Proprietà elastiche dei

materiali

Proprietà elastiche dei

materiali

In un materiale solido gli atomi e le molecole sono distribuiti nello spazio in

modo ordinato e le forze di interazione si oppongono ad ogni cambiamento

delle distanze reciproche.

Ogni sollecitazione esterna determina una deformazione e forze di richiamo

(elastiche) che tendono a riportare gli atomi nelle posizioni originali

• Un corpo perfettamente rigido non esiste

• Un corpo reale, sottoposto all’azione di una forza o di un momento

di forza, si deforma, ovvero le sue dimensioni o la sua forma variano

• Un corpo è detto elastico se tende a riassumere le dimensioni e la

forma originaria al cessare delle sollecitazioni esterne

• Se le sollecitazioni esterne sono sufficientemente intense, la

deformazione che il corpo subisce può diventare permanente

• Esite quindi un limite elastico

3

Rigidità elasticità

TIPI DI SFORZI PRINCIPALI: TRAZIONE/COMPRESSIONE, TAGLIO, TORSIONE

Sforzo e deformazione

Se si applica una forza F ad una striscia di gomma di sezione pari ad A

F

A

2F

2A

Alla deformazione si oppongono le forze intermolecolari che agiscono all’interno del

materiale.

Sforzo e deformazione

Se la forza F è applicata ad una striscia di uguale sezione ma di maggior lunghezza

rispetto alla striscia precedente si osserva un allungamento maggiore.

F

A

Sforzo e deformazione

F

A

Sforzo e deformazione

0A

F=

0L

L=

L

0L

• Si definisce deformazione (strain ) la variazione

relativa della lunghezza iniziale

• L’allungamento dipende non solo dalla

sollecitazione ma anche dalla lunghezza

iniziale

• Si definisce lo sforzo ( stress) [N/m2] o [Pa]

ovvero Pascal

Materiali duttili e fragili

Materiali fragili

• Nei materiali fragili, l’impossibilità degli atomi di scorrere provoca

la rottura catastrofica del materiale quando la forza applicata

supera la forza di legame

Fragile (rottura)

• Ad esempio l’osso il materiale si rompe molto prima di deformarsi,

come avviene invece nel caso della gomma.

• I materiali fragili resistono molto meglio a sforzi

di compressione che a quelli di trazione

Dopo più applicazioni e rimozioni della forza alla fine il materiale si rompe

anche se viene sottoposto a piccoli sforzi.

Materiali duttili

0A

F=

0L

L=

Tratto elastico

• La relazione che lega lo sforzo σ e la deformazione ε può essere ricavata in via sperimentale

Sfo

rzo (

MP

a)

deformazionePROVA DI TRAZIONE

https://www.youtube.com/watch?v=D8U4G5kcpcM

strizione

Tratto elastico

Sfo

rzo (

MP

a)

deformazione

• Deformazione elastica: Deformazione reversibile indotta da uno sforzo esterno

agente sul materiale - Quando la forza agente viene annullata, si azzera anche

la deformazione

• Il materiale si oppone ad una certa deformazione imposta dall’esterno con uno sforzo

• Si ricava un diagramma -

=E

• La pendenza del grafico sforzo deformazione (per la deformazione o

compressione) è data dal rapporto tra sforzo e deformazione e definisce il

modulo di Young

Modulo di Young

Per materiali omogenei (acciaio) il modulo E è uguale sia per la compressione

che per la trazione

Per materiali non omogenei (calcestruzzo od osso) E sono differenti per

compressione e la trazione

E

E

x

=E

=E

ll

AEF =

0

Legge di Hooke

l

l

A

F

= 0

lk=

Un filo di ferro lungo 10 m, sottoposto ad uno sforzo di trazione di 400 MPa

si allunga elasticamente di 19 mm.

Calcolare il modulo elastico

l

lE

== 0

Esercizi

1 MPa = 106 N/m²=N/mm2

=400*104/19=210526MPa

Esercizi

A quale sforzo di trazione è sottoposta una barretta di alluminio inizialmente

lunga 2 m se subisce un allungamento elastico di 5 mm? (E Al 70 GPa)

1 GPa = 109 N/m²=103N/mm2

0l

lE= =5*70*103/2*103=175MPa

Una barretta di tungsteno di lunghezza iniziale 820 mm è sottoposta ad uno

sforzo di trazione di 300 MPa. Qual’è l’allungamento elastico?

(E W 393 Gpa)

l

lE

= 0

E

ll 0= =300*820/393*103=0,626mm

Resistenza alla flessioneLa capacità di un oggetto di curvarsi senza rompersi cioè di “resistere alla

flessione” dipende dalla composizione e dalla forma dell’oggetto. Una trave si piega

sotto l’azione del suo peso.

F

F/2F/2

x

Resistenza alla flessione

Affinché la trave sia in equilibrio il momento delle forze interne deve equilibrare

quello della reazione vincolare. La barra si flette fino a che questa condizione non è

raggiunta

Se una trave è in equilibrio la parte superiore della trave è compressa mentre la parte

inferiore è sotto trazione, vi è un’unica parte che non cambia lunghezza.

Tanto più queste forze sono applicate lontano dalla superficie neutra tanto più

grande è il loro contributo al momento. Le travi lunghe ed alte hanno momenti

maggiori.

Resistenza alla flessione

R

IE s=

Il momento delle forze interne è dato dal prodotto del modulo

di Young per il momento d’inerzia areolare (diviso per il raggio

di curvatura della sbarra)

Momento delle forze interne :

12

3baI s =

Is=156,25 Is=1406,25

Resistenza alla flessione

R

IE s=

12

3baI s =

In entrambi i casi il momento delle forze

interne equilibra quello della forza peso

(lo stesso nei due casi)

21 =2

2

1

1

R

IE

R

IE =

1

2

1

2

I

I

R

R= =153*5/ 53*15 =9

A parità di peso l’asse 2 si flette meno dell’asse 1, ma di quanto?

Resistenza alla flessione

1

2

1

2

I

I

R

R=

R

IE s=

Per costruire elementi con struttura resistente e leggera la maggior parte del

materiale dovrebbe essere lontana dalla superficie neutra.

Resistenza alla flessione

La trave a doppio T è più adatta a resistere alle flessioni di quanto non sia una

trave a sezione trasversa quadrata costruita con la stessa quantità di materiale.

a=b=5cm (a=15cm, b=5cm, t=1cm)

=843,75

08,5212

3

==ba

I s

Resistenza alla pressoflessione

Colonna cilindrica lunga e sottile

Effetto congiunto di compressione e flessione

Fissato il raggio di una colonna esiste un’altezza critica,

che dipende dal modulo di Young del materiale, al di

sopra della quale, la struttura collassa.

===R

IEwd s

R

dE

4

4

*0lww = 2d

R

ld

8

2

=

22

2

4)( R

ldR =+− 2

222

42 R

lRddR =+−+

𝑤0=peso specifico

Resistenza alla pressoflessione

===R

IEwd s

R

rE

4

4

lww (0= )2dR

ld

8

2

=

0wR

dE

4

4=)( 2 ld

R

l

8

2

R

dE

4

4=

2

0d

R

l

8

32

3

0

2Ed

l=

0

23 2

Edl =

3/1

0

22

=

Edl 3/2cdl =

H= c r2/3

Resistenza alla pressoflessione

Se raddoppio il diametro qual è l’altezza massima che

si può raggiungere?

H1= c r2/3 H2= c (2r)2/3

H2/H1= (2)2/3=1.6

Taglio e torsione

Taglio e torsione

A

Ft =

Sforzo di taglio

La deformazione dovuta allo sforzo di taglio è:

tan==h

ci

Si definisce allora modulo di scorrimento G:

t

tG

=

Taglio e torsione

In generale quindi lo sforzo e la deformazione sono grandezze complesse.

Il modulo di scorrimento G è legato al modulo di Young del materiale

G compreso tra 1/3 ed 1/2 del valore di E

Taglio e torsione

t

tG

=

f

q

F/2

F/2

P

P’

Taglio e torsione

È un caso particolare della variazione di forma

Supponiamo di avere un cilindro di lunghezza l e raggio R. Tenendo fissa una

base, ruotiamo l’altra con una coppia di forze F/2 applicate tangenzialmente

alla superficie laterale.

Calcolo il momento totale con cui le forze interne reagiscono allo sforzo:

Gtt =

iii Fr= rdrAF tti 2==

lrt /tan qf ==

lGrt /q =

l

drGrrdrAF tti

q

22

2

===

Cosa succede se applico una coppia di forze, ad un cilindro e le forze

hanno una direzione perpendicolare all’asse del cilindro?

f

q

F/2

F/2

P

P’

Taglio e torsione

lGI p

q =

iii Fr=

lGI

l

GRdr

l

Grdr

p

i

q

qq

=

=== 2

2 43

2

4RI p =con

Poiché il momento d’inezia polare aumenta con la quarta potenza del raggio,

raddoppiando il raggio la sua resistenza alla torsione aumenta di 16 volte.

𝐹𝑖 =2𝜋𝐺𝜃𝑟2𝑑𝑟

𝑙

Taglio e torsione

lGI p

q = Momento delle forze interne che si

oppongono alla torsione

Se un corpo è sottoposto ad un momento torcente crescente è soggetto a frattura

momento torcente angolo corrisp. frattura

Taglio e torsione

Riepilogo

0A

F=

0L

L=

=E

Sforzo deformazione relativa

Modulo di Young

R

IE s=

Momento delle forze interne - Flessione Pressoflessione

H= c r2/3

Riepilogo

A

Ft = q

tan==

hci

t

tG

=

Sforzo di taglio deformazione taglio

Modulo di scorrimento

lGI p

q =

IP è il momento polare d’inerzia

IP= πr4 / 2