cap8 1

I corpi solidi dal punto di vista elettrico molto schematicamente si dividono in isolanti e conduttori. La differenza di comportamento elettrico deriva dalla diversa struttura atomica.Nei conduttori (essenzialmente i metalli) le cariche negative sono abbastanza libere di muoversi, perché le orbite elettroniche più esterne non sono completamente riempite e gli elettroni (detti elettroni di conduzione) possono migrare di orbita in orbita e anche uscire dal conduttore, se questo è collegato con un altro conduttore, come il corpo umano o la terra, o se viene fornita sufficiente energia (per esempio termica) che compensi l’energia che li tiene legati agli atomi (energia di estrazione). Negli isolanti (o dielettrici) le orbite elettroniche più esterne sono o completamente riempite o quasi completamente riempite, e le migrazioni di elettroni sono praticamente proibite. L’energia di estrazione è più alta.

La diversa struttura atomica è anche la causa del diverso comportamento elettrico dovuto allo strofinio (comportamento tribo-elettrico). Strofinando un oggetto gli si cede energia per attrito, che viene acquistata dagli elettroni esterni che sono più vicini alla superficie dell’oggetto: questi sono evidentemente meno legati di quelli interni, in cui ogni atomo è contornato da altri atomi. Negli isolanti le cariche negative vengono debolmente mobilizzate e possono essere trasferite a o dall’agente che strofina (normalmente un altro isolante), e si crea un eccesso di carica negativa o positiva, che rimane localizzata nella zona di strofinio. Nei conduttori strofinati, la mobilizzazione degli elettroni è molto più intensa e l’eccesso di carica negativa e positiva viene compensata immediatamente, attraverso la carica o scarica attraverso la mano che regge, o se il supporto è isolante, attraverso la cessione all’agente che strofina. La carica non rimane localizzata.

Proprietà della materia: isolanti e conduttori

cap8 2

1) La sfera metallica neutra, con supporto isolante, è in presenza del campo elettrico della bacchetta carica negativamente: le carichenegative si muovono all’interno del conduttore e, all’equilibrio, si ha un eccesso di cariche positive (carica indotta positiva) nella zona più vicina alla bacchetta negativa, e di cariche negative (carica indotta negativa) nella zona opposta. Il movimento avviene in tempi brevissimi. - Se si allontana la bacchetta si ha il movimento opposto e la sfera torna neutra (uguale carica negativa e positiva in ogni punto della sfera). -Se il campo elettrico della bacchetta è molto intenso e anche ladistribuzione di carica positiva indotta è tale da creare un campo intenso, gli elettroni della bacchetta possono avere l’energia per uscire dall’involucro e si ha una scarica tra bacchetta e sfera, aiutata dalla ionizzazione del mezzo circostante (aria) che avviene per cessione di energia per urto tra gli elettroni e le molecole del mezzo. -In una lastra metallica, di spessore trascurabile macroscopicamente, ma necessariamente maggiore della distanza interatomica media, sostenuta da un supporto isolante, avviene lo stesso fenomeno, una faccia si carica positivamente, e una negativamente.

2) Se in presenza del campo esterno, si tocca con un altro conduttore la sfera o la lastra, gli elettroni si muovono e la sfera ha un eccesso non compensato di carica positiva, che rimane distribuita sulla sfera o lastra in maniera opportuna con l’equilibrio delle cariche positive. (che si respingono), anche se viene rimossa la bacchetta.

La diversa mobilità degli elettroni nei conduttori fa sì che sia possibile ottenere carica sui conduttori per azione a distanza: il processo viene chiamato Induzione elettrica.

1) 2)

cap8 3

------- --

----

+++

+

+

Il procedimento di far scaricare le cariche negative collegando il conduttore a un altro (più grande di solito) viene chiamato procedimento di “messa a terra”

Per caricare un conduttore negativamente basta isolarlo e toccarlo con una bacchetta isolante carica negativamente.

Proprietà elettrostatiche di un conduttore ( proprietà all’equilibrio di un conduttore caricato o immerso in un campo elettrico esterno).

- All’equilibrio, dopo il movimento di cariche, il campo totale Etot all’interno di un conduttore è nullo,Etot=0 all’interno di un conduttore sia in campo esterno che caricatoPer campo totale si intende la somma del campo esterno, (per es.. quello della bacchetta carica) con il campo della distribuzione di carica indotta. - Questo comporta che all’interno del conduttore, all’equilibrio, non vi sono, in nessun punto, eccessi di cariche, o positive o negative, e tutte le cariche sono distribuite sulla superficie ( si può “dimostrare” con l’applicazione della legge di Gauss ).- Se si ha un conduttore cavo, questo significa che nella superficie interna, qualunque sia lo spessore dell’involucro, non vi è nessun eccesso di carica, né positiva, ne’ negativa: la carica è solo sulla superficie esterna.- La superficie del conduttore è una superficie equipotenziale, il potenziale è uguale in tutti punti (se così non fosse le cariche indotte o portate sul conduttore si muoverebbero, le negative verso potenziali alti (energia minore), le positive verso potenziali bassi (energia minore). L’interno del conduttore, pieno o cavo, è allo stesso potenziale della superficie. V= costante sul e nel conduttore

cap8 4

- Il campo elettrico nelle immediate vicinanze della superficie del conduttore è perpendicolare alla superficie stessa e e vale (si dimostra con la legge di Gauss, vedere le applicazioni su conduttori di forma qualsiasi sul libro di testo)

En = σ / εσ / ε0 Et=0dove σ σ è la densità di carica di superficie su una superficie elementare dSdella superficie esterna del conduttore.

E2 = (σσ22 / ε/ ε0)ndS

ndSE1 = (σσ11 / ε/ ε0)n

E1 < E2 σσ2 2 > σ> σ11

- La densità di carica è maggiore sulle superfici a a maggior curvatura e in quel punto il campo elettrico più intenso, è minore sulle superfici a minore curvatura.( Effetto punta)

-Su un conduttore sferico, la carica si distribuisce in modo uniforme, e se la carica è indotta la densità di carica positiva occupa metà della superficie, la carica negativa l’altra metà, Se è caricato con carica dello stesso segno essa è uniformementedistribuita sulla sfera esterna. Anche una lastra metallica ha carica uniforme.

Conduttore sferico: Pieno o cavo caricato con carica Q e di raggio R.

r++

+ +

++

+

+++

R

rr

rQ

å 4ð1R)(rE 2

0

rr=>

rr n n

åó n

RQ

å 4ð1R)(rE

0R)(rE

02

0

r)))r

r

====

=<

π=∞πε

=>

=πε

=≤

0)V( rQ

41R)V(r

å óR

RQ

41R)V(r

0

00

- Se il conduttore è lontano da altre cariche si dice “isolato” e avere una capacità C= Q/ V(R).Vedere dopo per dettagli.

cap8 5

Distorsione delle linee di forza e delle superficie equipotenziali di un campo uniforme per immersione in esso di un conduttore sferico, inizialmente scarico. Il campo elettrico tra i piani e all’esterno del conduttore è la somma del campo uniforme iniziale e del campo creato dalla carica indotta sul condensatore. Il conduttore funziona da “gabbia di Faraday”, all’interno non vi è perturbazione elettrica.

+σ -σ

E=0

Conduttore sferico di raggio R, carico, all’interno di un gusciometallico (raggio interno R1, raggio esterno R2), inizialmente scarico

+QR1

R2

+

+

+

+ +

+QR1

R2 +

+

+

-

-

-

---

-

-La carica Q all’interno induce carica negativa. sulla superficie internadel guscio, e carica positiva sulla superficie esterna. Nello spessore del guscio il campo è nullo (il guscio e conduttore). E=0

Applicando la legge di Gauss a una superficie gaussiana contenuta all’interno del guscio (tratteggiata in figura) si trova che la carica indotta sulla superficie interna vale -Q ed è distribuita con densità σσ1 1 = - Q/4π(R1)2. Poiché il guscio era scarico e la carica totale nulla prima dell’induzione, la carica positiva sulla superficie esterna deve essere uguale alla negativa e è distribuita con densità σσ2 2 = Q/4π(R2)2. Applicando la legge di Gauss si trova:

σσ22σσ11

r

rr

rQ

41)R(rE

0)Rr(RE ; rr

rQ

41)Rr(RE ; 0R)(rE

22

2121

rr

rrrr

0

0

πε=>

=<<πε

=<<=<

cap8 6

++

+

+ +

+QR1

R2 +

+

+

-

-

-

----

-

E=0

σσ22σσ11

r20100

1

201001

2021

02

RQ

41

RQ

41

RQ

41costante)RV(r

RQ

41

RQ

41

rQ

41)RrV(R

RQ

41costante)RrV(R

V( rQ

41)RV(r

πε+

πε−

πε==≤

πε+

πε−

πε=≤<

πε==≤<

=∞πε

=> 0)

Se la superficie esterna viene messa a zero, da terra salgono cariche negative a scaricare la superficie esterna, ma non possono raggiungere l’interno (il campo è e rimane nullo nello spessore del guscio). Ora:

0)R(rE ; rr

rQ

41)Rr(RE ; 0R)(rE 12

01 =>

πε=<<=<

rrrr

Il campo è diverso da zero solo all’interno tra il guscio e la carica al centro. Per il potenziale:

−

πε=

πε−

πε==

πε−

πε=≤<

=∞=≥

101

100

1001

1

R1

R1

4Q)V(R-V(R)

RQ

41

RQ

41costanteV(R)

RQ

41

rQ

41)RrV(R

V( 0)RV(r 0)

Il sistema appena descritto è quello che si chiama condensatore: due conduttori, isolati, vicini in modo che tra essi vi sia induzione completa cioe’ la carica indotta è uguale alla carica sul conduttore inducente e il campo elettrico al di fuori del condensatore sia praticamente nullo. I due conduttori si definiscono le armature del condensatore, che caratterizzato dalla sua capacità C, definita come:

Q , carica sull’armatura positiva, ∆V differenza di potenziale tra le armature. La capacità comunque non dipende né da Qné da ∆V, ma solo dalla configurazione geometrica delle armature, perché ∆V è sempre proporzionale a Q, qualunque

sia Q.

ÄVQC =

R1-

-

-

----

-

E=0

σσ

rR +Q

-Q

cap8 7

La capacità di un condensatore:

ÄVQC =

Si misura in C/V, unità chiamata Farad (F). I condensatori che si trovano normalmente nei circuiti sono da 10-12F(1 pF) fino a 10-6F(1 µF).

Il simbolo per condensatore è e rappresenta due piani paralleli uguali, di area grande, (“ piani infiniti”) molto vicini tra loro: il

Condensatore Piano.Una delle armature è caricata positivamente e la carica si distribuisce uniformemente perché ha tutta la stessa curvatura (è un piano), e la seconda che è vicina e parallela a questa, si carica per induzione negativamente: la carica negativa sulla seconda faccia viene scaricata a Terra. Il potenziale della piastra caricata negativamente viene convenzionalmenteconsideratonullo). La capacità di un condensatore piano con carica Q=σA, con A area di una delle facce e le cui armature siano a distanza d è data da

dA

EdA

VQC 0ε=

σ==

V è il potenziale convenzionale dell’armatura positiva (se la negativa si considera a zero) o è la ddp tra le armature. Il campo è costante tra le armature e vale σ/ε0, come si è visto precedentemente ( due piani carichi con cariche uguali in valore e opposte in segno). Dalla relazione si vede che la capacità dipende solo dalla configurazione geometrica.

Per il condensatore sferico :

Condensatore Piano

RRRR4

)V(R-V(R)QC

1

10

1 −πε==

Un altro condensatore usato è quello cilindrico (o cavo coassiale): due lunghi cilindri conduttori cavi a distanza ravvicinata. Usando la legge di Gauss si può

trovare il campo e la ddp tra le due armature cilindriche e si trova che la capacità è:

Re

Ri

-Q

+Q

L>>(Re-Ri)

)/Rln(RL2C

ie0πε=

ln è il logaritmo naturale (in base e) e ancora la capacità è indipendente dalla carica e dalla ddp tra le armature.

cap8 8

Condensatori in serie e paralleloI condensatori possono essere uniti tra loro e si parla allora di capacità equivalente della combinazione, capacità di un unico condensatore con le caratteristiche della combinazione e con lo stesso effetto esterno.

SERIE:, le due armature al centro hanno lo stesso potenziale, dato che collegandoli sono diventate un unico conduttore, e i condensatori hanno tutti la stessa carica, come si può dedurre pensando al processo di induzione successiva a partire dalla prima faccia. Anche quando si connettono le estremità a una batteria, si può dedurre considerando le proprietà dei conduttori che la carica sulle armature (a parte il segno) è la stessa in valore. La carica equivalente della serie è Q e la ddp totale è ∆V=∆V1+∆V2.

21

2112

21

2121

122112eq

CCCC(serie)C

C1

C1

QÄV

QÄV

QÄVÄV

C1

ÄVÄVQ

ÄVQCC

+=

⇓

+=+=+

=⇒+

===

C1 C2

Q -Q Q -Q

∆V1 ∆V2

∆V=∆V1+∆V2

∆V

Q1 -Q1

Q2 -Q2

C1

C2

∆V

∆V

PARALLELO:, le due armature a sinistra sono un unico conduttore allo stesso potenziale, e si caricano secondo le capacità dei condensatori di cui fanno parte. Le due armature a sinistra hanno lo stesso potenziale c(sono un unico conduttore) e analogamente quelle a destra (con potenziale diverso da quelle di sinistra). Analogamente se si connette il sistema scarico alla batteria. La carica totale è Q=Q1+Q2 e il potenziale del condensatore equivalente è ∆V.

2112

21211

12eq

CC)(paralleloC

CCÄVQ

ÄVÄVQQCC

+=

⇓

+=+=+

==Q2

cap8 9

Condensatori in serie e parallelo 2. - La capacità equivalente di condensatori in parallelo è maggiore della capacità dei singoli condensatori, mentre quella di condensatore in serie è minore delle capacità del minore dei condensatori. - Il parallelo viene usato per ripartire più carica allo stesso potenziale, invece la serie per ripartire a parità di carica il potenziale. - La generalizzazione a N condensatori in serie o in parallelo si ottiene facilmente:

∑∑==

==N

1iieq

N

1i ieqC C parallelo

C1

C1 serie

cap8 10

Energia elettrostatica

Caricare un condensatore vuol dire far del lavoro su esso e l’energiaimmagazzinata quando la carica diventa la carica finale Q e la ddpcorrispondente diventa ∆V diventa poi disponibile all’uso (flash di una macchina fotografica, nei sintonizzatori, defibrillatori…).

Il processo di carica è un processo cumulativo: la carica finale si ottiene con aggiunte successive di cariche elementari dq, per le quali si deve vincere la repulsione delle cariche accumulate in precedenza, q, che hanno nel frattempo creato una ddp dV = q/C nel sistema (C è la capacità del condensatore che si sta caricando, indipendente dalla carica e dalladdp).

Ogni volta che una carica dq viene spostata (incremento alla q accumulata fino a quel momento) dall’esterno si compie un lavoro dL=dqq/C, che aumenta l’energia interna del condensatore. Il lavoro totale e quindi l’energia elettrostatica del condensatore è:

imm

2Q0

Q0est U

CQ

21dq q

C1dq

CqL ≡=== ∫∫

V

Q

∆V

q

dqdV = q/C

L’energia immagazzinata può essere scritta nelleforme alternative:

( ) ÄV Q21ÄVC

21

CQ

21U 2

2

imm ≡≡=

Notare che il lavoro fatto è la metà di quello che si farebbe per muovere una carica Q in un potenziale esterno ∆V.

(J)

cap8 11

Si può dimostrare ( e misurare, ovvero verificare sperimentalmente) che in tutte le regioni dello spazio vuoto dove vi sia un campo elettrico E(r,t),

anche variabile nel tempo, dovuto a cariche che sono state accumulate da qualche parte, vi è una densità d’energia (energia per unità di volume)

u(r,t):

L’energia accumulata nel condensatore può essere pensata come energia del campo elettrostatico che vi è nel condensatore. In un condensatore piano il calore del campo elettrostatico e la ddp sono rispettivamente:

E = σ/ε0 = Q / (ε0 A) e ∆V=EdA area delle armature e d distanza tra esse e l’energia immagazzinata può essere scritta nella forma:

( )( ) ( )AdE21EdEA

21ÄV Q

21U 2

00imm ε=ε=≡

La densità volumetrica d’energia, poiché Ad è il volume V del condensatore in cui è racchiuso il campo può essere scritto nella forma:

20

imm E21Uu ε≡=

V

Nel condensatore piano la densità di energia è uniforme e costante nel tempo. Questo concetto viene estrapolato a tutti i campi elettrici:

(J/m3)

( ) t)(r,E21

VUtr,u 2

0imm ε≡=

cap8 12

Isolanti (Dielettrici) e loro proprietà

Sperimentalmente si vede che se tra le armature di un condensatore carico e isolato (non connesso a una batteria) si interpone una sostanza isolante (plastica, olio, carta, acqua non ionizzata, vetro, porcellana….), neutra, senza eccessi di carica, la ddp ai suoi capi diminuisce: se era ∆V0 prima dell’immissione, diventa ∆V1< ∆V0.

La costante dielettrica relativa εεr dell’isolante è un numero puro sempre maggiore di 1 e in generale non varia al variare del campo elettrico esterno a cui l’isolante è sottoposto, ma può essere diversa nelle varie direzioni (materiali con polarizzazioni diverse nelle varie direzioni). Vale circa 80 per l’acqua a temperatura ambiente, 1.00054 ≈ 1 per l’aria (per questo non si fa spesso differenza tra campo elettrico nel vuoto o in aria), 3.5 per la carta, ecc, (vedere i valori nei testi).

C0

-Q0

∆V0

Q0

Poiché la carica non è cambiata (il condensatore è isolato) questo significa che il campo elettrico all’interno del condensatore è diminuito, e l’effetto è dovuto alla creazione da parte del dielettrico di un campo elettrico che si oppone a quello preesistente, ma non l’annulla come succede nei conduttori.

La capacità del condensatore aumenta dal valore C0= Q0/ ∆V0 al valore C1=Q0/ ∆V1. L’aumento di capacità (e la diminuzione del potenziale) non è uguale per tutte le sostanze, ma è caratteristica del materiale: Si definisce costante dielettrica relativa εεr dell’isolante considerato il rapporto

εεr = C1 / C0 = ∆V0/∆V1

C1

-Q0

∆V1< ∆V0

Q0

cap8 13

Se il condensatore a vuoto e carico è attaccato ad una batteria che l’ha caricato mentre viene inserito il dielettrico, il potenziale non può cambiare, perché batteria e condensatore sono in equilibrio (stessa differenza di potenziale ai capi della batteria e del condensatore), ma si può verificare sperimentalmente che la capacità aumenta ancora e allo stesso valore che si ha per l’inserimento dello stesso dielettrico nel condensatore isolato ).

La batteria fornisce un supplemento di carica alle armature del condensatore e la carica passa da Q0 a Q1=Q0+ ∆Q e si ha

Q1 = C1 ∆V0= εεr C0 ∆V0 = εεr Q0 > Q0

L’aumento di capacità implica un aumento di energia immagazzinata e l’inserimento del dielettrico oltre a permettere la possibilità di tenere separate le armature permette l’aumento di energia. La scelta del dielettrico e della ddp che si può applicare ai capi del condensatore deve essere fattaconsiderando la Rigidità dielettrica dell’isolante, che è il campo elettrico massimo totale che può esserci tra le armature prima che vi sia una scarica tra le armature e nel dielettrico e il dielettrico si perfori. In aria questocampo Emax ≈ 3 106 V/m (3 kV/mm).

Isolanti (Dielettrici) e loro proprietà: 1

C0

-Q0Q0

+ -

∆V0

f0=∆V0

Batteria /fem(forza elettromotrice costante)

C0

-Q1Q1

+ -

∆V0

f0=∆V0

cap8 14

Gli isolanti non hanno come si è detto cariche elettroniche libere di muoversi e la struttura atomica/molecolare, quando il sistema è immerso in un campo elettrico esterno, reagisce in maniera diversa dai conduttori. Gli isolanti si suddividono schematicamente in due grandi categorie:

Polari: la struttura atomica o molecolare è dipolare (baricentro delle cariche negative e delle cariche positive non coincidenti, per es. come l’acqua). I dipoli in campo elettrico esterno si muovono e allineano (per quanto possibile) il loro momento di dipolo con il campo esterno(polarizzazione per rotazione) . L’insieme di questi dipoli crea un campo elettrico che è minore di quello esterno ed è diretto nel verso opposto a quello totale. L’effetto risultante è la diminuzione del campo elettrico iniziale.

Isolanti (Dielettrici) e loro proprietà: 2

Conduttore al suo interno E=0

Isolante al suo interno E≠0 (E’ < Eo)

Eo

+p-

+ p -

+ +--

+

E0=0 E0

--- -

--

++ +

++

+++++++++

---------E’

--

+++++++++++

+E’

-

--------

-

E0

Er

Cariche di polarizzazione

Cariche “libere” sul condensatore

cap8 15

- Se il dielettrico occupa tutto lo spazio tra superfici equipotenziali del campo esterno si dimostra che il campo risultante Er=E0/εεr.

- Si definisce il vettore polarizzazione P come il momento di dipolo medio per unità di volume del dielettrico e per tutti i delettrici omogenei e isotropi:

P = Er=ε0(εεr-1) Er unità di misura (C/m2)La quantità adimensionale χ = χ = (εεr-1) > 0 viene chiamata suscettività dielettrica.

-La densità di carica di polarizzazione σσp è legata alla densità di carica “libera” sul condensatore dalla relazione

lσσpl= ((εεr-1)/εεr) lσσll

- Si definisce il vettore spostamento elettrico o induzione elettricaD = ε0Er+ P= ε0εεrE unità di misura (C/m2 )

Applicando la legge di Gauss attraverso una superficie che racchiuda cariche di polarizzazione e cariche libere si trova che :a) mentre il flusso del campo elettrico attraverso una superficie che racchiuda cariche di polarizzazione e cariche libere è al solito data dalla somma di tutte le cariche interne (libere+polarizzazione) divisoε0,b) il flusso del vettore D è la somma di solo tutte le cariche libere interne.

Isolanti (Dielettrici) e loro proprietà: 3Non Polari: la struttura atomica o molecolare non è dipolare (baricentro delle cariche negative e delle cariche positive coincidenti. Il campo elettrico esterno distorce la struttura e crea dei dipoli allineati con il campo, come precedentemente (polarizzazione per deformazione) . L’effetto risultante è ancora la diminuzione del campo elettrico iniziale.

cap8 16

Si può notare che i conduttori non lasciano entrare il campo elettrico, è come se lo riflettessero (e in effetti dal punto divista ottico i conduttori sono riflettenti ).Gli isolanti invece fungono da rifrattori, le linee di forza cambiano direzione, oltre che rarefarsi.La velocità della luce negli isolanti è minore che nel vuoto e l’indice di rifrazione è collegato alla costante dielettrica delmezzo.

Isolanti (Dielettrici) e loro proprietà: 4