PROGRAMMA LEONARDO TOI PROGETTO PIT.AGORA’...

42
     IL GIARDINO DI ARCHIMEDE                                        unmuseo         perla[matematica]                                                                                                                                              PROGRAMMA LEONARDO TOI PROGETTO PIT.AGORA’ Codice CUP : G12F10000140006. Laboratori matematici MANUALE GUIDA

Transcript of PROGRAMMA LEONARDO TOI PROGETTO PIT.AGORA’...

     IL GIARDINO DI ARCHIMEDE                                        unmuseo        perla[matematica]

                                                                                                                                             

PROGRAMMA LEONARDO TOI

PROGETTO PIT.AGORA’Codice CUP : G12F10000140006.

Laboratori matematici 

MANUALE GUIDA

Manuale guida ai laboratoria cura di Enrico Giusti e Raffaella Petti

Questo manuale è destinato ai formatori e agli insegnati che proporranno nelle classi i diversi laboratori. Comprende i complementi teorici e le indicazioni sull'utilizzo dei diversi materiali.   È diviso in sette sezioni, ciascuna relativa a uno dei laboratori disponibili per il trasferimento.

INDICE SEZIONI

Numeri e conti presso gli antichi Sumeri . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Numeri e conti con i geroglifici egizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . .

Piccola storia del calcolo infinitesimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . .

Un ponte sul Mediterraneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pitagora e il suo teorema (storico). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pitagora e il suo teorema (ludico). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Regoli per il calcolo: bastoncini per moltiplicare e dividere  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

INDICE PER SEZIONE

SEZIONE 1Numeri e conti presso gli antichi Sumeri

Note storiche                                                                                    

La tecnica dei calculi sumeri                                                           

    Rappresentazione e cambi                                                       

    Addizioni 

    Sottrazioni 

    Moltiplicazioni  

    Divisioni  

Il sistema posizionale babilonese                                                 

Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori                                

SEZIONE 2Numeri e conti con i geroglifici egizi

Note storiche                                                                      

L’aritmetica dei geroglifici                                                                    

   Rappresentazione e cambi      

   Addizioni 

   Sottrazioni

   Moltiplicazioni 

   Divisioni 

   Frazioni

Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori                          

SEZIONE 3Piccola storia del calcolo infinitesimale

La scoperta degli irrazionali

Archimede: la misura del cerchio

Cavalieri: il volume dell’apice parabolico

Il solido iperbolico acuto di Torricelli

Il principio di identità dei polinomi

I metodi di Descartes, di De Beaune e di Fermat a confronto: la tangente all’iperbole

Le coordinate bipolari

Il metodo di eliminazione di Fermat

La cicloide

Descartes e Fermat sulla tangente alla cicloide

Newton e gli sviluppi in serie

Integrazione per serie delle equazioni differenziali

Lo sviluppo in serie dell’esponenziale

Il principio di induzione e i numeri naturali

Dedekind: irrazionalità delle radici quadrate

La curva dei ponti sospesi

La catenaria

SEZIONE 4Un ponte sul Mediterraneo. Leonardo Pisano, la scienza araba e la rinascita della matematica in Occidente

Indicazioni sull'uso della mostra 

Letture dal Liber abaci1 L’aritmetica                                                                                1.1 Addizione   1.2 Sottrazione .  1.3 Moltiplicazione   1.4 Divisione 2 Problemi dal Liber abaci                                                                      2.1 Problemi risolti con la regola del tre    2.2 Problemi risolti con la regola del tre composto    2.3 Problemi sulla divisione degli utili    2.4 Problemi sulla fusione delle monete    2.5 Problemi risolti con la falsa posizione    2.6 Problemi risolti con la doppia falsa posizione    2.7 Problemi con progressioni geometriche: vecchie, alberi, e la scacchiera 3 Algebra e almucabala                                                                         3.1 Censo e radici uguali a numero (x2 + bx = c)    3.2 Radici e numero uguali a censo (x2  = bx + c)    3.3 Censo e numero uguali a radici (x2 + c = bx)    3.4 Un problema da risolvere con le regole precedentiIndicazioni per il lavoro in classe                                   

SEZIONE 5Pitagora e il suo teorema (storico)

Nota introduttiva

1.Il teorema di Pitagora nell’estrema antichità.

2. Alcune dimostrazioni semplici.

3. Equivalenza ed equiscomponibilità di poligoni. 

4. Figure simili.

5. Parallelogrammi e trapezi.

6. Il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide. 

7. Un triangolo non rettangolo. 

8. La diagonale del quadrato e gli irrazionali.

9. La scala musicale pitagorica e altre scale.

10. I solidi regolari.

11. Terne pitagoriche.

SEZIONE 6Pitagora e il suo teorema (ludico)

Nota introduttiva

1.Il teorema di Pitagora nell’estrema antichità.

2. Alcune dimostrazioni semplici.

3. Equivalenza ed equiscomponibilità di poligoni. 

4. Figure simili.

5. Parallelogrammi e trapezi.

6. Il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide. 

7. Un triangolo non rettangolo. 

8. La diagonale del quadrato e gli irrazionali.

9. La scala musicale pitagorica e altre scale.

10. I solidi regolari.

11. Terne pitagoriche.

SEZIONE 7Regoli per il calcolo: bastoncini per moltiplicare e dividere  

   Introduzione                                               

1. Note storiche                                             

2. La moltiplicazione con i bastoncini di Nepero.             

       2.1. Istruzioni per l'uso.                               

       2.2. Come sono costruiti.                               

       2.3. Osservazioni.                                     

3. La moltiplicazione con i bastoncini di Genaille­Lucas.      

       3.1. Istruzioni per l'uso.     

       3.2. Come sono costruiti.                               

4. La divisione con i bastoncini di Genaille­Lucas.           

       4.1. Istruzioni per l'uso.      

       4.2. Osservazioni.                                      

       4.3. Come sono costruiti.                                

5. La moltiplicazione secondo il Promptuarium di Nepero.

       5.1. Istruzioni per l'uso.                             

       5.2. Osservazioni.                                    

       5.3. Come sono costruiti.                               

6. Estrazione di radice quadrata con i bastoncini di Nepero.   

       6.1. Istruzioni per l'uso.                              

       6.2. Osservazioni.                                    

7. Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori.               

       7.1. Premessa sui laboratori.                           

       7.2. Contenuto delle presentazioni per il laboratorio.  

SEZIONE 1

Numeri e conti presso gli antichi Sumeri

Note storiche                                                                                    3

La tecnica dei calculi sumeri                                                           5

    Rappresentazione e cambi . .      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5

    Addizioni . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .  6

    Sottrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . .  6

    Moltiplicazioni . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .  7

    Divisioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .  8

Il sistema posizionale babilonese                                                      9

Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori                                   12

Il nostro modo di contare è senz'altro uno dei più potenti e completi che siano mai stati  sviluppati. Ma è anche uno dei più complessi e più difficili da apprendere. Altre strategie,  preliminari o alternative, altri punti di vista, più primitivi ma in alcuni casi non meno efficaci,  aiutano a comprendere meglio alcuni aspetti del contare, a mettere a fuoco e superare certe difficoltà, ad afferrare meglio le potenzialità del nostro modo di contare, oltre che a scoprirne la sua storia affascinante.

In questa prospettiva sono nati i laboratori de Il Giardino di Archimede dedicati ai sistemidi numerazione, pensati per le scuole di ogni ordine e grado e dedicati ad alcuni di questiantichi modi di contare.

  Scopo di questa sezione, dedicata al sistema di numerazione degli antichi Sumeri, è fornire agli  insegnanti che desiderino riproporre le attività nelle proprie classi alcune informazioni teoriche necessarie per impadronirsi dell’argomento e una serie di suggerimenti pratici per lo svolgimento dei laboratori stessi.

**Inserire al posto di questa pagina le pagg. 3­20 di Sumeri.pdf (togliere le pagg. 1 e 2 iniziali)

SEZIONE 2

Numeri e conti con i geroglifici egizi

Note storiche                                                                                3

L’aritmetica dei geroglifici                                                           4

   Rappresentazione e cambi      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4

   Addizioni . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5

   Sottrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5

   Moltiplicazioni . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .  6

   Divisioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  7

   Frazioni . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .  8

Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori                               11

  Scopo di questa sezione, dedicata al sistema di numerazione degli antichi Egizi, è fornire agli  insegnanti che desiderino riproporre le attività nelle proprie classi alcune informazioni teoriche necessarie per impadronirsi dell’argomento e una serie di suggerimenti pratici per lo svolgimento dei laboratori stessi.

**Inserire al posto di questa pagina le pagg. 3­17 di Egizi.pdf (togliere le pagg. 1 e 2 iniziali)

SEZIONE 3

Piccola storia del calcolo infinitesimale

Nota introduttiva

La scoperta degli irrazionali.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       2

Archimede: la misura del cerchio.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Cavalieri: il volume dell’apice parabolico.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   6

Il solido iperbolico acuto di Torricelli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Il principio di identità dei polinomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  9

I metodi di Descartes, di De Beaune e di Fermat a confronto: la tangente all’iperbole. 10

Le coordinate bipolari  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Il metodo di eliminazione di Fermat.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

La cicloide . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                22

Descartes e Fermat sulla tangente alla cicloide. . . . . . . . . .. . . . . . . . 27

Newton e gli sviluppi in serie. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .    30

Integrazione per serie delle equazioni differenziali. . . . . . . . . .        34

Lo sviluppo in serie dell’esponenziale. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .          37

Il principio di induzione e i numeri naturali. . . . . . . . . .. . . . .            39

Dedekind: irrazionalità delle radici quadrate. . . . . . . . . . . . . . . . .     44

La curva dei ponti sospesi. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .          46

La catenaria. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . .         48

Indicazioni bibliografiche

Nota introduttiva

Una tra le principali difficoltà nell’introdurre elementi storici nell’insegnamento della matematica consiste nel fatto che questi ultimi si presentano come un settore separato rispetto al corpo principale della matematica e solo raramente riescono a fondersi. Da una parte la matematica, col suo bagaglio di risultati, metodi, esercizi; dall’altra la storia che se è essenziale per aggiungere corpo e spessore a una disciplina che spesso si presenta come puramente tecnica, non apporta però nessun beneficio per quanto attiene all’acquisizione di metodi e di competenze. 

La stessa mostra “Piccola storia del calcolo infinitesimale” è in un certo senso testimone di questo stato di cose: se riesce –come si spera­ a comunicare le vicende che hanno portato alla formulazione attuale di assiomi e teoremi, non è però di nessun aiuto per acquisire quelle tecniche e quei metodi; come se altro fosse la teoria e altro la storia, e se coloro che hanno inventato e sviluppato l’analisi non lo avessero fatto per affrontare e risolvere i problemi che stavano studiando. 

Queste schede di lavoro mirano a gettare un ponte tra queste due sponde, ripercorrendo e riproponendo alcuni problemi  come si sono presentati nel cammino storico dell’analisi. Problemi tutti affrontabili con gli strumenti acquisiti dagli studenti nel corso dei loro studi, e che quindi –forse meglio che con esercizi troppo spesso artificiali e ripetitivi– possono anche servire per sviluppare manualità di calcolo e capacità deduttive. 

La sequenza delle schede segue il cammino storico delineato nel volume “Piccola storia del calcolo infinitesimale” di E. Giusti che accompagna la mostra. Di conseguenza gli argomenti sono graduati non per difficoltà ma per successione temporale: problemi piuttosto semplici sono mescolati ad altri nettamente più difficili. Né sono strettamente legate al calcolo infinitesimale: alcune riguardano la geometria, altre richiedono manipolazioni algebriche, altre infine contengono semplici dimostrazioni. Tutte però hanno un unico scopo: riprendere problemi che si sono presentati realmente trovandone la soluzione come l’hanno trovata i protagonisti della nostra storia; in definitiva stimolare un apprendimento fondato sulla base di problemi reali e soluzioni storicamente documentate.

Oltre al già citato volume “Piccola storia del calcolo infinitesimale” di E. Giusti, abbiamo redatto una breve bibliografia con una scelta di testi e articoli utili per gli  approfondimenti storici.Tale bibliografia si trova in fondo alle schede di lavoro, a conclusione della presente sezione.

***********Inserire al posto di questa pagina le pag. 3 – 50 (togliendo pag. 1 e 2 e pag 51 e 52) da libretto Calcolo.pdf

***********Inserire al posto di questa pagina Calcolo2.pdf (due pagine)

SEZIONE 4

Un ponte sul Mediterraneo. Leonardo Pisano, la scienza araba e la  rinascita della matematica in Occidente

Indicazioni sull'uso della mostra . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 

Letture dal Liber abaci . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .1 L’aritmetica                                                                              3  1.1 Addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3  1.2 Sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3  1.3 Moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4       1.3.1 Moltiplicazione con sostituzione . . .     . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4       1.3.2 Moltiplicazione per gelosia . . . . . .    . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5       1.3.3 Moltiplicazione per crocetta o casella     . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5       1.3.4 Moltiplicazione per quadrilatero . . .     . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6  1.4 Divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Problemi dal Liber abaci                                                                    8   2.1 Problemi risolti con la regola del tre . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . .  8   2.2 Problemi risolti con la regola del tre composto . . . . . . .     . . . . . . . . . . 11   2.3 Problemi sulla divisione degli utili . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . 14   2.4 Problemi sulla fusione delle monete . . . . . . . . . . . . .     . . . . . . . . . . 16   2.5 Problemi risolti con la falsa posizione . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . 18   2.6 Problemi risolti con la doppia falsa posizione . . . . . . . .    . . . . . . . . . . 20   2.7 Problemi con progressioni geometriche: vecchie, alberi, e la     scacchiera   . . . . 213 Algebra e almucabala                                                                       22   3.1 Censo e radici uguali a numero (x2  + bx = c) . . .     . . . . . .  . . . . . . . . . 22   3.2 Radici e numero uguali a censo (x2  = bx + c) . . .     . . . . . .  . . . . . . . . . 24   3.3 Censo e numero uguali a radici (x2  + c = bx) . . .     . . . . . .  . . . . . . . . . 25   3.4 Un problema da risolvere con le regole precedenti      . . . . .  . . . . . . . . . . 26Indicazioni per il lavoro in classe                                                          28

Indicazioni sull'uso della mostra

Un ponte sul Mediterraneo. Leonardo Pisano, la scienza araba e la  rinascita della matematica in Occidente

Queste note intendono fornire suggerimenti per l’utilizzo della mostra “Un ponte sul Mediterraneo. Leonardo Pisano, la scienza araba e la rinascita della matematica in Occidente” nella sua versione in 15 pannelli pensata per le attività di laboratorio nelle scuole.

La mostra  Un ponte sul Mediterraneo  nella versione integrale è  stata realizzata nel 2002, in occasione dell’ottocentesimo anniversario della composizione della prima versione del Liber abaci di Leonardo Pisano, noto anche come Leonardo Fibonacci. Non sono molte le opere matematiche che, oltre ad avere indirizzato lo sviluppo degli studi successivi, hanno al contempo lasciato un segno cosí profondo e duraturo nella pratica comune, e il Liber abaci è senz’altro una di queste. Il nostro modo stesso di scrivere i numeri e di fare i conti, insieme a un nuovo mondo di parole ­ come cifra, zero, radice, virgola, algebra, algoritmo... ­ ci arriva grazie al contributo fondamentale del Liber abaci. A tal punto certi usi sono per noi divenuti familiari che quella che all’epoca fu una profonda e radicale innovazione rischia, agli occhi di un moderno, di non apparire in tutta la sua importanza.

Con la mostra si intende presentare all’attenzione degli studenti quest’opera, il suo autore e la matematica e società del suo tempo. La mostra offre infatti anche una ricostruzione del contesto storico scientifico e sociale in cui egli operò:  da una panoramica sulla matematica e la scienza araba, alla vita quotidiana nella Pisa del XII e XIII secolo e gli scambi commerciali che la legarono al mondo arabo, al fiorire delle scuole d’abaco che ebbero a modello l’insegnamento di Fibonacci.

La mostra contiene anche una prima presentazione dei contenuti matematici del Liber abaci. Per un   più   approfondito   lavoro   nelle   classi   si   è   predisposta   una   scelta   di   passi   con   traduzione   e commento. Tali materiali sono raccolti in schede di lavoro dal titolo “Letture dal  Liber abaci” e seguono queste note sulla mostra. 

Nelle  esperienze effettuate da Il  Giardino di Archimede si  sono effettuate visite  guidate per gruppi scolastici di ogni ordine e grado, a partire dai cinque anni della materna, fino alle superiori. Per   i   bambini   piccoli   ovviamente   il   percorso   viene   notevolmente   semplificato,   gli   argomenti selezionati e il linguaggio adattato al loro livello. In queste note ci riferiamo a un percorso standard.

Per   approfondire   i   contenuti   si   rimanda  ai   saggi  della  pubblicazione  associata   curata   da   Il Giardino di Archimede, Un ponte sul Mediterraneo, ed. Polistampa, 2002. Questi gli aspetti presenti nella mostra stessa e sviluppati nei saggi:­ M. Tangheroni, Pisa e il Mediterraneo all’epoca di Fibonacci. ­ S. Roero, Algebra e Aritmetica nel Medioevo islamico.­ L. Pepe, La riscoperta di Leonardo Pisano. ­ E. Ulivi, Scuole e maestri d’abaco in Italia tra Medioevo e Rinascimento.– E. Giusti, Matematica e commercio nel Liber Abaci.

L’inizioPer la visita guidata: pannello introduttivo. 

Si   può   iniziare   la   visita   raccogliendosi   attorno   alla   riproduzione   della   statua   di   Fibonacci riprodotta nel pannello iniziale, statua che fu commissionata a metà Ottocento dal governo toscano, presieduto   da   Bettino   Ricasoli,   allo   scultore   fiorentino   Paganucci;   fu   collocata   nel   Cimitero monumentale di Pisa, dove ancora oggi, dopo vari spostamenti, si può vedere. Qui si può invitare a formulare ipotesi sull’identità, l’epoca e i contributi del personaggio che vi è raffigurato, arrivando a anticipare una breve risposta per poi iniziare il percorso della mostra che porterà a scoprire più nel dettaglio perché Fibonacci è cosí importante per noi.

Uno sguardo storicoPer la visita guidata: pannelli 1­4.

Al tempo in cui Leonardo nasceva ­ attorno al 1170, data peraltro solo ricostruita ­ la matematica e, più in generale, tutta la scienza nel mondo occidentale si trovava ancora nello stato di decadenza che aveva caratterizzato i  secoli  seguenti  alla caduta dell’Impero romano. L’insegnamento della geometria  e  dell’aritmetica,  che con  l’astronomia  e   la  musica  componevano  il  quadrivium,  era basato su compendi sempre più semplificati modellati su trattati tardo greco­romani. Nei conventi e, dopo la riforma carolingia, anche al di fuori, si insegnava essenzialmente a far di conto con le dita e con l’abaco, uno strumento che aiutava nei calcoli resi piuttosto complessi dal fatto che si utilizzava la numerazione romana. Per estensione poi “abaco” indicava tutto il complesso delle tecniche di calcolo,   alle   quali,   per   completare   l’istruzione,   si   aggiungeva   qualche   rudimento   riguardante proporzioni e geometria euclidea. Le grandi opere dei classici, conservate e ricopiate nei monasteri, rimanevano di fatto pressoché sconosciute.

Contemporaneamente invece la parte del mondo riunita sotto la religione musulmana e la lingua araba   conosceva   il   suo   massimo   splendore.   Dopo   una   prima   breve   fase   bellicosa   di   rapida espansione che, in meno di un secolo, aveva portato i confini dell’impero ad estendersi dalla Spagna all’India, grazie anche al contatto con popoli diversi, alla tolleranza e la curiosità intellettuale, dar al­Islam, l’ecumene islamica, vede il costituirsi di una raffinatissima civiltà  in cui gli studi e le attività   culturali   conoscono   un   intenso   sviluppo.   In   particolare,   a   partire   dalla   seconda   metà dell’VIII secolo, gli arabi riscoprono il sapere classico dimenticato nell’occidente. Nel campo della matematica, grazie a un imponente lavoro di traduzione e commento, questo porta ad una profonda assimilazione dei più   importanti matematici greci,  quali Euclide, Archimede, Apollonio. D’altro canto la conoscenza diretta della matematica indiana costituisce una importantissima fonte dalla quale  gli  arabi  attingono ad  esempio   l’uso  del   sistema decimale  posizionale  che  ben  presto  si diffonde in tutti i territori dell’Islam. Tutto ciò si fonde in una sintesi originale da cui nasce un nuovo sapere matematico che ben presto raggiunge e supera i suoi modelli. Tra i suoi rappresentanti spiccano   scienziati   quali   al­Khwarizmi,   Abu   Kamil,   Abu’l   Wafa,   al­Biruni,   al­Haytam,   Omar Khayyam, forse più noto come poeta.

Particolarmente   importanti  per   le   influenze  su Fibonacci  sono al­Khwārizmī,   il   cui  nome è all’origine della nostra parola “algoritmo”, e Abu Kamil.

Pisa e LeonardoPer la visita guidata: pannelli 5­6.

I contributi sviluppati dagli arabi ebbero tutt’altro che facile ed immediata diffusione nel mondo cristiano occidentale. Anche quando, con la Reconquista, si costituí in Spagna un gruppo di studiosi che intraprese la   traduzione in  latino di  testi  arabi  originali  o a  loro volta  traduzioni  arabe dei classici, l’eco che se ne ebbe fu scarsissima. 

La via che doveva aprire le porte dell’occidente alle novità  della matematica araba fu invece quella  dei  commerci.  E Leonardo,  che con la  sua opera ebbe un ruolo fondamentale   in  questa acquisizione, non per pura coincidenza era pisano. Pisa infatti aveva allora un ruolo di primo piano nei commerci in tutto il Mediterraneo,  che gestiva mediante una rete organizzativa capillare. In varie città, in quartieri riservati all’esercizio delle attività mercantili ­ i fondaci, risiedevano i suoi rappresentanti che controllavano e tutelavano gli scambi tra Pisa e le popolazioni locali.

Attorno al 1180 il padre di Leonardo, Gulielmo, era appunto notaio e rappresentante del comune di Pisa presso uno di questi centri, la città di Bugia, sulla costa dell’odierna Algeria. Bugia, o anche Bugea o Bucea in latino, Bejaia in arabo, era stata fondata nel 1067 come capitale del regno degli Hammaditi, dinastia vassalla dell’importante califfato che i Fatimidi avevano costituito in Egitto. Alla fine del XII secolo, Bugia era invece uno dei capoluoghi dell’impero degli Almohadi che, con capitale Marrakech, si estendeva dal Marocco a tutta l’Africa settentrionale e a parte della Spagna islamica. Bugia era uno dei centri commerciali più importanti del Maghreb, trovandosi allo sbocco sul mare della regione africana migliore produttrice di cereali, tanto che nelle fonti arabe medievali è definita granaio dell’Ifriqya.

Dopo un iniziale periodo di aperti conflitti caratterizzati da reciproche azioni di pirateria, negli anni in cui il padre di Leonardo opera qui, i rapporti commerciali tra Pisa e Bugia sono stabili e intensi.  Qui   si   acquistano   in   particolare   pellami,   lana,   allume   e   scorze   tanniche   ­   usate   nelle industrie conciarie ­ ma anche datteri e frutta secca. Molto famosa era poi la produzione locale di cera:   con   “bugia”,   appunto   dal   nome   della   città,   si   indica   tuttora   un   tipo   di   basse   candele cilindriche.

Probabilmente attraverso i contatti commerciali con la popolazione locale il padre di Leonardo aveva potuto constatare l’efficienza e la superiorità delle tecniche di calcolo là utilizzate e dunque, resosi conto dell’utilità e dei vantaggi che ne sarebbero potuti derivare, volle che il figlio in giovane età ­ “in pueritia mea”, secondo quanto Leonardo stesso racconta ­ lo raggiungesse a Bugia e qui fosse istruito nello studio del calcolo.

Sulla vita di Leonardo si conosce in realtà ben poco altro rispetto alle notizie che egli stesso inserisce nell’introduzione del Liber abaci, ritenendole evidentemente significativa premessa alla nascita della sua opera scientifica.

Egli   racconta che dopo aver  appreso  l’abaco a  Bugia,  continuò  a  studiare e  approfondire   la conoscenza della matematica araba ad ogni occasione nel corso delle sue mete per viaggi di affari, tra cui ricorda l’Egitto, la Siria, Bisanzio, la Sicilia ­ allora in parte sotto il diretto dominio arabo, e la Provenza. Probabilmente a tale carattere girovago è dovuto l’appellativo, con il quale Leonardo è ricordato in alcuni documenti, di “Bigollo” termine di etimologia incerta che ­ come “bighellone” per vagabondo, ma con accezione positiva ­ può essere interpretato nel senso di giramondo.

Leonardo rimase cosí impressionato dalla “mirabile arte” degli arabi da ritenere quasi un errore l’aritmetica   che   tradizionalmente   si   insegnava   nel   mondo   occidentale.   Si   propose   dunque   di diffondere presso i popoli latini, che fino ad allora ne erano rimasti all’oscuro, quanto aveva appreso nel corso delle sue peregrinazioni, senza tralasciare integrazioni attinte dal sapere classico e sue elaborazioni, e fornendo non solo i risultati ma anche, con vizio da matematico, le dimostrazioni. E cosí nasce il Liber abaci.

Il Liber abaciPer la visita guidata: pannelli 6­7.

Tutta la prima parte dell’opera è dedicata dunque ai fondamenti dell’aritmetica e all’introduzione del sistema di numerazione indo­arabico.Leonardo presenta   subito  quelle  che  chiama “le  nove  figure  degli   Indi”  e   che,  con   successive trasformazioni e  infine trovando con la stampa la  loro forma canonica,  hanno dato origine alle nostre cifre 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

Passa poi ad illustrare uno dei primi vantaggi del nuovo sistema e cioè la possibilità di scrivere un   numero   qualunque,   cosa   che   con   le   cifre   romane   diviene   impraticabile   per   numeri   alti, servendosi di queste nove cifre più un ulteriore segno, lo 0, che non aveva corrispondente nella numerazione romana. È  peraltro  Leonardo a  battezzare  il  nuovo segno,   lo  0,  come “zephirum”,  che  successivamente contratto in “zerum” darà   il  nostro “zero”. Il   termine,  modellato su “zephirus”, viene scelto da Leonardo per assonanza al termine arabo “sifr” che indicava il cerchietto con cui nella notazione posizionale era necessario segnalare un eventuale posto vuoto nella scrittura di numero. E dallo stesso termine “sifr” per estensione agli altri simboli deriva la nostra parola “cifra”.

Familiarizzato il lettore con la scrittura dei numeri, il Liber abaci prosegue con la spiegazione dei procedimenti  per  l’esecuzione delle  quattro operazioni,  a  iniziare dalla moltiplicazione,  con esempi di complessità  crescente.  Proprio da questi  algoritmi ­ altra parola di origine araba che deriva   dal   nome   del   matematico   al­Khwarizmi   ­   per   evoluzioni   e   raffinamenti   successivi, discendono quelli che ancora oggi ci vengono insegnati nella scuola di base.

Con il numero 6 s’inizia una serie di pannelli sul contenuto del Liber abaci, che si prestano a introdurre nella visita momenti di partecipazione diretta dei ragazzi. Il pannello 7 è particolarmente importante, soprattutto per i più piccoli, poiché accenna a come si scrivevano i numeri prima del sistema  arabo­indiano,  diffuso   in  occidente  da  Fibonacci.  Nel  pannello  è   riprodotto   il   numero duecentotré nella scrittura geroglifica, cuneiforme (si può provare a far indovinare ai ragazzi come funziona,  sapendo che il  numero scritto è  appunto duecentotré),  alfabetica greca,  romana,  indo­arabica.  Volendo ci  si  può   soffermare a  lungo sui  sistemi di  scrittura numerica,  eventualmente riprendendo l’argomento in classe, o nel corso della visita munendosi di lavagnetta cancellabile. 

Dopo aver spiegato come si scrivono i numeri, Fibonacci illustra come eseguire le operazioni. Nelle “Letture dal Liber abaci” si possono ritrovare le diverse tecniche per addizione, sottrazione, e moltiplicazione e riprorre diversi esercizi con queste. Si veda in particolare la crocetta (anche se nel Liber abaci non viene chiamata cosí e non compare l’ausilio grafico delle linee che si intrecciano) e a quadrilatero, utilizzate da Fibonacci. Si osservi che l’algoritmo che utilizziamo normalmente oggi compare solo in trattati successivi.

Il Liber abaci: matematica e commercioPer la visita guidata: pannelli 8 e 12.

Appresi i fondamenti della scrittura numerica e del calcolo il lettore dal Liber abaci è a questo punto pronto ad utilizzare le tecniche nella risoluzione di questioni che intervengono nella pratica quotidiana dei commerci e convincersi cosí della loro superiorità rispetto al più familiare sistema in numeri romani.Segue dunque la presentazione di numerosi problemi sulle più svariate questioni di mercatura: dai calcoli  relativi  ai  prezzi delle merci,  ai  guadagni,  agli   interessi,  ai  cambi fra monete e unità  di misura,   ai   baratti   e   alle   società,   insomma   quasi   un   vero   e   proprio   manuale   di   ragioneria commerciale. Questa è la parte più ampia e consistente del “Liber abaci”, di cui è difficile dar conto in modo completo.

Nel pannello  8 si  propone un primo semplice problema risolvibile  con  la  regola del  tre,  un procedimento schematico, che ha avuto una lunga tradizione nella didattica, per trovare la quarta di tre   date   grandezze   in   proporzione.   Moltissimi   sono   i   problemi   in   cui   viene   applicata:   nelle trasformazioni delle unità di misura, che allora spesso variavano di città in città, nel calcolo dei prezzi, etc. Nelle “Letture dal Liber abaci” si ne trova una ampia scelta di altri esempi da proporre.Il cantare e il rotulo sono unità di misura per pesi in uso a Pisa nel XIII secolo. Nelle “Letture dal Liber abaci” si trovano anche altre unità di misura. I problemi risolti con la regola del tre sono solo i primi e più semplici che si trovano Liber abaci. A questa ci si riduce ad esempio tramite la “falsa 

posizione”, un procedimento piuttosto intuitivo in cui si cerca di “indovinare” la risposta ossia per scoprirla si fa un’ipotesi, che presumibilmente risulterà falsa ma che sarebbe stata corretta rispetto a un certo dato iniziale; si trova allora la risposta corretta considerando la proporzione tra il dato iniziale effettivo e quello dato dall’ipotesi falsa. Nelle “Letture dal Liber abaci” si trovano il testo del problema dell’albero e vari altri.

Per i più grandicelli e per i più interessati all’aspetto commerciale del Liber abaci nelle “Letture dal Liber abaci” si riportano altri esempi, più complessi, di problemi: un esempio di problema da risolversi  con   la   regola  del  “tre  composto”,  usata  ad  esempio  per  barattare  due  diverse  merci; esempi di come si calcoli la divisione dei utili tra soci; esempi che riguarda la fusione delle monete, il cui valore dipendeva dal peso e dalla percentuale di argento.

Il problema dei conigli e altre curiositàPer la visita guidata: pannelli 9­11.

Lo spirito più astratto e ludico del matematico riemerge nel capitolo 12, il più ampio del Liber abaci,   che   raccoglie   problemi   di   vario   tipo,   per   lo   più   senza   applicazione   pratica   e   piuttosto artificiali   e   curiosi,   che   richiedono   tecniche   di   risoluzione   più   o   meno   complesse,   tra   cui   il cosiddetto metodo di doppia falsa posizione.

Tra questi problemi si trova il problema dei conigli. Leonardo si chiede quante coppie di conigli discenderanno in un anno a partire da una sola coppia, posta in un luogo completamente circondato da pareti, supponendo che per natura ciascuna coppia in un mese generi un’altra coppia e che inizi a riprodursi a partire dal secondo mese di vita. Dunque a partire da 1 coppia, ne avremo ancora 1 sola nel primo mese, 2 nel secondo ­ quando la prima avrà figliato, 3 nel terzo ­ quando la prima avrà figliato ancora, 5 nel quarto ­ quando sia la prima che la seconda avranno figliato, 8 nel quinto,..., 377 nel dodicesimo mese, cioè dopo che un anno è trascorso; ma cosí via, volendo, per un numero qualsiasi di mesi, senza fine. Mese per mese il numero dei conigli è dato dai numeri 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 e cosí via, in cui ogni numero si ottiene sommando i due che lo precedono.Questi  numeri  sono noti  “numeri  di  Fibonacci”,  da quando, molto  tempo dopo, ossia  nel  1877 Eduard Lucas pubblica un un articolo matematico in cui, per alcuni risultati sui numeri primi, si serve di proprietà di questa successione di numeri indicandola con il nome di Fibonacci. Da quel momento si registra l’inizio di una sterminata attività di studio sulle proprietà di tale successione che inaspettatamente ricompare in diverse situazioni, matematiche ma anche non, ad esempio in natura e arte.  Basti  pensare che dal 1963 viene pubblicata  una rivista  matematica,   il  Fibonacci Quarterly, interamente dedicata alle sue proprietà. 

I pannelli 9 e 10 sono dedicati alla successione di Fibonacci. Si tratta di un argomento che in genere incuriosisce e ben si presta a vari sviluppi ad ogni livello. Ai più piccoli si può proporre, oltre che di riprodurre il problema dei conigli e quello analogo della nascita delle api (si veda ad esempio   la  pubblicazione  già   ricordata),  di   ritrovare  i  numeri  di  Fibonacci  nelle  pigne,  cavoli, girasoli, ma anche carciofi, margherite, ananas, piante grasse, e tante altre cose da scoprire; si può proporre di disegnare e trovare in natura le spirali di Fibonacci. Per più grandi ci si potrà soffermare sulla sezione aurea e invitarli a scoprirne ricorrenze e applicazioni.

Il pannello 11 riporta un altro famoso problema. Questo richiede di lavorare con numeri molto grandi, che diventano trattabili con il nuovo sistema di rappresentazione dei numeri. Il problema consiste   essenzialmente   nel   sommare  una  progressione   geometrica   può   essere   uno   spunto  per presentarla in modo semplice ai più piccoli, entrando nei dettagli della soluzione con i più grandi. Il testo del problema della scacchiera e la soluzione proposta da Fibonacci per semplificare il calcolo della somma è riproposto nelle “Letture dal Liber abaci”.

L’algebraPer la visita guidata: pannello 4

Gli  ultimi  due  capitoli   contengono  questioni   sempre  più   astratte   fino  a  comprendere   alcuni aspetti di quella nuova disciplina che rappresenta forse il maggior contributo lasciato dagli arabi alla matematica, l’algebra, che troverà più tardi in occidente degni prosecutori. È ancora grazie all’opera di Leonardo che dall’arabo al­jabr questo termine, a noi oggi ben noto, fa una delle sue prime comparse nelle nostre terre. Insieme ad algebra vengono introdotti nella nostra lingua molti altri termini,   traduzioni  dall’arabo,  che caratterizzeranno gli  sviluppi di  questa disciplina nel mondo latino; fra questi  radice per l’incognita,  termine giunto fino a noi, e censo per  il  suo quadrato, caduto invece più tardi in disuso.

Nelle “Letture dal Liber abaci” si possono trovare i passi che si riferiscono alla classificazione e risoluzione delle equazioni di secondo grado.

L’insegnamento del Liber abaci e le scuole d’abacoPer la visita guidata: pannelli 13­15.

A dispetto di quanto questa descrizione sommaria può aver comunicato, il Liber abaci è tutt’altro che una opera di semplice e familiare lettura, e la realizzazione del proposito di Leonardo di mettere a parte delle nuove tecniche la gens latina risultò non proprio diretta e immediata. Le resistenze di parte della classe mercantile rispetto all’uso nelle nuove cifre, dovettero però infine cadere a seguito dell’ingrandirsi   delle   stesse   attività   commerciali.   Passando   da  gestioni   di   carattere   familiare   a società   più   complesse,   la   contabilità   richiese   la   padronanza   di   procedimenti   matematici   più sofisticati e la vecchia numerazione si mostrò presto inadeguata.

Per esercitare il commercio era necessario saper leggere, scrivere e far di conto con estrema abilità  e per coloro che volevano dedicarsi  alla mercatura era dunque necessaria  una istruzione mirata.   Questa   veniva   impartita   nelle   cosiddette   “scuole   d’abaco”,   frequentate   anche   da   chi intendeva entrare nelle botteghe artigiane per diventare architetto, pittore o scultore. In molte città della   Toscana,   dell’Umbria,   del   Veneto,   della   Lombardia,   dal   successivo   secolo   XIV,   la   loro presenza è ben documentata. Si trattava spesso di scuole istituite e sovvenzionate dai Comuni, ma ad esempio a Firenze, dove vi era un gran numero di studenti, erano tutte private. Qui la più famosa scuola   d’abaco   si   trovava   di   fronte   alla   Chiesa   di   Santa   Trinita   e   fu   fondata   forse   da   Paolo dell’Abaco, matematico, astonomo, astrologo di grande fama a cui succedette Maestro Antonio de’ Mazzinghi da Peretola e poi Maestro Giovanni di Bartolo che partecipò  alla progettazione della cupola di S. Maria del Fiore.

Ciò che si imparava nelle scuole d’abaco era derivato fondamentalmente dall’opera di Leonardo. È possibile che Leonardo stesso tornato a Pisa, dove fu attivo come esperto contabile del Comune, si sia qui dedicato anche all’insegnamento formando direttamente una prima generazione di esperti d’abaco che contribuirono alla diffusione del Liber abaci anche in altre regioni. Per ovviare alle difficoltà dovute sia alla complessità dell’opera e che alla lingua in cui questa era stata scritta, il latino, i Maestri d’abaco composero però trattati e manuali semplificati e redatti in lingua volgare sui quali basavano il loro insegnamento, alcuni dei quali contenenti anche sviluppi originali.

Il fenomeno delle scuole d’abaco fu senza pari nell’Europa del tempo. A testimonianza di ciò resta il notevole numero di trattati d’abaco oggi conosciuti, circa trecento. Ma con la comparsa della stampa le modalità di diffusione del sapere subirono grandi cambiamenti: tali trattati manoscritti furono   dimenticati   e   sostituiti   da   altri,   pochi   ma   disponibili   in   maggior   numero   di   copie.   In particolare la Summa di Luca Pacioli, divenne, almeno in Italia, un nuovo punto di riferimento. Anche   il   Liber   abaci   seguí   lo   stesso   destino   dei   libri   d’abaco   di   cui   era   capostipite   e, contemporaneamente, la memoria di Leonardo si fece sempre più confusa.

Si deve arrivare all’Ottocento perché l’opera di Leonardo sia riscoperta e rivalutata. Storici come Pietro Cossali, Guglielmo Libri e Baldassarre Boncompagni, il quale tra l’altro nel 1857 pubblicò la prima e ad oggi unica versione a stampa del Liber abaci, ricollocarono nel giusto contesto storico il matematico pisano.

Anche presso le istituzioni si risvegliò l’interesse per Leonardo: una lapide che riproduce il testo di una delibera del 1233 con cui il Comune di Pisa, riconoscendo l’onore derivante alla città dalla dottrina del  maestro,  decreta  la  concessione di  un salario  annuo per  la prosecuzione dell’opera prestata nell’amministrazione pubblica, fu collocata nell’Archivio di Stato di Pisa. E negli stessi anni fu commissionata la statua con la quale abbiamo iniziato e con la quale concludiamo il nostro percorso attraverso la mostra.

Per la fortuna del Liber abaci e del suo insegnamento ci si riferirà ai pannelli dal 13 alla fine. Nel presentare le scuole d’abaco si può riferirsi al documento riprodotto nel pannello 14 che illustra il programma di una scuola d’abaco di due secoli e mezzo successiva al Liber abaci. Si osservi che la tavola è il supporto sul quale si scriveva, il libretto o librettine sono le tabelline, i rotti sono le frazioni, le ragioni di cui si parla alla fine sono le lezioni da fare, doppi in caso di vacanza! 

             

              Letture dal Liber abaci

                         Raccogliamo qui alcuni materiali relativi al Liber abaci che possono essere utilizzati acomplemento della mostra “Un ponte sul Mediterraneo. Leonardo Pisano, la scienza arabae la rinascita della matematica in Occidente”, ai cui pannelli si fa riferimento.Si tratta di una sorta di piccola antologia che vuole essere uno strumento di accesso direttoal Liber abaci nel lavoro in classe.La prima parte, pensata per il più piccoli, raccoglie materiali relativi alle quattro operazioni.Qui si spiega come vengono presentate nel Liber abaci e, in alcuni casi, più in generale nellatradizione abachistica.La seconda parte è una scelta di problemi tratti dai diversi capitoli, di cui si riporta iltesto latino dell’edizione a stampa di Boncompagni, una traduzione e la trascrizione dellasoluzione indicata da Fibonacci.La terza parte attinge alla trattazione delle equazioni di secondo grado presente nell’ultimocapitolo del Liber abaci.

Notazione. Per evitare ambiguità abbiamo utilizzato sempre la notazione attuale per lefrazioni. Questo vale anche per le citazioni dal Liber abaci: le espressioni contenenti frazioni sono state dunque riadattate e espresse nella forma attuale.

****Inserire al posto di questa pagina le pagine 3­ fine di Fibonacci.pdf (togliere le pagine 1 e 2)

SEZIONE 5

Pitagora e il suo teorema (storico)

Nota introduttiva

1.Il teorema di Pitagora nell’estrema antichità.

2. Alcune dimostrazioni semplici.

3. Equivalenza ed equiscomponibilità di poligoni. 

4. Figure simili.

5. Parallelogrammi e trapezi.

6. Il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide. 

7. Un triangolo non rettangolo. 

8. La diagonale del quadrato e gli irrazionali.

9. La scala musicale pitagorica e altre scale.

10. I solidi regolari.

11. Terne pitagoriche.

Nota introduttiva

La mostra documentaria Pitagora e il suo teorema, costituita nella sua forma per le scuole da  16 pannelli , nasce a complemento della mostra interattiva dedicata alla scoperta del teorema di Pitagora e sue estensioni e sfaccettature attraverso una serie di puzzle. La mostra documentaria si propone invece di fornire elementi  per la ricostruzione storica della figura di Pitagora e del suo insegnamento.Sulla base dei testi antichi ripercorre la vita e le opere di uno tra i più brillanti e controversi pensatori dell'Antichità. Matematico, filosofo, legislatore,  sciamano, Pitagora ha lasciato un'impronta profonda sulla cultura e sulla scienza classiche, influenzando il pensiero greco per tutto l'arco che va dalle origini alla rinascita neopitagorica del V secolo d. C .

In questa sezione raccogliamo vario materiale che oltre la mostra vera e propria può fornire numerosi spunti di approfondimento e suggerimenti per attività da proporre nelle classi su temi legati al teorema di Pitagora e altri risultati riferibili  alla scuola pitagorica.

**Inserire al posto di questa pagina il file PitagoraStorico.pdf

SEZIONE 6

Pitagora e il suo teorema (ludico)

Suggerimenti e spunti per un laboratorio sul teorema di Pitagora e dintorni.

1.     L'enunciato

2.     Esagoni e stelle

3.     Dimostrazione

4.     Euclide

5.     Euclide secondo

6.     Pappo

7.     Un piccolo approfondimento per i più grandi

**Inserire qui tutte le pagg. di PitagoraLudico.pdf

SEZIONE 7

Regoli per il calcolo: bastoncini per moltiplicare e dividere  

Introduzione                                                    3

1. Note storiche                                                4

2. La moltiplicazione con i bastoncini di Nepero.               5

       2.1. Istruzioni per l'uso.                                                 5

                2.1.1. Moltiplicazioni per numeri a una cifra       5

                2.1.2. Moltiplicazioni con riporto.                       7

                2.1.3. Moltiplicazioni per numeri a più cifre.     7

       2.2. Come sono costruiti.                                             8

       2.3. Osservazioni.                                                        8

3. La moltiplicazione con i bastoncini di Genaille­Lucas.        9

       3.1. Istruzioni per l'uso.                                              10

                3.1.1. Moltiplicazioni per numeri a una cifra.   10

                3.1.2. Moltiplicazioni per numeri a più cifre.   11

       3.2. Come sono costruiti.                                           11

4. La divisione con i bastoncini di Genaille­Lucas.         13

       4.1. Istruzioni per l'uso.                                             14

                4.1.1.Divisioni per numeri a una cifra.             14

                4.1.2. Cifre decimali.                                        14

       4.2. Osservazioni.                                                     15

       4.3. Come sono costruiti.                                          15

5. La moltiplicazione secondo il Promptuarium di Nepero.

       5.1. Istruzioni per l'uso.                                           18

       5.2. Osservazioni.                                                   18

       5.3. Come sono costruiti.                                        18

6. Estrazione di radice quadrata con i bastoncini di Nepero.   20

       6.1. Istruzioni per l'uso.                              20

       6.2. Osservazioni.                                      21

7. Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori.                  23

       7.1. Premessa sui laboratori.                                         23

      7.2 Contenuto delle presentazioni per il laboratorio.   23

             

  

Scopo di questa sezione, dedicata ai bastoncini di calcolo, è fornire agli insegnanti  che desiderino riproporre le attività nelle proprie classi alcune informazioni  teoriche necessarie per impadronirsi dell'argomento e una serie di suggerimenti  pratici per lo svolgimento dei laboratori stessi.

***Inserire qui le pagg. 2­22   di bastoncini.pdf (togliere la prima e l'ultima)