Promuovere e valutare le

competenze matematiche nel

confronto con altri Paesi europei

1.Fare delle scelte

2

La progettazione di un’attività formativa diretta allo sviluppo di competenze deve tenere conto della necessità che le conoscenze fondamentali da queste implicate siano acquisite in maniera significativa, cioè comprese e padroneggiate in modo adeguato, che le abilità richieste siano disponibili a un livello confacente di correttezza e consapevolezza di quando e come utilizzarle, che si sostenga il desiderio di sviluppare conoscenze e abilità nell’affrontare compiti e attività che ne esigono l’attivazione e

l’integrazione. M. Pellerey “Insegnare per sviluppare competenze”

►Pochi concetti e metodi fondamentali acquisiti in

profondità

2. I contenuti non più trascurabili

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Percentuali, variazioni percentuali, approssimazioni, ordini di grandezza, stime

..per sviluppare “il senso” del numero

la centralità del concetto di funzione (in particolare per rappresentare la variazione di grandezze nel tempo)

… per costruire modelli e risolvere problemi

Elementi di statistica (rappresentazioni di distribuzioni di frequenze, valori medi, lettura di tabelle e grafici)

..per sviluppare il “ senso” del grafico, analizzare dati e rielaborarli

Elementi di probabilità … per fare scelte in condizioni di incertezza

Non si tratta più di scegliere a inizio anno quali contenuti “vogliamo fare”, ma di scegliere a priori i contenuti che sono funzionali all’acquisizione delle competenze .

3. Riequilibrare il “peso” da dare al calcolo

4

Uno spunto di riflessione basato su confronti internazionali….

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Testi francesi

6

Testi francesi

7

Testi francesi

8

Testi francesi

Testi di tradizione anglo- sassone

9

4.Dare un “senso” al calcolo

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Cercare di equilibrare la richiesta di trasformazioni meccaniche di espressioni o di esercizi di calcolo, tipica della prassi didattica, con: -la proposta di problemi , sia per motivare e stimolare l’introduzione di nuovi argomenti sia come applicazione di nuovi strumenti appresi; - la richiesta di formalizzare relazioni che esprimano come varia una grandezza in funzione dell’altra e interpretarle; - esercizi di produzione di esempi e controesempi.

Esempi nell’ambito del

calcolo letterale

Esempio 1. Il calcolo letterale per scoprire regolarità e generalizzarle

Si consideri un rettangolo; che cosa capita alla sua area se un lato diminuisce del 10% e l'altro aumenta del 10%?

20 cm 22 cm

9 cm

10 cm

Esempio 2. Il rettangolo di Arcavi

È solo con il ricorso al linguaggio algebrico che la situazione può essere interpretata in forma chiara e incontrovertibile: se il rettangolo di partenza ha lati di lunghezza a e b, l'area del secondo rettangolo vale 1,1a .0,9b = 0,99ab cioè l'area diminuisce dell'1%.

Con della rete metallica viene realizzato un recinto di forma rettangolare, avente un lato lungo 2 m più dell’altro. Si vuole ingrandire il recinto e si hanno a disposizione 8 m di rete. Per ottenere il maggiore aumento possibile dell’area del recinto, è più conveniente aumentare di 4 m ciascuno dei due lati minori o ciascuno dei due lati maggiori?

Esempio 3. Stabilire la scelta più conveniente

per aumentare l’area di un recinto

Esempio 4. Dalla manipolazione di una formula alla decodifica di informazioni a partire da essa fino alla dimostrazione di proprietà numerica

I ragazzi sanno cogliere che :

1. la prima espressione rappresenta il precedente del quadrato di un numero dispari?

2. Dall’espressione scritta nell’ultima formula si può dedurre che il precedente del quadrato di un numero dispari è sempre un multiplo di quattro?

(2n+1)2 –1=4n 2 + 4n=4n(n + 1)

Esempi nell’ambito dell’analisi

Esempi e controesempi in analisi

1.Per ciascuno degli intervalli:

inventa 2 grafici di funzione e funzioni in forma algebrica che abbiano come dominio gli intervalli proposti. 2.Fai un esempio di funzione con dominio R e con due punti di discontinuità. 3. Fai un esempio di una funzione con dominio R e con due punti di non derivabilità. 4. Fai un esempio di una funzione iniettiva, definita sull’intervallo [-1,1], tale che f(0)=1 e che i limiti della funzione per e per siano uguali a 2. 5. Se possibile, fornisci due esempi di funzioni continue sull’intervallo [-3,4) prive di massimo assoluto, ma limitate. 6. Costruisci degli esempi di funzioni definite su un intervallo [a,b] e tali che f(a) = f(b), che risultino continue, non continue, derivabili, non derivabili in [a,b]. 7. Fai un esempio di funzione definita in [a,b], tale che f(a)=f(b) e tale che: a. f’(x)>0 su (a,b) b. f’(x)=0 su (a,b) f’(x)<0 su (a,b) 8. Se possibile , costruisci un esempio di funzione continua su [a,b] e derivabile

nell’intervallo aperto (a,b), con f(a)= f(b), tale che f’(x) sia diversa da zero per ogni x appartenente ad (a,b).

1x1x

Esempi e controesempi Se possibile , costruisci un esempio di funzione continua su [a,b] e derivabile nell’intervallo aperto (a,b), con f(a)= f(b), tale che f’(x) sia diversa da zero per ogni x appartenente ad (a,b).

Esempi e controesempi

Problemi di ottimizzazione/1

Problemi di ottimizzazione/2

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Modelli differenziali

Mostrare la potenza del calcolo differenziale nella modellizzazione, formalizzazione e risoluzione di problemi .

Esistono numerosi esempi semplici ma importanti. Si possono utilizzare a vari livelli più o meno impegnativi.

Livello 1. Calcolare derivate/integrali di funzioni contenenti parametri, dotate di un certo significato fisico, e ragionare sul significato.

Livello 2. Presentare semplici modelli differenziali, spiegandolo come si giunge a tali modelli. Si dice qual è la sua soluzione (senza ricavarla), e si chiede di verificare che è così. Si commenta il modello.

Livello 3. Si risolve anche l’equazione differenziale.

Esempi notevoli di modelli differenziali

Esempio 1: dinamica delle popolazioni, modello di Malthus e crescita esponenziale.

Esempio 2. Le piccole oscillazioni del pendolo e le funzioni trigonometriche (oscillazioni armoniche).

Esempio 3. La forza elastica e l’equazione dell’oscillatore armonico.

Esempio 4. La caduta di un grave nell'aria. La legge della velocità limite, con un asintoto raggiunto esponenzialmente.

Esempio 5. L’oscillatore armonico smorzato.

Modello di crescita esponenziale/1

Sia N (t) il numero di individui di una certa specie .

( )N t hAnalogamente il numero dei nuovi morti sarà:

( )N t h

Sotto opportune condizioni, la variazione del numero di individui della specie in un intervallo di tempo [t,t+h] , cioè N (t+h)-N (t), si può pensare data dalla differenza tra il numero di nati e il numero di morti in tale intervallo di tempo.

Supponendo l’intervallo di tempo piccolo, è ragionevole pensare che il numero di nuovi nati sia proporzionale all’ampiezza dell’intervallo di tempo (cioè ad h) e al numero di individui (cioè a N (t)); pertanto possiamo supporre che il numero di nuovi nati sia:

Modello di crescita esponenziale/2

Siamo condotti quindi al modello:

da cui, facendo tendere h a 0:

'( ) ( )N t kN t

( ) ( )N t h N t

Ponendo α-ß=k e dividendo per h abbiamo:

( ) ( )( )

N t h N tkN t

h

( ) ( )N t h N t h ( ) ( )N t h

Altri modelli

3. Caduta di un corpo soggetto ad attrito nell’aria:

'' 'my mg ky

2. Raffreddamento di un corpo:

' ( )ambienteT k T T

1. Modello logistico di crescita di una popolazione:

modello in cui il tasso di crescitarelativo decresce all'aumentare della popolazione

tasso di crescita relativo costante

'( ) '( )( )

( ) ( )

N t N tk k hN t

N t N t

4. Corpo soggetto a una forza elastica e all’attrito:

'' 'mx kx hx

5.Didattica argomentativa

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Argomentare, discutere, spiegare, giustificare, sapersi esprimere in modo scientificamente corretto (ovvero “acquisire le forme tipiche del ragionamento matematico”) come competenze matematiche fondamentali: padronanza linguistica e uso corretto dei connettivi, utilizzo di esempi e controesempi, saper gestire sul piano logico e linguistico i passi di un ragionamento e la loro concatenazione. Collaborazione con insegnante di lettere.

Esempio 1.

Dare una definizione di triangolo

1. Si chiede ai ragazzi di formulare una possibile definizione di triangolo. 2. Si confrontano le proposte formulate dai vari allievi fino a giungere a una o più definizioni accettate dalla classe. 2. Si stabilisce un confronto con le definizioni reperibili su vari libri di testo o su vocabolari.

L’obiettivo è quello di fare toccare con mano come sia importante (ma nello stesso tempo non facile!) caratterizzare in modo chiaro e univoco enti geometrici intuitivamente noti.

Esempio 2. La negazione della definizione di poligono regolare

Un poligono si dice regolare quando ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali (congruenti). Quando un poligono non è regolare?

Discutere le seguenti alternative: 1. quando ha tutti i lati e tutti gli angoli fra loro disuguali; 2. quando ha tutti gli angoli uguali ma i lati disuguali

oppure tutti i lati uguali ma gli angoli disuguali; 3. quando ha almeno una coppia di lati disuguali e almeno

una coppia di angoli disuguali; 4. quando ha almeno una coppia di lati disuguali o almeno

una coppia di angoli disuguali.

6.Didattica laboratoriale

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Laboratorio visto non come luogo fisico, ma come un insieme di attività volte alla costruzione di significati di oggetti matematici. Gli strumenti da utilizzare possono essere di varia natura, da quelli tradizionali a quelli più recenti, come software di geometria dinamica e di manipolazione simbolica, fogli elettronici….

Problema 1: dai numeri alle lettere (quesito invalsi)

Rettangolo_inscritto.ggb

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14%

Somma = = 6n+9= 3(2n+3)

Problema 1:dai numeri alle lettere (quesito invalsi)

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quesito invalsi.ggb

Problema 2: introduzione allo studio delle variazioni di due grandezze

Rettangolo_inscritto.ggb

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Problema 3: studio di un luogo geometrico

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luogo_centri_circonferenze.ggb

Problema 4 : legami tra il grafico di una funzione e la derivata

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funzione_derivata.ggb

Problema 5: dall’esame, un approccio dinamico

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esame stato.ggb

… E ALL’ESAME?

La prova invalsi al 5° anno Secondo quanto dichiarato dal prof. Bolondi dovrebbero essere: 1. differenziate (ovvero prevedere moduli specifici riservati solo ai

programmi “forti”) ; 2. costituite da 42 domande, di cui 24 focalizzate ancora sugli obiettivi

di apprendimento previsti per la fine del primo biennio, ma proposti in contesti più complessi, mentre le restanti dovrebbero riguardare gli obiettivi di apprendimento specifici del secondo biennio, scelti tra quelli comuni ai vari indirizzi;

3. essere proposte nella parte iniziale dell’anno ed essere quindi focalizzate sui contenuti del secondo biennio più che sul quinto anno;

4. essere progettate in continuità con il biennio, in modo da testare i vari “processi” descritti nei quadri di riferimento, nei quattro ambiti;

5. essere costituite da domande che non richiedono particolari tecnicismi, tenendo conto anche del breve tempo a disposizione per rispondere a ciascuna domanda.

I syllabus 2015

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Revisione del syllabus 2009 in previsione dalla sessione d’esame del 2015 quando saranno a pieno regime le Indicazioni Nazionali per i Licei: (disponibile sul sito www.matmedia.it)

Syllabus-UMI.pdf

syllabus2015_mathesis.pdf

Il syllabus 2015

L’esame con la calcolatrice programmabile

Il professor Ambrisi spiega: "Presto toglieremo alle calcolatrici a scuola l'ultimo ostacolo, l'aggettivo "non programmabile", che si è sempre inteso nell'accezione "calcolatrice grafica". Sarà ininfluente rispetto alle tracce che si forniranno alla maturità: la soluzione del problema sarà sempre frutto del ragionamento degli studenti. D'altro canto, in gran parte dell'Europa la calcolatrice evoluta è prassi affermata negli esami e nelle classifiche comparative gli studenti stranieri nella matematica sono sempre più in alto dei nostri.

L’esame con la calcolatrice programmabile

Emilio Ambrisi, ad esempio, ispettore del Collegio di Direzione della Struttura Tecnica Esami di Stato: «La calcolatrice sta per essere superata dal computer - spiega al sito - La matematica si fa tradizionalmente con carta e matita. Se si riesce a concepire il computer come la nuova carta e matita si realizzerà un indubbio progresso. Resterebbe ugualmente il fatto della matematica delle idee come centrale nella didattica».

Baccalaurèat 2007

Baccalaurèat 2006 Grafici rappresentano l’evoluzione del tasso di alcool nel sangue nelle cinque ore successive all’assunzione, nei due casi di assunzione di alcool a digiuno o dopo un pasto.

1.Stimare il tasso alcoolemico massimo e in quale momento viene raggiunto. 2. Il tasso massimo autorizzato è 0,5 g/l. In ciascuno dei due casi stabilire se dopo 3 ore il tasso è nei limiti di legge. 3. Se e , determinare a e b utilizzando il tasso deducibile dal grafico dopo 3 ore e supponendo che il tasso massimo sia raggiunto dopo 1 ora e mezza. 4. Determinare dopo quanto tempo dall’ingestione il tasso alcoolemico è il medesimo sia in caso di ingestione a digiuno sia dopo il pasto.

1( ) 4 tf t te 2( ) btf t ate

Baccalaurèat 2008

Tracciare un grafico qualitativo della funzione f.

Test