ooaervomob che 5 I
llimeoo- ahi 3 most 14 e he
2 I blmmhxo oh '
3 mol 5 psriomo monmhe snirl
antenna÷'sEg
X =-3 ( 5)
Rrsdniamorl.molemnahntroblleyumeohneeguopiomi@dT8nnTowsimeyuchiMcDC14iH-2ohiole5t-41.Psniamo.X
= 5 +14 K e roottuiamo
5 +14k I 1 (8)14 K = - 4 ( 8)
7 K =.
- 2 ( 4)- K I - 2 (4)
k I 2 ( ) .
Psmtms Mona kezt 4h .
Li attune × = 5 ¥14 ( 2+4 l ) = 33+56 l
Dungun I nstmn awb obllefume
dueequation
'
hn shrine X = 33 ( 56 )
[ Osaeniamo he m
'
pteva ohrettamenle yyh'
one I Ieouma Cinese,
dogs men individual 's can Its metals la solution 33 ]Perfume obbhsmr untrue rl nslennq
{× I 33 ( 56 )× =
3 ( 5)
Per I Tememr Griese nypiomshe mmmdli nluaiene ( obit . .
he M C D ( 5, 5 6) = 1 ) e che bn shrine I union month
m cm ( 56,5) = 280 .
Liooremamlitrhe 33 i shrine di entramhe
heegwasioni ,
allmn :
• 3 3 I una nlusime ysnticdme
oblmstemn• take le nlusioni del motms
oono -
eyvme oh
X I 33 ( 280 ).
Esercizio 2 (Punti 10). Sia L : R4 ! R3 l’applicazione lineare che, rispettoalle basi standard, ha matrice:
0
@1 0 2 �31 1 10 32 1 12 0
1
A
1. Trovare una base di ker(L) e una base di Im(L).
2. Per quali valori del parametro a 2 R il vettore (1, 1, a) (per motivi dispazio lo abbiamo scritto in riga) appartiene a Im(L) ?
Per trovone Ker L obbhimo mothered antenna
C :c:::nE¥t=C :p
( on dame more diriga a
' now warns I nstema equivalent
to:oEHt¥aH :o)da wi minions
×z= - 8×3-6×4Xy = - 2×3+3×4
%Ii=H¥¥¥¥'
) lxnxaarf=Yym(hoe) , fjoy) .
umbmiikele KHIM.
Pride i pints della nahnioneper righe nano mella
pmae seconds coloma
, my piano he( µ , ( Oy ) i
una base oh ' Jm L.
Duque lamatria ( he ? ) having 2 ;
as > eniano he # ) Montane a Ymn L se e at se
( tg 0g ! ) harange 2
.
Riotuaamoper
blame :
keenhe ha range
2 se e solo ae a = 2.
